Abi Lernzettel Analysis Vektoren Stochastik

Alternativer Bildtext:

quadratische Pyramide C a. ha +2. 2 + a. ha 2. JTr Oberfläche: 0 JT. r. (r+s) Volumen: V= 3.π.1².h T. Kugel Oberfläche: 0 a² + 4. a ha 0 = a ² + 2. a. ha Volumen: V = 1/3.a².h 0 = 2.ST.r² + 2. ST.r.h 0= 2.ST. (r +h) V = ST. r².h b. hb Mantel b.hb 2 Oberfläche: 0 4. ST. ² Volumen: V=/ST³ Verhalten der Funktion bei ∞ und LEITKOEFFIZIENT positiv P(-1/1) negativ gerade Bsp.: 2x4 für x ∞ x → für `lim f(x) = x →-00 lim f(x) = Bsp.: Punkt symmetrie f(x) = 3x³ + x₁ lim f(x) = x → 00 P(1/1) lim f(x) x-00 X rechnerische Überprüfung : f(x)=x²-x² - 1 = - 2x4; Achsensymmetrie 10 x 8 i gilt f(x) → DO ∞ 00 Symmetrie Achsensymmetrie zur y-Achse > Graph auf der linken Seite der y-Achse ist Spiegelbild der rechten Seite Achsensymmetrie f(x) = 2x² + x4 + 2x² + 2x gilt f(x) 00 - DO 00 - 10 x 8 f(-x) = f(x) alle Exponenten im Term sind gerade f(-x) = (-x)" - (-x)² - 1 = x² - x² = 1 = f(x) - ∞ EXPONENT ungerade P(-11-11x Bsp.: 2x³ lim f (x) lim f(x) X-80 Bsp.: lim f(x) = x → 00 lim f(x) = X-00 - 2x³ i P(1/1) Y x^ 00 Punkt symmetrie - 00 -1 = -1 x⁰ = - 00 Punktsymmetrie zum Ursprung > Spiegelung am Symmetriepunkt 10 x 7 I - 10 x 7 rechnerische Überprüfung : f(x)= 7x² + 2x² - 4x f(-x) = -7.(-x)5+ 2. (-x) ³ - 4. (-x) 7x52x³ + 4x f(x) = -f(x) -f(x) = -(-7x² + 2x³-4x) 7x52x³ + 4x alle Exponenten sind ungerade کہ ungerade 4 gerade # f(x) = f(x) (Exponent) Nullstellen bestimmen Ablesen Wenn der Funktionsterm als Produkt dargestellt ist, arbeitet man mit dem SvNP Beispiel: Beispiel: PQ-Formel Beispiel: 0 = -0.5. Beispiel -0.5 (x-3) (x-11² 0=(x-3) X1 = 3 Ausklammern Wenn alle Summanden des Funktionsterms Variablen enthalten X₁ = 0 f(x) = x³ - 2x² f(x)= x². X₁,2 = 0 = x³ 2x² 0 = x²(x-2) 0 = x² = (x-3) - V 0 = x² 7x + 12 0 = 0 A = V ^ 7x + 0= x - 2 x₂ = 2 3,5 ± 0,5 X₁ = 3,5 0,5 = 3 71,2 = Z₁ = 3^ 12 f(x)= x47x² + 12 (-7) ± √ (²-2))² - 12 (x-1)² 0 = (x - 1)² x₂ = 1 Tausklammern | SvNP x47x² + 12 7² 77 + 12 · 62²) ± √ (²²¹) ² - 12 72 = 4 (x + 2) (x + 2) V ^ pq - Formel: A X₂= 3,5 0,5 = 4 0 = (x + 2) X3 = -2 1 pq - Formel; p= -7 X4,2 = Substitution und PQ-Formel: Wenn der Funktionsterm nur die Potenzen x² und x¹, x³ und x'(usw.) enthält. I Substitution: x² = 7 pq - Formel; P = -7 SVNP: Satz vom Nullprodukt > Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist q=12 2 = √(²) ² - | Resubstitution 7 = x 4 q = 12 Z₁ = 3 x² = 3 x = ± √3 ↓ x₁ = -√3²₁ x₂ = √3 q ^ ^ Z₂ = 4 v x² = 4√ v x = ±2 x3 = -2 ^ xy = 2 Satz des Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: a² + b² = C² Länge einer Seite berechnen: α = √ c²b² c.2 - α² b C = √α² Lineare Funktionen 1 = m. x + n Y₁ Y2 Y2 0 B(x₂/y₂) // g(x) ΔΥ A(x₁|y₁) X₁ AX X2 f(x) = ax + bxn-1 hochste Potenz HP X + neg. Steig. ê Steigung AY m= Ax WP VZW + cx n-2+ ولا - ya TP x2-x1 Zusammenhang von f, f' und f" höchste Anzahl Nullstellen HP f(x) = ax² + bx + c SP Quadratische Funktionen Polynome X X Polynom n-ten Gerades ↳n:= Grad eines Polynoms (höchste Potenz) f(x) f'(x) f" (x)| quadratische Funktion: höchstens 2 Nullstellen HP 62 + 0 NS neg. Vz TP T o ર + NS pos. vz SP + 0 0 Beispiel Geschwindigkeit: f(t) Entfernung f'(t) Geschwindigkeit / Änderung der Entfernung 1 f"(t) Beschleunigung / Änderung der Geschwindigkeit f"(t) Änderung der Beschleunigung Gleichungssysteme lösen Additionsverfahren 1. Gleichungen in eine einheitliche Form bringen 2. Eine der Gleichungen von der anderen addieren / subtrahieren (Gleichung kann zuvor mit einer Zahl multipliziert werden) 3. Gelöste Variable in Ursprungleichung einsetzen und nach der anderen Variable auflösen I II I I 2y = 5-x -2x 4 = - 3y x + 4y = 16 3x + 2y = 13 I x + 2y = 4 I x= 3-y m = - x + 2y = 5 -2x + 3y = 4 Einsetzungsverfahren 1. Eine Gleichung nach einer der Variablen umstellen 2. Umgestellte Gleichung in die andere Gleichung einsetzen und nach anderer Variable umstellen 3. Wert für Variable in Gleichung aus 1. einsetzen AY Ax Gleichsetzungsverfahren 1. Gleichungen nach der gleichen Variable umstellen 2. Gleichungen gleichsetzen, nach übriger Variable umstellen 3. Lösung in Ursprungsgleichung einsetzen und nach Variable auflösen 1-24 I nach x umstellen. x = 16 - 4y => IA Mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient durchschnittliche Steigung im Intervall > Sekante fibl-flal b-a f(x) >0 f'(x) < 07 z. B. f(x)= x² + x I [3.11] f(a) = f(3) = 3² + 3 = 12 f(b) = f(11) = 11² + 11 = 132 2.I + I x= 4-2y x = 3 y a-3 m= Monotonieverhalten b= 11 132-12 11-3 2. I II = 45 in I 2x + 4y = 10 - 2x + 3y = 4 74 = 14 y = 2 1:7 3. (16-4 y) + 2y = 13 y = 3,5 gleichsetzen: 4-2y = 3-y y = 1 in I x+ 2.25 x = 1 in I y = 3,5 in I.1 x= 16-4.3,5 x = 2 x= 3-1 x = 2 Momentane Änderungsrate und Ableitung Steigung an einer bestimmten Stelle 1. Ableitungsfunktion bestimmen 2. gefragten x-Wert in Ableitungsfunktion einsetzen z. B. > Tangente an x= 4 f(x) = 3x² + 2x² → f'(x) = 12x³ + 4x f'(4) = 12.4³+ 4+4 = 784 m streng monoton wachsend, f' oberhalb x - Achse f'(x) > 0 → f streng monoton wachsend streng monoton fallend, f' unterhalb der x-Achse f'(x) < 0 - f streng monoton fallend Ableitungsregeln Potenzregel f(x) = xn f'(x) = n. x^-^ Summenregel Produktregel Faktorregel f(x) = x² + xm f'(x) = n.xn-1 + f(x) = m.xn f'(x) = n.m xn-1 durch Multiplikation f(x)= u(x) · √(x) verbunden, beide x f'(x) = u²(x) · √(x) + u(x) · v²(x) Beispiel: f(x) = x² U = x2 u' = 2 x m. xm-1 Krümmung LK f'(x) = 2x e³x f'(x) V= e 3x v²= 3. e³x Wendepunkt (f"(x)=0) RK (Änderung (f(xo) Ixo Kettenregel + x² 3e³x [f'(xo) Xo Kettenregel f(x) = u(v(x)) f'(x)= u' (v(x)) X Beispiel: v (x) e V'(x) v (x) 2x². f(x)= e f'(x) = e² (v(x)) f(x)=3(ex -3x)² f'(x) = 6 (ex -3x) Krümmungsverhalten von Funktionen (2.Ableitung) 2x²-x Į Graph von fist linksgekrümmt Merke: Y Bezug zur Monotonie: f"(x) > 0 ↓ f' wächst streng monoton Y₁ v'(x) In (v(x)) f(x) = en (ex-1) f'(x) = (4x-1) U = ex v= 2x²-x u'= ex v² = 4x-1 ex ex - 1 U= 3x² v= ex-3x u²= 6x v²=e* -3 (ex-3) f"(x) < 0 ↓ V= ex - 1 v' = ex f' nimmt streng monoton ab ↓↓ Graph von fist rechtsgekrümmt f" (x) > 0 linksgekrümmt f"(x) < 0 rechts gekrümmt positiv negativ စ Rechnerische Bestimmung: - Nullstellen von f" bestimmen -x-Werte der NS in f" einsetzen und nach VZ schauen Notw. Bed. f"(x) = 0 f" (x) >/< 0 Extremstellen 1. Notwendige Bedingung: f'(x) = 0 - Nullstellen von f' bestimmen 2. Hinreichende Bedingung: f'(x) = 0 Nullstellen x in f"(x) f'(x) = 0 ^ f" (x) < 0 f'(x)=0 ^ " (x) > 0 3. y-Koordinate bestimmen - Randextrema überprüfen! a Wendetangente 1. Ansatz: y = m. x + n 2. m = f'(x) > wenn W(1/3) gegeben ist, dann ist m = f'(1) > x-Wert