Ganzrationale Funktionen und ihr Verhalten im Unendlichen

Ganzrationale Funktionen haben die Form f(x) = $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$, wobei $D_f = \mathbb{R}$ und $a_n ≠ 0$ ist. Der Grad der Funktion ist n, und die reellen Zahlen $a_n$ bis $a_0$ sind die Koeffizienten. Ein anderes Wort für den Funktionsterm ist Polynom.

Das Verhalten im Unendlichen $für x → ∞ und x → -∞$ wird immer vom Term mit dem höchsten Exponenten bestimmt: $a_n x^n$. Das liegt daran, dass für sehr große x-Werte die niedrigeren Potenzen kaum noch Einfluss haben, wie man am Beispiel f(x) = -4x⁴ + 3x² + 2x + 1 sehen kann. Teilt man durch x⁴, gehen alle anderen Terme für große x-Werte gegen 0.

Es gibt vier Fälle für das Grenzverhalten ganzrationaler Funktionen, die vom Grad n und dem Vorzeichen des führenden Koeffizienten $a_n$ abhängen:

• Fall 1: n gerade, $a_n$ > 0 → f(x) → ∞ für x → ±∞
• Fall 2: n gerade, $a_n$ < 0 → f(x) → -∞ für x → ±∞
• Fall 3: n ungerade, $a_n$ > 0 → f(x) → ∞ für x → ∞ und f(x) → -∞ für x → -∞
• Fall 4: n ungerade, $a_n$ < 0 → f(x) → -∞ für x → ∞ und f(x) → ∞ für x → -∞

Aha-Moment: Bei ganzrationalen Funktionen 2. Grades (Parabeln) zeigen beide Enden nach oben wenn $a_2$ positiv ist oder nach unten wenn $a_2$ negativ ist. Bei ganzrationalen Funktionen 3. Grades zeigt ein Ende nach oben und das andere nach unten!