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Mathematik

Aufbau und Operationen von Polynomen

Polynomfunktionen

Mathe4.922Aktualisiert 8. Okt. 20268 Seiten

Übersicht über wichtige Funktionstypen und ihre Darstellung

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Funktionen sind überall um uns herum - von der Handyrechnung bis zur Flugbahn eines Balls. In diesem Kapitel lernst du die wichtigsten Funktionstypen kennen und wie du sie analysierst und anwendest.
Funktionen und ihre Darstellung – Seite 1

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Grundlagen der Funktionen

Funktionen sind wie Maschinen: Du gibst einen x-Wert rein und bekommst genau einen y-Wert raus. Das nennt man eindeutige Zuordnung.

Die Definitionsmenge D enthält alle erlaubten x-Werte, die Wertemenge alle möglichen Funktionswerte fxx. Du kannst Funktionen auf drei Arten darstellen: als Funktionsgleichung z.B.f(x)=0,5xz.B. f(x) = 0,5x, als Wertetabelle oder als Graph.

Lineare Funktionen haben die Form fxx = mx + n. Der Parameter m ist die Steigung - sie zeigt an, wie steil die Gerade verläuft. Den y-Achsenabschnitt n findest du, indem du x = 0 einsetzt.

Merktipp: Bei positiver Steigung m > 0 steigt die Gerade, bei negativer Steigung m < 0 fällt sie!

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Geraden verstehen und berechnen

Die Steigung berechnest du mit der Formel m = y1−y0y₁ - y₀/x1−x0x₁ - x₀. Das ist der Differenzquotient zwischen zwei Punkten.

Für Geradengleichungen gibt's zwei praktische Formen: Die Punktsteigungsform fxx = mx−x0x - x₀ + y₀ nutzt du, wenn du einen Punkt und die Steigung kennst. Die Zweipunkteform brauchst du bei zwei bekannten Punkten.

Zwei Geraden können sich schneiden, parallel verlaufen oder identisch sein. Parallelität erkennst du an gleicher Steigung m. Orthogonale Geraden haben Steigungen, die sich zu -1 multiplizieren: m₁ · m₂ = -1.

Praxis-Tipp: Den Schnittpunkt findest du, indem du die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzt!

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Quadratische Funktionen und Parabeln

Quadratische Funktionen haben die Form fxx = ax² + bx + c. Die Normalparabel fxx = x² ist dein Ausgangspunkt - sie hat ihren Scheitelpunkt bei S(0|0).

Du kannst Parabeln verschieben: Nach oben/unten mit fxx = x² + c, nach rechts/links mit fxx = x−dx - d². Kombiniert ergibt das fxx = x−dx - d² + c.

Die Scheitelpunktsform fxx = ax−xsx - xₛ² + yₛ zeigt dir sofort den Scheitelpunkt S(xₛ|yₛ). Der Parameter a streckt (|a| > 1) oder staucht (|a| < 1) die Parabel. Bei negativem a wird sie nach unten geöffnet.

Wichtig: Parabeln können null, eine oder zwei Nullstellen haben - das siehst du an der Diskriminante!

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Nullstellen und Schnittpunkte

Nullstellen findest du mit der p-q-Formel: Für x² + px + q = 0 gilt x₁,₂ = -p/2 ± √(p/2)2−q(p/2)² - q. Erst musst du die Gleichung in Normalform bringen (Koeffizient vor x² = 1).

Beim Schnitt von Parabel und Gerade entstehen drei Möglichkeiten: Eine Sekante schneidet in zwei Punkten, eine Tangente berührt in einem Punkt, eine Passante schneidet gar nicht.

Du findest Schnittpunkte, indem du fxx = gxx setzt. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir die Art des Schnitts.

Merkhilfe: Zwei Lösungen = Sekante, eine Lösung = Tangente, keine Lösung = Passante!

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Potenzfunktionen und ihre Eigenschaften

Potenzfunktionen fxx = xⁿ verhalten sich je nach Exponent unterschiedlich. Bei geradem Grad sind sie achsensymmetrisch zur y-Achse f(−x)=f(x)f(-x) = f(x), bei ungeradem Grad punktsymmetrisch zum Ursprung f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x).

Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten: Eine Funktion ist monoton steigend, wenn größere x-Werte auch größere y-Werte haben. Bei streng monoton gibt's keine waagerechten Stücke.

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten fxx = 1/xⁿ heißen Hyperbeln. Sie sind bei x = 0 nicht definiert und nähern sich den Koordinatenachsen an, ohne sie zu berühren.

Achtung: Hyperbeln haben Definitionslücken bei x = 0 - das musst du immer beachten!

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Ganzrationale Funktionen (Polynome)

Ganzrationale Funktionen entstehen durch Addition und Multiplikation von Potenzfunktionen. Die allgemeine Form ist fxx = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀.

Der Grad der Funktion entspricht dem höchsten Exponenten. Die Koeffizienten aᵢ bestimmen Form und Lage des Graphen. Das absolute Glied a₀ ist der y-Achsenabschnitt.

Für die Symmetrie gilt ein einfacher Test: Nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch, nur ungerade Exponenten → punktsymmetrisch, gemischt → keine Standardsymmetrie.

Faustregel: Ein Polynom n-ten Grades hat maximal n Nullstellen!

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Zusammenfassung: Die wichtigsten Formeln

Lineare Funktionen: fxx = mx + n mit Steigung m = Δy/Δx und y-Achsenabschnitt n. Punktsteigungsform: y = mx−x0x - x₀ + y₀ für bekannten Punkt und Steigung.

Quadratische Funktionen: fxx = ax² + bx + c mit Scheitelpunktsform fxx = ax−xsx - xₛ² + yₛ. Nullstellen über p-q-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √(p/2)2−q(p/2)² - q.

Transformationen: Verschiebung um a nach oben: fxx + a, nach rechts: fx−ax - a. Streckung in y-Richtung: a·fxx, Spiegelung an x-Achse: -fxx.

Prüfungstipp: Diese Formeln solltest du auswendig können - sie sind dein Handwerkszeug!

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Potenzfunktionen und Polynome im Überblick

Potenzfunktionen fxx = xⁿ zeigen Standardsymmetrie: Achsensymmetrie bei f−x-x = fxx, Punktsymmetrie bei f−x-x = -fxx.

Polynome haben die Form fxx = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₀. Ein Polynom n-ten Grades besitzt maximal n Nullstellen.

Zur Nullstellenberechnung nutzt du verschiedene Methoden: direktes Auflösen, Ausklammern, Faktorisieren oder bei biquadratischen Funktionen die Substitution.

Erfolgs-Tipp: Übung macht den Meister - arbeite viel mit Graphen, das entwickelt dein Funktions-Verständnis!

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