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Abiturvorbereitung Analysis

7.4.2021

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Nullstellen
Nullstellen sind die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse
Dabei gilt: f(x)=y=0
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Nullstellen Nullstellen sind die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse Dabei gilt: f(x)=y=0 allgemeine Vorgehensweise:-Funktionsgleichung 0 setzen: f(x)=0 - nach x umstellen Nullstellen ganzrationaler Funktionen Eine Funktion n-ten Grades besitzt höchstens n Null Stellen. Der Grad einer Funktion wird durch den höchsten Exponenten angegeben. 1. Grades (lineare Funktionen) - Gleichung nach x auflösen durch Termum formungen Z.B. Nullstellen von f(x)= x-5 f(x)=0 0=x-5 1+5 x=5 2. Grades (quadratische Funktionen) - Auflösen durch die p-q Formel oder Mitternachts for mel auflösen durch Ausklammern (nur bei Funktionen der Form f(x) = ax²+bx) Z.B. Nullstellen von f(x) = x² + 4x +2 Nullstellen von f(x) = 6x² +9x f(x)=0 0 X112 Analysis - x² +4² x +2) • - £* (£) ² - 4 = - +1 (²) ² q X₁ =-2 + √2 = -2±12²-2 =-2±12 x₂ = -2-12² - 2 5x² +11x - (5x2 +5x) f(x)=0 ·0=6x² +9x 1:6 0 = x² + ²³²x₁ X 6x +6 -- (6x+6) 0 = x (x + 2/2 ) / 3. Grades -auflösen durch Polynomdivision in Funktion 2. Grades 2.B. Nullstellen von f(x)= x³ +6x² + 11x +6 f(x)=0 x₁₂₁₂ = -1. 0 = ( x ³ + 6 x ² + 11x + 6 ) : (x + 1) = x² +5x +6 -(x³ + x²) X₁=0 x+²=0 1-²/2 x₂ = -³/1/2 Ausgangsfunktion (3. Grades) ) 0 = f(x): (x = x₁) = g(x) Vorzeichenwechsel! 70x75x76 *12=-2/+1²-6 = -2,5±14 = -2,5±0,5 x₂ = -3 x3 = -1 1. Nullstelle x₁ neue Funktion (2. Grades) 4 Grades oder höher T nur gerade Exponenten 2.B. f(x) = ax + bx² +c Substitution -x wird ersetzt: x² =...

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Z 40=az²+z+c - umstellen nach 212 und die Lösungen mit x² gleichsetzen und nach x auflösen 2 2. B. Nullstellen von f(x) = x² - 19x²³² + 48 f(x)=0 4 0=x²-19x² +48 x² = z ersetzen: 0= 2² - 197 +48 2012 = 42- +/- 42) ²-48 9,5 ± 142,25 Z₁ = 16 Z₂ = 3 Rücksubstitution: Z=x² 2 16 = x |+M X^₁2 = ± 116¹ X₁ = 4 x₂ = -4 = 9,5 ±6,5 →4 Nullstellen. 3=x² 1±1 X314 = ±13¹ x3 = 13¹ X4 gemischte Exponenten. Z.B. f(x) = ax ³ + bx4 + cx³ +dx² +ex +f mehrfache Polynom division - erste Nullstelle durch ausprobieren oder Taschenrechner ↳mehrfache Polynomdivision 2.B. Nullstellen von f(x) = -0,25 x² +2,25x²+x-3 f(x)=0. 0 = -0,25 x+2,25x²+x-3. x₁ = 1 (-0,25x+2,25x²+x-3):( x-1)=-0,25x²³-0,25x² + 2x +3 -(-0,25x+0,25x³) -0,25x³+2,25x² -(-0,25x³ +0,25x²). 2x²+x - (2x² -2 x). 3x - 3 -(3x-3) 0 neue Nullstelle Suchen: x₂ = -2 0=-0,25x³-0,25x+ 2x +3: (x+2) = − 0,25x² +0,25x +1,5 -(-0,25x³-0,5x). 0,25x²+2x -(0,25x² +0,5x) 45x+3 −(1,5x+3) 0 Lösen der Gleichung: 0= − 0,25x² +0,25x+1,5 1:−0,256 0 = x²-x-6 X314 = 1/2 + 1)² +6 →4 Nullstellen X314 = 0,5 ± 2,5 x3 = 3 x = -2 Verschiebung parallel zury-Achse Eine Funktion bzw. ihr Graph wird parallel zury-Achse verschoben, indem Zum Funktionsterm eine Zahl addiert oder vom Funktionsterm eine Zahl subtrahiert wird. Bsp. nach oben Bsp. verschiebung von Funktionsgraphen + f(x) = x² Verschiebung parallel Zur X-Achse Eine Funktion bzw. ihr Graph wird parallel zur x - Achse verschoben, indem Zu jeder x-Variable eine Zahl addiert oder von jeder x-variable eine Zahl subtrahiert wird. nach links nach unten L L f(x) = x² +1 f(x)=x²-1 nach rechts V. y p f(x) = x² f(x) = (x + 1)² f(x)=(x-1)² + x +7 Bei einer Funktion mit mehreren x-Variablen, muss jedes einzelne x verändert werden. Bsp: f(x)=x²³+4x²+x+5 soll um 2 Einheiten nach rechts verschoben werden → f(x) = (x-2) ³ + 4(x-2)² + (x + 2) + 5. =(x-2)²³ +4(x-2)² + Differentialrechnung Eine Funktion f sei auf dem Intervall I definiert. Die Ableitungsfunktion f'(x) der Funktion f ordnet jedem x den wert des Differential quotient an der Stelle x zu. Differenzenquotient of von f im Intervall [a; 6] AX : Der Differenzenquotient I die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung m bzw. dem Anstieg der Sekante durch P(a) f(a)) und Q(blf(b)) m=lim Differential quotient/lokale Änderungsrate: m = lim X-Xo х- хо → Der Differential quotient ist der Grenzwert des Differenz quotienten an der Stelle xo f(x)-f(x) x-xo = f'(x) = f(b)-f(a) mit a<b b-a → Ableitung der Funktion f an der Stelle xo n-^ Ableitungsregeln Potenzregel: f(x) = x^ f'(x) = n. x (Konstantenregel: f(x) =K f'(x) = 0 Summenregel: f(x)=r(x) +S(x) f'(x) = r'cx) + S'(x) •Faktorregel: f(x) = c. g(x) f'(x) = c. g'(x). X AY f(b) - f(x)-f(x) xo f(a)- I a b Bsp. f(x)=7 ⇒ f '(x) = 0 Q Bsp. f(x)=x5→→ f'(x) = 5x³-^= 5₁x4 f(x) = 3x² → f'(x) = 3₁7 x ²7-^=21x6 f(x) = 3x + 4→→f '(x) = 3·1x^²-^+0 =3 Bsp. f(x) = 3x² + 7 x →7 f '(x) = 6 x + 7 f(x) = 2/2 x ²³+ 4 x ³ + 9x +3 5 3 → f'(x)=15x+12 x ² + 9 Bsp. f(x) = 5.x f'(x) = 5.4 x 4-^ = 20 x ³ f(x) = 3x³ + 1/2x²+3 → f²x) = 3·3x²+2-4x²³-1+0 =9x²+x Produktregel: f(x) = u(x).v(x) f'(x) = u(x).v(x) + u(x).v'(x) ·Kettenregel : h(x) = f(g(x)) h'(x) = f(g(x)) · g'(x) äußere innere Ableitung Ableitung · Ableiten der Grundfunktionen. n Potenzregel: f(x) = x^ f'(x) = n. x^-^ hat. Logarithmusfunktion f(x) = \n(x) f'(x) = 슷 Sinus und Kosinus : f(x)= = Sin (x). f'(x) = cos(x) f(x) = cos(x) f'(x) = sin(x) X Exponential funktionen: f(x) = e' f'(x) = ex