Ganzrationale Funktionen: Beispiele und Formeln für 3. und 4. Grades

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Sarah

30.1.2021

Mathe

Ganzrationale Funktionen

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Rationale funktionen

Ganzrationale Funktionen: Beispiele und Formeln für 3. und 4. Grades

Ganzrationale Funktionen sind ein zentrales Thema in der Mathematik, das verschiedene Arten von Funktionen umfasst. Diese Funktionen zeichnen sich durch ihre spezifischen Eigenschaften und Verhaltensweisen aus, die je nach Grad und Koeffizienten variieren.

Ganzrationale Funktionen sind durch Potenzen mit natürlichen Zahlen als Exponenten gekennzeichnet.
Der höchste Exponent bestimmt den Grad der Funktion.
Es gibt verschiedene Typen: Funktionen 1., 2., 3. und 4. Grades mit jeweils charakteristischen Formeln und Eigenschaften.
Die Funktionen unterscheiden sich in ihrem Verlauf, Achsenabschnitten und Verhalten bei großen x-Werten.

30.1.2021

Ganzrationale Funktionen
Eine Ganzrationale Funktion enthält Potenzen mit der
Basis und Natürlichen Zahlen als Exponen+ (Hochzahl).
Die größ

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Spezielle Eigenschaften und Verhalten Ganzrationaler Funktionen

In diesem Abschnitt werden die spezifischen Eigenschaften und das Verhalten ganzrationaler Funktionen höheren Grades detailliert betrachtet.

Funktionen 4. Grades haben die allgemeine Form: f $x$ = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

Beispiel: Einige Beispiele für ganzrationale Funktionen 4. Grades sind:

f $x$ = x⁴

g $x$ = x⁴ - x²

h $x$ = 2x⁴ + x³

Ganzrationale Funktionen werden in gerade und ungerade Funktionen unterteilt, da sich bestimmte Eigenschaften wiederholen:

Gerade Funktionen $Grad gerade, a positiv$ : Verlaufen von links oben nach rechts oben Für x → ∞: f $x$ → ∞ Für x → -∞: f $x$ → ∞
Ungerade Funktionen $Grad ungerade, a positiv$ : Verlaufen von links unten nach rechts oben Für x → ∞: f $x$ → ∞ Für x → -∞: f $x$ → -∞

Highlight: Der y-Achsenabschnitt einer ganzrationalen Funktion ist die Zahl ohne x in der Funktionsgleichung $e in der allgemeinen Form$ .

Wichtige Merkmale:

Alle Funktionen mit Grad > 1 haben keine einheitliche Form wie z.B. Parabeln.
Der Definitionsbereich ist immer ℝ.
Der Wertebereich umfasst alle reellen Zahlen.
Funktionen ungeraden Grades laufen immer durch den Ursprung $e = 0$ .

Vocabulary:

Definitionsbereich: Die Menge aller möglichen x-Werte einer Funktion.

Wertebereich: Die Menge aller möglichen y-Werte einer Funktion.

Diese detaillierten Eigenschaften helfen beim Erkennen und Bestimmen ganzrationaler Funktionen sowie beim Verständnis ihres Verhaltens in verschiedenen Situationen.

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Sarah

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Funktionen 4. Grades haben die allgemeine Form: f $x$ = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

Beispiel: Einige Beispiele für ganzrationale Funktionen 4. Grades sind:

f $x$ = x⁴

g $x$ = x⁴ - x²

h $x$ = 2x⁴ + x³

Ganzrationale Funktionen werden in gerade und ungerade Funktionen unterteilt, da sich bestimmte Eigenschaften wiederholen:

Gerade Funktionen $Grad gerade, a positiv$ : Verlaufen von links oben nach rechts oben Für x → ∞: f $x$ → ∞ Für x → -∞: f $x$ → ∞
Ungerade Funktionen $Grad ungerade, a positiv$ : Verlaufen von links unten nach rechts oben Für x → ∞: f $x$ → ∞ Für x → -∞: f $x$ → -∞

Highlight: Der y-Achsenabschnitt einer ganzrationalen Funktion ist die Zahl ohne x in der Funktionsgleichung $e in der allgemeinen Form$ .

Wichtige Merkmale:

Alle Funktionen mit Grad > 1 haben keine einheitliche Form wie z.B. Parabeln.
Der Definitionsbereich ist immer ℝ.
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Vocabulary:

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Grundlagen der Ganzrationalen Funktionen

Ganzrationale Funktionen sind ein fundamentales Konzept in der Algebra und Analysis. Sie zeichnen sich durch ihre spezifische Struktur und Eigenschaften aus.

Definition: Eine ganzrationale Funktion enthält Potenzen mit der Basis x und natürlichen Zahlen als Exponenten. Der höchste vorkommende Exponent bestimmt den Grad der Funktion.

Die Funktionen werden nach ihrem Grad klassifiziert:

Funktionen 1. Grades $Geraden$ : f $x$ = mx + b
Funktionen 2. Grades $Parabeln$ : f $x$ = ax² + bx + c
Funktionen 3. Grades: f $x$ = ax³ + bx² + cx + d
Funktionen 4. Grades: f $x$ = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

Beispiel: Eine ganzrationale Funktion 3. Grades könnte so aussehen: f $x$ = x³ oder g $x$ = 1/2x³ - x²

Wichtige Eigenschaften ganzrationaler Funktionen sind:

Der Definitionsbereich ist nicht eingeschränkt $D = ℝ$ .
Alle y-Werte kommen vor $W = ℝ$ .
Der Verlauf wird durch den Koeffizienten a und den Grad bestimmt.
Bei positivem a verlaufen die Funktionen von links oben nach rechts oben, bei negativem a umgekehrt.

Highlight: Der globale Verlauf einer ganzrationalen Funktion wird durch die Kombination von a und dem Grad der Funktion bestimmt.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Marcus B

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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