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Vektoren Zusammenfassung PDF Abitur - Grundlagen, Aufgaben und Lösungen

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Abitur Zusammenfassung Vektoren

Fächer

Mathe

Algebra

Vektorrechnung

Vektoren addieren und subtrahieren

13.668

•

14. Juli 2025

•

5 Seiten

Vektoren Zusammenfassung PDF Abitur - Grundlagen, Aufgaben und Lösungen

A

Angelina B.

@angelinab._b7a478

Vector Mathematics: A Comprehensive Guide- This detailed guide covers... Mehr anzeigen

O Velloren Addition, Subraktion u. Multiplikation Addition a+b = (0₁) + b^²) =(a^ + b^ ал a2 + Multiplikation =r al F. 92 ra3 16 Subtraktion

Längenberechnung und Mittelpunktbestimmung

Diese Seite behandelt die Berechnung der Länge von Vektoren und die Bestimmung von Mittelpunkten, was grundlegende Operationen in der Vektorrechnung sind.

Die Länge eines Vektors a = a1,a2,a3a₁, a₂, a₃ wird durch die Formel |a| = √a12+a22+a32a₁² + a₂² + a₃² berechnet. Diese Formel leitet sich aus dem Satz des Pythagoras ab und ist entscheidend für viele Berechnungen in der Vektorgeometrie.

Beispiel: Für einen Vektor a = 3,4,12.53, 4, 12.5 beträgt die Länge |a| = √32+42+12.523² + 4² + 12.5² ≈ 13.5

Zur Bestimmung des Mittelpunkts zwischen zwei Punkten A und B wird der Vektor AB berechnet und halbiert. Der Mittelpunkt M ergibt sich dann aus M = A + ½AB.

Highlight: Die Mittelpunktformel lautet: M = ½A+BA + B

Die Seite führt auch in die Geradengleichung ein, die in der Parameterform x = OP + t · AB dargestellt wird, wobei OP der Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden und AB der Richtungsvektor ist.

Diese Konzepte sind fundamental für das Verständnis der Vektorrechnung und bilden die Grundlage für komplexere Anwendungen in der analytischen Geometrie.

O Velloren Addition, Subraktion u. Multiplikation Addition a+b = (0₁) + b^²) =(a^ + b^ ал a2 + Multiplikation =r al F. 92 ra3 16 Subtraktion

Ebenengleichungen und Kollinearität

Diese Seite behandelt zwei wichtige Konzepte der Vektorrechnung: Ebenengleichungen und die Kollinearität von Vektoren.

Die Ebenengleichung in Parameterform wird als E = P + r · u + s · v dargestellt, wobei P der Stützvektor und u und v die Richtungs- oder Spannvektoren sind. Eine wichtige Bedingung ist, dass u und v nicht kollinear sein dürfen.

Definition: Eine Ebene ist eine zweidimensionale Fläche im dreidimensionalen Raum.

Kollinearität von Vektoren ist ein zentrales Konzept in der Vektorrechnung. Zwei Vektoren a und b sind kollinear, wenn sie Vielfache voneinander sind, also wenn a = r · b für einen Skalar r gilt.

Beispiel: Die Vektoren a = 3,6,93, 6, 9 und b = 1,2,31, 2, 3 sind kollinear, da a = 3b.

Highlight: Kollineare Vektoren liegen auf derselben Geraden oder ihrer Verlängerung.

Die Überprüfung der Kollinearität ist wichtig für viele Anwendungen in der analytischen Geometrie, insbesondere bei der Untersuchung von Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen.

Diese Konzepte bilden eine wichtige Grundlage für fortgeschrittene Themen in der Vektorrechnung und sind essentiell für das Verständnis räumlicher Beziehungen in der Mathematik.

O Velloren Addition, Subraktion u. Multiplikation Addition a+b = (0₁) + b^²) =(a^ + b^ ал a2 + Multiplikation =r al F. 92 ra3 16 Subtraktion

Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen

Diese Seite behandelt die verschiedenen Lagebeziehungen zwischen Geraden sowie zwischen Geraden und Ebenen, ein zentrales Thema in der Vektorrechnung und analytischen Geometrie.