in Ableitung einsetzen 3. Punkt und m in die Gleichung einsetzen, um n zu bestimmen 4. Funktionsgleichung der Tangente angeben Maximaler Flächeninhalt Rechteck b Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen lokales Maximum HP neg. n lokales Minimum TP Ü HP/TP (x/f(x1) pos. 1. Was soll maximal oder minimal werden? Beschreiben der Zielgröße, die external werden soll, durch eine Formel. Diese kann mehrere Variablen enthalten. → Flacheninhalt soll maximal werden a.b HB (Hauptbedingung) A(a,b) = u ^f" (x) = 0 3. Bestimmen der Zielfunktion, die nur noch von einer Variable abhängt (welche Variable zweckmäßig ist, zeigt oft erst die Bearbeitung), Angeben des Definitionsbereichs der Zielfunktion. (NB in HB) A(a, 61 = a.b a= 8-b A (b) = (8-b) b = -6² + 86 → ZF (Zielfunktion) Beispiel mit Punkt P(u/v) f(x) = 6 x² + 4,5 - Y₁ Wie sind a und b zu wählen, damit der Flächeninhalt maximal wird? Umfang: 16m f(u) = -√² + 4,5 P(u/v) h P(u/f(u)) Wendestellen Wendestelle Graph von f geht geht von LK in RK über (oder umgekehrt) HB A = 1/2 a.h 1. Notwendige Bedingung: f" (x) = 0 Nullstellen von f" bestimmen 2. Hinreichende Bedingung: {"(x)=0 A f" (x) # 0 → Nullstellen f"(x)=0 f"" (x) < 0 f"(x)=0 f (x) > 0 f"(x)= 0 ^ f (x) = 0, wenn VZW, dann 3.y-Koordinate A = 1/2 LK zu RK neg. RK zu LK pos. dann VZW überprüfen Wendestelle · u. f(u) = 2. Nebenbedingung? Aufsuchen von Nebenbedingungen, die Abhängigkeiten zwischen den Variablen enthalten. Umfang gegeben, Formel: U= 2a + 26 ↳NB: 2a + 2b = 16 α = 8-b 4. Extremwerte und gesuchte Werte ermitteln: Untersuchen der Zielfunktion auf Extremwerte, Beachtung der Ränder des D, Formulieren des Ergebnisses. Extremstellen bestimmen, Max für b=4₁ a=4 => A maximal für α= 4 m und b= 4m (16m²) NB A(u) = 1/2 u. f(u) Extremwerte ermitteln. Ergebnis: Max für u. 3 (NS) und v= 4,5 P(3/4,5) : 34,5 6,75 NB in HBu(-1/u²+4,5) ZF Alul = -2u³+2,25u Ganzrationale Funktionen bestimmen - Steckbriefaufgaben 1. Ansatz zur Bestimmung einer ganzrationalen Funktion (>Grad der Funktion) 2. Grades: f(x) = ax² + bx + c f'(x) = 2ax + b 3. Grades : f"(x) = 2a S(112) - 0 (0/0) 2. Bedingungen aus gegebenen Informationen ermitteln (Anzahl der Unbekannten = Anzahl der notwendigen Bedingungen) Bsp. Informationen: 2. Grad, S(112). 0(0/0) Scheitelpunkt: m an der Stelle 1 ist 0 f(1) = 2 f(0) = 0 I 2 = a + b II 0= 20 + b 3. Aufstellen eines LGS zur Berechnung der Parameter (mit z. B. Additionsverfahren lösen) 0= a. 0² b⋅ 0 + c ⇒0=C f(0) = 0 f(1) = 2 b 1 2 = 2 a. 12 + d + b f'(1) = 0 Bedingungen I - I - 2 = a geht durch den Punkt P(2/7) schneidet die y-Achse bei 5 schneidet die x-Achse bei 3 f(x) = ax³ + bx² + cx + d f'(x)= 3ax² + 2bx + c f"(x) = bax + 2b a in I für b 2 = (-2) + b f(x)= ³x³ f'(x) = // x ² 13 x f" (x) = f(2)=7 f(01= 5 f(3) = 0 f(0) = 0 1/2 x 4 = b Merke: HP und TP müssen am Ende überprüft werden, um herauszufinden, ob es eine Funktion mit den genannten Eigenschaften gibt Bsp.: gewonnene Funktion: (angegeben war : H(-112) + 0,5 Merke: bei Punktsymmetrie: alle Parameter mit geradem Exponenten streichen bei Achsensymmetrie: alle Parameter mit ungeradem Exponenten streichen f'(4) = 0 f'(1) = 0 f(2)=0 f'(2)=0 f" (1) = 0 f' (1) = 0 Prüfe auf Hochpunkt: f" (-1) < 0 geht durch den Ursprung hat an der Stelle x=4 einen Extrempunkt hat im Punkt T/H einen TP/H f(1) = 3 berührt die x-Achse an der Stelle x=2 hat an der Stelle x=1 einen Wendepunkt hat einen Wendepunkt auf der y-Achse f" (0)= 0 hat im Punkt P(2/4) einen Sattelpunkt f(2)=4 f'(2) = 0 hat an der Stelle x=3 eine Tangente mit der Steigung 8 f(3) = 8 hat bei x=4 eine Wendestelle, ihre Wendetangente hat die Steigung 4 f'(2)=0 Funktion: f" (21= 0 USW. f'(2) = 4 0 0 = 2a + b 2. α1 + b f(x)=2x² + 4x ax 5 + + cx³ + x² + ex + f + bx³ + x² + dx + e => HP Funktionen mit Parametern - Funktionenschar Enthält ein Funktionsterm außer der Variablen x noch einen Parameter a, so gehört zu jedem a eine Funktion fa, die jedem x den Funktionswert fa(x) zuordnet. Die Funktionen få bilden eine Funktionenschar. Funktionenscharen untersuchen Die Koordinaten der charakteristischen Punkte des Graphen einer Funktionenschar hängen häufig von dem Parameter ab. Für die Berechnung der Punkte werden die Parameter der Funktion wie eine Zahl behandelt. Aufzeigen, dass alle durch den selben Punkt verlaufen Bsp.: fa(x)=x²-2ax + 8a - 16 5(410) Extrempunkte fa(x)= x² + ax + 4 fa'(x) = 2x + a fa" (x) = 2 1. x-Wert des gegebenen Punktes in Funktionenschar einsetzen fa(4)= (41²-2. a 4 + 8 a 16 = 0 2. interpretieren: wenn f (x) = y-Wert des gegebenen Punktes ist, dann laufen alle durch den Punkt bestimmen Vorgehen wie bei normaler Extrempunktbestimmung ohne weiteren Parameter Notw. Bed.: f'(x)=0 Hinr. Bed. fa'(x)=0 ^ fa" (x) # 0 fan (-E) - 20 TP fa(x) = ax³ - 3 ax fa'(x) = 3ax2 - за Für welchen Wert von a liegt der Extrempunkt auf der x-Achse? 0= -4 +4 → α= 4 V a = - 4 Für α = -4 0= 2x + a - 12/12 = x Ableitung und Steigung an einer Stelle 1. Ableiten 2. Steigung an der Stelle x=0 fa' (0)= 3a-0² - 30 = - 3a Schnittpunkt mit der x-Achse 1. Nullstellenbestimmung: fa (x) = 0 T3 oder α= 4 X y-Wert des Extrempunktes = 0 setzen, nach a auflösen liegt der Extrempunkt auf der X-Achse Für welchen Wert von a liegt der Extrempunkt auf der y-Achse? Bsp H ( 232 / 94² - 6a + 4) . g (x) = - ૐ xº 3. Für welchen Wert von a die Steigung 1? f(0) = 1 - 30 = 1 슬 2.y-Wert: * in fa (x) Beispiel: Für die Tiefpunkte der Graphen von f mit fa(x) = 3²x³²-x² (mit a > 0) gilt T (2α/ - 1/1/a²). X g(x) Ул |f₁|f₂| f3 Ortskurve Durchläuft der Parameter a alle zugelassen Werte, so liegen alle Tiefpunkte (oder andere charakteristischen Punkte) auf einer Kurve. Diese Kurve heißt Ortskurve oder Ortslinie 1. x-Wert des Extrempunktes = 0 setzen, nach Parameter a auflösen 0-3 → a= 0 y-Wert: a² fa (-1/2) = - 4 + 4 →→TP (-//-+4) 1. x-Koordinate des TP nach Parameter umformen x = 20 즐 a = 2. Einsetzen des Terms in y-Koordinate des TP 놀이 - ya in - y = - (3) ² a² - 3x² Antwort: Alle Tiefpunkte liegen auf dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x² Rekonstruieren einer Größe Wenn die Funktion f die Änderung einer Größe (z. B. in Abhängigkeit von der Zeit oder dem Ort) in einem Intervall [a; b] beschreibt, lässt sich die orientierte Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse als Gesamtänderung der Größe zwischen a und b deuten. Ober- und Untersumme Obersumme Y ↑ = 2553 2. 