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Abiturzusammenfassung Analytische Geometrie

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Analytische Geometrie
vektoren
Definition
Ein vektor ist eine menge von Pfeilen in der Ebenel im Raum, die alle:
- gleich lang
-gleich geric
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Ein vektor ist eine menge von Pfeilen in der Ebenel im Raum, die alle:
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Analytische Geometrie vektoren Definition Ein vektor ist eine menge von Pfeilen in der Ebenel im Raum, die alle: - gleich lang -gleich gerichtet -parallel zueinander sind Ein einzelner Pfeil aus der menge heißt Repräsentant. Durch einen Vektor wird eine verschiebung in der Ebenelim Raum beschrieben. Schreibweise in der Ebene: =(x) im Raum: ✓ = V=PQ = 1xQ-xp YQ -YP [q -૨p/ besondere Vektoren Gegenvektor Nullvektor = (0 ✓ = (31) una + = (-1) -= 3- Ortsvektor OP = 2 O Betrag eines vektors Der Betrag eines Vektors gibt dessen Länge an. Für den Betrag eines Vektors gilt: 1³1 =√√₂² +vy² +v₂²¹ Mittelpunkt einer Strecke P₁(x₂lY₁lZ₁) P₂ ( X₂ /Y₂ 1Z₂) OM = (OP₁+OP) M(2+k² | Ya+12 | 2₁ +2₂) 2 Skalar multiplikation Ist a ein Vektor und r eine reele Zahl (Skalar), dann ist b=ra ein vektor mit folgenden geometrischen Eigenschaften: ist parallel zu a Bunda haben die selbe Richtung -rob hat die r-fache Länge von a 1581 .-r.< Vektoren mit der Länge 11 dem Betrag 1 nennen wir Einheitsvektor = - (4) la²l =1 4² +1² +4²¹ = 133¹ (1) bunda haben die entgegengesetzte Richtung hat die r-fache Länge von a Erzeugen eines Einheitsvektors Bsp. a A 16³1= To 161 = 1 Lineare Abhängigkeit und unabhängigkeit Vektoren heißen voneinander linear abhängig, wenn mind. Eine Linearkombination der übrigen vektoren ist. Vektoren heißen linear unabhängig, wenn keiner der vektoren als eine Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden kann. Skalarprodukt AB Der Vektor hat den Betrag 1 und die selbe Richtung wie der vektor a. B a = oA = OB →AB ; ist ab Satz des Pythagoras:...

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la 1² + 16³1² = 16 - 2² Unter dem Skalarprodukt zweier vektoren versteht man die reele Zahl axbx + ay by +azbz Bezeichnung: a. 5; ab Wenn a' b² = 0 = -a +b =b²-a² a ob نے 0 = axbx + ayby +azbz und to stehen senkrecht aufeinander. Orthogonalitätskriterium 2 vektoren und mit ‡0 und 0 sind genau dann zu einander orthogonal, wenn ihr Skalarproduct den Wert 0 hat. Für 2 vektoren 0 und 0 gilt also: ut genau dann, wenn u. E' =0 cos d = Winkel zwischen 2 Vektoren W.V 11.11. Vektorprodukt / Kreuzprodukt → Verknüpfung zweier Vektoren, dessen Ergebnis ein Vektor ist, welcher Senkrecht auf beide Vektoren stent mit 0° 180° axb = (a und 2) Länge von 2 : 121= |a² xb²| = |a1·151. Sind à xb² = /a₂b3-a3b₂ 936₁-9163 a₁b₂-a₂b₁ → Trick zur Berechnung des Kreuzproduktes 1. Beide Vektoren zweimal untereinander Schreiben 2. Oberste und unterste Zeile wegstreichen 3. 