u(x) wenn ex verketet ist. f(x) = e f'(x) = e u(x) Bsp. f(x)=(x-1) (x+1) → f(x)=x²-1 f'(x) = 2x ü'(x) Bsp. f'(x) = u(x).v(x) + V'(x). U (x) = ₁⋅ (x + 1) + 1⋅ (x-1). integrieren = = f(x) = (x+2) x+1+X-1 äußere Ableitung: f'(x) = 2(x+2) innere Ableitung: g'(x) = 1 2x → h'(x) = f'(x). g'(x) = 2(x+2).1 = 2x+4 5-1 Bsp. f(x) = x³ →→ f'(x) = 5₁ x ³-^= 5.x4. f(x) = Bsp. = 3x² → f'(x) = 3.7x² =^=21x6 Bsp. f(x) = In (6x) f'(x) = 6·1 Sin (x) COS(x) -Sın (x) - Cos (x) Sin (x) ableiten 6x = x f(x)= 2-sin (3x) f'(x)= 3.2-c0s (3x) =6.cos(3x) f(x)=3-e³x +2 f'(x) = 3. e³x+².3 3x+2 = 9.e" -X f(x) = 2x.ex f'(x) = 2 ·e¯*+2x·e¯x. (-1) =2ex-2xe-* = (2-2x)-e-x f"(x) = -2 ex+ (−1) ·¯¯¯X. (2-2x). = -2e+(2+2x) e¯x. = (-2-2+2x) e¯* =(-4+2x).ex Extrempunkte Vorgehensweise: 1. f'(x) = 0 setzen 2. X-Wert in f" (x) einsetzen → Hochpunkt oder Tiefpunkt? 3. X-Wert in f(x) (Ausgangsfunktion) einsetzen um dazugehörigen y-Wert zu bestimmen (notwendiges kriterium: Für eine an der Stelle x, differenzierbare Funktion gilt: wenn f(x) bei xo einen Extrempunkt hat, dann gilt f'(x) = 0 hinreichen des Kriterium: Die Funktion f sei in einer Umgebung von x zweimal differenzier bar und es se: f'(x)=0 → wenn f'(X) = 0 und f" (XE) <0, So liegt an der Stelle XE ein lokales Maximum vont (Hochpunkt) → wenn f'(XE) =0 und f" (XE) > 0, so liegt an der Stelle XE ein lokales Minimum von f (Tiefpunkt) → wenn f'(XE) =0 und f" (XE) = 0 kann man keine Aussage machen Chinreichen des Kriterium: Die Funktion f sei in einer Umgebung von x differenzier bar und es se: f'(x)=0 Wenn dann die Ableitung f'(x) an der Stelle XE. → einen Vorzeichenwechsel von + nach - hat, So liegt bei XE ein lokales Maximum vont (Hochpunkt) → einen Vorzeichen wechsel von - nach + hat; So liegt bei XE ein lokales Minimum vont (Tiefpunkt) → keinen Vorzeichen wechsel von - nach + hat, So liegt bei XE ein Sattelpunkt. Hochpunkt von f Beispiel: f(x) = 2x² + 3x-5 f'(x) = 4x+3 f"(x) = 4 Nullstelle von f' Tiefpunkt von f hinr. Kriterium: Nullstelle von f' notw. Kriterium: f'(x) =0 0 = 4x +3 1-3 4x=-3 1:4 x = -3/ xin f" (x) f"(x)=4>0 ➜ Tiefpunkt X in f(x) f(x) = 2 · (-³)² + 3 · (- -) - -5 = > T(-3/1-45) →T wendepunkte 2. X-Wert in f"(x) einsetzen → Links-Rechts-Wendepunkt oder Rechts-Links-Wendepunkt? Vorgehensweise: 1. f"(x) = 0 setzen 3. X-Wert in f(x) (Ausgangsfunktion) einsetzen um dazugehörigen y-Wert zu bestimmen notwendiges kriterium: hinreichen des Kriterium: Die Funktion of Sei an der Stelle x, dreimal differenzier bar. Dann gilt: wenn fl" (xw) #0 → Wendepunkt. f (x) > 0 → Rechts-Links-Wendepunkt f (x) < 0→→Links-Rechts-Wendepunkt hinreichen des kriterium: Wenn f" (x) einen vorzeichen wechsel hat, liegt dort eine Wendestelle von f Beispiel: +(x) = 1/2 x ²³ - ²x² ` f'(x) = ²/1/2x² - 3x f"(x)= 3x -3 flll(x) = 3 notw. Kriterium: {"(x)=0 X in f(x) f(1) = -1/2 1²³² - ³3 / 1₁² -4-4/ Die Funktion f Sei an der Stelle x, zweimal differenzierbar. Dann gilt: wenn bei X. ein Wendepunkt von fliegt, dann ist f." (x)=0 x = 1 0.3x-3 +3 3x=3 1:3 vorzeichenwechsel von + nach- → Links-Rechts-Wendepunkt vorzeichenwechsel von - nach + → Rechts-Links-Wendepunkt hinreich. Kriterium: x in f'(x) → f¹" (x)=30 = -1 → Pw (11-1) Wenaestelle bei xw=1 f"(x)=3> 0 → Rechts-Links-Wendepunkt Wende tangente Eine Wendetangente ist eine Tangente, die eine Funktion an einem ihrer Wendepunkte berührt. Vorgehensweise: 1. Wendepunkt berechnen Tangentengleichung: t• y=mx+n Beispiel: f(x)=x²³ - 3x² 1. f"(x)=0 0 6x-6 1+6 1:6 6x=6 x=1 →x in f!"(x), wenn x≤0. liegt ein Wendepunkt vor. →x in f(x) um y-wert zu bestimmen Koordinaten des Wendepunkles 2. m berechnen → m= f'(x) →x-koordinate des Wendepunktes in f'(x) einsetzen, y-wert = m. 3. n berechnen - für x.undy werden die koordinaten des Wendepunktes eingesetzt in f(x) = mx +n. - für m wird die vorher berechnete Steigung eingesetzt -nach n umstellen und berechnen →f"(x)=0. und nach x umstellen x infl" (x) f(x) = 60 → Wendepunkt 2.y=mx +n x in f(x) f(x)=x²-3x² =1³-3.1² =-2 →W(11-2) ·m= f'(x) = 3x² - 6x ·m = 3·1²-6·1· = -3 →y=-3x +n 3. W(11-2) in y=-3x th -2=-3.1 th -2=-3+n n = A | +3 y=-3x+1 Schnittpunkt mit der y-Achse f'(x) = 3x² - 6x f"(x) = 6x-6 f(x) = 6 Wendetangente Eine Funktion f auf einem Intervall I = [a; 6] heißt... monoton steigend, wenn f(x₁) ≤ f(x₂) für alle x₁ una x₂ aus I mit X₁ < x₂ -1 Streng monoton steigend, wenn f(x₁) ≤ f(x₂) für alle x₁, una x₂ aus I mit X₁ < x₂ monoton fallend, wenn f(x₁) = f(x₂) für alle x₁ und x₂ aus I mit. X₁ < x₂ Streng monoton fallend, wenn f(x₁) > f(x₂) für alle x₁ und x₂ aus I mit X₁ < x₂ graphische Beispiele. Monotonie f(x₂) +(x₂)+₁. -1 f ist streng monoton Steigend, da x₁ < x₂ und f(x₁) <f(x₂) graphische Beispiele. fist streng monoton Steigend, da f'(x) > 0 ist. f(x₂)+7(x₂) Eine differenzierbare Funktion & auf einem Intervall I [a,b] ist.. monoton steigend, wenn f'(x) 20 für alle XEI Streng monoton steigend, wenn f'(x) > 0 für alle X EI monoton fallend, wenn f'(x) ≤0 für alle XEI Streng monoton fallend, wenn f'(x) <0 für alle XEI 1 [x₂ fist monoton Steigend, da x₁ < x₂ und f(x₁) ≤ f(x₂) fist für x²0 streng monoton fallend, da f(x) <0 ist. fist für x²0 Streng monoton Steigend, da f'(x) > 0 ist. ist monoton Steigend, da f'(x) 20 ist. rechnerisches Beispiel. f(x) = 1/3 x³ - 2/2 