Grundlagen der Wurzelfunktionen

Wurzelfunktionen sind eigentlich ganz logisch: Sie drehen Potenzfunktionen einfach um. Wenn du wissen willst, welche Zahl zum Beispiel quadriert 25 ergibt, brauchst du die Wurzelfunktion.

Die allgemeine Form schreibst du als $f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$. Der Wurzelexponent n bestimmt dabei, ob du alle reellen Zahlen verwenden kannst oder nicht.

Bei geraden Wurzelexponenten (wie 2, 4, 6...) dürfen unter der Wurzel nur positive Zahlen stehen, weil negative Zahlen sonst nicht definiert sind. Deshalb ist hier $D = \mathbb{R}^+$ und $W = \mathbb{R}^+$.

Bei ungeraden Wurzelexponenten (wie 3, 5, 7...) kannst du alle reellen Zahlen verwenden: $D = \mathbb{R}$ und $W = \mathbb{R}$.

Merkregel: Je höher der Wurzelexponent, desto flacher wird deine Funktion!

Die allgemeine Wurzelfunktion $f(x) = a \cdot \sqrt[n]{x+b} + c$ funktioniert genauso wie andere Funktionen: Mit $|a| > 1$ streckst du sie (steiler), mit $0 < |a| < 1$ stauchst du sie (flacher). Ein negatives $a$ spiegelt an der x-Achse. Die Parameter $b$ und $c$ verschieben die Funktion – $c$ nach oben/unten, $b$ nach links/rechts.

Umkehrfunktionen und Wurzelregeln

Umkehrfunktionen entstehen, wenn du x und y einer Funktion vertauschst. Bei $x^2$ funktioniert das aber nicht direkt, weil jeder y-Wert zwei x-Werte hat (z.B. sowohl 3² = 9 als auch $-3$² = 9).

Deshalb schränkst du den Definitionsbereich ein: $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+, x \to x^2$. Jetzt hat jeder x-Wert genau einen y-Wert und du kannst die Umkehrfunktion bilden.

Aus $y = x^2$ wird durch Umformen $x = \sqrt{y}$, also ist die Umkehrfunktion $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$.

Wichtig: Beim Wurzelrechnen gelten besondere Regeln, die dir das Leben erleichtern!

Die wichtigsten Wurzelregeln sind: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ und $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (wobei $a,b \geq 0$ bzw. $b > 0$).

Mit dem Distributivgesetz kannst du Wurzeln addieren und subtrahieren: $a\sqrt{b} + c\sqrt{b} = (a+c)\sqrt{b}$. Wenn du eine Wurzel im Nenner hast, erweiterst du geschickt: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{b}$.