2. mit 3. Zeile verrechnen -3. mit 4. Zeile verrechnen -4. mit 5. Zeile verrechnen immer (links oben rechts unten) - (links unten rechts oben) Spatprodukt → Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren und einem dritten vektor axb → dient zur Berechnung des volumens eines Spatprodukts & ist der Winkel zwischen xb und V=1(axb)·2²1= reele Zahl (a xb)·2² = /a₂b3-a3b₂ a3b₁-a1b3 la₁b₂-a₂b₁. Beispiel: * - (²) +- (²-) * - (²) = a= = axb= 2-1-4-1-2 1.21.1 = 1-4-2-2 = ^ ● Beispiel: 2² = ( ₁ ) b v = (@²x5)-² = ( ²³ ) · ( ²₂ ) 2 1 1 A=1C²1=1a²1.161· Sind & Winkel, dena und einschließen. =16 VE टे 2 4 1 2 4. B = ( ² ) a 2·1-4-1 = -2 1.2 - 1.1 = 1-4-2-2 = 0 *+-(²) Rechengesetze für Vektoren Für alle vektoren a, to und & und alle V, SEIR gilt: Kommutativgesetz: a +b = b +a Assoziativgesetz: (a + b) + C² = α²+(b + c) r. (3.a) = a.(r.3) Distributivgesetz: r·(@²³ +6²) = ra + r·T (r+s).a =r.a+sa Geraden Parameterform ·g: x² = SV + r·RV ; VEIR 8:x° = +r. AB ;reIR g⋅ x² = 2² +r.b²; rEIR .tr. Geradengleichungen aufstellen 1. ein Ortsvektor eines gegebenen Punktes als Stützuektor 2. Richtungsvektor vektor zwischen den gegebenen Punkten. T-(-)-(3) - (-43) Bsp.: A (2141-6) B(31-217) g₁ ² = (²2) + (-1^1) ; ²₁ g: tr ;VEIR Punktprobe SV Stützuektor Richtungsvektor → prüfen ob ein Punkt auf einer Geraden liegt → einsetzen des Ortsvektors des Punktes → wenn bei allen 3 Zeilen für den Parameter der gleiche wert rauskommit, liegt der Plinkt auf der Geraden Geradenscharen. → Parameter a" (auch andere Bezeichnungen möglich) - 2.8. g ₁ + 7 = ( 3 ) + ( 14² ) ; PER oder ga¹ x² = Spurpunkte Durch stoßpunkte" einer Geraden im Raum durch die koordinatenebenen Bestimmung: xy-Ebene (Exy): 2 = 0 XZ-Ebene (Ext): y = 0 yz -Ebene (Eyz): x=0 Beispiel: g: x² = ( ₁ ) + ( ^²); re PEIR Ex: Đạo IX = 1 +5 Y = 2 +r 10 = 3 +r→=-3 rin I und I x = 1 + (-3) = -2 Y = 2+(-3) =-^ Z=0 → Sxy (-21-110) Exz: Y=o I|x = 1+r 0 = 2 +r →r=-2 IZ = 3 +r rin I und II X= 1 + (-2) = -1 Y=O z = 3+(-2) = 1 →Sx₂ (-11011) * - ( ² ) + ( ²³ ) Beispiel: A(-1121-2) 9: x² = ( 1 ) + V ( 23 ); VER -^= 1+r →=-2 -2= 2r DA 2=1-3175₂²-3 ; PER im Raum gibt es nur clie Parameter form AB V₁ #1₂ r in II und III x=0 y = 2+(-1) = 1 z = 3+ (-1)=2 →Syz (01112) Eyz: X=0 I 0 = 1 + r →=-1 Y = 2 +r Z = 3 +r → A49 Ebenen Parameterform: E: mit rund sER AC с X² = SV² +r Span V₁ +5. Span V₂ + S. टे ·E: X² = OR +r AB E : X²: = a +r·b² + 5.2² Ebene E Die Spannvektoren dürfen nicht kollinear sein bzw. A, B und C dürfen nicht auf einer Geraden liegen Normalen form: E: [x² - SV²³] ·ñ³² = 0 n² = SpanV₁ × Span V₂. Koordinatenform: E: ax+by+cz =d a = (2) n² = Ebenengleichungen aufstellen 3 Punkte gegeben 1. ein Punkt als Stützuektor 2. Spannvektoren zwischen Punkt des Stützuektors und zwei anderen Punkten SV Stutzvektor SpanV₁ Spannvektor 1 SpanV₂ Spannvektor 2 Ebenen sind unbegrenzt! Punkt und Gerade 1. 