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Mathe
29. Nov. 2025
4.732
8 Seiten
Luna @luna_06
Funktionen sind überall um uns herum - von der Handyrechnung bis zur Flugbahn eines Balls. In diesem Kapitel... Mehr anzeigen
Funktionen sind wie Maschinen Du gibst einen x-Wert rein und bekommst genau einen y-Wert raus. Das nennt man eindeutige Zuordnung.
Die Definitionsmenge D enthält alle erlaubten x-Werte, die Wertemenge alle möglichen Funktionswerte f(x). Du kannst Funktionen auf drei Arten darstellen als Funktionsgleichung , als Wertetabelle oder als Graph.
Lineare Funktionen haben die Form f(x) = mx + n. Der Parameter m ist die Steigung - sie zeigt an, wie steil die Gerade verläuft. Den y-Achsenabschnitt n findest du, indem du x = 0 einsetzt.
Merktipp Bei positiver Steigung m > 0 steigt die Gerade, bei negativer Steigung m < 0 fällt sie!
Die Steigung berechnest du mit der Formel m = /. Das ist der Differenzquotient zwischen zwei Punkten.
Für Geradengleichungen gibt's zwei praktische Formen Die Punktsteigungsform f(x) = m + y₀ nutzt du, wenn du einen Punkt und die Steigung kennst. Die Zweipunkteform brauchst du bei zwei bekannten Punkten.
Zwei Geraden können sich schneiden, parallel verlaufen oder identisch sein. Parallelität erkennst du an gleicher Steigung m. Orthogonale Geraden haben Steigungen, die sich zu -1 multiplizieren m₁ · m₂ = -1.
Praxis-Tipp Den Schnittpunkt findest du, indem du die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzt!
Quadratische Funktionen haben die Form f(x) = ax² + bx + c. Die Normalparabel f(x) = x² ist dein Ausgangspunkt - sie hat ihren Scheitelpunkt bei S(0|0).
Du kannst Parabeln verschieben Nach oben/unten mit f(x) = x² + c, nach rechts/links mit f(x) = ². Kombiniert ergibt das f(x) = ² + c.
Die Scheitelpunktsform f(x) = a² + yₛ zeigt dir sofort den Scheitelpunkt S(xₛ|yₛ). Der Parameter a streckt (|a| > 1) oder staucht (|a| < 1) die Parabel. Bei negativem a wird sie nach unten geöffnet.
Wichtig Parabeln können null, eine oder zwei Nullstellen haben - das siehst du an der Diskriminante!
Nullstellen findest du mit der p-q-Formel Für x² + px + q = 0 gilt x₁,₂ = -p/2 ± √. Erst musst du die Gleichung in Normalform bringen .
Beim Schnitt von Parabel und Gerade entstehen drei Möglichkeiten Eine Sekante schneidet in zwei Punkten, eine Tangente berührt in einem Punkt, eine Passante schneidet gar nicht.
Du findest Schnittpunkte, indem du f(x) = g(x) setzt. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir die Art des Schnitts.
Merkhilfe Zwei Lösungen = Sekante, eine Lösung = Tangente, keine Lösung = Passante!
Potenzfunktionen f(x) = xⁿ verhalten sich je nach Exponent unterschiedlich. Bei geradem Grad sind sie achsensymmetrisch zur y-Achse , bei ungeradem Grad punktsymmetrisch zum Ursprung .
Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten Eine Funktion ist monoton steigend, wenn größere x-Werte auch größere y-Werte haben. Bei streng monoton gibt's keine waagerechten Stücke.
Potenzfunktionen mit negativen Exponenten f(x) = 1/xⁿ heißen Hyperbeln. Sie sind bei x = 0 nicht definiert und nähern sich den Koordinatenachsen an, ohne sie zu berühren.
Achtung Hyperbeln haben Definitionslücken bei x = 0 - das musst du immer beachten!
Ganzrationale Funktionen entstehen durch Addition und Multiplikation von Potenzfunktionen. Die allgemeine Form ist f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀.
Der Grad der Funktion entspricht dem höchsten Exponenten. Die Koeffizienten aᵢ bestimmen Form und Lage des Graphen. Das absolute Glied a₀ ist der y-Achsenabschnitt.
Für die Symmetrie gilt ein einfacher Test Nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch, nur ungerade Exponenten → punktsymmetrisch, gemischt → keine Standardsymmetrie.
Faustregel Ein Polynom n-ten Grades hat maximal n Nullstellen!
Lineare Funktionen f(x) = mx + n mit Steigung m = Δy/Δx und y-Achsenabschnitt n. Punktsteigungsform y = m + y₀ für bekannten Punkt und Steigung.
Quadratische Funktionen f(x) = ax² + bx + c mit Scheitelpunktsform f(x) = a² + yₛ. Nullstellen über p-q-Formel x₁,₂ = -p/2 ± √.
