Funktionen sind überall um uns herum - von der Handyrechnung...
Mathe4.873 aufrufe·Aktualisiert 9. Juli 2026·8 SeitenÜbersicht über wichtige Funktionstypen und ihre Darstellung
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Luna@luna_06
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Grundlagen der Funktionen
Funktionen sind wie Maschinen: Du gibst einen x-Wert rein und bekommst genau einen y-Wert raus. Das nennt man eindeutige Zuordnung.
Die Definitionsmenge D enthält alle erlaubten x-Werte, die Wertemenge alle möglichen Funktionswerte f. Du kannst Funktionen auf drei Arten darstellen: als Funktionsgleichung , als Wertetabelle oder als Graph.
Lineare Funktionen haben die Form f = mx + n. Der Parameter m ist die Steigung - sie zeigt an, wie steil die Gerade verläuft. Den y-Achsenabschnitt n findest du, indem du x = 0 einsetzt.
Merktipp: Bei positiver Steigung m > 0 steigt die Gerade, bei negativer Steigung m < 0 fällt sie!
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Geraden verstehen und berechnen
Die Steigung berechnest du mit der Formel m = /. Das ist der Differenzquotient zwischen zwei Punkten.
Für Geradengleichungen gibt's zwei praktische Formen: Die Punktsteigungsform f = m + y₀ nutzt du, wenn du einen Punkt und die Steigung kennst. Die Zweipunkteform brauchst du bei zwei bekannten Punkten.
Zwei Geraden können sich schneiden, parallel verlaufen oder identisch sein. Parallelität erkennst du an gleicher Steigung m. Orthogonale Geraden haben Steigungen, die sich zu -1 multiplizieren: m₁ · m₂ = -1.
Praxis-Tipp: Den Schnittpunkt findest du, indem du die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzt!
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Quadratische Funktionen und Parabeln
Quadratische Funktionen haben die Form f = ax² + bx + c. Die Normalparabel f = x² ist dein Ausgangspunkt - sie hat ihren Scheitelpunkt bei S(0|0).
Du kannst Parabeln verschieben: Nach oben/unten mit f = x² + c, nach rechts/links mit f = ². Kombiniert ergibt das f = ² + c.
Die Scheitelpunktsform f = a² + yₛ zeigt dir sofort den Scheitelpunkt S(xₛ|yₛ). Der Parameter a streckt (|a| > 1) oder staucht (|a| < 1) die Parabel. Bei negativem a wird sie nach unten geöffnet.
Wichtig: Parabeln können null, eine oder zwei Nullstellen haben - das siehst du an der Diskriminante!
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Nullstellen und Schnittpunkte
Nullstellen findest du mit der p-q-Formel: Für x² + px + q = 0 gilt x₁,₂ = -p/2 ± √. Erst musst du die Gleichung in Normalform bringen (Koeffizient vor x² = 1).
Beim Schnitt von Parabel und Gerade entstehen drei Möglichkeiten: Eine Sekante schneidet in zwei Punkten, eine Tangente berührt in einem Punkt, eine Passante schneidet gar nicht.
Du findest Schnittpunkte, indem du f = g setzt. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir die Art des Schnitts.
Merkhilfe: Zwei Lösungen = Sekante, eine Lösung = Tangente, keine Lösung = Passante!
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Potenzfunktionen und ihre Eigenschaften
Potenzfunktionen f = xⁿ verhalten sich je nach Exponent unterschiedlich. Bei geradem Grad sind sie achsensymmetrisch zur y-Achse , bei ungeradem Grad punktsymmetrisch zum Ursprung .
Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten: Eine Funktion ist monoton steigend, wenn größere x-Werte auch größere y-Werte haben. Bei streng monoton gibt's keine waagerechten Stücke.
Potenzfunktionen mit negativen Exponenten f = 1/xⁿ heißen Hyperbeln. Sie sind bei x = 0 nicht definiert und nähern sich den Koordinatenachsen an, ohne sie zu berühren.
