Ganzrationale Funktionen und ihr Verhalten im Unendlichen
Diese Seite behandelt die grundlegenden Konzepte und das asymptotische Verhalten ganzrationaler Funktionen. Sie beginnt mit einer wichtigen Definition und erklärt dann das Verhalten dieser Funktionen für sehr große positive und negative x-Werte.
Definition: Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat die Form f(x) = anx^n + an-1x^n-1 + ... + a1x + a2 mit D = R, wobei an ≠ 0 und die ai reelle Zahlen sind, die als Koeffizienten bezeichnet werden.
Highlight: Der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion wird auch als Polynom bezeichnet.
Ein zentraler Satz beschreibt das Verhalten im Unendlichen ganzrationaler Funktionen:
Highlight: Bei einer ganzrationalen Funktion vom Grad n wird das Verhalten für x → ±∞ vom Term anx^n bestimmt.
Die Seite unterscheidet vier Hauptfälle für das Verhalten gegen unendlich, basierend auf dem Grad der Funktion (gerade oder ungerade) und dem Vorzeichen des Leitkoeffizienten an:
- n gerade, an > 0
- n gerade, an < 0
- n ungerade, an > 0
- n ungerade, an < 0
Für jeden Fall wird das Verhalten sowohl für x → +∞ als auch für x → -∞ angegeben.
Example: Für den Fall n gerade und an > 0 gilt:
- Für x → +∞: f(x) → +∞
- Für x → -∞: f(x) → +∞
Vocabulary: "Für x gegen plus unendlich strebt f(x) gegen plus unendlich" bedeutet, dass der Funktionswert immer größer wird, wenn x sehr große positive Werte annimmt.
Die Seite enthält auch eine grafische Darstellung der vier Fälle, die das charakteristische Verhalten der Graphen für große x-Werte veranschaulicht. Diese Visualisierung hilft, das Verhalten im Unendlichen besser zu verstehen und von den Graphen abzulesen.
Abschließend wird ein Beispiel für die rechnerische Begründung des Verhaltens gegeben:
Example: f(x) = 4x³ + 3x² + 2x + 1
Für x → ∞ gilt: f(x) = x³(4 + 3/x + 2/x² + 1/x³)
Dieses Beispiel zeigt, wie die Terme niedrigeren Grades für sehr große x-Werte vernachlässigbar werden und das Verhalten hauptsächlich vom Term mit dem höchsten Grad bestimmt wird.