5v² der Geraden = SV der Ebene 2. RV der Geraden= SpanVa der Ebene 3. Span₂ vektor zwischen dem Punkt und dem SV. der Gerade. .Kreuzprodukt/ Vektorprodukt Zwei Geraden, die parallel sind 1. SV einer der Geraden = SV der Ebene 2. RV einer der Geraden = SpanV₁ der Ebene 3. Spank vektor zwischen den beiden SV (als Punkte) der beiden Geraden Zwei Geraden, die Sich Schneiden ·1. sv. einer der Geraden = 5V der Ebene. 2. beide RV der Geraden = Spannvektoren der Ebene Ebenengleichungen umwandeln Parameterform in Normalen form: 1. n bilden durch boxc E x² = a +r. B² + 5.2² (kreuzprodukt der beiden Spannvektoren) 2. SV bleibt gleich und wird eingesetzt : ↓ E: [x²-SV]·²=0 3 x² = ( 8 ) + ( ³² ) + s ( ³ ) Beispiel: E: X² = 1. Beispiel: 2. E. [X-(8)]. (3) 3 3 X ~^² = ( 2² ) × ( ²³ ) (8) n = ↓ E: ax+by+cz =d Parameterform: Normalenform: Parameterform in Koordinatenform: 1. n bilden durch boxc Ex² = a +r. B²³ + ·5.2²³ tr = 0 = (-40) ; V, SEIR ~^² = ( ²³ ) × ( ²³ ) X n' = 2 3 2 ** - ( 1 ) + ( ²³ ) + ₁ ( ²² ) 3 O - 1 3 O 3.0 -2.3 =-6 (Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren) 2. E in Koordinaten form aufstellen 3. Svin koordinaten form einsetzen und d berechnen 2.(-1)-(-1)-0 = -2 (-1)-3-3-(-1) = 0 Koordinatenform: E: 4x-noy-z = d → Stützvektor einsetzen E: 4.1-10·1-2= d und d berechnen -8 = d →E: 4x-10y-2=-8 Nebenrechnung: .; ", SEIR 1-2 (2-(-1)) = 4 = -10 2.(-2)-32 3-(-1)-1-(-2) = -1₁ Normalen form in koordinaten form: E: [x-SV] n = 0 ↓ E: ax+by+cz =d Beispiel: E: E:X² [ * - (-2)] · (²³3) 1. n' = b→ E: ax+by+cz =d E: 2x-3y+9z =d 2. SV in E: -Sv = (-12) koordinaten form in Parameter form. E: ax+by+cz =d E: 2x-3y+92 = 53 →2.1-3-(-2) +9.5=d 2 +6+45 =d 53 =a ↓ = a² +r·b² + 5.2² E: X² = =0 Beispiel: 2x+4y=32 =12 1-4y+3z 2x = 12-4y +32 1:2 x = 6-2y+ - 2y + 23/2 .2 1. Koordinatenform nach einer koordinate umformen 2. anderen koordinaten mit r. und s ersetzen 3. in die parameterform einsetzen X = - 2y +22=6-2r + ·½ s y = r Z = S 16 1-2 →* = (6 ) + - ( 1 ) + ³ ( 1 ) S 1. Koordinaten des Normalenvektors für Parameter der koordinaten form einsetzen 2. SV in Koordinaten form einsetzen und d berechnen X, Y, Z in Parameterform 1-2 6-2r+ - ( ) ( ^ * * **) - () -- () -- (?!) E: 0 + S S VISEIR VISEIR Darstellung von Ebenen E: ax +by+cz =d 1:d x+y+z=1 →Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinaten achsen (Spurpunkte) Sxy=0,2 =0 → Sx (1010) Sy x=0, 2=0 → Sy (01/10) ₂x=0, y = S₂ (01012). : Achsenabschnittsgleichung: A + 2 + ² = 1 Beispiel: 2x + 4y +52 =20 1:20 Y X + 2 + 3 / 2014 → Sx (101010) Sy (01510) Sz (01014) Spurpunkte Schnittpunkt einer Ebene mit den Koordinatenachsen. 