1 Obersumme: hintere Intervallgrenze, vordere nicht 0₁1/12 (²2) ³+1/12 (1)³ + 1/2 · (2²/1 ) ³ + 1/12-23 = 6,25 1 2 f(x) dx 2 = 1/11/2 1. Intervallgrenze (hier 2): Anzahl der gefragten Teile (hier 4) = Abstand (hier 1/2) 2. Berechnung: Abstand Rechtecke (hier 1/2) x Stellen in f(x) eingesetzt (für alle addieren) 2 Orientierter Flächeninhalt > wird dann negativ gezählt, wenn er unterhalb der x-Achse liegt 1. Nullstellen bestimmen: f(x) = 0 27 [FE] 32 FE Beispiel: Ou und U₂ von f(x) = x³ Untersumme у т ↓ - exakter Wert liegt zwischen Ober- und Untersumme - je mehr Rechtecke (Os, On....), desto genauer ist das Ergebnis -2 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung [{(x) dx = [F(x)] = F(6) - F(a) α 42/₁ Orientierten und absoluten Flächeninhalt berechnen = 5 FE Integral 1 X b 3 2 Untersumme: vordere Intervallgrenze, hintere nicht U₁=1/12 (0)³ + 1/2 ( 12 ) ³ + 1/2 · (₁) ³ + 1/2 ·. (1) ² ²- 2,25 Absoluter Flächeninhalt 12 x (x + 2) (x-1) - f(x) dx = im I [02] 2 2 f(x)= 12x (x + 2) - (x-1) 12x 3 + 12x² - 24 x (SVNP) x₁ = 0 x₂ = -2 x3 = 1 A₁ + A₂ = | [ f(x) dx | + | $t(x) dx | = | 32 | +1-51 • 37 [FE] Stammfunktionen F(x) = a. f(x) = axn f'(x) = a・n・ xn-1 √ f(x) = √√√x² = 1 n+1 - X f(x) = √√xm² = = X Ju (x) = m n 2. Differenzfunktion d(x) bilden d(x) = g(x) = f(x) d(x) = 2x² + 4x am Beispiel von f(x) = x² und g(x)= x² + 4x xn+1 f(t) dt Integralfunktionen F(x) = F'(x) = f(x) F(x)= = ->> Integralfunktion f zur unteren Grenze u J'u(x) = f(x) jede Integralfunktion Ju ist eine Stammfunktion von f X 1/2+1 1 x Potenzregeln A a^ b^= (a. b)^ an = X 3. davon die Stammfunktion D(x)=x²+2x² Integral und Flächeninhalt - Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen = α ²/33 f(x) = 25-3/6=2x² + 7x² X n-m x} Wenn das Ergebnis negativ ist, hat man die Größen vertauscht und schreibt das Ergebnis in der Antwort einfach ohne Minus an= (-)" antamanam =x²³-³ f(x)=x² = X 1. Schnittstellen berechnen f(x) = g(x) -x² + 4x = x² → × ₁ = 0 ^ x₂ = 2 4. Integral berechnen (Grenzen sind Schnittstellen) } (-2x² + 4x) dx = [- ² × ³ +2ײ]] =/ Unbegrenzte Flächen - Uneigentliche Integrale 2. Grenzwert überprüfen lim = A(Z1 = 2-22-2 = 2 je größer z, desto kleiner 2.-00 1. Integral mit z für fehlende Grenze berechnen Bsp.: A(z)= (-4x-³) dx = [2x²] - (2-(-11-2)-(2.7²) = 2-27² Zahl z bestimmen zur Gleichung 18 = 0, 5 22 Aufgabe: Bestimmen Sie die positive Zahl z, sodass die Gleichung erfüllt ist + 6 = z 3x dx - 18- [osxz7% • (0,5.a?) - (0,5 - 02) - 18 → 7=6 Integral und Rauminhalt - Rotationskörper Gegeben ist eine Funktion f auf dem Intervall [a; b]. Rotiert die Fläche unter dem Graphen von f über [a; b] um die x- Achse, so entsteht ein Rotationskörper / Drehkörper. f(x) dx -00 lim A(z)= (-6. √7)+ +6₂- 7 → 00 [ f(x) dx f= Mittelwert 1 b-a f(x) dx Sein Volumen beträgt: V= πT √(f(x1) ² dx Exponentialfunktionen Während bei ganzrationalen Funktionen die Variable x immer als Basis auftritt, steht die Variable x bei Exponentialfunktionen im Exponenten. z. B. f(x) = 2.3* Exponentialfunktionen spielen bei der Beschreibung von Wachstumsprozessen eine wichtige Rolle. Exponentielle Zunahme und exponentielle Abnahme Wenn sich bei einem Wachstumsvorgang ein Bestand in gleichen Zeitspannen immer um denselben Faktor a ändert, liegt exponentielles Wachstum vor. Exponentielle Zunahme (a>1) > streng monoton steigende Funktion Eine Bakterienkultur mit anfangs 50 Mio. Bakterien wächst stündlich um 80% Wachstumsfaktor a = 1 + p α = 100%. + 80% = 180% = 1,8 Anfangsbestand f(0) = 50 f(x) = 50 1,8* -1 x (in h) f(x) in Mio = 28 gleiche Faktoren Y f(x) = 400 200 c. a 0 50 -1.8-1 X 1 1 2 61 90 162 ·1,8 gleiche Summanden ·1,87 -1.8 f(x)= 50-1,8* Exponentielle Abnahme (0<a<1) > streng monoton abnehmende Funktion Wachstumsfaktor bestimmen zwei Bestände kennen P(0/50) Q(3/10,8) Eigenschaften der Exponentialfunktion - keine Nullstellen, verläuft oberhalb der x-Achse Graph durch Punkt (0/c) - für sehr große x-Werte (a<1) oder sehr kleine (a>1) nähern sich die Funktionswerte der x-Achse an (asymptotisch) -1 Eine Bakterienkultur mit anfangs 50 Mio. Bakterien verringert sich stündlich um 40% Wachstumsfaktor a = 1 - p a= 100% - 40% = 60% Anfangsbestand g(0) = 50 g(x) = 50 0,6* x (in h) f(x) in Mio -1 40 20 - 1 c Anfangsbestand a Wachstumsfaktor 83 50. a³ = 10,8 0 50 42 2 0,6 -0,6 f(x) = 50 0,6* a= 0,6 1 30 X f(x) = 50 0.6* Modellfunktion aufstellen e P₁ (011, 82-10⁹) P₂ (1/1,875-10²) k.x2 m(x) = y₁ 1. Wachstumsfaktor bestimmen 2. Punkte in y. = y₂ einsetzen (1.82-109) ek 1 = (1,875-10⁹) CAS: k 0,0298 3. nach k auflösen 4. einsetzen in Ansatz 2 18 m(x) = 1.82.109. 0,0298. Logarithmus Die Lösung einer Exponentialgleichung ax=b (a, b > 0) bezeichnet man als loga (b) (sprich: Logarithmus von b zur Basis a). Der log (b) ist diejenige Zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten. ax = b loga (b) = x Bedingungen 1. a>0 logo (8) = x 0* 8 > keine Lösung, weil 0* + 0 1 x gesucht bisher: F(x)= + x^ ↑ f(x) = ax 2.a #1 log₁1 (4) = 0 1° 4 Ableiten von e > keine Lösung, weil 1*= 1 f(x) ex 2ex 10+ 3 ex e 2x f'(x)=n·a·x"- Wichtig ln (1) = 0 z. B. f'(x) ex 2 ex 3ex 2. e2x x² 20. e' 3x². 20x³ 2x+e-4x² 10x² + e 4x2 3.b>0 log 4 (- 12) = x 4x = -12 > keine Lösung, weil eine positive Potenz nichts negatives ergeben kann Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung Für die Ableitung von Exponentialfunktionen vom Typ f(x) = a*(a>0) gilt: f'(x) = f'(0) . a .Es gibt eine Basis e * 2,71828, für die die Exponentialfunktion mit f(x) = ex exakt mit ihrer Ableitungsfunktion übereinstimmt. Diese Zahl e heißt Euler'sche Zahl. Die zugehörige Exponentialfunktion f mit f(x) = ex heißt natürliche Exponentialfunktion. Für f(x) = ex gilt f'(x) = ex. Außerdem ist F mit F(x) = ex eine Stammfunktion von f. -4x² 2+(-12x²) e 20x + 8x4x² Natürlicher Logarithmus - Ableiten und Aufleiten von 3x = 9 Exponentialfunktionen Für eine positive Zahl b heißt die Lösung x der Exponentialfunktion ex=b der natürliche Logarithmus von b. Man schreibt x = ln (b). Es gilt een (b) = b und ln (eº) = c. F(x) = n(a) f(x) = ax = f'(x) = ln (α). e f(x) ex 2ex e 3x 2x+3e0 10x een (a) x e en (e) = 1 / In (2,8) = 1 Pn (α). x een (a).x Stammfunktion mit e log 3 (9) = F(x) ex 2 ex 3.³x x² + 1/3 e 10x = Logarithmusgesetze loga (6.b) = loga (b) + loga (b) loga ( )= loga (u) = loga (Vu) = = 2 In (a) en (a) (CAS) loge (1) = ln (1) = 0 = x loga (u) - loga (v) loga (u) · loga (u) a V. X Graph In(x) = F(x) = ↑ Beispiele f(x) = 0,25 * f'(x) = ln (0,25) 0, 25 x F'(x) = en (0,25) 0,25 x f(x) = ekx ↓ f'(x) = k· ekx 1ekx N (1/0) In (0,25). X e f(x) = 8* f'(x) = ln (8) F(x) = n(81 8 x Beschränktes Wachstum Funktionsdarstellung: f(x) = Sc. a* = S - ekx bzw. k < 0) (0 < a < 1 Es gilt: c= S-f(0) Beschränktes Wachstum mit der Schranke S liegt vor, wenn die Differenzen zwischen einer Schranke S und dem Bestand zum Zeitpunkt t exponentiell abnehmen. 