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Johanna
23.3.2021
Mathe
1.4 Ganzrationale Funktionen und ihr Verhalten gegen +/- unendlich
Ganzrationale Funktionen sind ein wichtiger Teil der Mathematik, die in zahlreichen Anwendungen vorkommen. Der Fokus dieses Themas liegt auf dem Verhalten dieser Funktionen im Unendlichen und wie man dieses schnell bestimmen kann.
23.3.2021
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Ganzrationale Funktionen und ihre Eigenschaften
Lernzettel zu ganzrationalen Funktionen
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Ganzrationale Funktionen
•Funktionen 1-4 Grades
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Gebrochenrationale Funktionen
Es geht hier um gebrochenrationale Funktion. Dieses Thema wird normalerweise nicht behandelt, kann jedoch gut helfen und eine wichtige Ergänzung sein.
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Funktionen und ihre Darstellung
1. Reelle Funktionen 2. Lineare Funktionen 3. Quadratische Funktionen 4. Potenzfunktionen 5. Ganzrationale Funktionen
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Fernverhalten, Ganzrationale Funktionen, Potenzfuktionen
Fernverhalten, Verhalten für x Nahe 0, Ganzrationale Funktionen, Potenzfuktionen
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Ganzrationale Funktionen
Generelle Übersicht zu den ganzrationalen Funktionen
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Lena, iOS Userin
Johanna
@j0hannaa
Ganzrationale Funktionen sind ein wichtiger Teil der Mathematik, die in zahlreichen Anwendungen vorkommen. Der Fokus dieses Themas liegt auf dem Verhalten dieser Funktionen im Unendlichen und wie man dieses schnell bestimmen kann.
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Eine ganzrationale Funktion hat die Form f(x) = a₁₁x^n + a₁₁₋₁x^(n-1) + ... + a₁x + a₀, wobei n eine natürliche Zahl ist und a₁₁ ≠ 0. Der Definitionsbereich ist die Menge aller reellen Zahlen. Der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion wird auch als Polynom bezeichnet.
Ein wichtiger Satz: Bei einer ganzrationalen Funktion vom Grad n wird das Verhalten im Unendlichen (also für x → ∞ und x → -∞) nur vom höchsten Term a₁₁x^n bestimmt. Die anderen Terme spielen bei sehr großen x-Werten praktisch keine Rolle mehr.
Beim Verhalten im Unendlichen unterscheiden wir vier Fälle, die vom Grad n (gerade oder ungerade) und vom Vorzeichen des höchsten Koeffizienten a₁₁ abhängen:
Merke: Bei ganzrationalen Funktionen vom Grad 2 (quadratische Funktionen) öffnet sich die Parabel nach oben, wenn a₁₁ > 0 ist, und nach unten, wenn a₁₁ < 0 ist. Bei Funktionen vom Grad 3 ist das Verhalten unterschiedlich für positive und negative x-Werte.
Bei einem Beispiel wie f(x) = -4x⁴ + 3x² + 2x + 1 können wir das Verhalten im Unendlichen leicht bestimmen: Der Grad ist n = 4 (gerade) und der Koeffizient a₁₁ = -4 (negativ). Also gilt Fall 2: Für x → ∞ und x → -∞ strebt f(x) gegen -∞.
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Stefan S
iOS user
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Samantha Klich
Android user
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Android user
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iOS user
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Sudenaz Ocak
Android user
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Julia S
Android user
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Marcus B
iOS user
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Sarah L
Android user
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Hans T
iOS user
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