Zentralklausur Mathe 2022

Alternativer Bildtext:

x≤0 UNd streng MONOTON Steigend für x20 . S(010) = tiefster Punkt /Scheitelpunkt der Parabel = absoluten y IBI IBI X -3 -2 - 1 -9 g(x)=x²+2 - 4 Achsenparallele verschiebung der Beispiel: Verschiebung längs der y-Achse .Verschiebung UM zwei Einheiten der positiveN y-Achse iN · g(x) = f(x) + 2 1 O Normalparabel O IAI JĀI 1 2 Richtung 4 3 9 f(x)=x²+2 f(x)=x² . Beispiel: Verschiebung längs der x-Achse . Verschiebung UM drei Einheiten in Richtung f(x)=x² -1 der positiven x-Achse · g(x)=f(x-3) -3 -1 Y 4 .S(-312) Y 4 1 1 Beispiel: Verschiebung längs beider Achsen gegeben: S(312) · g(x) = (x-3)² +2 = x² - 6x +11 1 +3 g(x)=(x-3) ² →g(x)=2 f(x) = 9 = +3 3 g(x)=(x-3)² g(x)=x² - 6x +9 3 Beispiel: Scheitelpunktsberechnung Mit quadratischer Ergänzung · gegeben: g(x)= x² +6x +11 (Scheitelpunkt gesucht) → x² +6x + 11 = x ² +6x + 9 -9 + 11 = (x+3)² +2 gleichen Stelle . Verschiebung UM -3 iN x- Richtung . Verschiebung UM +2 iN y-Richtung YE -3 +2 g(x)=2x² 2x² -3 -1 Spiegelung der Normalparabel an der X-Achse . Ist der Streckfaktor kleiner als 1, wird die FUNKTION f gestaucht . Ist der Streckfaktor Negativ, wird die Funktion f an der x-Achse gespielt Beispiel: StauchuNg iN y-Richtung und Spiegelung an -1 →g(x) = -0,5 x ² der x-Achse Graph: Streckung der Normalparabel in y-Richtung y=a. f(x) •jeder Funktionswert VON 9 zweimal so groß 0<a<1 wie der Funktionswert VON f an der -0,5x2 Scheitelpunktsform der Gleichung einer Parabel · g(x)=2x² +4X+2 =-2[(x-1)² -2] = -2(x-1)² + 4 x2 = -2(x²-2x - 1) = -2(x² - 2x + 1-1-1) 0,5x2 X-Koordinate y-koordinate (x-1) ← Scheitelpunkts form Streckung, Verschiebung und Spiegelung beliebiger reeller Funktionen Vertikale Streckung / Stauchung Gleichung: Operation: y=a. f(x) a>1 Gleichung: Operation: Vertikale Streckung des Graphen VON f Mit a: Jeder Funktionswert wird den Faktor Mit a Multipliziert a. f(x) f(x) Vertikale Stauchung des Graphen von f Mit a: Jeder Funktionswert wird den Faktor Mit a Multipliziert Graph: (>0 vertikale Verschiebung einer FUNktiON Gleichung: Operation: y = f(x) + c Graph: c>0 Graph: Gleichung: Operation : y = f(x)-c (>0 Graph: C>0 Vertikale Hebung des Graphen von f UM C Einheiten Nach oben. Graph: f(x) +c a. f(x) f(x) f(x) Vertikale Senkung des GrapheN VON f UM Horizontale verschiebung einer FUNKTION Gleichung: Operation: y=f(x-c) Horizontale Verschiebung des Graphen VON f um C Einheiten Nach rechts. C Einheiten Nach unten. f(x) f(x) A f(x+c) f(x)-c Gleichung: Operation: y=f(x+c) Horizontale verschiebung des f(x-c) Graphen UM C Einheiten Nach links. f(x) Horizontale Streckung / Stauchung einer FUNKTION Gleichung: Operation: y=f(a.x) a>1 Graph Gleichung: Operation: y = f(a-x) 0<a<1 Graph: Horizontale Stauchung des GrapheN VON f Mit dem Faktor 1. Der Schnitpunkt Mit der y- Achse