2 Logarithmusfunktion und Umkehrfunktion Y 4 Spiegelung 3. 2. 1 0 -1- -2- 1 f(x) = ex Y A(1/e) 2 f(x) = ex X F(x) = ln (x) A(e/1) an der y-Achse f(x) = e-x x-Achse: f(x) = - ex an der 3 y = x 4 mit k= (n(a) X Verschiebung Für die Definitionsmenge D und die Wertemenge W der natürlichen Logarithmusfunktion gilt: f(x) = ex Y Ein Bestand beträgt anfangs 2, nach einem Zeitschritt 5 und wächst begrenzt gegen die Schranke S=10 Ansatz: f(x) = 10 Aus f(01=2 folgt c= 10-2=8 Aus f(1) = 5 folgt: 10-8ek = 5, also k ln (0,625) * -0,47 Funktionsdarstellung: F(x) = (n(x) f(x) = Eine Funktion f heißt umkehrbar, wenn es zu jedem y aus der Wertemenge von f genau ein x aus der Definitionsmenge von f mit f(x)=y gibt. Streckung/Stauchung, Spiegelung und Verschiebung Streckung / Stauchung Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion f mit f(x) = e* heißt natürliche Logarithmusfunktion In mit In(x) = f(x); x € R*. X an der y-Achse = f(x)=ex + 1 x-Achse: f(x) = ex - 1 an der cek: , kx f(x)= 10-8 e f(x) = ln (x) f'(x) = 1/ Allgemein lässt sich die Umkehrbarkeit einer Funktion f daran erkennen, dass jede Parallele zur x-Achse den Graphen von f höchstens einmal schneidet. Dies ist sicher der Fall, wenn f streng monoton wachsend oder fallend ist. -0.47 x f(x)= ex Df = R W₁ = R + f(x) = ex ہے F(x) = ln(x) D₂ = R + WŢ = R an der y-Achse: f(x) = 2.ex an der x-Achse: f(x) = 2x Exponentialfunktionen im Sachzusammenhang Exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme liegt vor, wenn ein Bestand von einem Zeitschritt zum nächsten um den gleichen Wachstumsfaktor a zu- bzw. abnimmt. Den Bestand zum Zeitpunkt t kann man dann mithilfe einer Funktion f mit f(t) = f(0) at bestimmen. Mit k-In(a) gilt auch f(t) = f(0). ekt Die Ableitung f mit f'(t) = f(ol. k. ekt beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit des Bestandes zum Zeitpunkt t. Verdopplungs- und Halbwertszeit Man nennt die Zeit, in der sich der Anfangsbestand verdoppelt bzw. halbiert Verdopplungszeit Ty bzw. Halbwertszeit T. Verdopplungszeit: k Wachstumsfaktor Ty = Bei jedem beliebigen Bestand: en (2) k Halbwertszeit: TH= Verdoppeln: f(x + Tv ) = f(x) · 2 Neue Funktionen aus alten Funktionen - Summe, Produkt, Verkettung Gegeben sind die Funktionen u (> äußere Funktion) und v (> innere Funktion). In der Funktion u wird die Variable x durch den Term v(x) ersetzt. Die entstandene neue Funktion nennt man Verkettung von u und v und schreibt u v mit (u.v)(x)=u(v(x)). Beispiel: u(x) = ex" v(x) = 2x + 1 2x+1 Wann ist die Wachstums- geschwindigkeit am größten? Wann nimmt die Wachstums- geschwindigkeit am stärksten Zusammengesetzte Funktionen im Sachzusammenhang Wenn eine dreimal differenzierbare Funktion f die Wachstumsgeschwindigkeit einer Pflanze in cm/Woche nach t Wochen beschreibt (vgl. Fig. 1), so ergeben sich z. B. folgende Zusammenhänge: Frage im Sachzusammenhang Frage bei der Funktionsuntersuchung Mögliche Rechenverfahren Lösen der Gleichung f(x) = 0. Wann wächst die Pflanze nicht? ab? Wie viel ist die Pflanze in den ersten vier Wochen gewachsen? Nullstellen f(x) = 0 Symmetrie zur y-Achse f(x) = f(-x) en (7) k u(v(x1) = e Wo hat die Funktion f Nullstellen? Wo erreicht die Funktion f ihr Maxi- mum? Wo erreicht die Ableitung von f ihr Minimum? Wie hoch ist die durchschnittli- Welchen Mittelwert hat die Funktion che Wachstumsgeschwindigkeit f im Intervall [0; 4]? innerhalb der ersten vier Wo- chen? Eigenschaften von Funktionen Eigenschaft + Rechenverfahren Welchen orientierten Flächeninhalt schließt der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [0; 4] ein? Symmetrie zum Ursprung f(x) = -f(x) Halbieren: f(x + ₁) = f(x) · 1/1/2 Monotonie f'(x) > 0 od. f'(x) < 0 Bestimmen von Hochpunkten; Verhalten von f an den Definitions- rändern berücksichtigen. Bestimmen der Wendepunkte von f; Verhalten von f' an den Defini- tionsrändern berücksichtigen. Berechnung des Integrals: jf(t) dt Berechnung des Mittelwertes der Funktion mithilfe des Integrals: 4-10-f(t) dt Graph ist linksgekrümmt f" (x) > 0 Graph ist rechtsgekrümmt f"(x) < 0 Extrempunkte f'(x)=0 f(x) #0 od. vzw f" Wendepunkte f"(x)=0 f(x) = 0 od. VZWf™ Flächeninhalt A= f(x) dx Untersuchung von zusammengesetzten Exponentialfunktionen Schaut man sich das Verhalten von Exponentialfunktionen des Graphen für x→ ∞ an, so können folgende Fälle eintreten: f(x) = e-x Joe for your f(x) = 1 + ex f(x)= x + e-* Y=1 Y=0 f(x) = ex nähert sich für x00 der x-Achse mehr an Allgemein gilt: Für dominiert e* über xn Für Für Für für fur Eine Gerade, der sich der Graph immer stärker anschmiegt", heißt Asymptote x → ∞0 gilt für n E IN : Für x→ ∞ und 0 dominiert xn über den In(x) f(x) = 1 + ex nähert sich für x-00 der Geraden mit der Gleichung y=1 immer mehr an Untersuchung von zusammengesetzten Logarithmusfunktionen Allgemein gilt: Für x 0 gilt für ne M₁ n ²₁ Für x → 00 gilt für ne, n 21. Verhalten von e-Funktionen x → ∞0 x → xn ex ∞ gilt für gerade neN. x^. ex → 0 . gilt für ungerade nEIN: 00 : e → 0 f(x)= x + e* nähert sich für x→ 00 der Geraden mit der Gleichung y=x immer mehr an ->> ∞ xn. ex 0 für x^ ln(x) → 0 xn. In (x) → 00 x → 0 - 00: x → - 00 : und und und = und und ex xn ex = xn. ex →∞0 xn xn. ex en (x) xn ∞ =xne-x-00 en (x) xn 0 - 00 0 3-D-Koordinatensystem -1 X₁ Geometrie (Vektoren) X34 -1 -2 P(P₁/P₂/P3) 1 X₁ X₂ X3 Koordinate ↓↓ Punkte auf der x₁-Achse mit P (p₁/0/0) Punkte auf der x2-Achse mit P(0/p₂ / 0) Punkte auf der x3-Achse mit P(0/0/p3) Vektoren als Verschiebung von Punkten U 2 Verschiebungen im Koordinatensystem können durch Vektoren beschrieben werden. 8 Beispiel: Der Vektor a= (²) gibt an, dass man den Zielpunkt erreicht, indem man vom Ausgangspunkt 2 Einheiten in Richtung der x4 -Achse und 3 Einheiten in Richtung der x₂-Achse geht 4x₂ X2 Beispiel: Gegenvektor zu e 2 6 I Jo 3-(3) To ob X₁₂ 1-01₂ Ebenen und Punkte X3 ā= (²) ist x₂-x3-Ebene X₁ Punkte in der x₁-x₂-Ebene mit P(p₁/p₂/0) Punkte in der x2-x3-Ebene mit P(0/p₂/p3) Punkte in der x1-x3-Ebene mit P(p₁/0/p3) Es gilt: AB = Koordinaten eines Vektors bestimmen Die Koordinaten eines Vektors AB kann man aus den Koordinaten der Punkte A (a laz las) und B (b₁/b₂/b3) bestimmen. X₁-x3-Ebene b₁ - α₁ b₂ - 0₂ b3 as Beispiel: Punkt A (312/7) X₂ x1-x2- Ebene ·by α₂ - 6₂ 03- Ortsvektor Der Vektor OP-() ,der vom Ursprung zu einem Punkt P(p1/p₂/p3) geht, heißt Orstvektor von P. - a = -(3). (3) Gegenvektor Ein Vektor, der die umgekehrte Verschiebung vom Zielpunkt zum Ausgangspunkt beschreibt, d.h. zwar gleich lang, aber in die entgegengesetzte Richtung orientiert ist, nennt man Gegenvektor. Es gilt: Gegenvektor zu AB - ( ist - AB - BA - JA- (1) Länge einer Strecke / Betrag eines Vektors In der Geometrie bezeichnet man die Länge eines Pfeils, der den Vektor a repräsentiert, als Betrag des Vektors a. Für den Betrag eines Vektors a schreibt man lal. Für -() gilt: Täl= √(α₁)² + (α₂)² + (α3) ²² Der Abstand zweier Punkte ist gleich dem Betrag des Vektors AB. Es gilt: AB = TAB| = || Rechnen mit Vektoren Addition Wenn man zwei Verschiebungen hintereinander durchführt, ergibt sich wieder eine neue Verschiebung. Den zugehörigen Vektor erhält man durch Addition der beiden Verschiebungen. X2 QR=(4) 4. Beispiel: PR-PQ+ QR = ( ² ) + ( 4 ) = ( 3 ) Kommutativgsetz a+b = b + a 2 0 OM. ОР = (}) + JPG (2) Rechengesetze Für die Addition der Vektoren a, b und gelten: PQ 1- (-2) . 