x²+6x +3 PE Graph: лу I₁ [-00; 2] · f'(x₂₁²) = f'(1) = 1²-5·1+6 = 2 Positives Vorzeichen → f'(x) > 0, also ist f(x). m Intervall I₁ [-00; 2] Streng monoton steigend stetigkeit an einer Stelle - lim f(x) = f(x0) х- хо х-хо x < xo Bei a genügt: lim f(x) = f(a) x→a x > a Extrempunkte von f(x) = f'(x) = 0 Bei bogenügt: lim f(x) = f(b) x → b x <b 1. Stetigkeit Eine Funktion f heißt stetig, an einer Stelle xo, wenngilt: -f(xp) existiert - lim f(x) existiert →lim f(x) =lim f(x) х-хо 1. Ableitung: f'(x)= x²-5x+6 mit pq-Formel x₁ = 3 x₂ = 2 I₂ [2;3] f'(x₂_₂) = f'(2,5) Intervalle bestimmen I₁ [-00; 2] 1₂ [2; 3] 1₂ [3; ∞0] → jeweils beliebige Stelle wählen, die in dem Intervall zwischen den Intervall grenzen liegt und in die Ableitung einsetzen х-хо x>xo = 2,5²-5-2,5+6 = -0,25 negatives vorzeichen. → f'(x) <0, also ist f(x). im Intervall I₂ [2; 3] Streng monoton fallend 2. Stetigkeit auf dem Intervall [a; b] Eine Funktion f heißt stetig auf dem Intervall [a; 6],. wenn f an jeder Stelle des Intervalls und bei a rechtsseitig und bei blinksseitig Stetig ist. 0x25x76 х-хо x.c Xo (3) lim f(x) = х-хо → Stetig Iz [3; ∞0] f'(x₂₂) = f'(10). =10²-5.10+6 Beispiel: f(x)=x² (1) f(x) = x₁² (2) lim f(x) = lim f(x) = xo х-хо х с хо Positives Vorzeichen → f'(x) >0, also ist f(x) im Intervall I3 [3; ∞0] Streng monoton steigend = 56 XOER existiert x ₁² = f(x0) SYMMETRIE Eine Funktion fist achsen Symmetrisch zur y-Achse, wenn f(-x) = f(x) gilt Eine Funktion fist punktsymmetrisch zum koordinaten ursprung, wenn f(-x) = -f(x) gilt: Ve I 4 f(-x) = f(x) Achsensymmetrisch Zur y-Achse Symmetrie bestimmter Funktionen: Eine ganzrationale Funktion mit ausschließlich geraden Exponenten ist achsen Symmetrisch zur y-Achse. Eine ganzrationale Funktion mit ausschließlich ungeraden Exponenten ist punktsymmetrisch zum koordinaten ursprung. Die Sinusfunktion 1st punktsymmetrisch zum koordinaten ursprung.. Die kosinusfunktion ist. Achsensymmetrisch Zzury-Achse. •Beweis der Symmetrie -die Funktion wird in die Gleichung f(x) = f(-x) oder -f(x) = f(-x) eingesetzt wird aufgelöst bis sich eine wahre oder falsche Aussage ergibt Beispiel 1: f(x)=√ + x®-6 f(x) = f(-x) x+x²-6=(-x)+(-x)² +6 x²+x²-6=x²+x²-6 0=0 W.A. →Die Funktion ist achsen Symmetrisch zur y-Achse punktsymmetrisch zum koordinaten ursprung f(-x) = -f(x) bereits an den Exponenten abzulesen Beispiel 2: f(x) = x² +6x²-3x²+7 f(x) = f(-x) x5 +6x4-3x2+7= = (-x)²5 +6-(-x)² - 3(-x)² +7 x² +6x²-3x²+²=-x² +6x²+-3x²27 x5=-x5 f.А. Die Funktion ist nicht achsen symmetrisch zur y-Achse f(-x) = -f(x) (-x)5 +6. (-x)-3(-x)²+7 =-(x² +6x+ −3x²+7) +6x4-3x²+7 --- 6x4+3x²-7 6x4-3x² +7 = 6x4 +3 x² -7 f.A. →Die Funktion ist nicht punktsymmetrisch zum koordinaten ursprung f(x)= x² +6x²-3x²+7 ist weder punktsymmetrisch zum koordinaten urspring, noch. achsen Symmetrisch zur y-Achse Beispiel 1 Beispiel 2 GRENZWERTE Der Grenzwert wird auch Limes genannt. Dieser beschreibt das Verhalten von Funktionen, wenn der x-Wert sich einem bestimmten Wert annähert oder ins Unendliche geht. x gegen - co < x gegen Grenzwerte im Unendlichen →hierbei wird betrachtet, wie sich eine Funktion bzw. ihre Funktionswerte verhalten, wenn x gegen. Unendlich läuft (also unendlich groß wird) →x kann gegen + ∞ und gegen - ∞o laufen 2 4 -1+ - 2 A=lim f(x) und A=lim f(x) X-8 X-→-00 1 -2 1 A = lim f(x). x → a 1 1 →x gegen +∞ X →x gegen + ∞ X 4 Wenn x gegen + ∞ läuft, läuft der. Graph ebenfalls gegen. +∞o. Aber wenn x gegen-∞ läuft, läuft der Graph gegen -∞0. Für diese Funktion gilt: lim f(x) = ∞ und lim f(x) 3-8 X→∞ 84-8 Wenn x gegen + ∞ läuft, läuft der Graph ebenfalls gegen O. Der Graph Schmiegt sich an diex-Achse an, doch berührt diese niemals. Aber wenn x gegen-∞ läuft, läuft der Graph gegen +∞o. Für diese Funktion gilt: lim f(x) = 0 und lim f(x) =+∞0 84-8 00 4X Beispiel 3: Grenzwerte im Endlichen →hierbei wird betrachtet, wie sich eine Funktion bzw. ihre Funktionswerte verhalten, wenn x gegen eine Stelle xo läuft → dabei kann sich die Funktion von links und rechts an die Stelle annähren -1. Definitions- lucke ~ + -2 1 A=lim f(x). xXo x < 0 linksseitiger Grenzwert Wenn x<2 ist und gegen 2 läuft, ist der linksseitige Grenzwert 4. Wenn x>2 ist und gegen 2 läuft, ist der rechtsseitige Grenzwert ebenfalls 4. An der Stelle x=2 ist die Funktion nicht definiert und somit gibt es dort eine Definitionslücke. A=lim f(x) Grenzwerte berechnen -Grenzwertberechnung miltels Termvereinfachung. ↳einfache Terme erhalten z. B. durch Ausklammern, kürzen, binomische Formeln, Anwendung der Grenzwertsätze x → хо (4) lim (f(x)) x →э хо x>0 rechtsseitiger Grenzwert Grenzwertsätze g seien Funktionen mit den Grenzwerten fund lim f(x) = A und lim g(x)=B (A, BER) x-% xx Limes einer Zahl entspricht der Zahl (1) lim (f(x) +g(x)) = lim (f(x)) + lim (g(x)) = A+B х →хо х → хо x → Xo (2) lim (f(x)-g(x)) = lim (f(x)) - lim (g(x)) = A -B x → Xo x → Xo x → Xo lim (f(x)) (3) lim (f(x) · g(x)) = lim (f. (x)) · lim (g(x)) = A·B x → xo x → Xo =XX0 lim (g(x)) x → Xo B I falls B÷0 und g(x) #0 in einer Umgebung von xo Das selbe gilt für x→∞ und x→∞0 Beispiele: f(x) = 4x-1 X lim (4x-1) = lim x(4-1) X-00 ∞7x =lim (4-1) x →∞0 =lim 4 X-80 =4-0 = 4 ·lim (4x=^) = lim *(4-1) X-→-00 X-→-00 lim X-8 = lim_(4-1) 8-4x =lim 4 - lim X-→-00 =4-0 = 