1. Ebenenform in koordinaten form um formen 2. Jeweils 2 Parameter 0 setzen Schnittpunkt mit der x-Achse →> y=0,2 = 0. Schnittpunkt mit der y-Achse ⇒ x = 0₁ ² = 0 Schnittpunkt mit der Z-Achse → X=01 Y=0 = 1 3. nach der Variable umstellen → Sx (x1010) Sy (0/y10) S₂ (01012) Beispiel: E: 4x + 3y +6z=36 y=0,2 =0 4x+3.0+6.0=36 4x = 36 1:4 x = 9 → Sx (91010) x=0,² = 0 4.0 + 3y +6.0 = 36 3y Y = 36 1.3 = 12 →Sy (011210) x=0₁ Y=0 4.0+3.0 +62=36 Iman kann auch die Achsenabschnittsgleichung nutzen 62 = 36 1:6 2 =6 →S₂ (01016) Spurgeraden Schnittgerade von E und Exy; Ex, Eye 1. koordinaten der Achsenabschnitte ermitteln 2. Geradengleichung durch diese aufstellen Beispiel: E: 4x + 3y +6z=36 5 + 2/12 + 2 =^ → Sx (91010) → Sy (011210) → Sz (01016) 1:36 Schnittgerade mit Exy: g: 7² = ( ) + (12²) r. x² = OS +rSx Sy Schnillgerade mit Exz: g ₂ x² = ( 8 ) + + - ( 2³ ) x² = OSX +r-SX S₂ Schnittgerade mit Eye: 9₁₁² = (2) +- (-:-) 93³ X? ·OS, +r. +r. Sy S₂ ; VER it ER ; SER Lagebeziehungen Gerade und Gerade möglichkeiten Schnitt (gnh) parallel echt identisch parallel (g=h) (glih) Vorgehensweise: 9: x²=a²+r·b h: x²=C+s-d² r₁S EIR 2. Schnitt: Beispiel: g₁ P² = ( 1 ) h. x² = :↓ Schnittpunkt für r beig und s bein + ( ²2 ) ( ³3³ ) + ( 3³ ) 1. Parallelität: RV₁ = k· RV₂ genau eine Lösung für rund s 1. Parallelität ist To = k·a; KER (Richtungsvektoren linear abhängig/kollinear) 461 → 911h ist zusätzlich a= + sa (Ortsvektor lines Punktes Peg und gleichzeitig Peh) dann sind g und h・ identisch →g=h. Schnitt oder windschief 2. Keine Parallelität: Gleichsetzen: g=h I + 2r ㅍ Vin I: Windschief (дни, длы). 2 +r a+r·b = c+sa =h g= 2 = -2K → k=-^. -1 = 3k →=- ^ = 3k ( 1 ) + ( ² ) · ( ² ) + ( 3³ ) tr - keine Lösung (f.A.) ↓ gund h liegen Windschief zueinander (9th, 9th) = gth = 5-2s =-3 +35 →r=3-3s = 2 +35 1+2-(3-35) = 5-25 1+6 -65 = 5-2s | +6s 1-5 2 = 45 1:4 S = 1/ unendlich viele Lösungen (w. A.) ↓ identisch (Fehler bei Parallelitätsprüfung) Sin II: r=3-3-1 r = -³/1/12 3 runds in III: 2 + ² = 2 + 3₁/1/2 37 - ²2/ ring: x=1+2 ₁²2/² 3 y=- 2²/1/20 z = 2+ 를 M/N = W.A. →gnh - 2/2 - 5141- ²2/12/2) 클) (1) |H|N Lagebeziehungen Geraden und Ebenen möglichkeiten Schnitt echt parallel 1. Parallelität parallel E: X= OA +VAB + S.AC; r.se IR g: x² = OD + t.DE ; tEIR Ellg, wenn ². DE=0 (dan + DE) Beispiel: g₁ X² = ( ² ) + (₁1) ; VER gliegt in der Ebene n. RV = 0 06)-- E: x + 2y +32 =9 → ñ: 1. → ²- ( 1₁ ) |= 1·1+2·1+ 3² (-1) = 0 W.A. → echt parallel oder liegt g in E? LSV in