2 Substraktion Die Subtraktion entspricht der Addition seines Gegenvektors, d.h.. r. (s. a) (b₁-a₁)² + (b₂ - α₂) ² PQ+ QR - PR = ($) = 4 6 (³) X₁ Für die Multiplikation von reellen Zahlen r und s mit den Vektoren å und b gelten: Assoziativgesetz (r.s). a + (b3 - α3) ²1 oder Multiplikation Führt man dieselbe Verschiebung entlang des Vektors a r- fach hintereinander durch, so ergibt sich der Vektor der daraus resultierenden Verschiebung aus der Multiplikation der Anzahl r mit dem Vektor a. Diese Multiplikation wird als Skalarmultiplikation bezeichnet. Mittelpunkt einer Strecke bestimmen M der Strecke PQ mit P(215) und Q (413) 3. aa 6-α = b + (-a) Assoziativgesetz (a + b ) + 2 = r AB= a +3.a-3- (₂) - (²) oder Distributivgesetz . ( a + b ) = Mittelwert Koordinaten MPa (P₁+91 | P₁19₁) = r. a. AB-CD= a + (6 + 2) + 013 AB+ DC Mpa (22453) MAR (314) Kollinearität Einen Ausdruck wie r. a s. t. nennt man Linearkombination der Vektoren a, b und C. Die Zahlen r, s und t heißen Koeffizienten. Wenn zwei Vektoren Vielfache voneinander sind, dann heißen sie kollinear. Die zugehörigen Pfeile sind parallel zueinander. So sind z. B. die Vektoren - (-3) und = (-4) kollinear, weil 2- . gilt. Beispiel: â= (³) - λ B (3)= ¾ · (2) AB= r und s so bestimmen, dass AB und BC kollinear sind Aufgabe: Bestimmen Sie r und s so, dass AB und BC kollinear sind. A(21117) BC= (²4) } x 1 = 2 x 3 = r-4 x-(-2) = S-5 +S. in I einsetzen: r. 0,5 0.3 = -1 Figur Lösung für r und s bestimmen (95) (-3,2)= (-3) Gleichschenkliges Dreieck Gleichseitiges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck A Parallelogramm d N.R.: 3-15/ 5.25 = 4 → kollinear A X = Eigenschaften bei Figuren B D 1/2 in beide einsetzen a r= -2 A A с B b b a C C с B kollinear, B C с gleich Kontrolle wenn X. AB = BC 1/3=r-4 4. r Gleichungssystem aufstellen: Ir 0,5 s 3 = 1 II.1.5+ s(-0,2)= -3 (7) 7:r = 41.r 7 = ₁ 1.4 28 = r -2. (15) + 0 B(31415) 6 = (16) Eigenschaften der Figur Zwei Seiten des Dreiecks sind gleich lang. 1. • (-2) = s-5 4 = S (-3₂). (3:31) Alle Seiten des Dreiecks sind gleich lang. Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn in dem Dreieck der Satz des Phythagoras gilt. 4:16 = (7) = 2. Jeweils zwei gegenüberliegende Seiten eines Vierecks sind parallel zueinander. (1). (:) = Additionsverfahren. I 3 I - 3,2s 0 S=0 C(51rls) (168) => C(S/5,5/4) (33)=(33) ✓ Mathematischer Ansatz |AC| = |BC| AB BC ACI 1²121²161² AB BC ACI² AB BC=AB+ BC 1² AB= DC und AD = BC Geraden Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form = ( R ) beschreiben. Der Vektor heißt Stützvektor. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt P, der auf der Geraden g liegt. Der Vektor u heißt Richtungsvektor. Oà = (²) AB = (-1) → also: OA+ s. AB Beispiel: Gerade g: A (317/6); B(4/511) : * = ( 1 ) + ₁. (-³¹) S. g: Zeichnen Gerade mit g A (41511) Vorgehen: 1. vom Ursprung aus einen Pfeil des Stützvektors zeichnen 2. vom Endpunkt von diesem Pfeil den Richtungsvektor zeichnen 3. Gerade g durch Richtungsvektor zeichnen Punktprobe > Liegt der Punkt auf der Geraden? 9:× - (}). (-3) ? 4= 3 + s 1 1 = S auf 9:x= (²) 5= 7+ s (-2) 1 = S Parallel bzw. identisch parallel: (keine gemeinsamen Punkte) identisch: schneiden sich die ganze Zeit + S. => Punkt liegt auf der Geraden, da immer 2. LGS widersprüchliche Lösungen g: Stützvektor von h 1+ t. 35 to Gegenseitige Lage von Geraden (3) 1. Untersuchung der Richtungsvektoren *. ( }) - (1) 1:2=1/12 16+ s. (-5) 1 = S - 1+ t. (-1)=7 ⇒ t = 6 Sind die Geraden q:-()+ + - (-) und A:* = kein SP (3) + + - (-³) = ( 3 ) 1. Untersuchung der Richtungsvektoren (-0) s=1 gleichsetzen: parallel -1 2. Gleichsetzen von g und h (-1) • r· (3) - (4) ► s. (1) = I 7+2r= 4 + S CAS: solve ({I, I, }, r. s) II-23r=-6 + s III2+ r = -1 + 25 →T=1 s=1 Lösung: SP keine windschief 1 10 X. →x=-3 N.R. (-9): 3-3 31(-1)= 3 -6:2=-3 • parallel, weil 3. (²²)= (3) ist →gleiche Richtung, auch identisch? gleiche Lösungen 1:3= = 2:1=2 → (³) kein Vielfaches von (1) 1 Schneidend bzw. windschief schneidend. SP Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden q:-()+ (1) und A: () + - (1). r 2 -> wenn unterschiedlich nicht (³) - (1¹) + s. (43) I nach s auflösen 3 (...) parallel zueinander? identisch 0+ t. 24 t = 2 => unterschiedlich, d.h. parallel wind schief: kein SP, mind. 3-D-Raum - schneidend oder windschief 3. r in g und t in h einsetzen : - (-) + ₁. (12) - (-³) ⇒ SP(51-511) 1. = Gegenseitige Lage von Geraden Übersicht zum Vorgehen Vorgehen bei der Bestimmung, wie zwei Geraden g: = p + und = + szueinander liegen: Ja parallel oder identisch? Hat die Gleichung q: x = Stützvektor von hix gleiche Lösungen? identisch parallel Ortsvektor aus Ja Nein 9:2= (-)-(2) CAS: dotp ( [], []) = o 0 a.b cos (x) = 1a1-161 Sind die Richtungsvektoren u und zueinander parallel? -2.()... (1) s. menu 7 c 3 Zueinander orthogonale Vektoren - Skalarprodukt Skalarprodukt: =(1^₂). (6₂2) = a₁.ba + b.x= Orthogonalität bei Geraden nachprüfen Es gilt: Zwei sich schneidende Geraden sind dann orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind orthogonal senkrecht zueinander Es gilt: Zwei Vektorena. () und() sind genau dann zueinander orthogonal, wenn gilt: a.b=0 (a₁.b₁ + 0₂ b ₂ + α3 b3 = 01 0₂ 6₂ LABI = √√(-41² + (-21² + (-31² Geradengleichung bestimmen Aufgabe: Gleichung der Geraden h angeben, die die Gerade g orthogonal schneidet (1) + s . (3) A(2/317) B(-21114) C (81-4/2) (1). (3) . ■ Nein Hat die Gleichung pusv eine Lösung? schneidend oder windschief? Skalarprodukt AB. AC = (-4)·6+ (-2)· (-7) + (-3)· (-5) = 5 √√29 ACI= √√√ 6²+ Ja schneidend Winkel zwischen Vektoren - Skalarprodukt 62+(-71² + (-51² = (-41·2+1.9+ 1. (-1)= (-8) + 9-1) = 0 - = Nein windschief g: x= - wenn der Winkel größer als 90° oder das Skalarprodukt negativ ist, dann gilt: cos (180° - x) - wenn das Skalarprodukt = 0 ist, dann beträgt der Winkel 90° (orthogonal) AC = (-³) √110 . (@) . . . (-³) Skalarprodukt Richtungsvektor = 0 (-) I vertauschen → + bei einer Zahl VZW, eine Zahl wird 0 cos ¡Ì orthogonal cos (x)=√√29-√40" √₂3. 