4 x-→-00 Hebbare Definitionslucken Eine hebbare Definitionslücke liegt vor, wenn die Funktion an einer Stelle nicht definiert ist, aber stetig fortgesetzt werden kann. Beispiel: f(x) = (x²-1)-(x-2) X-2 hebbare Definitionslücken berechnen allgemeine Vorgehensweise: 1. Nullstellen des Nenners berechnen ist die Nullstelle to eine Nullstelle des Nenners, aber keine des Zählers, liegt eine Polstelle vor Nullfolge Der Grenzwert einer Nullfolge, wenn X→ ± ∞, ist immer O. hebbare Definitionslücke: x=2 →Die Funktion ist nicht definiert an der Stelle x=2, da der Nenner des Funktionswertes 0 wäre und man nicht durch 0 teilen darf wenn die rationale Funktion im Nenner line Nullstelle hat, liegt eine Definitionslücke vor 2. Nullstellen des Zählers berechnen 3. Polstelle oder hebbare Definitionslücke? Beispiel ist die Nullstelle to eine Nullstelle des Nenners und eine des Zählers, liegt eventuell eine hebbare Definitionslücke vor 4. Faktorisieren des venners und Zählers 5. Kürzen des Bruches 6. Polstelle oder hebbare Definitionslücke? → Die Definitionslücken, die nach dem Kürzen keine Nullstelle des nennerpolynoms mehr sind, sind hebbare Definitionslücken f(x) = Eine Polstelle ist eine Stelle, In deren höhe die Funktionswerte gegen ±00 laufen. -(x²-1)-(x-2) x-2 1. Nullstellen des Nenners berechnen 0=x-2 1+2 ·x=2 →Definitionslücke liegt vor 2. Nullstellen des Zählers berechnen (x²-1)(x-2) = 0. x²³-2x²-x+2=0 4. +5. L>mit Polynomdivision + pq-Formel. 3. Polstelle oder hebbare Definitionslücke? ·x₁=2 → mögliche hebbare Definitionslucke x₂ =2 (x²-1)(x-2) (x-2) ×₁₂=-1 =x²-1 6. Es liegt eine hebbare Definitionslücke vor, da die Nullstelle des Nennerpolynoms nach dem Kürzen nicht mehr im Nenner steht. Kurven diskussion Untersuchung eines Graphen einer Funktion auf seine geometrischen Eigenschaften AY i f'(x) f(x) Schnittpunkt mit dery-Achse Hochpunkt Nullstelle x²-7 x +5 Tiefpunkt Definitionsmengel Definitionsbereich. → Welche Werte dürfen für x eingesetzt werden? Bsp: f(x)= x + 2x²-1 →D= = {XEIR} mit der Funktion wird die f(x)=√x-7 →D= = {XEIR; X27} -.D= = {XEIR; x =-5} f(x) Wertebereich x=0 f(0) = -0² +2.0² -1. y = -1 ↳ Sy (01-1) Bsp: f(x)=x+2x²-₁ → W = {y EIR; y ≤0} f(x)=√x-7 →→W = { y ER₁ y ²0} Schnittpunkte mit den koordinatenachsen 7 Schnittpunkt mit dery-Achse lim f(x) = lim (x²+2x²-1) x-00 X-400 Symmetrie f(-x) = f(x) Verhalten im unendlichen -(-x)+2·(-x)²-1 = •Monotonie. +2x² -1 = Grenzverhalten / verhalten im Unendlichen folgende kurven diskussion durchgeführt Nullstellen y=0 → nach x auflösen 0 =-x² + 2x²-1 ↳ Substitution : x²= z 0=-2² +221 H(-1) 0=2²-22 +1 x² + 2x² -1 4p-q-Formel: Z₁12 x² + 2x² - 1 12₁12 = 1 + 10 Z Was wird betrachtet? → Definitions- und wertebereich → Schnittpunkte mit den Achsen → Extrem-und wendepunkte Monotonie → Symmetrie →Grenzwerte / verhalten im Unendlichen = -(²-²) + 1 (²-²) ² - ₁ ² 1+x4-2x²+1 lim f(x) = lim (x² + 2x²-1). X--∞ X-→-00 0 = 0 W.A. ↳ f(x) ist achsen Symmetrisch zur y-Achse Bei einer Wurzelfunktion darf der Wert unter der Wurzel nicht negativ sein!. Bei einer gebrochen rationalen Funktion darf der Nenner nicht 0 sein! → Rück Substitution: Z = x² 1= x² 1. x₁ = 1 f(-x) = -f(x)→→→ punktsymmetrisch f(-x) = f(x) zum koordinaten ursprung →achsen Symmetrisch zury-Achse ·^ Extrempunkte 1. notwendiges kriterium: f'(x) = 0 0 = -4x³+4x 0. = x (-4x²+4) x₁ = 0 -4x² +4 = 0·1+.4x². 4 = 4x² 1:4 x² =1 x₂ = 1 X3 2. hinreichendes kriterium: 3. X₁, X₂ und x3 in f(x) f(x₁) = -04+20²-1 = 0 +0-1 = -1 →T (01-1) Wendepunkte 2: hinreichendes kriterium: 3. x₁ und X₂ in f(x) 1. notwendiges kriterium : f "(x) = 0 1+1 ·f" (x₁) = -12.0² +4. Monotonie = 4 >0 → Tiefpunkt f(x₂)=-14+2-1²-1 f(x₁) = − (1¹) ²4 +2. (17) ²-1 =-(-) 0 =12x² +4 1+12x² 12x²=4 =-1+2-1 =0H₁ (110) x² = 1/323 X₁² x₂ = -14/¹ f" (x₁) = -12x 1:12 1+1 =-24.1 =-813 f" (x₂) = -12.1² +4 f(x3)=-(-1)4 +2.(-1)² -1 = -1 +2 -1 = 0 → H₂ (110) → Intervalle bestimmen I, [-00;-^] I₂ [1;0] +₁(-2) = -4 (-2)³3+4·(-2) + '(-0,5) = -4 (-05)²³ +4.(-0,5) = 24 70 - 1/2/20 → fist auf dem Intervall I [-00;-1) Streng monoton Steigend → fist auf dem Intervall I (-1;0) Streng monoton fallend = -8 <0 ➜ Hochpunkt ¨ f ( x ₂) = -(-1/3¹ ) ² + 2 · (-17)²-₁ = - = -₂ (1-1-7) f"¹"(x₂) = -24. (1) = 8.13¹ >0 → Rechts-Links-Wendepunkt <0→Links-Rechts wendepunkt +(x)=x²+2x²-1 f'(x) = -4x³+4x f"(x) = -12x²+4 f(x)=-24x I₁ [1, +00] f (x3)=-12-(-1)² +4 I₂ [0,1] f'(0,5) = -4.0,5³ +4.0,5 > 0 → fist auf dem Intervall I (0; 1) Streng monoton Steigend = -8 <0→ Hochpunkt f'(2) = -4.2² +4.2. =-24 20 → fist auf dem Intervall I (1; +00) Streng monoton fallend Ableitungen zeichnen Graphisches Ableiten Ein Extrempunkt von f ist eine Nullstelle von f' Ein wende punkt von f ist ein Extrempunkt von f' und eine hullstelle von f" Ein wende punkt von f'ist ein Extrempunkt von f" Wenn f fällt, verläuft f' unterhalb der x-Achse wenn f steigt, verläuft f' oberhalb der x-Achse Extrempunkt von f Nullstelle von f! Wendestelle von f Extrempunkt von f Vullstelle von f"l Extrempunkt von f 'Nullstelle von f' → X moryentane Änderungsrate Die momentane/ lokale Änderungsrate einer Funktion f(x) an der Stelle xo gibt an, wie stark sich der Funktionswert ändert, wenn Sich x in einer kleinen Umgebung von x₂ ändert. Die lokale Änderungsrate ist gleich der Steigung der Funktion an der Stelle x bzw der Tangente an diesem Punkt. Die momentane Änderungsrate ist der Grenzwert des Differenzenquotienten (mittlere Änderungsrate): f'(x)=m= lim х-хо Die momentane Änderungsrate wird auch Differential quotient genannt und kann auch durch die Ableitung berechnet werden. Beispiel: Funktion Tangente f(x)-f(x) X - Xo f(x) x=2 2 f(x)=x² x₁ = 2 f(x)-f(x) X - Xo m = lim f(x)-f(2) x→2 Lsg. m = lim х-хо = lim x-2 = lim x->2 = lim X-32 X -2 x² - 2² x -2 x²-4 X-2 (x-2)(x+2) (x2) =lim (x+2) X-22 = lim x + 2 x->2 = 4 2 +2 (binomische Formel! •Steigungs winkel. AX /Tangente Beispiel: f(x) = x² +1 Vorgehensweise: 1. Ableitung bestimmen. AY 1. f'(x) = 2x 2. m = f'(xp). m = 2.1 m = 2. 