Achtung: Hyperbeln haben Definitionslücken bei x = 0 - das musst du immer beachten!
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Ganzrationale Funktionen (Polynome)
Ganzrationale Funktionen entstehen durch Addition und Multiplikation von Potenzfunktionen. Die allgemeine Form ist f = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀.
Der Grad der Funktion entspricht dem höchsten Exponenten. Die Koeffizienten aᵢ bestimmen Form und Lage des Graphen. Das absolute Glied a₀ ist der y-Achsenabschnitt.
Für die Symmetrie gilt ein einfacher Test: Nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch, nur ungerade Exponenten → punktsymmetrisch, gemischt → keine Standardsymmetrie.
Faustregel: Ein Polynom n-ten Grades hat maximal n Nullstellen!
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Zusammenfassung: Die wichtigsten Formeln
Lineare Funktionen: f = mx + n mit Steigung m = Δy/Δx und y-Achsenabschnitt n. Punktsteigungsform: y = m + y₀ für bekannten Punkt und Steigung.
Quadratische Funktionen: f = ax² + bx + c mit Scheitelpunktsform f = a² + yₛ. Nullstellen über p-q-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √.
Transformationen: Verschiebung um a nach oben: f + a, nach rechts: f. Streckung in y-Richtung: a·f, Spiegelung an x-Achse: -f.
Prüfungstipp: Diese Formeln solltest du auswendig können - sie sind dein Handwerkszeug!
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Potenzfunktionen und Polynome im Überblick
Potenzfunktionen f = xⁿ zeigen Standardsymmetrie: Achsensymmetrie bei f = f, Punktsymmetrie bei f = -f.
Polynome haben die Form f = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₀. Ein Polynom n-ten Grades besitzt maximal n Nullstellen.
Zur Nullstellenberechnung nutzt du verschiedene Methoden: direktes Auflösen, Ausklammern, Faktorisieren oder bei biquadratischen Funktionen die Substitution.
Erfolgs-Tipp: Übung macht den Meister - arbeite viel mit Graphen, das entwickelt dein Funktions-Verständnis!
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha KlichAndroid-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
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Mathe4.873 aufrufe·Aktualisiert 9. Juli 2026·8 SeitenÜbersicht über wichtige Funktionstypen und ihre Darstellung
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Funktionen sind überall um uns herum - von der Handyrechnung bis zur Flugbahn eines Balls. In diesem Kapitel lernst du die wichtigsten Funktionstypen kennen und wie du sie analysierst und anwendest.
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Grundlagen der Funktionen
Funktionen sind wie Maschinen: Du gibst einen x-Wert rein und bekommst genau einen y-Wert raus. Das nennt man eindeutige Zuordnung.
Die Definitionsmenge D enthält alle erlaubten x-Werte, die Wertemenge alle möglichen Funktionswerte f. Du kannst Funktionen auf drei Arten darstellen: als Funktionsgleichung , als Wertetabelle oder als Graph.
Lineare Funktionen haben die Form f = mx + n. Der Parameter m ist die Steigung - sie zeigt an, wie steil die Gerade verläuft. Den y-Achsenabschnitt n findest du, indem du x = 0 einsetzt.
Merktipp: Bei positiver Steigung m > 0 steigt die Gerade, bei negativer Steigung m < 0 fällt sie!
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Geraden verstehen und berechnen
Die Steigung berechnest du mit der Formel m = /. Das ist der Differenzquotient zwischen zwei Punkten.
Für Geradengleichungen gibt's zwei praktische Formen: Die Punktsteigungsform f = m + y₀ nutzt du, wenn du einen Punkt und die Steigung kennst. Die Zweipunkteform brauchst du bei zwei bekannten Punkten.