155³-√40) = 84,9 => 84,9° Geometrische Objekte und Situationen im Raum PQ Spieglung eines Punktes an einem Punkt P(11-212) an Q(3111-1) spiegeln OP OP M + 2. PQ Schattenpunkt bestimmen Spitze S(10/5/42) (12) → + t. + 2 · (-³) - (§) g: Z = 5' (10+ 8,4-4 1 5+ 8,4-210) (3) Sonnenstrahlen aus Richtung mit Vektor = Spannvektoren → nicht also: (3) = (12) Ebenen im Raum - Parameterform Parametergleichung einer Ebene: x= pr. u sv Stützvektor (Ortsvektor) Parametergleichung mit Punkten aufstellen A(10/5/2) B(31716) C (10/5/1) E.X= OA + r. AB S. AC E:* = : - ( 1 ) + ₁ - ( 2² ) ► ₁. (.;) S. Spurpunkte SP Gerade g mit Koordinatenebenen x₁-x₂-Ebene: 5(x₁1x₂10) x1-x3-Ebene. S(x₁10/ x3) x2-x3- Ebene: S(0/x2/x3) => S¹ (43,6 / 21,8 / 0) kollinear P' (5/41-4) gleichsetzen: a. (p₁+ t・u₁) + b. (p₂++· U₂] + + +. (3) P - (²) X₁-X₂ - Ebene (Boden) → x3=0 PQ Lagebeziehungen Gerade und Ebene Gerade g: = () + +. (4) t. Ebene E: ax₁ + bx₂ + LGS: -> g. II E parallel > keine Lösung, unwahre Aussage (z. B. beim LGs 0=4) q: E Element > keine Lösung, wahre Aussage (z.B. 4=4) Schnittpunkt > beim Gleichsetzen eindeutige Lösungen für Parameter liegt in Ebene> unendlich viele Lösungen Punktprobe Liegt P(71118) in Ebene? E:7 - (1) • r (1) + s. (:) Q gleichsetzen: () (1) + s. (-:1) = (1) S I 2+r+ 2s = 7 II 3r - 1s = 1 1 +5r + s = 8 lösen, wenn Ergebnis: Punkt in Ebene CX3 = c. (p3 + +₁ u₂) = d P¹ += 8,4 d einsetzen SP Ebene E mit Koordinatenachsen auf x₁-Achse: 5(x₁1010) auf x₂- Achse: S (0/ x₂ / 0) 5(0101X3) auf x3- Achse: Gleichung lösen →→→ für Ortsvektor des Durchstoßpunktes Parameter in Gleichung einsetzen Normalenvektor (Kreuzprodukt/Vektorprodukt) n ist Normalenvektor einer Ebene E, steht in jedem Punkt orthogonal zur Ebene, orthogonal zu den beiden bekannten Richtungsvektoren u und V der Ebene E n = û x v = Normalengleichung und Koordinatengleichung (³) ⇒ (z - (})) . ( ³ ) . (Skalarprodukt!) Normalengleichung (x-µ) ñ= 0 ↳ Winkel 4 Punkte Koordinatengleichung: ax₁ + bx₂ + Cx3 = d U₂ V3 V₂ 43 43. V₁ V3.0₁ U₁ V₂ V₁.4₂1 d = p. Lein Normalenvektor der Ebene: n= (E) Punktprobe 2.5+ 3.2 + 4· 3= 28 20 - Liegt P(5/2/3) drauf? nein Lage - Ebene und Normalform 1. zu einem Punkt > Punktprobe Punkt in Ebene einsetzen, auf Konsistenz (z.B. 4=4) prüfen E: 2x₁ + x₂ + 3x3 = 0 P₁ (1/2/3) P₁ in E 2.1+2+3·3=0 mit der x₁ Achse : 2. parallel zu den Koordinatenachsen ñ= (²) zur X₁ - Achse: zur X₂-Achse: = (₂) zur x3-Achse: = (6) mit der x₂- Achse: 13 = 0 P & E mit der x3-Achse : 3 (8) Kon *^(8) E: X= X^ + 2×2 + 3x3 - 3 = 0 x3 4. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen > Spurpunkte x₂ und x3 = 0 P(1/2/3) = X₁ und x3 = 0 X₁ und X₂ = 0 P₂ in E (3) P₂ (5/4/3) P3 (010101 2 5+4+3.3=0 23 = 0 P₂ & E zur 3. parallel zu den Koordinatenachsenebenen Zur X₁ X₂ Ebene: ñ= (₂) x2-x3-Ebene: (?) = (³) x₁-x3- Ebene: n = zur X₁ 2.0+ 3.0-30 x₁ = 3 52(016/01 → 53 (01011) P3 in E - 5₁ (31010) 0 ttt VT V₂ uz XV ₂ 43! U₁ V₁ иг Хиг पेड़ पैंड 2.0+0+ 3.0=0 0 =0 ✓ P3 EE Abstand eines Punktes von einer Geraden Abstand eines Punktes R von einer Geraden kleinste Entfernung von R zu g . (3) . + (3) R(112/ 0,08) 1. Hilfsebene orthogonal zu g und durch Punkt R E: 2×₁+ 3×₂ + 1 x3 = d 4E: 2x₁ + 3x₂ + 1x3 = 8,08 2. (1+2+) g: x = t in g 2. Schnittpunkt F der Geraden g mit der Hilfsebene g: R = (3) + +- (}) → (4) . (4) + 3. (1+ 3t) 3. Betrag des Vektors FR -0,44 IFRI = |(34)|. 0,34 0.14 (3). 1-(1) r in g: d = p.ñ = 1. Gerade g aufstellen 9:² - (3³) + r. (1) 4,44 1,66 0,22 d= ()-(1) 2. Schnittpunkt g und E (2 + r) + 8. (8r) - 4⋅ (1-4r) = 25 ¶· * - (3) · 4 · (4) (1 LE 8,08 in E F(1,44 1,66 0,22) √√(-0,4412+ (0,3412 + (-0,14) ² = 1.2 + 2-3 + 0,08 1 = 8,08 I umformen nach t F(1,44 1,66/ 0,22) >>> kleinste Entfernung von R zu g: 0,573, also etwa 570m (weil 1LE = 1km) 1 km) Abstand eines Punktes von einer Ebene R(21011) E x₁ + 8 x2 - 4 x3 = 25 R(11210,08) 0,573 Iumformen nach r => r - ⇒ F( \ / / / - 13 ) Lotfußpunkt Ist ax₁ + bx₂ + cx3= d eine Koordinatengleichung der Ebene E, so gilt: ar₁ + br₂ cr3 - d. √²+6² + c²² Hesse'sche Normalenform Ebenengleichung der Form E: (-) o heißt Hesse'sche Normalenform Für den Abstand eines Punktes R(1/₁/₁) von der Ebene E gilt: d = |(7-3) · nol - Zahl im Nenner neg. Punkt unterhalb Ebene pos. Punkt oberhalb 3. Betrag des Vektors RF IRF = 3 0,22 >>> Abstand von R zu E: 3LE Beispiel: E. 4 x1-3x3-5=0 P(1/2/3) 4-1-3-3-5 d=√4² + (-31² |- 1 = 2 LE Abstand windschiefer (-4) gegeben. :-) 1. Lotfußpunkte: L₁ (5/-1-511) →3 Zeilen von g (1) -2s + 5t= -16 + 3. Skalarprodukt: (von beiden Richtungsvektoren mit Hilfsvektor) (1) 2t (1)(-)-0 (2) 3-7 -s+ 2t +9 S-31-7 2t +5 3) +5 (2) -5s + 17t = - 49 Spiegelpunkt 1. Gerade (Lotgerade) 9:7 = (3) + r. (3) 5. Betrag: d (g; h) = | [₁1₂| = √√(5-3)² + (-2-1-41)² + P = OP S. L₂ (9+2+/-8-34 / 6+ 2t) →3 Zeilen von h + 3. M in Ebene 2 (1+2r) + (1+r) - (-15) + 3 = 0 4. Vektorkette, um P' zu bestimmen 2. PM identisch Schnittwinkel zwischen 2 Vektoren: cos (a) = Geraden M:* = (-1) + + (-1) PM = (3) parallel E: 2x1 + x₂ x3 + 3 = 0 (). (2-1)² zwischen Geraden g, und g.. cos (x) = ū. Richtungsvektoren = 0 = I umformen nach r ↳r= -1 3 Vorgehen bei Prüfung auf Parallelität, Identität und Schnitt: Fall 1: beide Ebenen sind in Koordinatenform gegeben 2. Mittelpunkt (Zeilen von g: in M( 1+ 2r| 1 +r/-15) P¹ = (3) + 2 · (3) = (3) 2. Hilfsvektor (mit Lotfußpunkten) lili • (-) - (***) + 2t = 31. 