Für Geraden gibt es drei mögliche Lagebeziehungen:

  1. Parallel oder identisch: Die Richtungsvektoren sind kollinear abhängig.
  2. Schneidend: Die Geraden haben einen gemeinsamen Punkt, der durch Gleichsetzen der Geradengleichungen gefunden wird.
  3. Windschief: Die Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt und liegen nicht in einer Ebene.

Beispiel: Zwei Geraden g₁ und g₂ sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.

Für die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene gibt es ebenfalls drei Möglichkeiten:

  1. Die Gerade ist parallel zur Ebene: Kein Schnittpunkt.
  2. Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt.
  3. Die Gerade liegt vollständig in der Ebene.

Highlight: Die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene kann durch Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung bestimmt werden.

Diese Lagebeziehungen sind fundamental für das Verständnis räumlicher Strukturen und finden Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und Physik. Sie bilden eine wichtige Grundlage für komplexere Probleme in der Vektorrechnung und analytischen Geometrie.

O Velloren Addition, Subraktion u. Multiplikation Addition a+b = (0₁) + b^²) =(a^ + b^ ал a2 + Multiplikation =r al F. 92 ra3 16 Subtraktion

Line and Plane Relationships

The final section details the relationships between lines and planes, essential for Gerade liegt in Ebene Beispiel.

Definition: A line can be parallel to, intersect with, or lie within a plane.

Example: The relationship between a line and plane can be determined through parameter substitution.

Highlight: When a line lies within a plane, there are infinitely many common points.

Vocabulary: Parameter form - A representation of geometric objects using variable parameters.

O Velloren Addition, Subraktion u. Multiplikation Addition a+b = (0₁) + b^²) =(a^ + b^ ал a2 + Multiplikation =r al F. 92 ra3 16 Subtraktion

Grundlagen der Vektorrechnung

Diese Seite bietet eine Einführung in die grundlegenden Operationen der Vektorrechnung. Sie behandelt die Addition, Subtraktion und Multiplikation von Vektoren sowie das wichtige Konzept des Skalarprodukts.

Definition: Vektoren sind mathematische Objekte, die sowohl eine Größe als auch eine Richtung haben.

Bei der Addition von Vektoren werden die entsprechenden Komponenten addiert. Die Subtraktion erfolgt durch Addition des Gegenvektors. Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar skaliert alle Komponenten des Vektors.

Beispiel: Für die Addition gilt: a + b = a1+b1,a2+b2,a3+b3a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃

Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist definiert als a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Es spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Orthogonalität von Vektoren.

Highlight: Zwei Vektoren sind orthogonal senkrechtzueinandersenkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist.

Diese Grundlagen sind essentiell für das Verständnis komplexerer Konzepte in der Vektorrechnung und bilden die Basis für viele Anwendungen in der analytischen Geometrie.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Vektorrechnung

Vektoren addieren und subtrahieren

 

Mathe

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•

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A

Angelina B.

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Vector Mathematics: A Comprehensive Guide - This detailed guide covers essential concepts in vector mathematics, from basic operations to spatial relationships. The material explores vector operations, geometric applications, and analytical methods crucial for understanding Vektorrechnung Grundlagenand spatial geometry. The... Mehr anzeigen

O Velloren Addition, Subraktion u. Multiplikation Addition a+b = (0₁) + b^²) =(a^ + b^ ал a2 + Multiplikation =r al F. 92 ra3 16 Subtraktion

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Längenberechnung und Mittelpunktbestimmung

Diese Seite behandelt die Berechnung der Länge von Vektoren und die Bestimmung von Mittelpunkten, was grundlegende Operationen in der Vektorrechnung sind.

Die Länge eines Vektors a = a1,a2,a3a₁, a₂, a₃ wird durch die Formel |a| = √a12+a22+a32a₁² + a₂² + a₃² berechnet. Diese Formel leitet sich aus dem Satz des Pythagoras ab und ist entscheidend für viele Berechnungen in der Vektorgeometrie.