Transformationen Verschiebung um a nach oben f(x) + a, nach rechts f. Streckung in y-Richtung a·f(x), Spiegelung an x-Achse -f(x).
Prüfungstipp Diese Formeln solltest du auswendig können - sie sind dein Handwerkszeug!
Potenzfunktionen f(x) = xⁿ zeigen Standardsymmetrie Achsensymmetrie bei f = f(x), Punktsymmetrie bei f = -f(x).
Polynome haben die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₀. Ein Polynom n-ten Grades besitzt maximal n Nullstellen.
Zur Nullstellenberechnung nutzt du verschiedene Methoden direktes Auflösen, Ausklammern, Faktorisieren oder bei biquadratischen Funktionen die Substitution.
Erfolgs-Tipp Übung macht den Meister - arbeite viel mit Graphen, das entwickelt dein Funktions-Verständnis!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Entdecken Sie die Grundlagen gebrochener rationaler Funktionen, einschließlich Definitionsbereich, Nullstellen, und Asymptoten. Diese Übersicht bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Identifizierung von hebbaren und nicht hebbaren Definitionslücken sowie zur Analyse von Graphen. Ideal für Studierende der Mathematik.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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Luna
@luna_06
Funktionen sind überall um uns herum - von der Handyrechnung bis zur Flugbahn eines Balls. In diesem Kapitel lernst du die wichtigsten Funktionstypen kennen und wie du sie analysierst und anwendest.
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Funktionen sind wie Maschinen: Du gibst einen x-Wert rein und bekommst genau einen y-Wert raus. Das nennt man eindeutige Zuordnung.
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Lineare Funktionen haben die Form f(x) = mx + n. Der Parameter m ist die Steigung - sie zeigt an, wie steil die Gerade verläuft. Den y-Achsenabschnitt n findest du, indem du x = 0 einsetzt.
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Zwei Geraden können sich schneiden, parallel verlaufen oder identisch sein. Parallelität erkennst du an gleicher Steigung m. Orthogonale Geraden haben Steigungen, die sich zu -1 multiplizieren: m₁ · m₂ = -1.
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Quadratische Funktionen haben die Form f(x) = ax² + bx + c. Die Normalparabel f(x) = x² ist dein Ausgangspunkt - sie hat ihren Scheitelpunkt bei S(0|0).
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Die Scheitelpunktsform f(x) = a² + yₛ zeigt dir sofort den Scheitelpunkt S(xₛ|yₛ). Der Parameter a streckt (|a| > 1) oder staucht (|a| < 1) die Parabel. Bei negativem a wird sie nach unten geöffnet.
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Nullstellen findest du mit der p-q-Formel: Für x² + px + q = 0 gilt x₁,₂ = -p/2 ± √. Erst musst du die Gleichung in Normalform bringen .
Beim Schnitt von Parabel und Gerade entstehen drei Möglichkeiten: Eine Sekante schneidet in zwei Punkten, eine Tangente berührt in einem Punkt, eine Passante schneidet gar nicht.
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Achtung: Hyperbeln haben Definitionslücken bei x = 0 - das musst du immer beachten!
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Ganzrationale Funktionen entstehen durch Addition und Multiplikation von Potenzfunktionen. Die allgemeine Form ist f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀.
Der Grad der Funktion entspricht dem höchsten Exponenten. Die Koeffizienten aᵢ bestimmen Form und Lage des Graphen. Das absolute Glied a₀ ist der y-Achsenabschnitt.
Für die Symmetrie gilt ein einfacher Test: Nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch, nur ungerade Exponenten → punktsymmetrisch, gemischt → keine Standardsymmetrie.
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Lineare Funktionen: f(x) = mx + n mit Steigung m = Δy/Δx und y-Achsenabschnitt n. Punktsteigungsform: y = m + y₀ für bekannten Punkt und Steigung.
Quadratische Funktionen: f(x) = ax² + bx + c mit Scheitelpunktsform f(x) = a² + yₛ. Nullstellen über p-q-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √.
Transformationen: Verschiebung um a nach oben: f(x) + a, nach rechts: f. Streckung in y-Richtung: a·f(x), Spiegelung an x-Achse: -f(x).
Prüfungstipp: Diese Formeln solltest du auswendig können - sie sind dein Handwerkszeug!
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Potenzfunktionen f(x) = xⁿ zeigen Standardsymmetrie: Achsensymmetrie bei f = f(x), Punktsymmetrie bei f = -f(x).
Polynome haben die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₀. Ein Polynom n-ten Grades besitzt maximal n Nullstellen.
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Entdecken Sie die Grundlagen gebrochener rationaler Funktionen, einschließlich Definitionsbereich, Nullstellen, und Asymptoten. Diese Übersicht bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Identifizierung von hebbaren und nicht hebbaren Definitionslücken sowie zur Analyse von Graphen. Ideal für Studierende der Mathematik.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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