4. LGS lösen: (nachs und t) CAS liefert. S= 3 A t= -2 > 4₁ (31-411) L2(51-2/2) sich in einer Gerade schneiden Normalenvektoren P(1/1/0) zwischen Ebenen E₁ und E₂: 04.02 cos(x) = Il-11 0° < x < 90° Lage einer Ebene zu einer anderen Ebene α₁ X₁+ b₁ X₂+ C₁ x3 = d₁ lösen → keine Lösung: parallel, nach α₂ x1 + b₂ x₂ + ₂x3 = d₂ | Umformung 2 identische Gleichungen: identisch, Fall 2: einen Ebene in Koordinatenform, eine in Parameterform einsetzen → falsche Aussage: parallel, wahre Aussage: identisch r in als Lösungsmenge Parameterform mit 1 Parameter: Gerade M: M(ma/m₂/m3) ⇒>P'(-31-112) X₁ M(-11011) X3: zwischen Gerade g, und Ebene E.. cos (90°-x) / sin(x)= Tual. Imal 0° < x < 90° n von E Schnittgerade E: x1 + x₂ + 2x3-8=0 F: Z = (§) + s- ( ¹³ ) + t. (i) Richtungsvektor g. s in Parameterform: 4+ (21-41-2 = (26-4)-(-3) Fin E (4+25)+(-35) + 2. (+) - 8 = 0 2-4 = S 12 4 KF 4t 1 PF 64 t = 0 11 ↳ 5:² = (²²³) + +- (-²) Der Ereignisraum Am Beispiel: 22\A AA B AV B A \ B (A V B) (A A B) Ал в AV B = Pizza A = Käse (Omega) Ereignisraum Die einzelnen Teilmengen des Ereignisraums Man schreibt für Ereignisse A und B aus 2: = E = a = - Gegenwahrscheinlichkeit: P(LVG) Wahrscheinlichkeiten Stochastik - Additionssatz: P(AVB) = = Pizza ohne Käse Pizza mit Käse und Oliven Pizza mit einem oder beidem 1. Schritt: Ereignisse benennen L = Lactose intoleranz 0,25 0,25 = - 0,05 = 0.05 Pizza mit Käse, ohne Oliven Pizza mit Käse oder Oliven (nicht beides) Pizza mit allem außer Käse | Oliven Pizza ohne Käse und Oliven 2. Schritt: Was ist gegeben? P(L) = 0,2 (20%) 3. Schritt: Was ist gesucht? P (LNG) B = Oliven - Allgemeine Herangehensweise bei Stochastik-Aufgaben: beinhaltet alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißen Ereignisse (A, B, ...). ΑΙΩ und ΒΕΩ (== Teilmenge) Beispiel: An einer Schule haben 20% der Schüler eine Laktoseintoleranz. 10% der Schüler haben eine Glukose- Unverträglichkeit. 25% haben mindestens eine der beiden Unverträglichkeiten. Bestimmte die Wahrscheinlichkeit, das jemand beides hat. P(A) 1 P(A) = P(A) + P(B) - P(AMB) G: Glucose intoleranz P (G) 0,1 (10%) P(LAG) P(LAG) P(L) + P(G) - P (LAG) 0,2 + 0,1 0,3 - P (LAG) PILA G) Omega ohne A A und B A oder B (oder beides) A ohne B nur A oder B (nicht beides) alles außer A oder B alles außer A und B Wahrscheinlichkeit von Lactose- und Glucose unverträglichkeit oder mind. 1 2 P(LVG) = 0,25 (251) →Additionssatz 1 - 0,3 1: (-1) => 5% beides Baumdiagramm > Veranschaulichung 1. Stufe P(A) 2.B. / 2. Stufe PA (8) B P(A^ B) A ergibt 1 P P3 P₁ P₂ P(A^B) ergibt 1 PA (B) P (B)/ Zufallsgrößen 7 X₁ 1 B C Stabdiagramm / Histogramm: X2 B tabellarisch (Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X): X ₁ X X2 P(x=X) P₁ P₂ i=1 Zufallsgröße X: - ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine (reelle) Zahl zu - wie oft jede Zahl vorkommt wird durch die Verteilung beschrieben - diese kann unterschiedlich festgehalten werden PIAAB) P(A^ B) X3 P(A) 2.B Normierungsbedingung: Die Summe aller Wahr- scheinlichkeiten (P) einer Verteilung muss immer 1 ergeben. Pi = 1 P. (B) + X xn t Pn Im Baum zu finden: P(A) P(A^ B) PA (B) Regeln 1. Pfadregel (Produktregel): entlang des Zweigs wird multipliziert 2. Pfadr (Summenregel): mehrere Zweige / Wahrscheinlichkeiten werden addiert M = Wie oft liegt Zahl vor? / Ergebnisse Verteilung zugehörige Wahrscheinlichkeiten Mittelwert/ arithmetisches Mittel: x = 1²/17 (x₁ Erwartungswert: - (x₁ p₁) Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt A und B treten ein B tritt unter der Bedingung ein, dass A bereits eingetreten ist xn) + x₂ + ... + Median: mittlere Zahl 444 223446 → alle Werte der Größe nach sortieren Standardabweichung: ۱۰م - x) P₁ gibt an, welcher Mittelwert (e) bei Wiederholung (gr. Anzahl) zu erwarten ist + (x₂. p₂) + (xn pn) = *** + Summe aller Werte Anzahl aller Werte + um wie viel weicht durchschnitt- lich ab (x-μ).pn Absolute und relative Häufigkeit Absolute Häufigkeit -Anzahl / ganze Zahl (0; 1; 2;...) - z.B. Würfel: gibt an, wie oft welche Zahl gewürfelt wurde Laplace - Ereignisse (faires Spiel) Ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse aus gleich wahrscheinlich sind, wird Laplace-Experiment genannt. Erwartungswert 0 Beispiel: X P ( X = k) 0-e) Faires Spiel: Ein Spiel wird fair genannt, wenn Gewinne und Verluste ausgeglichen sind - das heißt, dass der Erwartungswert für einen Gewinn 0 sein muss. - . 200 216 Einsatz 0-e 200 216 200 216 e XM₁.h₁ + = 10 - e 4-e 15 216 216 1 + e + (4- e) 60 216 ... + Laplace 15 216 15 216 e mk. Xp² Auszahlung = + + =>Bei einem Einsatz von 0,32 € wäre Ansatz: Erwartungswert = 0 10 216 - in Prozent / Prozentzahl (0,2 / 20%) man erhält sie, indem man die absolute Häufigkeit durch die Versuche n teilt (2) fair rel. Häufigkeitsverteilung mit Werten m₁,... Mk вк bei Messungen: Standardabweichung (10 - e) 216 e -e 70 216 Relative Häufigkeit das + 1 216 Spiel ≈ 0,32 70 216 fair. s* √(₁-x)² R₂ + Messungenauigkeit 0 Daten darstellen und durch Kenngrößen beschreiben - Mittelwert und Standardabweichung 0 Urliste Хл. х2, х3. xn zugehörige Kenngrößen sind: Mittelwert = = (x₁+₁+xn) empirische Standardabweichung s=√₁ · ((x₁ - x)² +...+ (x₂-x)²² S= 0 e Ite und rel. Häufigkeiten h₂.... hk, so gilt: · (m₂ - x)². R₂). Erwartungswert und Standardabweichung von Zufallsgrößen Erwartungswert (Mü) Standardabweichung & (Sigma) Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X in Tabelle: - M (X) = (-1) man bei dem Spiel wird =>μ gibt an, welcher Wert des Zufallsexperiments zu = O= 27 64 o(X) V-1 - (- ) 2 + ( - Cấ 27 64 + 0. Erwartungswert von X: M = x₁ P(x= x₁) + x₂ P(X= x₂) + 27 64 + 2 bei binomialverteilter Zufallsgröße: M= n. p In über r Standardabweichung von X: √(x₁=M³². P(X= x₁) + (x₂ - M) ² P ( X = X ₂) + 2.B. (12) = ១. 64 12! 7' 5 (0) (3) über 0 immer 1 + 5.64 g P(X=g) Kombinatorik/Binomialkoeffizient berechnen: CAS nCr (n)! (²) = (₁)! (0-²)! Ỡ= ! Fakultät X3 P(X= x3 + auf lange Sicht etwa 6 ct verlieren durchschnittlich bei einer großen Zahl von Durchführungen erwarten ist (Prognose für den Mittelwert) 27 64 -1 27 .. n-Anzahl Versuche rwann du gewinnst & (^) (³) 1 + = 0 27 64 Bernoulli-Experimente, Binomialverteilung 16 n- B₁₁p (r) = P(X=r) = (?). pr. (^- p) ^-² Bernoulli-Experiment: es gibt nur 2 Möglichkeiten und diese sind unabhängig voneinander n. p. (1- Xn 2 24 ·p) (2-(-))². +(5-(-))²14 Ziehen mit Zurücklegen - Trefferwahrscheinlichkeit bleibt konstant - Bernoulli-Kette der Länge n besteht aus n unabhängigen Bernoulli-Experimenten mit den Ergebnissen 1 (Treffer") und 0 („Niete") - die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung B heißt Binomialverteilung, die Zufallsgrößen X heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p (xn- M1². P(X= xn) Beschreibt die Zufallsgröße X die Anzahl der Treffer und ist p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, so erhält man die Wahrscheinlichkeit für r Treffer mithilfe der Bernoulli-Formel: 9 Zufallsgröße X - 0,06 5 64 P (X= xn) r = 0 n Beispiel: Binomialverteilung für n= 3 und p = 3-1 B3₁ = P(X= 1) = 3-₁ (₁-²) ³ - ¹ = 0,44 CAS binom Cdf (3, 1, 1, 1) Pascal-Dreieck > zur Berechnung des Binomialkoeffizienten Baum für Bernoulli-Kette der Länge n = 3 K= Kopf Z = Zahl K ^ K Z (³) für (3) (³) = 8! 3! 5! Z ^ K Z = 3 32.1 1 8.7 1 56 K K Z با r = 0; 1; 2; 3 bei 3 Versuchen 0 x Kopf 1 Pfad ( ³ ) = 3 Beispielaufgabe: Begründen Sie durch eine Termumformung. 8.7.6·5·4·3·2·4 7! 2! 5! 5.44.3.1.4 Z 7.6 2.1 = 21 K Z + P(X=4) US: 4 P(X ≤4) us: 0 P(X1 od. X2 5) + (³) = 1 7! 