Mathematik

Aufbau und Operationen von Polynomen

Polynomfunktionen

1.073

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30. Jan. 2026

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2 Seiten

Ganzrationale Funktionen: Beispiele und Formeln für 3. und 4. Grades

Sarah

@studyspaper

Ganzrationale Funktionen sind ein zentrales Thema in der Mathematik, das... Mehr anzeigen

# Ganzrationale Funktionen
Eine Ganzrationale Funktion enthält Potenzen mit der
Basis und Natürlichen Zahlen als Exponent(Hochzahl).
Die grö

Spezielle Eigenschaften und Verhalten Ganzrationaler Funktionen

In diesem Abschnitt werden die spezifischen Eigenschaften und das Verhalten ganzrationaler Funktionen höheren Grades detailliert betrachtet.

Funktionen 4. Grades haben die allgemeine Form: f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

Beispiel: Einige Beispiele für ganzrationale Funktionen 4. Grades sind:

f(x) = x⁴

g(x) = x⁴ - x²

h(x) = 2x⁴ + x³

Ganzrationale Funktionen werden in gerade und ungerade Funktionen unterteilt, da sich bestimmte Eigenschaften wiederholen:

Gerade Funktionen (Grad gerade, a positiv):
- Verlaufen von links oben nach rechts oben
- Für x → ∞: f(x) → ∞
- Für x → -∞: f(x) → ∞
Ungerade Funktionen (Grad ungerade, a positiv):
- Verlaufen von links unten nach rechts oben
- Für x → ∞: f(x) → ∞
- Für x → -∞: f(x) → -∞

Highlight: Der y-Achsenabschnitt einer ganzrationalen Funktion ist die Zahl ohne x in der Funktionsgleichung (e in der allgemeinen Form).

Wichtige Merkmale:

Alle Funktionen mit Grad > 1 haben keine einheitliche Form wie z.B. Parabeln.
Der Definitionsbereich ist immer ℝ.
Der Wertebereich umfasst alle reellen Zahlen.
Funktionen ungeraden Grades laufen immer durch den Ursprung $e = 0$ .

Vocabulary:

Definitionsbereich: Die Menge aller möglichen x-Werte einer Funktion.

Wertebereich: Die Menge aller möglichen y-Werte einer Funktion.

Diese detaillierten Eigenschaften helfen beim Erkennen und Bestimmen ganzrationaler Funktionen sowie beim Verständnis ihres Verhaltens in verschiedenen Situationen.

Grundlagen der Ganzrationalen Funktionen

Ganzrationale Funktionen sind ein fundamentales Konzept in der Algebra und Analysis. Sie zeichnen sich durch ihre spezifische Struktur und Eigenschaften aus.

Definition: Eine ganzrationale Funktion enthält Potenzen mit der Basis x und natürlichen Zahlen als Exponenten. Der höchste vorkommende Exponent bestimmt den Grad der Funktion.

Die Funktionen werden nach ihrem Grad klassifiziert:

Funktionen 1. Grades (Geraden): f(x) = mx + b
Funktionen 2. Grades (Parabeln): f(x) = ax² + bx + c
Funktionen 3. Grades: f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Funktionen 4. Grades: f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

Beispiel: Eine ganzrationale Funktion 3. Grades könnte so aussehen: f(x) = x³ oder g(x) = 1/2x³ - x²

Wichtige Eigenschaften ganzrationaler Funktionen sind:

Der Definitionsbereich ist nicht eingeschränkt $D = ℝ$ .
Alle y-Werte kommen vor $W = ℝ$ .
Der Verlauf wird durch den Koeffizienten a und den Grad bestimmt.
Bei positivem a verlaufen die Funktionen von links oben nach rechts oben, bei negativem a umgekehrt.

Highlight: Der globale Verlauf einer ganzrationalen Funktion wird durch die Kombination von a und dem Grad der Funktion bestimmt.

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