3. m=tand 2. m an der Stelle x berechnen ( m = f'(x₂)) 3. m in m=tand einsetzen und & berechnen 4= arc tan (m) bzw. d = tan ^ (m). Parallele zur X-Achse Xo = 1 d = tan^ (m) = tan (2) 263,430 d m = tand ΔΥ AX = Eand = Gegenkathete Ankathete AY AX m= tand Wenn & positivist, liegt der rechte Teil der Tangente über der x-Achse. und der linke Teil der Tangente unter der x-Achse. Der Winkel liegt zwischen der X-Achse und dem rechten Teil der Tangente, der Oberhalb der x-Achse liegt. 1St & negativ, ist es genau andersrum. Dann ist der berechnete Schnitt winkel der Winkel zwischen der x-Achse und dem rechten Teil der Tangente, der unterhalb der x-Achse liegt. Berührpunkte zweier Funktionen I f(x) = g(xo) I f'(x) = g(xo). Vorgehensweise: 1. beide Funktionen und Ableitungen gleichsetzen. 2. nach x umstellen und berechnen. A. Bedingungen: 3. x-Wert, für den beide Bedingungen erfüllt sind beiden Funktionsterme einsetzen und y-wert berechnen 4. Schnittpunkt angeben Beispiel: f(x) = -1/2/₁ 2 X → f'(x) = -x + 1 g(x) = -2x³ +6x²-x−4 −7g'(x) = −6 x ²+12x- -1 f(x) = g(x) - 1²/2² x ² + x + ² = = 2 x ²³ +6x²-x-4 0 = −2 x ²³ + 13³ x ² − 2x-6 3. X= 2 in f(x) = 2 durch Polynom division und Anwenden del pq - Formel 3 erhält man: x₁= + x +2 +(2) = -√²/²2² +2 +2 4 x₂ = 2 1+1/₂2 x ² 1-X 1-2 x=2 f'(x) = 9! (x) -x+1=-6x² + 12x.-1 =-6x² + 13x-2 0 0 = x² - 4/²/² x + 1/ 슬 X112 X₁ X₂ = • 1 ²2² + 1 - -1/3² ) ² - 1/3 12 LS (212) 4.. Die beiden Graphen berühren. Sich im Punkt (212) = 13 + 11 12 12 = = Da hier die Polynom division sehr. aufwendig ist, kann man x₁ = 2 und x₂ = 1 je in f(x) = g(x) einsetzen und prüfen, ob eine Wahre Aussage entsteht. 1+x1-1 1:(-6) schnittpunkte zweier Graphen Für den Schnittpunkt der Funktionen f(x) und g(x) gilt: f(x) = g(x) Vorgehensweise: 1. beide Funktionen gleichsetzen 2. nach x umstellen und berechnen 3. x in einen der beiden Funktionsterme einsetzen und y-wert berechnen 4. Schnittpunkt angeben Beispiel 1: Schnittpunkt der Funktionen f(x) = 2x-3 1. 2. f(x) = g(x) 2x-3=1/x+4 1+1/2 x 1+3 1.3/1/2 3. xin f(x) 2. 5/2x-3=4 ¾/2x=7 X = ·(( ^4) = 2.14 - 3₁ 14 4. y = 2/3 -3 y = 1/3²23 4 ↳S (111) Beispiel 2: Schnittpunkt der Funktionen f(x) = x² + 2x-1 und g(x) = -1/2 x - 4 1. f(x) = g(x) x²+2x-1=-11/2x-4 H+ 1/2 x x² + 2x-1=-4. 1+4. ² + 5/2x x+3 =0 X₁₁2 = -1/2 #1 (2) ² - 9² - - $ +1 (5)² - 16 n.def. → Es gibt keinen Schnittpunkt der beiden Funktionen - Beispiel 3: Schnittpunkt der Funktionen f(x) = x² + 3x+2 und g(x) = 2x + 4 1. f(x) = g(x) 2. x² + x +2 = 4 x²+3x+2 = 2x + 4 1-2x 1-4 X112 0 = x²+x-2 und g(x)=1/x +4 =- 1 + 1 (4) ² + 2² x₁ = 1 X₂ = -2 3. X₁ und X₂ in g (x). g(1)=21+4 = 6 J(-2) = 2--2)+૧=૦ → S₁ (116) → 5₂.(-210) Es gibt 2 Schnittplinkte der Funktionen schnittwinkel von Funktionen Der Schnittwinkel zweier Funktionen bzw. ihrer Graphen entspricht dem Winkel zwischen den beiden Tangenten an der Stelle x0 Vorgehensweise: 1. Ableitungen der beiden Funktionen bilden 2. x0 einsetzen und m bestimmen 3. m jeweils in m-tan a einsetzen und beide a bestimmen 4. y mit y=180°- (a + B) oder wenn a-ß größer als 90° ist: y=180°- (a - b) (-> der größere Winkel minus der kleinere Winkel) Beispiel: f(x)=x² g(x) = 2-x Xo = 1 1. f'(x) = 2x g'(x) = -1. 2. f(1) = 2 → m₁ =2 g'(1) = -1-→7 m₂ -1 = tanß. B = tan (-1) B = -45° =-1 3. m₁ und m₂ in m = tand 2stand L =tan(2) 263,43° ·4₁ 8 = 180°-ld- (3). · = 180°-163,43°-(-45°) ४ = 180° - 108,430 8 = 71,57° 9 180⁰- B X eswird immer der kleinere Winkel genommen (hier:8) Tangentengleichung Eine Tangente ist eine Gerade der Form {(x) =y=mx+n. Sie berührt eine Funktion in linem Punkt. Vorgehensweise: 1. wenn nur ein x-Wert gegeben ist, diesen in f(x) einsetzen und den y-wert bestimmen 1. Xo in f(x) f(2)= Steigung der Funktion an dem Berührpunkt m = f'(x) Beispiel: f(x) = 1/2 x ² xo = 2 2. f'(x) = x 1=11.2² 3. f'(2) =2 y=mx+n 2. f'(x) bestimmen 3. x in f'(x) einsetzen und m bestimmen. 4. Berührpunkt in y=mx+n einsetzen und n bestimmen 5. Tangentengleichung noteren = 2 → P(212) m=2 →y=2x +n 4. Pin y = 2x +h 2=2.2+n 2=4+n n=-2 5. y=2x-2 Schnittpunkt mit der y-Achse 1-4 Normalen Eine normale ist eine Gerade, clie orthogonal Zur Tangente bei xo liegt. Bedingung: I m₁ = -- -|- m I n(x) = f(x) n(x) = mx +h Vorgehensweise: 1. wenn nur ein x-Wert gegeben ist, diesen in f(x) einsetzen und den y-Wert bestimmen 2. f'(x) bestimmen 3. x in feinsetzen und in bestimmen 4. Punkt in n(x)=m₁ x +n einsetzen und n bestimmen 5. Normalengleichung noteren Beispiel: f(x)= x² + 2x +3. 