E=2+2·3+3.1=9 2. Schnitt (auch für Parallelitätsprüfung geeignet) → Einsetzen o. Gleichsetzen → erhält man eine falsche Aussage → parallel erhält man eine wahre Aussage. in der Ebene erhält man ein eindeutiges Ergebnis → Schnittpunkt Beispiel 4: 9: X² = ( ² ) (²) + (₁1) E: x + 2y +32 =9 g: x = 2 +r y = 2 +r → in E einsetzen: (2+r) +2·(2+r) + 3₁ (1-r) = 9 2 = 1-r 2+r+4 +2r +3-3r ;VEIR Beispiel2» 9: P² = ( ² ) + (-2²) (3); E: x + 2y +3z =9 x=2-2r →in E einsetzen: (2-2r) +2· (3+r) + 3. (1-r) = 9 Y = 3 +r 2-2r +6 +2r +3-3r = 9 2=1-5 11-3r =9 1-9 1+3r 3r 2 1:3 ;reIR 2. ring. → x=2-2.} = ²/3 =9 9 = 9 W.A. g liegt in der Ebene 11 = 9 f.A. g liegt echt parallel zu E v=³S (1414) 2= 1-²/2 = 1/2 Schnittpunkt von g und E = Lagebeziehung Ebene und Ebene möglichkeiten echt parallel identisch Schnittgerade Vorgehensweise → Einsetzen einer Ebenen gleichung in Parameter form in eine Ebenen gleichung in koordinaten form → Lösung: - Schnitt gerade - falsche Aussage → parallel wahre Aussage lunendlich viele Lösungen) → identisch Beispiel: E₁:4x+3y+62 = 36 Ez · · () + · ( ²³ ) + ( 2 ) S x = 3r+3s y=2r z = 3-r-S Sin E₂: →in E₁: 4.(3r+ 3s) + 3 2r +6-(3-r-S) = 36 12r +125 +6r+ 18-6r-6s=36 12r +65 +18 2=3-r-(3-2r) Beispiel: E₁: X+3z ·4y = 9 ; r₁SEIR x=3r+ 3(3-2r) = 3r +9-6r = 9-3r y=2r = 2r =2r = 3-r-3+2r = E ₂₁ * -( - ) + ( 6 ) + ( 8 ) ; 8 X = 3 Beispiel: E₁ -x-y-2z = -5 =361-18 1-12r 6s = 18-121 1:6 S = 32r x =^-r y = r +25 2 = 2-s ; r, SEIR = ₂: P² = ( 2 ) + ² ( 72² ) + ₁ ( 2₂ ) ; ₁ y=-7 +6r+3s z = 5 +8r+45 E₂ in En: 3+3 (5 +8r+45) -4 (-7 +6r+ 3 s) = 9 3+15+24r+125+28 -24r-12 S =9 ; r₁ SEIR 9 2 = ( 8 ) + ² (1 2²³) ; re Schnittgerade von E₁ und E2₂ g: -5 46 = 9 f.A. → parallel zueinander E₂ in E₁: -(1-r) - (r+25) -2 (2-5) = -5 -5 -1 +r-r-25-4+25 = -5 -5 W. A. → identisch Abstände berechnen Punkt-Punkt → Länge des vektors zwischen den beiden Punkten d = |AB| = ¹ x² + y² + z²² Bsp. P(3121-4) Q (41-113) a = 1²@1 -1 (²3) -(²³)| = |(²³) | = 11²+(-3)² +7²² Punkt-Gerade 1. Hilfsebene in Normalen form bestimmen, die senkrecht auf 9 Stent und den Punkt P enthält →Punkt P als Stützvektor = =159 7,68 LE von g ist der Normalenvektor der Hilfsebene 2. Schnittpunkt der Geraden und Hilfsebene H bestimmen (Einsetzen der Geradengleichung in Hilfsebene H) 3. Abstand Länge des vektors vom Schnittpunkt Zum Punkt P 2. BSP.: P(-2112) 9: T² = ( 2 ) + (-3); Bsp.. F =() 1. Hilfsebene H: [x² - ( ²₂² )² · (²²) - )) =0 g:. S von It und g Hin Koordinaten form → H: x-5y + ²z =d₂ Pin H-2-5·1+2·2=a X = 1+r y = 2-5r 2 = 2r (1+r)-5. (2-5r) +2.2₁ = -3. 1+r-10+25r+4r =-3 1+9 30 r = 6 1:30 ŝ ·음 in H:x-5y +2z = -3 ;reIR 6/6.5 3 ring: x= 1 + ²/² Y = 2-5. 