Abiturzusammenfassung Analytische Geometrie

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la 1² + 16³1² = 16 - 2² Unter dem Skalarprodukt zweier vektoren versteht man die reele Zahl axbx + ay by +azbz Bezeichnung: a. 5; ab Wenn a' b² = 0 = -a +b =b²-a² a ob نے 0 = axbx + ayby +azbz und to stehen senkrecht aufeinander. Orthogonalitätskriterium 2 vektoren und mit ‡0 und 0 sind genau dann zu einander orthogonal, wenn ihr Skalarproduct den Wert 0 hat. Für 2 vektoren 0 und 0 gilt also: ut genau dann, wenn u. E' =0 cos d = Winkel zwischen 2 Vektoren W.V 11.11. Vektorprodukt / Kreuzprodukt → Verknüpfung zweier Vektoren, dessen Ergebnis ein Vektor ist, welcher Senkrecht auf beide Vektoren stent mit 0° 180° axb = (a und 2) Länge von 2 : 121= |a² xb²| = |a1·151. Sind à xb² = /a₂b3-a3b₂ 936₁-9163 a₁b₂-a₂b₁ → Trick zur Berechnung des Kreuzproduktes 1. Beide Vektoren zweimal untereinander Schreiben 2. Oberste und unterste Zeile wegstreichen 3. 2. mit 3. Zeile verrechnen -3. mit 4. Zeile verrechnen -4. mit 5. Zeile verrechnen immer (links oben rechts unten) - (links unten rechts oben) Spatprodukt → Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren und einem dritten vektor axb → dient zur Berechnung des volumens eines Spatprodukts & ist der Winkel zwischen xb und V=1(axb)·2²1= reele Zahl (a xb)·2² = /a₂b3-a3b₂ a3b₁-a1b3 la₁b₂-a₂b₁. Beispiel: * - (²) +- (²-) * - (²) = a= = axb= 2-1-4-1-2 1.21.1 = 1-4-2-2 = ^ ● Beispiel: 2² = ( ₁ ) b v = (@²x5)-² = ( ²³ ) · ( ²₂ ) 2 1 1 A=1C²1=1a²1.161· Sind & Winkel, dena und einschließen. =16 VE टे 2 4 1 2 4. B = ( ² ) a 2·1-4-1 = -2 1.2 - 1.1 = 1-4-2-2 = 0 *+-(²) Rechengesetze für Vektoren Für alle vektoren a, to und & und alle V, SEIR gilt: Kommutativgesetz: a +b = b +a Assoziativgesetz: (a + b) + C² = α²+(b + c) r. (3.a) = a.(r.3) Distributivgesetz: r·(@²³ +6²) = ra + r·T (r+s).a =r.a+sa Geraden Parameterform ·g: x² = SV + r·RV ; VEIR 8:x° = +r. AB ;reIR g⋅ x² = 2² +r.b²; rEIR .tr. Geradengleichungen aufstellen 1. ein Ortsvektor eines gegebenen Punktes als Stützuektor 2. Richtungsvektor vektor zwischen den gegebenen Punkten. T-(-)-(3) - (-43) Bsp.: A (2141-6) B(31-217) g₁ ² = (²2) + (-1^1) ; ²₁ g: tr ;VEIR Punktprobe SV Stützuektor Richtungsvektor → prüfen ob ein Punkt auf einer Geraden liegt → einsetzen des Ortsvektors des Punktes → wenn bei allen 3 Zeilen für den Parameter der gleiche wert rauskommit, liegt der Plinkt auf der Geraden Geradenscharen. → Parameter a" (auch andere Bezeichnungen möglich) - 2.8. g ₁ + 7 = ( 3 ) + ( 14² ) ; PER oder ga¹ x² = Spurpunkte Durch stoßpunkte" einer Geraden im Raum durch die koordinatenebenen Bestimmung: xy-Ebene (Exy): 2 = 0 XZ-Ebene (Ext): y = 0 yz -Ebene (Eyz): x=0 Beispiel: g: x² = ( ₁ ) + ( ^²); re PEIR Ex: Đạo IX = 1 +5 Y = 2 +r 10 = 3 +r→=-3 rin I und I x = 1 + (-3) = -2 Y = 2+(-3) =-^ Z=0 → Sxy (-21-110) Exz: Y=o I|x = 1+r 0 = 2 +r →r=-2 IZ = 3 +r rin I und II X= 1 + (-2) = -1 