Gebrochenrationale Funktionen

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kein richtiger Y-Wert zuordnen, somit ist dort eine ,,Lücke" Kann durch Rechnungen ,,korrigiert" werden Gliederung • Definition einer gebrochenrationalen Funktion ● Aussehen möglicher Funktionen ● Nullstellen/Polstellen Definitionslücken ● • Globalverhalten Symmetrie Vertikale/horizontale Asymptoten ● ● ● ● ● Beispiel Rechnung/Lösung Quellen Globalverhalten: Um das Globalverhalten einer gebrochenrationalen Funktion bestimmen zu können, muss man erstmal die Definitionslücken dieser ermitteln Fallunterscheidung wird benötigt → Man muss vor und Nach der Polstelle das Verhalten gegen +∞o ermitteln → Man benutzt l-lim (Links-Limes), und r-lim(Recht-Limes) wegen der Zweige 3 Fälle, alle beziehen sich auf den Grad des Polynoms, sprich des höchsten Exponenten an x → Zählerpolynom > Nennerpolynom → Verhalten gegen +∞ → Zählerpolynom < Nennerpolynom → Verhalten gegen 0 → Zählerpolynom = Nennerpolynom → Verhalten gegen einen bestimmten Wert Symmetrie: Nutzen des allgemeinen Beweises für eine Punktsymmetrie zum Ursprung → f(-x) = -f(x) Nutzen des allgemeinen Beweises für eine Achsensymmetrie zur Y-Achse → f(-x) = f(x) Vertikale/Horizontale Asymptote: Asymptoten sind grundsätzlich Geraden, an denen der Graph von f entlang wandert und sich versucht anzunähren, wobei er nie diese schneidet oder berührt Vertikale Asymptote: Definition: - Ist eine Paralelle zur Y-Achse Befinden sich an den Polstellen von f Horizontale Asymptote: Ist die X-Achse, wenn das Zählerpolynom < Nennerpolynoms Ist eine Parallele zur X-Achse, wenn Zählerpolynom = Nennerpolynom Schiefe Asymptote: Ist eine lineare Gerade, wenn Zählerpolynom = Nennerpolynom +1 → Mögliche Gerade: y = x+2 Asymptotische Kurve: Ist eine ganzrationale Funktion, wenn Zählerpolynom > Nennerpolynom +1 → Mögliche Kurve: y = x³ Beispiel Rechnung: f(x)= x²-4 x³-4x A1) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f. A2) Überprüfen Sie, ob eine oder mehrere hebbare Lücken vorliegen. A3) Bestimmen Sie das Globalverhalten mit l-lim und r-lim. A4) Überprüfen Sie, ob f eine Punktsymmetrie zum Ursprung aufweist. A5) Bestimmen Sie die horizontale, vertikale Asymptote. Made by Jacek Lesinski, Luis Goralewski • ƒ (x) = v(x) u(x) Definition v(x)= Zählerpolynom, u(x)= Nennerpolynom u(x) muss mindestens 1. Grades sein • An jeder Stelle, wo x E R ist die Funktion f differenzierbar Graphen typischer gebrochenrationaler -3 -2 0 f(x) = -|X 1 Funktionen 8 -6 -3 -2 -1 0 3 -5 f(x) = H|X 1 -8 -7 -6 Graphen typischer gebrochenrationaler -5 -4 -3 -2 -1 5 4 3 0 f(x) = 4 5 = 6 Funktionen 1 x2 -8 -7 -6 -5 -4 -3 1 -3 f(x) = = 4 6 1 x2 ● Nullstellen/Polstellen Nullstellen Zählerpolynom v(x)=0 setzen Normale Löseverfahren anwenden zum lösen der Gleichung ● Polstellen Nennerpolynom u(x)=0 setzen An der Polstelle befindet sich eine vertikale Asymptote Definitonslücke Dƒ = R \ {Polstelle} Definitionslücken Nicht-hebbare Definitionslücke: liegt bei der Polstelle, vertikale Asymptote ● • Der Stelle wird kein Wert ● zugeordnet Definitionsbereich Df muss angegeben werden Hebbare Definitionslücke: liegt vor, wenn Pol-/Nullstelle an der selben Stelle sind ● ● Der Stelle kann erstmal kein Y- Wert zugeordnet werden • Kann durch Rechnung korrigiert werden ● Globalverhalten Man muss die Polstellen von f ermitteln Man muss eine Fallunterscheidung machen ● Vor und Nach der Polstelle das Verhalten in -∞ und +∞ betrachten v(x)>u(x) f(x) → +∞0 ● • v(x)<u(x) f(x) → o v(x)=u(x) f(x) → bestimmter Wert 6 -5 -4 -3 5 4 3 2 0 -1 -5 2 f(x) = 3 2 4x²1 ● Symmetrie Beweis fur eine Punktsymmetrie zum Ursprung ● • f(-x) = -f(x) Beweis fur eine Achsensymmetrie zur Y-Achse • f(-x) = f(x) Vertikale/Horizontale Asymptote ● • Asymptoten sind Geraden/(Kurven) denen der Graph von f sich immer weiter an nährt sie aber nie Berührt/Schneidet ● ● Vertikale Asymptote ● Horizontale Asymptote Kann X-Achse sein, wenn Zählergrad<Nennergrad Parallele zur X-Achse, wenn Zählergrad-Nennergrad ● Liegen an den Polstellen ● Schiefe Asymptote • Ist eine lineare Funktion, wenn Zählergrad-Nennergrad+1 ● ● • Asymptotische Kurve • Ist eine Ganzrationale Funktion, wenn Zählergrad>Nennergrad+1 ● f(x)= ● χ-- x³-4x Beispiel Rechnung Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion f ● • Überprüfen Sie, ob eine oder mehrere hebbare Lücken vorliegen Bestimmen Sie das Globalverhalten mit l-lim und r-lim • Überprüfen Sie, ob feine Punktsymmetrie zum Ursprung aufweist ● • Bestimmen Sie die horizontale, vertikale Asymptote Sin (x=-1²) x² + p K f(x) I = J/ex+²) dx = √m "Quellen & Stw dx F6 31 1 ) x² X-7+∞ AM fo f() Mathe Bücher yax = F(6)-F(a) Ⓡ² 2 Geogebra CimEG (ME) ▼ Denis Skabs (Professor), Luke Vogelgesang XH (n(x) TT. X Mathebibel 3 112 J Abiturum DIX X= (1x)]- V(K) / 3 uca (O`S(x) HTX x² + px +q 3 ~√ √ 277² ² = 27 ²³² f(x) = 1 X X= 1= √-2² // f(x) = 5₁₂ X f(x) = 1 + x - ₁² R M f(x x² FG