Monotonie und Stetigkeit in der Analysis
Die Analysis Abitur Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte der Monotonie und Stetigkeit von Funktionen. Am Beispiel der Funktion fx = 1/3 x³ - 2/2 x²+6x +3 lässt sich die praktische Anwendung dieser Konzepte demonstrieren.
Definition: Eine Funktion heißt stetig an einer Stelle x₀, wenn der Funktionswert f(x₀) existiert und der Grenzwert von beiden Seiten gleich dem Funktionswert ist.
Die Untersuchung der Monotonie erfolgt durch die Ableitung f'x = x² - 5x + 6. Mithilfe der PQ-Formel werden die Nullstellen x₁ = 3 und x₂ = 2 bestimmt. Dies führt zur Einteilung in drei Intervalle: I₁ −∞;2, I₂ 2;3 und I₃ 3;∞.
Für die Monotonieuntersuchung wird in jedem Intervall ein Testpunkt gewählt und das Vorzeichen der Ableitung bestimmt. Im Intervall I₁ ist f'1 = 2 > 0, somit ist die Funktion hier streng monoton steigend. Im Intervall I₂ ist f'2,5 = -0,25 < 0, die Funktion ist streng monoton fallend. Im Intervall I₃ ist f'10 = 56 > 0, die Funktion ist wieder streng monoton steigend.