Zwei Geraden können sich schneiden, parallel verlaufen oder identisch sein. Parallelität erkennst du an gleicher Steigung m. Orthogonale Geraden haben Steigungen, die sich zu -1 multiplizieren: m₁ · m₂ = -1.
Praxis-Tipp: Den Schnittpunkt findest du, indem du die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzt!
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Quadratische Funktionen und Parabeln
Quadratische Funktionen haben die Form f = ax² + bx + c. Die Normalparabel f = x² ist dein Ausgangspunkt - sie hat ihren Scheitelpunkt bei S(0|0).
Du kannst Parabeln verschieben: Nach oben/unten mit f = x² + c, nach rechts/links mit f = ². Kombiniert ergibt das f = ² + c.
Die Scheitelpunktsform f = a² + yₛ zeigt dir sofort den Scheitelpunkt S(xₛ|yₛ). Der Parameter a streckt (|a| > 1) oder staucht (|a| < 1) die Parabel. Bei negativem a wird sie nach unten geöffnet.
Wichtig: Parabeln können null, eine oder zwei Nullstellen haben - das siehst du an der Diskriminante!
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Nullstellen und Schnittpunkte
Nullstellen findest du mit der p-q-Formel: Für x² + px + q = 0 gilt x₁,₂ = -p/2 ± √. Erst musst du die Gleichung in Normalform bringen (Koeffizient vor x² = 1).
Beim Schnitt von Parabel und Gerade entstehen drei Möglichkeiten: Eine Sekante schneidet in zwei Punkten, eine Tangente berührt in einem Punkt, eine Passante schneidet gar nicht.
Du findest Schnittpunkte, indem du f = g setzt. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir die Art des Schnitts.
Merkhilfe: Zwei Lösungen = Sekante, eine Lösung = Tangente, keine Lösung = Passante!
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Potenzfunktionen und ihre Eigenschaften
Potenzfunktionen f = xⁿ verhalten sich je nach Exponent unterschiedlich. Bei geradem Grad sind sie achsensymmetrisch zur y-Achse , bei ungeradem Grad punktsymmetrisch zum Ursprung .
Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten: Eine Funktion ist monoton steigend, wenn größere x-Werte auch größere y-Werte haben. Bei streng monoton gibt's keine waagerechten Stücke.
Potenzfunktionen mit negativen Exponenten f = 1/xⁿ heißen Hyperbeln. Sie sind bei x = 0 nicht definiert und nähern sich den Koordinatenachsen an, ohne sie zu berühren.
Achtung: Hyperbeln haben Definitionslücken bei x = 0 - das musst du immer beachten!
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Ganzrationale Funktionen (Polynome)
Ganzrationale Funktionen entstehen durch Addition und Multiplikation von Potenzfunktionen. Die allgemeine Form ist f = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀.
Der Grad der Funktion entspricht dem höchsten Exponenten. Die Koeffizienten aᵢ bestimmen Form und Lage des Graphen. Das absolute Glied a₀ ist der y-Achsenabschnitt.
Für die Symmetrie gilt ein einfacher Test: Nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch, nur ungerade Exponenten → punktsymmetrisch, gemischt → keine Standardsymmetrie.
Faustregel: Ein Polynom n-ten Grades hat maximal n Nullstellen!
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Zusammenfassung: Die wichtigsten Formeln
Lineare Funktionen: f = mx + n mit Steigung m = Δy/Δx und y-Achsenabschnitt n. Punktsteigungsform: y = m + y₀ für bekannten Punkt und Steigung.
Quadratische Funktionen: f = ax² + bx + c mit Scheitelpunktsform f = a² + yₛ. Nullstellen über p-q-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √.
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Potenzfunktionen und Polynome im Überblick
Potenzfunktionen f = xⁿ zeigen Standardsymmetrie: Achsensymmetrie bei f = f, Punktsymmetrie bei f = -f.
Polynome haben die Form f = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₀. Ein Polynom n-ten Grades besitzt maximal n Nullstellen.
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