Überlagerung Harmonischer Schwingungen: Grundlagen und Mathematische Analyse
Die harmonische Schwingung zeigt sich in verschiedenen Formen der Überlagerung, die für das Verständnis mechanischer Schwingungen fundamental sind. Bei der Überlagerung zweier Schwingungen entstehen charakteristische Muster, die sich mathematisch präzise beschreiben lassen.
Definition: Die Überlagerung harmonischer Schwingungen beschreibt das Zusammenwirken zweier oder mehrerer Schwingungsvorgänge am gleichen Ort zur gleichen Zeit.
Bei der gleichphasigen Schwingungsüberlagerung schwingen zwei Pendel synchron in dieselbe Richtung. Die resultierende Amplitude verdoppelt sich dabei, was ein klassisches Beispiel für konstruktive Interferenz darstellt. Im Gegensatz dazu führt die gegenphasige Schwingung mit einer Phasenverschiebung von 180° zur vollständigen Auslöschung der Bewegung, wenn beide Pendel identische Amplituden besitzen.
Die mathematische Beschreibung erfolgt durch die Additionstheoreme der Trigonometrie. Für zwei harmonische Schwingungen mit gleicher Amplitude s und Frequenz ω gilt:
s₁t = s · sinωt+φ1
s₂t = s · sinωt+φ2
Die Gesamtschwingung ergibt sich zu:
sₘₑₛ = 2s · cos(φ1−φ2/2) · sinωt+(φ1+φ2/2)
Beispiel: Ein Doppelpendel demonstriert diese Überlagerung anschaulich. Werden beide Pendel gleichzeitig in dieselbe Richtung ausgelenkt, addieren sich die Amplituden. Bei entgegengesetzter Auslenkung heben sich die Bewegungen auf.