Gebrochen rationale Funktionen sind ein fundamentaler Bestandteil der höheren Mathematik und bestehen aus dem Quotienten zweier Polynome.
Die wichtigsten Eigenschaften und Merkmale von gebrochen-rationalen Funktionen umfassen mehrere zentrale Aspekte. Der Definitionsbereich einer solchen Funktion schließt alle reellen Zahlen aus, bei denen der Nenner Null wird. Diese Stellen werden als Polstellen bezeichnet und sind entscheidend für das Verständnis des Funktionsverhaltens. Bei der Analyse einer gebrochen rationalen Funktion müssen zunächst die Nullstellen sowohl im Zähler als auch im Nenner ermittelt werden. Die Nullstellen im Zähler geben an, wo die Funktion die x-Achse schneidet, während die Nullstellen im Nenner die besagten Polstellen definieren.
Das Globalverhalten einer gebrochen rationalen Funktion wird maßgeblich durch den Grad der Polynome in Zähler und Nenner bestimmt. Ist der Grad des Zählers kleiner als der des Nenners, strebt die Funktion für x→±∞ gegen Null. Bei gleichem Grad nähert sich die Funktion einem konstanten Wert an, während bei höherem Zählergrad die Funktion für x→±∞ gegen ±∞ strebt. Die Berechnung von Polstellen erfolgt durch Nullsetzen des Nenners, wobei zwischen hebbaren und nicht hebbaren Polstellen unterschieden werden muss. Bei hebbaren Polstellen lässt sich der Term durch Kürzen vereinfachen, wodurch die Polstelle verschwindet. Die genaue Analyse dieser Eigenschaften ist essentiell für das Verständnis des Funktionsverhaltens und die graphische Darstellung.