bleibt. Graph: Graph: f(ax) Spiegelung einer Funktion Gleichung: Operation: y = -f(x) Horizontale Streckung des Graphen VON f Mit dem Faktor 1. Der Schnitpunkt Mit der y- Achse bleibt. f(x) Gleichung: Operation: y=f(-x) f(-x)) Spiegelung des Graphen VON f an der x-Achse f(x) f(x) -f(x) flax) Spiegelung des Graphen von f an der y-Achse f(x) Potenfunktionen f(x)=XN (NE (N) → PotenzfunktioN VOM Grad N Beispiel: Potenzfunktionen Mit geladen Grad № 1 gemeinsame Eigenschaften 1. gemeinsame Punkte: x2 x 4 +6 P(-111), S(010), Q(111) liegt in 1. UND Quadranten 2. Steigungsverhalten und Krümmung: x≤o fallend, x>0 steigend S(010) Tiefpunkt ; linkSkrüMMUNG 3. Verhalten an den Rändern: Für x-∞0 Strebt f(x) gegen 00. Für x→∞0 Strebt f(x) gegen ∞0. 4. Symmetrie: Achsen Symmetrie zur y-Achse Beispiel: Potenzfunktionen mit ungeraden Grad 1 V. -1 X x ³ x 5 gemeinsame Eigenschaften 1. gemeinsame Punkte: P(-11-1), (010), Q(111) Graph liegt im 1. UNd 3. Quadranten 2. Steigungsverhalten und Krümmung (Nicht für f(x) = x): durchgängig steigend I x≤0:rechtskrümmung x20: linkSkrümmung W: Wendepunkt 3. Verhalten an den Rändern: Für x-00 Strebt f(x) gegen - ∞0. Für x→∞0 Strebt f(x) gegen ∞0. 4. Symmetrie: Punktsymmetrie zum Ursprung Symmetrie VON FUNKTIONEN • StandardsymmetrieN: Punktsymmetrie ZUM UNd Achsensymmetrie zur y-Achse Ursprung . Achsensymmetrie · f(-x) = f(x) Punktsymmetrie zum Ursprung · f(-x) = f(x) Beispiel: Rechnerische Symmetrie untersuchung 1) f(x) = x2 f(-x) = (-x)² = x ² = f(x) →achsensymmetrisch zur 2) g(x)=x 3 3) h(x)=x³+x² g(-x) =(-x)³ = - → punktsymmetrisch zum Ursprung → Hyperbeln 2 h(-x) =(-x)+(-x)² = -1/2 x ³ + ² × ² -h(x)=- = -1/2 x ³ - 1²/24 x ² 3 → keine Übereinstimmung / keine Standardsymmetrie Potenzfunktionen Mit Negativen ExpoNeNteN · f(x) = N bzw. f(x) = x -N fix) = oder f(x) = 1/2 · f(x) = X) = x^²N (N UNgerade) X -10 -2 -1 у wertetabelle VON f(x) = Graph: = -x³ = -g(x) -0,1 0,5 -1 -10 </xm 3 zur y- Achse Graph: </^x 3 Q Q Y -0,1 0 1 1 1 y-Achse = 1: Eigenschaften: 1. fist für x=0 Nicht definiert 2. verläuft im 1. und 3. Quadranten 3. fist punktsymmetrisch zum Ursprung 4. f verläuft überall fallend 5. x ±00: ANSchmiegung an die x-Achse 6. x > 0: ANSchmiegung an die y-Achse 7. P(111) UND Q (-11-1) liegen auf f • f(x) = N(N gerade) Wertetabelle von f(x)=1/12: x-10-2 -1 -0,1 0 0,1 100 y 0,01 0,25 1 100 P 0,1 1 10 1 10 0,5 0,1 2 10 1 0,25 0,01 Eigenschaften: 1. fist für x=0 Nicht definiert. 2. f verläuft in 1. und 2. Quadranten. 3. ist achsen Symmetrisch zur y-Achse 4. fist steigend für XCO UNd fallend für x>0. 