Alternativer Bildtext:

selbe Richtung wie der vektor a. 8 b = 08² → AB = -a +1 ; Satz des Pythagoras : la 1² + 161² = 15-21² ↓ =b²-a² b Unter dem Skalarprodukt zweier vektoren versteht man die reele Zahl axbx + ay by +azbz Bezeichnung: a. bª ; ab Wenn ಷ5² = 0 a obo 0 = axbx + ay by +az bz ist atb→a und to stehen. Senkrecht aufeinander. d Orthogonalitätskriterium 2 lektoren u und to mit ‡0 und 0 sind genau dann zu ein ander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt den Wert 0 hat. Für 2 vektoren 0 und to gilt also: genau dann, wenn wo =0 cos d = Winkel zwischen 2 Vektoren W.V In 1.15. Vektorprodukt / Kreuzprodukt → Verknüpfung zweier vektoren, dessen Ergebnis ein Vektor ist, welcher Senkrecht auf beide vektoren stent axb² = 2² (ca und b) Länge von 2 : 121= |a² x b'·| = |a³1·151. Sind à xb =. mit 0° 180° /a₂b3-a3b₂ азва - ат вз ·an b₂-a₂b₁ - Trick zur Berechnung des Kreuzproduktes 1. Beide Vektoren zweimal untereinander Schreiben an. 2. Oberste und unterste Zeile wegstreichen 3.-2. mit 3. Zeile verrechnen -3. mit. 4. Zeile verrechnen -4. mit 5. Zeile verrechnen immer (links oben Spatprodukt → Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren 'xb² und einem dritten vektor → dient zur Berechnung des volumens eines Spatprodukts & ist der Winkel Zwischen axbo und 2 ● V=1(α² xb)·2²1= reele Zahl (a xb).c / агоз - азыг a3b₁-a1b3 1b₂-a₂b₁ 3) (3) rechts unten) - (links unten rechts oben) Beispiel: * - (A) * - () * - ) a = = rã xổ 2 = N 1 1 2.1-4.1 = -2 1:21.1=² A 1-4-2-2 = O ● v = (@³²x5)-2² = (?) · ( ²₂ ) Beispiel: a 2 =16 VE TJ то A=|C| = |a²|·|61. Sind * = Winkel, den a' und einschließen. * - ( ² ) ¯ = ( ² ) b 4 = 2.1-4.1 1.2 - 1.1 = 1.4 -2.2 = 2 =( 1 ) Rechengesetze für Vektoren Für alle Vektoren a, to und und alle r. SEIR gilt: Kommutativgesetz: a +b = b + a² ASSoziativgesetz (@+b) +2 = α+(b+2) r. (3.a) = a.(r.3) Distributivgesetz: r·la² +6²) = ra + r.³6 Geraden Parameter form ·g: x² = SV +r·RV ; VER 8: x² = A+r• AB ; VER ·g: x² = a +r.b²; rEIR Geraden gleichungen aufstellen 1. ein Ortsvektor eines gegebenen Punktes als Stützuektor 2. Richtungsvektor vektor zwischen den gegebenen Punkten AB Bsp.: A (2141-6) B(31-217) * = - ( ² ) + ~ (-1) = tr. -6 Punktprobe (r+s).a =r·a² +sa² VEIR SV Stützuektor RV & Richtungsvektor IX = 1+r IY = 2 +r → prüfen ob ein Punkt auf einer Geraden liegt → einsetzen des Ortsvektors des Punktes → wenn bei allen 3 Zeilen für den Parameter wert rauskommit, liegt der Punkt der gleiche auf der Geraden Geradenscharen. → Parametera" (auch andere Bezeichnungen möglich) |0 = 3 +r → r=-3 Vin I und I x = 1 + (-3) = -2 •Y = 2+(-3) =-^ Z=0. → Sxy (-21-110) 1 Beispiel: g₁ x² = ( ₁ ) + r ( ₁ ) ; r Exy : Z=0 a 2. B. g₁ : 7² = ( 1 ) +r ( ²12 ) ર. Spurpunkte 1, Durch Stoßspunkte" einer Geraden im Raum durch die koordinatenebenen •; PER 3 2 -(-)-4) -2 Bestimmung: xy-Ebene (Exy): 2=0 XZ-Ebene (Exz): y = 0 yz -Ebene (Eyz) : x = 0 - (-1) 13. · oder - gai x² = ( 42 ) + ( ² ) ; VEIR Exz: Y=o I|x = 1+r 0 = 2 +r →r=-2 IZ = 3 +r Beispiel: A(-1121-2) 9:7² = ( ₁1 ) +r ( 12 ); VER -1=1+r ·→ r₂ = -2. 2=1-31 → 12₂ = -3 -2=2r rin I und II X=1+(-2) = -1 Y=O z=3+(-2) = 1 →Sx₂(-11011) ; PER Eyz: X=0 I|0 = 1+r IY = 2 +r 11Z = 3 +r Va #r₂ B im Raum gibt es nur. clie Parameter form →r=-1 r in II und III x=0 y = 2+(-1) = 1 2 = 3+(-1)=2 → Syz (01112) g → A&g Ebenen Parameterform: E: mit rund sSER A OA AC X² = SV + r SpanV/₁ + 5. Span V₂ + S. AZ ·E· X² = OR +r. AB E: X² B a² +r·b² + 5.2² Ebene E Normalen form: E: [ ²³²-5²]·ñ³² = 0 Die Spannvektoren dürfen nicht kollinear sein bzw. A, B und C dürfen nicht auf einer Geraden liegen n² = SpanV₁ × SpanV₂ Koordinatenform: E: ax+by+cz =d *² = ( 2 ) b Ebenengleichungen aufstellen 3 Punkte gegeben 1. ein Punkt als Stützuektor 2. Spannvektoren zwischen Punkt des Stützuektors and Zwei anderen Punkten Punkt und Gerade 1. Sv der Geraden - SV der Ebene 2. RV der Geraden = SpanV₁ der Ebene 3. Span₂ = vektor zwischen dem Punkt und dem SV SV Stützvektor SpanV₁ = Spannvektor SpanV₂ Spannvektor 2 Ebenen sind unbegrenzt! der Gerade Kreuzprodukt/ Vektorprodukt