1. x in f(x) f(2)= 2² +2.2 +3. =11 → P(2/11) 2. f'(x) = 2x +2 3. x in m₁ = -(¹₁(x) m₁ = - 2.2+2 3-4 4. P. in n(x) f(xo) 11=-1·2+h .2 →n(x) = -1/2 x +n 11= -1/32 + 1 + 1/1/3 34 n = 3 5. ncx) = -1/2 x + ³4/² 32 x₁ = 2 wenn die Steigung der Tangente gegeben ist, kann man min m₁ = -1 m einsetzen m muss mit f'(x) gleich- gesetzt werden und. x bestimmt werden, das dann in f(x) eingesetzt wird und den Punkt Pergibt FUNKTIONSSCHAREN Funktionsscharen Sind Funktionen, die zusätzlich zu der variablen (meist ens x) noch einen Parameter enthalten, welcher verschiedene Werte annehmen kann, wodurch verschiedene Funktionen entstehen. Bsp: f(x) = ax³ + ax +4 f(x)=²x-5 f(x) = kx-k³x³ + kx Untersuchen von Funktionsscharen → normales Vorgehen → man erhält meistens nullstellen, Extremstellen, wende stellen ect.; die vom Parameter abhängig Sind →wichtig: Fallunterscheidung: Wenn es für a kene Einschränkung gibt loder „nur“: a ±0). ist es oft nötig zu unterscheiden zwischen positiven und negativen Werten für den Parameter für a>0 (oder a ER+). keine Fallunterscheidung, da a nur positiv sein kann. für a#0 - Fallunterscheidung, da a positiv und negativ sein kann. Beispiel für eine kurven diskussion einer Funktionsschar · f(x) = x² + ax² nullstellen: fa(x)=0 x₁ = 0 Extrempunkte: 0 = x²³ +0x² 0 = x²(x + a) f(x) = 3x² + 2ax f(x) = 6x +2a fa" (x) = 6 für aso f(x) = 2a >0 ↳ Tiefpunkt als Parameter wird oft a oder k genutzt f(x)=0 X=1=0 Xen und XE in tài (x) X₁ f(x) = 6x + 2a = 6.0+2a = 2a 0 = 3x² + 2ax 1:3 0 + x² + ²ax 1.0 = x (x + ²/3 a) Fallunter- scheidung x + a=0 1-a. x₂ = -a für aco f(x)=-Za <o L> Hoch punkt XEIR; a EIR und a #0 FO XE2 = 1-²3a za : XE₂ f(x) = 6x + 2a Der Parameter wird wie eine normale Zahl und nicht wie eine Variable behandelt = 6. ( - ²3/a)+2a = -1/3a+2a = -4a+2a =-2 a a>o f(x)=-Za <o L> Hoch punkt aco f(x) = 2a >0 ↳ Tiefpunkt XEn und X₂ in falx) Xem fa(x) = x3 tax = 0³ +9.0² =O für aso ↳ Tiefpunkt be T (010). Wendepunkte: "(x)=0 fa(x) = x²³ +a+² für aco X 0 = 6x +2a 1-2a 1:6 x in f(x) · fő (x) = 6 >0 → Rechts- Links - Wendepunkt. x in fa(x). = (-a)² + a-(-a) ² === ² + + a² L> Hochpunkt be. H(010) = 2720²8 → Wendepunkt bei (-a | Za²) umstellen nach Parameter · Beispiel: f(x) = x³ + ax² XE - a 1-(-3) a = Ye= y = ORTSKURVE Eine Ortskurve ist eine Funktion durch Punkte des Graphen f mit einer besonderen Eigenschaft" (2.Bsp. Extrempunkte, Wendepunkte) 13/3/2 allgemeine Vorgehensweise: Extremstellen umstellen nach Parameter und einsetzen in y-Werte der Extrempunkte X a³ = 4( - ² x)³ - *- (- * *³) Xez ifa (x) einsetzen x³ +ax². = (¯ ¾ ª) ² + 0·(² •) ² = 27 8 a³ + =+_4³ +a für aso für aso 4 Tiefpunkt be (-3a/2a³). ↳ Hochpunkt be (-30/21429²³) Ausnahme! Da a 0 L) X *0 9³ Ortskurve der Hoch-/ und Tiefpunkte Mem lachr funktion Eine Funktion f istumkehrbar, wenn für jeden Y-Wert genau ein x-Wert existiert. Die Umkehrfunktion f^ ordnet jedem y-Wert den passenden x-Wert zu Umkehr funktion berechnen. 1. Definitionsbereich der Funktion of bestimmen. 2. Wertebereich der Funktion of bestimmen. 3. Funktionsgleichung nach x umstellen 4. y und x vertauschen Beispiel: Umkehr funktion von f(x) = 1. D. = {XER; X*-2} 2. W. = {YER; Y-1}. 3. y ===++z y+1= x+2 (y+1)(x+2) = 1 X+2 X Y 1D ₁ =W₁-₁₁ 1 W₁ =D & -^ -^ 1+1 y +₁ Y +₁ 1: (x+2) 1 x+1 ->>> 1: (y +^) 1-2 -2 -2 ) x und y vertauschen Umkehrfunktion X +2 D-1₁ = {XER; X=-1} W₁-₁ = {YER; y#-2} -^. Winkelhalbierende: y=x Der Graph der Umkehrfunktion ist der Graph von f gespiegelt an der Winkelhalbierenden Beim Umkehren der Funktion werden Werte- und Definitionsbereich. vertauscht. 1D ₁₂ =W₁-^. + IW₂ = Df-^ Funktionen, bei denen mehreren X-Werten der gleiche y-Wert zugeordnet wird, muss man ein intervall angeben, damit die Funktionen Umkehrbar Sind. (2.B. x²₁x...) 4 Besondere Umkehrfunktionen • f(x)= x₁ ist die eigene Umkehr funktion • In(x) und e* sind Umkehrfunktionen natürliche Logarithurues famletion f(x)=y=In(x)→ Umkehr funktion der natürlichen Exponential funktion f(x) = ex Funktionsgraphen: (Beispiele) Eigenschaften: it ·-1- -2- - ID= = {x € IR*} (nur positive Zahlen → x>0) - IW = {YER} Nullstelle bei X=1 -y-Achse als senkrechte Asymptote - lim = 00 X-00 Definitionsbereich: D = IR ₁₂ es dürfen nur positive Zahlen eingesetzt werden. und lim =-∞ x->0 - f'(x) == und f"(x) = -√2 - Sin(x) dx = x· In(x)=x +C ; CER Wichtige Rechenregeln: In (a∙6) = In (a) + In (b) In(ab) = b.In(a). → Sonderfall: Inlex) = x, da In(e) =^ → \n(ex) = X-1 = x In (1) = 0 und In (e) = 1 x = \n(x) loge * Logarithmus mus zur Basis e FUNKTIONEN -trigonometrische Die trigonometrischen Funktionen /Kreisfunktionen / Winkelfunktionen Sind periodische Funktionen Sinusfunktion y = f(x)=sin(x) Definitions-und Wertebereich: Tiefpunkte | Minima: XK min = 3TT. : · 1D = {R} (für x dürfen alle weite eingesetzt werden) W = {YER 1-1 ≤ y ≤1} nullstellen: XK = k·π, kez (alle Vielfachen von TT, k kann jede ganze Zahl sein). Extremwerte: Hochpunkte / maxima: XKm² = 1 + k max 3TT +k-2.TT Periode: 2TT Symmetrie: Punkt symmetrisch zum Koordinaten ursprung - Sin(x) = Sin (-x) y = f(x) = a. Sin (bx+c) +d Streckung Streckung in y-Richtung in x-Richtung kosinusfunktion -Verschiebung parallel zur x-Achse 0 verschiebung parallel zur y-Achse Extremwerte: Hochpunkte / maxima: XKK.2πT Tiefpunkte | Minima: Xkmin=-=-πT + k· 2πT y = f(x)= i= a.cos(bx+c) +d