5. X→ ±00: ANSchmiegung an die x-Achse 6. X →> 0: ANSChmiegung an die y-Achse 7. P(111) UNd Q (-111) liegen auf f verschiebungen und Streckungen Beispiel: Manipulation einer Hyperbel 4 f(x)=√/2₂2 +₂(x)=0,5-4x=21² Differenzialrechnung Nullstellen berechnen . Sa+2 VOM Nullprodukt (Ablesen Bsp.: (x+3) ²=0 x=3 x(x²+2) = 0 . Faktorisieren / Ausklammern Bsp.: x 3+2x = 0 X=0 f₁(x)=0,5/2 g(x) = 0,5*(x-2)² ·P-9- Formel x² +px +q + X × ₁ ₁ 2 = -1/2 ± √√(²/₂2) ²-q' Bsp.: - x ²+2=0 x = ± √2 0,5 x ²-2x-6=0 x² + 4x +12=0 x= -1/2 √√(²)²-12 + 1412 x= -2± √√-8 -> keine Nullstelle 1. (-2) + 1 . Substitution . Wenn der FunktiONstherm Nur die Potenzen x² UND x4 oder x3 UND x 6 (usw.) enthält BSP.: X x²= Substitution u²-5u +4=0 u²-u-4u+ 4 =0 u(u-1)-4(u + 1) = 0 U=x² x²=1 (u-1) (u-4)=0 4 = 1 x₁=1 X₂=-1 5x3+4=0 kein Ausklammern Durchschnittliche Änderungsrate Mittlere Änderungsrate/Sekanten Steigung / L1 = 4 Resubstitution 4²=4 Differenzen quotient • Mittlere Änderungsrate bei beliebiger Funktion f in beliebigen Intervall [xo; Xo+h] berechnen (xo +h)- Xo f(xo+h)-f(xo) f(xo+h) f (xo) x3 = 2 X₁=-2 ·gibt Steigung der Sekanten durch die Punkte P(xolf(x)) und Q(xo+h|flxoth)) an f 16-1 2+1 = Хо gegeben: f(x)= x³ + 2x +4 I= {-1; 2} Formel für das f(xo+h)-f(xo) (Xo+h)- Xo f(2)=f(-1) 2-(-1) = f(xo+h)-f(xo) h Xo+h I: Intervall (x==1 bis x =2) Steigungsdreieck: f(2)=23+2·2+ 4 = 16 3 f(− 1) = ( − 1 ) ³ + 2 · (− 1) + 4 = 1 15-5 2 als x in Originalgleichung einsetzen -1 11 MOMENtaNe Änderungsrate • lokale Änderungsrate bei einer beliebigen Funktion f an einer bestimmten Stelle xo berechnen · Grenzwert: Ableitung VON f an der Stelle Xo · Ableitung an der Stelle xo entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen im PUNK+ P(xolf (xo)) StandardSymmetrien .achsensymmetrisch Zur y-Achse N -X X > gilt f(-x) = f(x), ist der Graph VON f achsensymmetrisch zur y-Achse punktsymmetrisch zum Ursprung: H →gilt f(-x) = -f(x), ist der Graph von f punktsymmetrisch ZUM Ursprung Eigenschaften VON Potenzfunktionen • f(x)=xN, N gerade ·achsensymmetrisch zur y-Achse . Nullstelle als tiefsten Punkt (010) .MONOTON fallend für x<0 .MONOTON Steigend für x>0 linksgekrümmt .gehen durch P₁ (-111) UND P₂ (111) f(x)=xN , N Ungerade • Punkt Symmetrisch zum Ursprung • kein tiefster; höchster Punkt .MONOTON Steigena · rechtsgekrünnt für x<0 ·liNksgekrümmt für x>0 . Wendepunkt W(010) gehen durch P₁ (-11-1) UND P₂ (111) * Potenzfunktionen Mit Negativen Exponenten Negativer, gerader Exponent . keine Hoch- oder Tiefpunkte . f(x) > 0 • keine Wendepunkte gehen durch P₁ (-111) UND P₂ (111) .achsensymmetrisch zur y-Achse · MONOTON Steigend für x<0 · MONOTON fallend für x>0 ·liNksgekrümmt -1 1 Negativer, ungerader Exponent • keine Hoch- oder Tiefpunkte -keine Wendepunkte gehen durch P₁ (-11-1) UND P₂ (111) .punktsymmetrisch zum Ursprung · MONOTON fallend .rechtsgekrümmt für x<0 linksgekrümmt für x>0 Y Graphisches Ableiten WENN f(x) fällt, dann ist f'(x) im Negativen X-Bereich. WENN f(x) steigt, daNN ist f'(x) iM positiven X-Bereich. Die Extrempunkte VON f(x) entsprechen den Null- Stellen VON f'(x).