Gebrochen rationale Funktionen

Eine gebrochen rationale Funktion lässt sich als Quotient zweier Polynome darstellen: $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$. Dabei ist $p(x)$ der Zähler und $q(x)$ der Nenner. Ein Beispiel dafür ist $f(x) = \frac{2x+2}{x-2}$.

Bei diesen Funktionen gibt es Definitionslücken, die auftreten, wenn der Nenner gleich Null wird. An diesen Stellen ist die Funktion nicht definiert. Der Definitionsbereich solcher Funktionen ist daher $D_f = \mathbb{R} \setminus \{n\}$, wobei $n$ die Nullstellen des Nenners sind.

Wir unterscheiden zwei Arten von Definitionslücken:

1. Polstellen - Definitionslücken, bei denen die Funktionswerte gegen unendlich laufen
2. Hebbare Lücken - Definitionslücken, die durch Kürzen behoben werden können

💡 Merke: Bei einer Polstelle wird der Funktionswert unendlich, bei einer hebbaren Lücke (auch "Loch" genannt) kannst du den Funktionsterm kürzen!

Um Definitionslücken zu analysieren, folge diesen Schritten:

1. Ermittle die Nullstellen des Nenners ($q(x) = 0$)
2. Setze diese x-Werte in den Zähler ein oder vergleiche mit den Nullstellen des Zählers
3. Wenn Zähler ≠ 0: Polstelle; wenn Zähler = 0: hebbare Lücke

Bei Polstellen spielt der Grad des Nennerpolynoms eine wichtige Rolle:

• Bei ungeradem Nennergrad gibt es einen Vorzeichenwechsel
• Bei geradem Nennergrad bleibt das Vorzeichen erhalten

Die Nullstellen der Funktion findest du durch Nullsetzen des Zählerpolynoms: $p(x) = 0$. Aber Vorsicht: Wenn eine Nullstelle des Zählers gleichzeitig eine Nullstelle des Nenners ist, handelt es sich um eine hebbare Lücke.

Bei der Untersuchung waagerechter Asymptoten betrachten wir den Grenzwert der Funktion für $x → ∞$ und $x → -∞$, um das Verhalten der Funktion im Unendlichen zu verstehen.