2=2.4 3. d= = | 8.15¹ ª - ³*-|(³) - ( )| ( )|- ~)* ·* --* - 4€ ما الى a = -3 → 51 / 111/²/3) A X a(A; B)= IABI 3,58 LE a(P; 9) g Punkt-Ebene d (P; E) = In₁ P₁ +1₂ P₂ +n₂ P3-dl Trả trẻ trở Beispiel: E: 3x+2y+z=11 P(21411) 13.2 +2.4 +1.1-111 13² +2² +1²² d (P; E)= Gerade-Gerade Windschiefe Geraden hcH a(9;h) =|(@²=2):7² || เล dig; h) Bsp.: 9₁7² = () ++ (2); +t h: x = ² = ( ²³ ) + ² ( 1 ) S H d(g; h) = = 2 3 tEIR → = ( ² ) × ( 1 ) = ( ¹² ) ñ ; SEIR (19)-(;)) (33) 1(3)1 (6)·() 11 (2) ²³ +2²³ + (-1) ²² ·LE P(P₁ P₂ P3) E: M₁x +₂y+n₂ ⋅ 2 = d →h liegt in der Ebene H →g verläuft parallel zur Ebene H |9: x² = a² +r·b²² h: x² = c+sa (n² = bxd) 114 911H LE Gerade-Ebene →Gerade verläuft parallel zur Ebene → Rechnung wie bei Punkt-Ebene (beliebiger Punkt von vọng) XP parallele Geraden → Rechnung wie be: Punkt-Gerade Ebene-Ebene →parallele Ebenen E und I → Rechnung wie be: Punkt-Ebene (beliebiger Punkt von E) d(P; E) d(g; E) E a(E;F) 9 F E Zwischen 2 vektoren W.V. W.VI Beispiel: a² = (-²4), 6² = ( ²₂ ) (-²₂). (²) -4 12² +1-41²+1²²-13² +0² +(-2)² → α=cos ^/ cos d = Cosd= 121.113 Zwischen 2 Geraden |u². Vl cos d = Sind = Beispiel: g: x² =( 3³ ) +r. (¯ ½) * = (-²³²) + ₁ - ( ² ) h: 7² Cos d = 1(E) - (²) ( )|-|()T Cos 2 = 0 winkelberechnungen In.u²| RE 42 = 90° Zwischen Gerade und Ebene sind = 1 ( 2 ) - ( 2³ )| He Cos d= mit 0⁰25180° mit 0°≤ ≤ 90° 45= α = Sin-1 (1¹) 56,8⁰ Zwischen 2 Ebenen Ininal In 1-151 (osd_16)-(2) =! 3² (12²4 13² ) ~ 76 ° ; VISEIR -8 +4+4 √(-4)² +2²³ +2² 12² +2²³ +2² mit 0°≤ ≤ 90° kein Cos! Beispiel 9: 7² = ( 13² ) + √(- 12); FER E: x-y +22=67² = 1 (1-4 + (-1/² (-2) +2·0.) 1. 41²+(-1)² +2²² · 44² + (-2)² +0² Beispiel: E: y+27=6 == (3) +- (3) +¹(3) ³-(?) mit 0° 90° • ² = ( 1 ) × (²) = = und sind die Richtungsvektoren der Geraden O 216.213 n ist der Normalen vektor der Ebene 6 130⁰ 16.120 10 131 und sind die Normalenvektoren der Ebenen ; V, SEIR 1 (-) -6. + (-10) 1₁ | 16 | |(²)||(²²)|__¹0³²+1³² +2²° •1₁3³ +(-6) ²+ + 5)² 15² · 1230 →261,80 α T> a C Ts Ts 9 h g Schnittgerade g K: 1x²-m³²l=r (x²-m²)² =r² M(mxlmy) m² = OM x = Ox mit Xek k₁ ((x ) - ( x ))² = i =p² Kreise ((x)-(mx)) ·((~)-(mx)) = r² (x-mx) (x-mx) + (y-my)·(y-my) = (² |k: (x-mx)³+ (y-my)² = √² Koordinaten form Lagebeziehung eines Punktes zu einem Kreis Gegeben Sei ein Punkt (xly) und ein kreis k: (x-mx)³² + (y-my)² <r? 1. Gilt (x-mx)² + (y-my)² = r², So liegt. P auf dem Kreisk 2. Gilt (x-mx)² + (y-my)² < r², so liegt Pinnerhalb des Kreises 2 3. Gilt (x-mx)² + (y-my)² > r², so liegt P außerhalb des Kreises Lagebeziehung einer Geraden zu einem Kreis D a O Sekante 42 Schnittpunkte Tangente 4 ein Schnittpunkt Passante : xbao.ox Vorgehensweise: - Geradengleichung in Kreisgreichung -auflösen → eine Lösung Tangente. Zwei Lösungen: Sekante keine Lösung: Passante Kein Schnittpunkt bzw. M M m bzw. OM