Spezielle Eigenschaften und Verhalten Ganzrationaler Funktionen

In diesem Abschnitt werden die spezifischen Eigenschaften und das Verhalten ganzrationaler Funktionen höheren Grades detailliert betrachtet.

Funktionen 4. Grades haben die allgemeine Form: f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

Beispiel: Einige Beispiele für ganzrationale Funktionen 4. Grades sind:

• f(x) = x⁴
• g(x) = x⁴ - x²
• h(x) = 2x⁴ + x³

Ganzrationale Funktionen werden in gerade und ungerade Funktionen unterteilt, da sich bestimmte Eigenschaften wiederholen:

1. Gerade Funktionen (Grad gerade, a positiv):

   • Verlaufen von links oben nach rechts oben
   • Für x → ∞: f(x) → ∞
   • Für x → -∞: f(x) → ∞

2. Ungerade Funktionen (Grad ungerade, a positiv):

   • Verlaufen von links unten nach rechts oben
   • Für x → ∞: f(x) → ∞
   • Für x → -∞: f(x) → -∞

Highlight: Der y-Achsenabschnitt einer ganzrationalen Funktion ist die Zahl ohne x in der Funktionsgleichung (e in der allgemeinen Form).

Wichtige Merkmale:

• Alle Funktionen mit Grad > 1 haben keine einheitliche Form wie z.B. Parabeln.
• Der Definitionsbereich ist immer ℝ.
• Der Wertebereich umfasst alle reellen Zahlen.
• Funktionen ungeraden Grades laufen immer durch den Ursprung (e = 0).

Vocabulary:

• Definitionsbereich: Die Menge aller möglichen x-Werte einer Funktion.
• Wertebereich: Die Menge aller möglichen y-Werte einer Funktion.

Diese detaillierten Eigenschaften helfen beim Erkennen und Bestimmen ganzrationaler Funktionen sowie beim Verständnis ihres Verhaltens in verschiedenen Situationen.