Beispiel: Für einen Vektor a = 3,4,12.53, 4, 12.5 beträgt die Länge |a| = √32+42+12.523² + 4² + 12.5² ≈ 13.5

Zur Bestimmung des Mittelpunkts zwischen zwei Punkten A und B wird der Vektor AB berechnet und halbiert. Der Mittelpunkt M ergibt sich dann aus M = A + ½AB.

Highlight: Die Mittelpunktformel lautet: M = ½A+BA + B

Die Seite führt auch in die Geradengleichung ein, die in der Parameterform x = OP + t · AB dargestellt wird, wobei OP der Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden und AB der Richtungsvektor ist.

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Die Ebenengleichung in Parameterform wird als E = P + r · u + s · v dargestellt, wobei P der Stützvektor und u und v die Richtungs- oder Spannvektoren sind. Eine wichtige Bedingung ist, dass u und v nicht kollinear sein dürfen.

Definition: Eine Ebene ist eine zweidimensionale Fläche im dreidimensionalen Raum.

Kollinearität von Vektoren ist ein zentrales Konzept in der Vektorrechnung. Zwei Vektoren a und b sind kollinear, wenn sie Vielfache voneinander sind, also wenn a = r · b für einen Skalar r gilt.

Beispiel: Die Vektoren a = 3,6,93, 6, 9 und b = 1,2,31, 2, 3 sind kollinear, da a = 3b.

Highlight: Kollineare Vektoren liegen auf derselben Geraden oder ihrer Verlängerung.

Die Überprüfung der Kollinearität ist wichtig für viele Anwendungen in der analytischen Geometrie, insbesondere bei der Untersuchung von Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen.

Diese Konzepte bilden eine wichtige Grundlage für fortgeschrittene Themen in der Vektorrechnung und sind essentiell für das Verständnis räumlicher Beziehungen in der Mathematik.

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Für Geraden gibt es drei mögliche Lagebeziehungen:

  1. Parallel oder identisch: Die Richtungsvektoren sind kollinear abhängig.
  2. Schneidend: Die Geraden haben einen gemeinsamen Punkt, der durch Gleichsetzen der Geradengleichungen gefunden wird.
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Beispiel: Zwei Geraden g₁ und g₂ sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.

Für die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene gibt es ebenfalls drei Möglichkeiten:

  1. Die Gerade ist parallel zur Ebene: Kein Schnittpunkt.
  2. Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt.
  3. Die Gerade liegt vollständig in der Ebene.

Highlight: Die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene kann durch Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung bestimmt werden.

Diese Lagebeziehungen sind fundamental für das Verständnis räumlicher Strukturen und finden Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und Physik. Sie bilden eine wichtige Grundlage für komplexere Probleme in der Vektorrechnung und analytischen Geometrie.

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Line and Plane Relationships

The final section details the relationships between lines and planes, essential for Gerade liegt in Ebene Beispiel.

Definition: A line can be parallel to, intersect with, or lie within a plane.

Example: The relationship between a line and plane can be determined through parameter substitution.

Highlight: When a line lies within a plane, there are infinitely many common points.

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Grundlagen der Vektorrechnung

Diese Seite bietet eine Einführung in die grundlegenden Operationen der Vektorrechnung. Sie behandelt die Addition, Subtraktion und Multiplikation von Vektoren sowie das wichtige Konzept des Skalarprodukts.

Definition: Vektoren sind mathematische Objekte, die sowohl eine Größe als auch eine Richtung haben.

Bei der Addition von Vektoren werden die entsprechenden Komponenten addiert. Die Subtraktion erfolgt durch Addition des Gegenvektors. Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar skaliert alle Komponenten des Vektors.

Beispiel: Für die Addition gilt: a + b = a1+b1,a2+b2,a3+b3a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃

Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist definiert als a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Es spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Orthogonalität von Vektoren.

Highlight: Zwei Vektoren sind orthogonal senkrechtzueinandersenkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist.

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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