Periode: 2TT Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse Cos(x) = cos(-x) -verschiebung parallel zur x-Achse Streckung Streckung in y-Richtung in x-Richtung STT y = f(x) = cos(x) Definitions- und Wertebereich :D = {R} (für x dürfen alle Werte eingesetzt werden) W = {YER 1-1 ≤Y≤1} nullstellen: x₁ = (k +11) · πT ₁ K ² Z verschiebung parallel zur y-Achse 1+ 2T 0 tan (x) sin (x) cos (x) TT 2TT •·-f(x)=sin(x) · Am f(x) = cos(x) Tangensfunktion y = f(x)=tan(x) Definitions- und Wertebereich: D = IR !y (k + 1). πT, k € Z Periode: TT Symmetri nullstellen: x = k·π, kez (alle Vielfachen von TT, k. kann jede ganze Zahl sein) Extremwerte: hat keine Extrema Polstellen: x₁ = (k +₁1) · TT₁ k € Z →→Senkrechte Asymptoten :.X= y = f(x) = a₁tan (bx+c) + d T Ableiten / Integrieren Sin (x). -Coścx) Punkt symmetrisch zum Koordinaten ursprung. -tan (x) =tan(-x) -verschiebung parallel zur x-Achse Streckung Streckung in y-Richtung in x-Richtung ² X = II + k·TT, k € Z Sin (x) beiden Nullstellen der kosinusfunktion, da 0 lm Nenner. Stehen würde W = IR (die y-Werte können jeden wert annehmen) Cos(x) ableiten integrieren verschiebung parallel zur y-Achse. 1+ f(x)=tan(x) 1. Ableitung vom Tangens: (tan(x))' = Stammfunktion: F(x) =-In ( 1 cos (x)1) |tan x =. TT Sin.x Cos x 1=1+tan ² (x) f(x)=tan(x) 211 WACHSTUMS-UND ZERFALLSPROZESSE: exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse Wachstums-und Zerfallsprozesse beschreiben Änderungsprozesse eines Anfangswertes, der sich in bestimmten (zeitlichen) Abständen um den selben Faktor vergrößert oder verkleinert. allgemeine Formel. N(+) = No at Mlt)-Wert zur Zeit t Zunahme t N(t) = N₁₁ a² mit a>1 K.t N(t) = No e No = Startwert (für t=0) a t Formel mit e als Faktor Bei vielen natürlichen Wachstums- oder Zerfallsprozessen wird die Änderung. mit dem Wachstums- oder Zerfallsfaktor eleutersche Zahl) beschrieben. Zunahme K.t N(+) = No e k >O = Wachstums- oder Zerfallsfaktor (a #1; aso) = Zeit. kwachstums- oder Zerfallskonstante t N(t) = N₁ a 7 N (7) = 30.000 1,02² 34461 K.t oder N(t) = No e Abnahme/Zerfall t N(t) = N₁ a mit 1>a>0 In (1,02).7 Bsp: Bevölkerung mit. 30.000 Menschen, die jedes Jahr um 2% wächst Anzahl der menschen nach 7 Jahren? N(7)=30.000.e ~34461 Abnahme/Zerfall Eine häufig benutzte Formel ist auch f(x)=a.bx Diese beschreibt allgemeine Wachstumsprozesse, die K-t N(t) = No⋅ e klo nicht zwingend von der Zeit abhängig sind. Zusammenhang x.In(a) X = a Hauptsatz der Differential und Integralrechnung 1st f eine Stetige Funktion auf dem intervall [a; 6] und F eine dazugehörige Stammfunktion, dann gilt a f(x) dx = F(b)-F(a) Die Integral funktion ist eine Stamm funktion von f F(t)= =f²fit)αat und a Ein unbestimmtes Integral ist die menge aller Stammfunktionen einer Funktion. zu einer Funktion f(x) gehören unendlich viele Stammfunktionen F(x) + C. (cist eine konstante Zahl) Bsp. f(x) = 2x → F(x)= x² Schreibweise: (f(x) dx = F(x) + C unbestimmtes Integral · F(x) = x² +.7 F(x) = x² - 4 untere Intervallgrenze Integrationsvariable es gilt F'(+) = f(x) man spricht von einem bestimmten Integral, wenn ein Integral Integrations grenzen besitzt. Ein bestimmtes integral beschreibt einen Flächeninhalt, also kann man ein bestimmtes Integral berechnen und es ist ein Zahlenwert. ; CER Stammfunktion ·Obere Intervallgrenze Schreibweise: (f(x) dx = [F(x)] != F(b) - F(a) Bsp: f(x)= x² + 4x +3 I = [2;4] 4 Stend |f(x) dx = [F(x)] b = F(b) - F.(a). 1965 146 tis · F(x) = 1/3 x = F(4)-F(2) = (3.4³ +24² +3.4) − ( 33 · 2²³ +2·2² + 3.2) 503 Intervall [a, b] Eine Stammfunktion Fheißt Stamm funktion von f, wenn gilt F'(x) = f(x) INTEGRALRECHNUNG Die Berechnung von Integralen nennt man Integration Stammfunktionen und unbestimmte Integrale Wenn man die Stammfunktion einer Funktion sucht, muss man integrieren, aufleiten"). Das ist die Umkehr operation zum ,, Ableiten". f"(x) = ↑ f'(x) f(x) F(x). ↑ 2. Ableitung 1. Ableitung Ausgangsfunktion Stammfunktion F'(x) = f(x) →leitet man die Stammfunktion ab, erhält man die Ausgangsfunktion zu einer Funktion fcx) gehören unendlich viele Stammfunktionen F(x) +C. (cist eine konstante Zahl) Bsp. f(x) = 2x → F(x) = x² F(x) = x² + 7 F(x) = x² - 4 Schreibweise: Sf(x) dx unbestimmtes Integral. dx = F(x) + C Integrationsvariable ; CER Stammfunktion Ein unbestimmtes Integral ist die menge aller Stammfunktionen einer Funktion. Rechenregeln für unbestimmte Integrale Potenzregel fx dx x^+1 n+^ +C; CER Summenregel: f(f(x) + g(x) dx = [fcridx + fgce) dx = F(x) + 6(x) Faktorregel: Sa-f(x) dx =. a. Sfcx) dx = 0·F(x); a ER Sinus-und Cosinusregel: Ssinx dx = - cos x + c S Cos x dx = Sin x. + C f(x) = x² Sx²dx = = X Substitutionsregel: flax+b) dx = 1-7 (ax +b); a, ber a a #0 2+1 2+1 a bestimmen: 0=2 innere Funktion: g(x) = 2 x + 1 → g!