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Ganzrationale Funktionen: Beispiele und Formeln für 3. und 4. Grades

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Sarah

30.1.2021

Mathe

Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen: Beispiele und Formeln für 3. und 4. Grades

Ganzrationale Funktionen sind ein zentrales Thema in der Mathematik, das verschiedene Arten von Funktionen umfasst. Diese Funktionen zeichnen sich durch ihre spezifischen Eigenschaften und Verhaltensweisen aus, die je nach Grad und Koeffizienten variieren.

  • Ganzrationale Funktionen sind durch Potenzen mit natürlichen Zahlen als Exponenten gekennzeichnet.
  • Der höchste Exponent bestimmt den Grad der Funktion.
  • Es gibt verschiedene Typen: Funktionen 1., 2., 3. und 4. Grades mit jeweils charakteristischen Formeln und Eigenschaften.
  • Die Funktionen unterscheiden sich in ihrem Verlauf, Achsenabschnitten und Verhalten bei großen x-Werten.
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30.1.2021

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Ganzrationale Funktionen
Eine Ganzrationale Funktion enthält Potenzen mit der
Basis und Natürlichen Zahlen als Exponen+ (Hochzahl).
Die größ

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Spezielle Eigenschaften und Verhalten Ganzrationaler Funktionen

In diesem Abschnitt werden die spezifischen Eigenschaften und das Verhalten ganzrationaler Funktionen höheren Grades detailliert betrachtet.

Funktionen 4. Grades haben die allgemeine Form: fxx = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

Beispiel: Einige Beispiele für ganzrationale Funktionen 4. Grades sind:

  • fxx = x⁴
  • gxx = x⁴ - x²
  • hxx = 2x⁴ + x³

Ganzrationale Funktionen werden in gerade und ungerade Funktionen unterteilt, da sich bestimmte Eigenschaften wiederholen:

  1. Gerade Funktionen Gradgerade,apositivGrad gerade, a positiv: Verlaufen von links oben nach rechts oben Für x → ∞: fxx → ∞ Für x → -∞: fxx → ∞
  2. Ungerade Funktionen Gradungerade,apositivGrad ungerade, a positiv: Verlaufen von links unten nach rechts oben Für x → ∞: fxx → ∞ Für x → -∞: fxx → -∞

Highlight: Der y-Achsenabschnitt einer ganzrationalen Funktion ist die Zahl ohne x in der Funktionsgleichung einderallgemeinenForme in der allgemeinen Form.

Wichtige Merkmale:

  • Alle Funktionen mit Grad > 1 haben keine einheitliche Form wie z.B. Parabeln.
  • Der Definitionsbereich ist immer ℝ.
  • Der Wertebereich umfasst alle reellen Zahlen.
  • Funktionen ungeraden Grades laufen immer durch den Ursprung e=0e = 0.

Vocabulary:

  • Definitionsbereich: Die Menge aller möglichen x-Werte einer Funktion.
  • Wertebereich: Die Menge aller möglichen y-Werte einer Funktion.

Diese detaillierten Eigenschaften helfen beim Erkennen und Bestimmen ganzrationaler Funktionen sowie beim Verständnis ihres Verhaltens in verschiedenen Situationen.

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30. Jan. 2021

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Ganzrationale Funktionen sind ein zentrales Thema in der Mathematik, das verschiedene Arten von Funktionen umfasst. Diese Funktionen zeichnen sich durch ihre spezifischen Eigenschaften und Verhaltensweisen aus, die je nach Grad und Koeffizienten variieren.

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In diesem Abschnitt werden die spezifischen Eigenschaften und das Verhalten ganzrationaler Funktionen höheren Grades detailliert betrachtet.

Funktionen 4. Grades haben die allgemeine Form: fxx = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

Beispiel: Einige Beispiele für ganzrationale Funktionen 4. Grades sind:

  • fxx = x⁴
  • gxx = x⁴ - x²
  • hxx = 2x⁴ + x³

Ganzrationale Funktionen werden in gerade und ungerade Funktionen unterteilt, da sich bestimmte Eigenschaften wiederholen:

  1. Gerade Funktionen Gradgerade,apositivGrad gerade, a positiv: Verlaufen von links oben nach rechts oben Für x → ∞: fxx → ∞ Für x → -∞: fxx → ∞
  2. Ungerade Funktionen Gradungerade,apositivGrad ungerade, a positiv: Verlaufen von links unten nach rechts oben Für x → ∞: fxx → ∞ Für x → -∞: fxx → -∞

Highlight: Der y-Achsenabschnitt einer ganzrationalen Funktion ist die Zahl ohne x in der Funktionsgleichung einderallgemeinenForme in der allgemeinen Form.

Wichtige Merkmale:

  • Alle Funktionen mit Grad > 1 haben keine einheitliche Form wie z.B. Parabeln.
  • Der Definitionsbereich ist immer ℝ.
  • Der Wertebereich umfasst alle reellen Zahlen.
  • Funktionen ungeraden Grades laufen immer durch den Ursprung e=0e = 0.

Vocabulary:

  • Definitionsbereich: Die Menge aller möglichen x-Werte einer Funktion.
  • Wertebereich: Die Menge aller möglichen y-Werte einer Funktion.

Diese detaillierten Eigenschaften helfen beim Erkennen und Bestimmen ganzrationaler Funktionen sowie beim Verständnis ihres Verhaltens in verschiedenen Situationen.

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Grundlagen der Ganzrationalen Funktionen

Ganzrationale Funktionen sind ein fundamentales Konzept in der Algebra und Analysis. Sie zeichnen sich durch ihre spezifische Struktur und Eigenschaften aus.

Definition: Eine ganzrationale Funktion enthält Potenzen mit der Basis x und natürlichen Zahlen als Exponenten. Der höchste vorkommende Exponent bestimmt den Grad der Funktion.

Die Funktionen werden nach ihrem Grad klassifiziert:

  1. Funktionen 1. Grades GeradenGeraden: fxx = mx + b
  2. Funktionen 2. Grades ParabelnParabeln: fxx = ax² + bx + c
  3. Funktionen 3. Grades: fxx = ax³ + bx² + cx + d
  4. Funktionen 4. Grades: fxx = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

Beispiel: Eine ganzrationale Funktion 3. Grades könnte so aussehen: fxx = x³ oder gxx = 1/2x³ - x²

Wichtige Eigenschaften ganzrationaler Funktionen sind:

  • Der Definitionsbereich ist nicht eingeschränkt D=RD = ℝ.
  • Alle y-Werte kommen vor W=RW = ℝ.
  • Der Verlauf wird durch den Koeffizienten a und den Grad bestimmt.
  • Bei positivem a verlaufen die Funktionen von links oben nach rechts oben, bei negativem a umgekehrt.

Highlight: Der globale Verlauf einer ganzrationalen Funktion wird durch die Kombination von a und dem Grad der Funktion bestimmt.

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Hans T

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