Monotonie und Stetigkeit in der Analysis
Die Analysis Abitur Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte der Monotonie und Stetigkeit von Funktionen. Am Beispiel der Funktion f(x) = 1/3 x³ - 2/2 x²+6x +3 lässt sich die praktische Anwendung dieser Konzepte demonstrieren.
Definition: Eine Funktion heißt stetig an einer Stelle x₀, wenn der Funktionswert f(x₀) existiert und der Grenzwert von beiden Seiten gleich dem Funktionswert ist.
Die Untersuchung der Monotonie erfolgt durch die Ableitung f'(x) = x² - 5x + 6. Mithilfe der PQ-Formel werden die Nullstellen x₁ = 3 und x₂ = 2 bestimmt. Dies führt zur Einteilung in drei Intervalle: I₁ [-∞; 2], I₂ [2; 3] und I₃ [3; ∞].
Für die Monotonieuntersuchung wird in jedem Intervall ein Testpunkt gewählt und das Vorzeichen der Ableitung bestimmt. Im Intervall I₁ ist f'(1) = 2 > 0, somit ist die Funktion hier streng monoton steigend. Im Intervall I₂ ist f'(2,5) = -0,25 < 0, die Funktion ist streng monoton fallend. Im Intervall I₃ ist f'(10) = 56 > 0, die Funktion ist wieder streng monoton steigend.