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Johanna
7.10.2025
Mathe
1.4 Ganzrationale Funktionen und ihr Verhalten gegen +/- unendlich
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•
7. Okt. 2025
•
Johanna
@j0hannaa
Ganzrationale Funktionen sind ein wichtiger Teil der Mathematik, die in... Mehr anzeigen
Eine ganzrationale Funktion hat die Form f = a₁₁x^n + a₁₁₋₁x^ + ... + a₁x + a₀, wobei n eine natürliche Zahl ist und a₁₁ ≠ 0. Der Definitionsbereich ist die Menge aller reellen Zahlen. Der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion wird auch als Polynom bezeichnet.
Ein wichtiger Satz: Bei einer ganzrationalen Funktion vom Grad n wird das Verhalten im Unendlichen nur vom höchsten Term a₁₁x^n bestimmt. Die anderen Terme spielen bei sehr großen x-Werten praktisch keine Rolle mehr.
Beim Verhalten im Unendlichen unterscheiden wir vier Fälle, die vom Grad n (gerade oder ungerade) und vom Vorzeichen des höchsten Koeffizienten a₁₁ abhängen:
Merke: Bei ganzrationalen Funktionen vom Grad 2 öffnet sich die Parabel nach oben, wenn a₁₁ > 0 ist, und nach unten, wenn a₁₁ < 0 ist. Bei Funktionen vom Grad 3 ist das Verhalten unterschiedlich für positive und negative x-Werte.
Bei einem Beispiel wie f = -4x⁴ + 3x² + 2x + 1 können wir das Verhalten im Unendlichen leicht bestimmen: Der Grad ist n = 4 und der Koeffizient a₁₁ = -4 . Also gilt Fall 2: Für x → ∞ und x → -∞ strebt f gegen -∞.
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Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Johanna
@j0hannaa
Ganzrationale Funktionen sind ein wichtiger Teil der Mathematik, die in zahlreichen Anwendungen vorkommen. Der Fokus dieses Themas liegt auf dem Verhalten dieser Funktionen im Unendlichen und wie man dieses schnell bestimmen kann.
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Eine ganzrationale Funktion hat die Form f = a₁₁x^n + a₁₁₋₁x^ + ... + a₁x + a₀, wobei n eine natürliche Zahl ist und a₁₁ ≠ 0. Der Definitionsbereich ist die Menge aller reellen Zahlen. Der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion wird auch als Polynom bezeichnet.
Ein wichtiger Satz: Bei einer ganzrationalen Funktion vom Grad n wird das Verhalten im Unendlichen nur vom höchsten Term a₁₁x^n bestimmt. Die anderen Terme spielen bei sehr großen x-Werten praktisch keine Rolle mehr.
Beim Verhalten im Unendlichen unterscheiden wir vier Fälle, die vom Grad n (gerade oder ungerade) und vom Vorzeichen des höchsten Koeffizienten a₁₁ abhängen:
Merke: Bei ganzrationalen Funktionen vom Grad 2 öffnet sich die Parabel nach oben, wenn a₁₁ > 0 ist, und nach unten, wenn a₁₁ < 0 ist. Bei Funktionen vom Grad 3 ist das Verhalten unterschiedlich für positive und negative x-Werte.
Bei einem Beispiel wie f = -4x⁴ + 3x² + 2x + 1 können wir das Verhalten im Unendlichen leicht bestimmen: Der Grad ist n = 4 und der Koeffizient a₁₁ = -4 . Also gilt Fall 2: Für x → ∞ und x → -∞ strebt f gegen -∞.
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Entdecken Sie die Eigenschaften und Verhaltensweisen von ganzrationalen Funktionen (1. bis 4. Grades). Diese Zusammenfassung behandelt die Definition, den Verlauf, die Achsenabschnitte und die Klassifizierung in gerade und ungerade Funktionen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheDieser Lernzettel behandelt die Definition und Eigenschaften ganzrationaler Funktionen, einschließlich ihres Randverhaltens und der Auswirkungen der Koeffizienten auf den Graphen. Ideal für Studierende, die sich auf das Thema Kurvenzeichnen und Funktionstypen vorbereiten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen gebrochener rationaler Funktionen, einschließlich Definitionsbereich, Nullstellen, und Asymptoten. Diese Übersicht bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Identifizierung von hebbaren und nicht hebbaren Definitionslücken sowie zur Analyse von Graphen. Ideal für Studierende der Mathematik.
MatheDiese umfassende Übersicht behandelt die Analyse gebrochenrationaler Funktionen, einschließlich Definition, Nullstellen, Polstellen, Definitionslücken, Globalverhalten, Symmetrie und Asymptoten. Ideal für Studierende, die ein tieferes Verständnis für das Verhalten und die Eigenschaften dieser Funktionen entwickeln möchten. Enthält Beispiele und Lösungsansätze.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Funktionen und deren Darstellungen. Diese Zusammenfassung behandelt reelle, lineare, quadratische, potenzielle und ganzrationale Funktionen sowie deren Symmetrie, Transformationen und Nullstellen. Ideal für Studierende, die ein umfassendes Verständnis der Funktionsanalyse und Graphen benötigen.
MatheEntdecke die wichtigsten Konzepte der Mathematik der 10. Klasse, einschließlich Eigenschaften von Funktionen, Graphentransformationen, Exponential- und Logarithmusfunktionen sowie Potenzfunktionen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
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Stefan S
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Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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