3! 4! 7.6.5.4.3-2.4 2.1 S 14.3.2.1 CAS P(X=4), P(X54), n= 50 und p= 0,05 7.5 1 Praxis der Binomialverteilung 35 + untere / obere Schranke / OS: 4 Pascal-Dreieck n Versuch 0 1 4 5 Treffer O 1 ↳ (²) 1 56 56 1 5 1 = 7.6.54 3.2.4 3 2 1 14.3 2.4 1 4 (3) = (2) + (3) 3 42 b) Die zweite Funktion berechnet die kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X ≤r), also die Summe P(X=0) + ... + P(X=r) = Fn₁p (r) A 2 10 10 3 6 56 1 3 binom Cdf (50, 0.05, 4, 41 = 0,136 ≈ 13,6% OS: 4 binom Cdf (50, 0.05, 0,41 ->> 1 P ( 2 ≤ x ≤4) od. P(0≤x≤1) + P(5 ≤ x ≤ 50) 1 + 4 Bei einer binomialverteilten Zufallsgröße X kann man alle Berechnungen mit zwei Grundfunktionen durchführen. a) Die erste Funktion berechnet zur Trefferzahl r die Wahrscheinlichkeit P(X=r) = B (r) n; p Summe 2 obere 1 5 4 1 P(X =3) und P ( X ²1 oder X ²5) für Zufallsgröße X mit berechnen 35 1 5 P(X3) binom Cdf (50, 0.05, 3, 50) r Sigmaregeln Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p, dem Erwartungswert = Standardabweichung = √√n. p. (1 p) erhält man folgende Näherungen: 10, 20, 30 2 1. PIMO ≤X 2. P(M-20 ≤ x ≤ 3. PM-30 ≤ x ≤ p gesucht: P= P= 90% = 0,9 p = 1 - 1.2 1.3 1.4 1.64 Ay -0.25 0.1 0,08 0,07+ 0,06- 0,05- 0,04 0,03 0,02 0,01- Regel: √√1-0,9 4 P(X=r) 30 M + o) м+20) M+ 30) 1-2 1-P *Dok 0.242,0.75) % 24% 99,7% es wird häufig gefragt nach: Wahrscheinlichkeit, Anteil, Prozent n= 5 40 Beispiel: Wie groß müsste der Anteil der Vegetarier mindestens sein, damit sich unter 5 Personen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 1 Vegetarier befindet? 0,369 Anteil Vegetarier mind. 36,9%. DEG X ming X 4 binom Cdf (n. p, r, n) Telfe 2 f(x)-binom Car(5,x,1,5) 12(x)-0.75 > P. 75%/ 2 68,3% 2 Problemlösen mit der Binomialverteilung (p / n gesucht) In (1-P) In (1-p) 2 95,4% X 45 95,4% 99,7%. 68% Graph binom Cdf für P Graph P als f(x) SP bestimmen 10 → 24%, dass man bei 5 Würfen mind. 1 x trifft bzw. für ,glatte" Wahrscheinlichkeiten: M. P(μ-1,640 ² X ² 1+1,640) P (M-1,960 ≤ x ≤ μ+ 1,96 0) P(M-2,580 ≤ x ≤μ+ 2,58 ) = * 55 n=125 p = 0,4 20 n gesucht: n = n.p und der P = 98./. Anzahl r 70 n = es wird häufig gefragt nach: Anzahl, Häufigkeit, Personen, Möglichkeiten Fig. 2 Beispiel: Der Anteil der Vegetarier in Deutschland liegt bei 20%. Wie viele Personen müsste man an deiner Schule mindestens befragen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 98% einen Vegetarier anzutreffen? p= 20% = 0,2 = 0,98 In (1-0,98) In (1-0,2) → mind. 18 Schüler befragen gleiches Vorgehen, 900=1,64 95%. 99/ 17, 5314 nur X hoch - runden für n Zweiseitiger Signifikanztest 1. Nullhypothese bestimmen Ho pz. B. bei Laplace - Würfel Ho = 1/✓ H₁ # 1/12 V 2. Stichprobenlänge: n meistens 100 oder 200 → erkennt man im Text 3. Signifikanzniveau x festlegen Fehler-/ Irrtumswahrscheinlichkeit, meist 5%. -> 4. Annahmebereich festlegen 0% a a= erste Zahl, die die kumulierte a Wahrscheinlichkeit von 2 (meist 2,5%) überschreitet b= erste Zahl, bei der die 3. b kumulierte Wahrscheinlichkeit von 100 (meist 97,5%) überschreitet Linksseitiger Test Nullhypothese: Alternative: Text 100% Hop = po oder p ² Po H₁: p² po Man bestimmt den Annahmebereich [a; n] der Nullhypothese. Dazu sucht man aus der Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeiten von X die kleinste Zahl a heraus, sodass P(X ≤ a) > 5% linksseitiger Test: mindestens" n CAS Vorgehen binom Cdf (n, p, x) zeichnen ctrl + t Tabelle X suchen, für welches das erste Mal überschritten wird (meist 2,5%, also 0,025 ...) das X suchen, für 100- 97,5%, also 0,975.) b H₁: p ² Po Beispiel: Laplace-Würfel P(X sk) binom Cdf (100, 1/₁ x) CAS. g 10 →Ho wird angenommen, wenn das Stichproben ergebnis im Annahmebereich liegt, sonst wird Ho verworfen inseit Signifikanztest 1. Man legt den Stichprobenumfang n und das Signifikanzniveau (die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit, z.B. x = 5%) fest. 2. Als Testgröße X verwendet man die Trefferzahl. A = - α welches überschritten wird (meist 0,0212 0,04 26... [10; 24] Annahmebereich für Nullhypothese: Ho: p= 1 Nullhypothese: Alternative: 0,9621... 23 24 0,9782 Rechtsseitiger Test Ho: p = Po H₁: p > Po 4. Man erhebt oder zieht eine Stichprobe vom Umfang n. H, wird beibehalten, wenn die Trefferzahl X im Annahmebereich liegt, sonst wird H, verworfen. oder ps po Man bestimmt den Annahmebereich [0; b] der Nullhypothese. Dazu sucht man aus der Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeiten von X die kleinste Zahl b heraus, sodass P(Xb) > 95% rechtsseitiger Test. „höchstens " Ho: p S Po Fehler beim Testen von Hypothesen Fehler 1. Art: Nullhypothese wird verworfen, obwohl sie eigentlich richtig ist 1- binom Cdf (n, p, Annahmebereich) Fehler 2. Art: Nullhypothese wird akzeptiert/angenommen, obwohl sie nicht stimmt binom Cdf (n. p. Annahmebereich) Signifikanz und Relevanz: Ergebnisse statistischer Tests kritisch hinterfragen Es ist unzulässig, aus mehreren Datenerhebungen im Nachhinein eine mit signifikantem Ergebnis auszuwählen. - Es kann, im Hinblick auf signifikante Ergebnisse sinnlos sein, den Stichprobenumfang n so groß zu wählen, dass selbst kleinste Unterschiede nachweisbar werden, die völlig irrelevant sind. Stetige Zufallsgrößen - Integrale besuchen die Stochastik Eine Funktion f heißt Wahrscheinlichkeitsdichte über einem Intervall I, z. B. I=[a; b] oder I=(a; b), wenn gilt: und (1) f(x) ≥ 0 für alle x aus I (2) f(x) dx = 1 Eine reellwertige Zufallsgrößen X mit Werten im Intervall I heißt stetig verteilt mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f, wenn für alle r, s aus I gilt: P (r 5 X 5 s) = f(x) dx Eine Zufallsgröße X mit den Werten zwischen a und b und der Wahrscheinlichkeitsdichte f besitzt den: b {x Erwartungswert: M = Standardabweichung: o = YA x. f(x) dx 4µμ₁ 0²(x) = 0 + √√25T² п Eigenschaften der Gauß'schen Glockenkurve: PM₁0 (x) In м-ом м+0 b √√$(x- e Normalverteilung Eine stetige Zufallsgröße X heißt normalverteilt mit den Parametern und o, wenn sie eine Gauß'sche Glockenfunktion als Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt. [(x-μ)² für →x 1( بر - *) ܐܙܐ und die . HP (ula 1257) WP (M±ola Vé (-²) f(x) dx norm Cdf Es gilt: 1 μ₁0 (x) dx = 1 моолол Фол (х) - Bei normalverteilten Zufallsgrößen gelten die Sigmaregeln exakt. e Wahrscheinlichkeiten: Wahrscheinlichkeitsdichte.. 4μ;0 (x) = 0. √2π e (x-μ)² b-M Es gilt. P(a ≤ x ≤ b) = (4μ₁0 (x) dx = __ ²0₁1 (x) dx a-M Satz von de Moivre-Laplace: Für binomialverteilte Zufallsgrößen X mit M = n.p und o√n.p. (1-p)' gilt: a) P (X= k) Bnp (k) * &μ:0 (k) und b+ 0,5 b) P (a ≤ x ≤ b) = √5 μ₁0 (x) dx