(x) = 2 dg =2 dx dx = 1/2 dg (es gilt immer: C EIR). Beispiele: aupere Funktion: f(g) = g ² → einsetzen: S(²x + 1)²³dx = √g ² ⋅ =1/2 dg . + G ·3 .X + G • S(x² + 3x) dx = Sx²dx + √³x dx = 3 x ² + ² x ² + c S₂ x ² dx = 2 · 5²² dx = 2² 3² x ³² α = ² x ² + a 3 +C integrieren. f(x)=√x² = x ² Sx dx. +²+1 1/2+1 Sin Cos - Sin - COS Sin ableiten = Achtung, verkettete Funktion! h (x) = (2x + 1)² = f(g(x)) = (2x + 1)² = ₁· Sg²dg = 1/²+1 g ² + c = 4 +0 +G = 1/- (2x + 1) ³ + C bestimmte Integrale man spricht von einem bestimmten Integral, wenn ein Integral. Integrationsgrenzen besitzt. Ein bestimmtes integral beschreibt einen Flächeninhalt, also kann man ein bestimmtes Integral berechnen und es ist ein Zahlenwert. •obere Intervall grenze b Schreibweise: Sf(x) dx = [F(x)] = F(b) - F (a) Stade (1) a untere Intervallgrenze Ober summe Mit einem bestimmten Integral lässt sich die Fläche unter linem Graphen berechnen. · f(x)= = X-2 Intervall: [a, b] Untersumme 2 [(x-2) dx = 7(2) - 7 (-1) =[12 x ²-2×]² Die Gesamtfläche verläuft nur unterhalb der x-Achse, daher ist die Gesamt fläche negativ.. =(-1/2 2 ²-2-2) ( ²1 (-1)³²-2 · (-1)) F(b)=F(2) F(a)=F(1) = -2 A = - 12/1/20 g Rechenregeln für bestimmte Integrale · Integral = 0 Stimmen die obere und untere Grenze überein, so ist das Integral 0. a Sciax = 0 Intervalladdivität nb Stendax + Stredax - Secdax f(x) f(x) Vorzeichen wechsel Vertauschung der Grenzen ändert das vorzeichen a fox) dx = -ffcx) dx Faktorregel St.-FCx a k. f(x) dx = k. f(x) dx Summenregel fecidx + gwak = Stowax + Sgwax. b a a 2. = 2. 11 61-61 Sfax +33 x + Celax = SLEDAR 13 way xdx Beispiele: √²x = [x²] ²₁ 1. = 1² - 1² = .0 + 141 wla wla 10 x²dx દુ] ~-૪ ] =-(-3) 3 = 3 = 10 = 10 2x √(x²+20) dx = Serax + √²x [²]²=81² +²1² 3733 +3 Fläche zwischen der x-Achse und einem graphen Beispiel: f(x) = x²_9₁ 1. f(x)=0 Vorgehensweise: 1. Nullstellen der Funktion berechnen f(x) = 0 2. mit der Formel aen Flächeninhalt berechnen (die Nullstellen Sind die Intervallgrenzen) 0=x²-9 x² =9 X₁ = 3 x2 =-3 2. Strax allgemeine Formel: f(x) dx = 1+9 1+/ Siegiax f(x) dx. -9) dx = [ { x ²³-9x] ₂ (4:3¹-93)-(4-(-3)³-9-(-3)) - 18 = -18 = -36 Ist der Flächeninhalt positiv, liegt die Fläche oberhalb der x-Achse.. Ist der Flacheninhalt hegativ, liegt die Fläche unterhalb der x-Achse. Fläche zwischen zwei graphen X₂ [f(x) = g(x)] dx Vorgehensweise: 1. Schnittpunkte, berechnen. (f(x) = g(x) 2. f(x)- g(x)=h(x) berechnen 3. h(x) in die Formel einsetzen und berechnen. Beispiel: allgemeine Formel: x₁ und x₂ (Intervallgrenzen) sind die x-werte der Schnittpunkte f(x)=4-x² g(x) = ₁1/12 x +4 1. f(x) = g(x) 4-x²=1/x +4 x² + 4x 0 = x (x + 1) 0 = -x₁=0 1+x² 1-4 ·x+₁₁/2=0 1-₁/2 1/12 I [-1/2; 0] · 2₁. f(x) - g(x) = (4-x²) - ( ½ x +4). =4-x²-1/2 x - 4 h(x) == - - x2 - 슬x 3. 2. Jare - 907 an a facer an dax dx = h(x) dx 0 - St-x²-40) ax = E=₁/3 × ³² - 41 x ² [40²-40-E (-4)³-4 (-4)²) -0-(-48) 1 48 = VOLUMEN VON ROTATIONSKÖRPERN Man spricht von einem Rotations corper, wenn eine Funktion f auf dem Intervall [a, b] mit der x-Achse eine Fläche einschließt. Das Flächen Stück rotiert dabe: um die x-Achse. Formel zur Volumenberechnung Beispiel: Si a V = T [ f(x)]² ax to Rotationskörper I[0₁1] f(x)=x² Lsg: V = πT. S [ f(x)] ² ax a ·V=T. •S[x²] ax dx - ETT = πT. [x³] ges: V TS (4x²) ax =(TT1.15) - (TT-1.05) 20 0,16 V = π Zo EXTREMWERTAUFGABEN andere Bezeichnungen: Extremwert probleme, Optimierungsaufgaben Eine Extremwertaufgabe ist eine Frage-/Problemstellung bei der etwas unter einer bestimmten Bedingung maximiert I minimiert werden soll. allgemeine Vorgehensweise: 1. Hauptbedingung aufstellen → passende Funktion, die das beschreibt was maximiert oder minimiert werden soll 2. Nebenbedingung aufstellen → Bedingunglen unter der Idenen die Funktion maximiert/minimiert werden soll 3. Nebenbedingung um formen 4. → Nebenbedingung nach einer variable umstellen Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen → eine Variable in der Hauptbedingung wird durch die Nebenbedingung ersetzt-Zielfunktion 5. Extremwert berechnen → in der Zielfunktion ist nur noch eine variable enthalten, nach der man dem man die Zielfunktion umstellen kann und den Extremwert erhält, in die Ableitung bildet und gleich 0 setzt → bei einer Maximierung sucht man einen Hochpunkt (f "(x) < 0) → bei einer Minimierung sucht man einen Tiefpunkt (f" (x) > 0) 6. zweite variable bestimmen → die erste Variable kann in die Nebenbedingung einsetzen und somit die zweite variable bestimmen 7. Lösung angeben → Achtung! manchmal gibt es mehrere Lösungen, doch es ergeben nicht immer alle Sinn z. B. negative werte Beispiel Aufgabe: Das Volumen einer Dose soll 330mi betragen. Dabei soll der • Dose durch eine günstige Formgebung. materialbedarf pro minimiert werden. Berechner und h so einer Dose. 1. Hauptbedingung aufstellen Skizze: h → Fläche des Rechtecks + Fläche der Zwei kreise A(rh) = 2πr h + 21Tr² 2. Nebenbedingung aufstellen. → Volumenvorgabe : V = 330ml → Volumen eines Zylinders: V = πr ²₁h = 330 3. · Nebenbedingung um formen → πr²h = 330 1: Mr² h = 330 TTr ² 4. Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen 336 h in Alr,h): Alrih) = 2πTV.. +2Tp ². Ir kürzen! A. (r) = 2.330 + 2TT)? r 660 r = 2Tr A(r) 5. Extremwert berechnen → Ableitung bilden und 0 setzen: A'(r) = _ 660 r² -660 +4πTr³ = 0 + 2πTr² Zielfunktion + 4 πr = 0 1.r² 1+660 4πr³=6601:4π √√³ = 660 1³17 utt r = 3/1660 4TT r3,745. Beweis, dass=3,745 ein Tiefpunkt ist: →2. Ableitung bilden: A" (r) = =1320 + 4TT при h = 330 A"(3,745) = 1320 3,7453 6. zweite variable bestimmen → rin umgeformte Nebenbedingung einsetzen 330 rin h=. TT-3,745² h7,49 +47T r3,745 cm hй 7,49 ст 37,70 → Tiefpunkt 7. Lösung angeben Die Funktion A (r,h) hat ein Minimum bei r ~ 3,745 und h☆ 7,49.