Y=O z = 3+(-2) = 1 →Sx₂ (-11011) * - ( ² ) + ( ²³ ) Beispiel: A(-1121-2) 9: x² = ( 1 ) + V ( 23 ); VER -^= 1+r →=-2 -2= 2r DA 2=1-3175₂²-3 ; PER im Raum gibt es nur clie Parameter form AB V₁ #1₂ r in II und III x=0 y = 2+(-1) = 1 z = 3+ (-1)=2 →Syz (01112) Eyz: X=0 I 0 = 1 + r →=-1 Y = 2 +r Z = 3 +r → A49 Ebenen Parameterform: E: mit rund sER AC с X² = SV² +r Span V₁ +5. Span V₂ + S. टे ·E: X² = OR +r AB E : X²: = a +r·b² + 5.2² Ebene E Die Spannvektoren dürfen nicht kollinear sein bzw. A, B und C dürfen nicht auf einer Geraden liegen Normalen form: E: [x² - SV²³] ·ñ³² = 0 n² = SpanV₁ × Span V₂. Koordinatenform: E: ax+by+cz =d a = (2) n² = Ebenengleichungen aufstellen 3 Punkte gegeben 1. ein Punkt als Stützuektor 2. Spannvektoren zwischen Punkt des Stützuektors und zwei anderen Punkten SV Stutzvektor SpanV₁ Spannvektor 1 SpanV₂ Spannvektor 2 Ebenen sind unbegrenzt! Punkt und Gerade 1. 5v² der Geraden = SV der Ebene 2. RV der Geraden= SpanVa der Ebene 3. Span₂ vektor zwischen dem Punkt und dem SV. der Gerade. .Kreuzprodukt/ Vektorprodukt Zwei Geraden, die parallel sind 1. SV einer der Geraden = SV der Ebene 2. RV einer der Geraden = SpanV₁ der Ebene 3. Spank vektor zwischen den beiden SV (als Punkte) der beiden Geraden Zwei Geraden, die Sich Schneiden ·1. sv. einer der Geraden = 5V der Ebene. 2. beide RV der Geraden = Spannvektoren der Ebene Ebenengleichungen umwandeln Parameterform in Normalen form: 1. n bilden durch boxc E x² = a +r. B² + 5.2² (kreuzprodukt der beiden Spannvektoren) 2. SV bleibt gleich und wird eingesetzt : ↓ E: [x²-SV]·²=0 3 x² = ( 8 ) + ( ³² ) + s ( ³ ) Beispiel: E: X² = 1. Beispiel: 2. E. [X-(8)]. (3) 3 3 X ~^² = ( 2² ) × ( ²³ ) (8) n = ↓ E: ax+by+cz =d Parameterform: Normalenform: Parameterform in Koordinatenform: 1. n bilden durch boxc Ex² = a +r. B²³ + ·5.2²³ tr = 0 = (-40) ; V, SEIR ~^² = ( ²³ ) × ( ²³ ) X n' = 2 3 2 ** - ( 1 ) + ( ²³ ) + ₁ ( ²² ) 3 O - 1 3 O 3.0 -2.3 =-6 (Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren) 2. E in Koordinaten form aufstellen 3. Svin koordinaten form einsetzen und d berechnen 2.(-1)-(-1)-0 = -2 (-1)-3-3-(-1) = 0 Koordinatenform: E: 4x-noy-z = d → Stützvektor einsetzen E: 4.1-10·1-2= d und d berechnen -8 = d →E: 4x-10y-2=-8 Nebenrechnung: .; ", SEIR 1-2 (2-(-1)) = 4 = -10 2.(-2)-32 3-(-1)-1-(-2) = -1₁ Normalen form in koordinaten form: E: [x-SV] n = 0 ↓ E: ax+by+cz =d Beispiel: E: E:X² [ * - (-2)] · (²³3) 1. n' = b→ E: ax+by+cz =d E: 2x-3y+9z =d 2. SV in E: -Sv = (-12) koordinaten form in Parameter form. E: ax+by+cz =d E: 2x-3y+92 = 53 →2.1-3-(-2) +9.5=d 2 +6+45 =d 53 =a ↓ = a² +r·b² + 5.2² E: X² = =0 Beispiel: 2x+4y=32 =12 1-4y+3z 2x = 12-4y +32 1:2 x = 6-2y+ - 2y + 23/2 .2 1. Koordinatenform nach einer koordinate umformen 2. anderen koordinaten mit r. und s ersetzen 3. in die parameterform einsetzen X = - 2y +22=6-2r + ·½ s y = r Z = S 16 1-2 →* = (6 ) + - ( 1 ) + ³ ( 1 ) S 1. Koordinaten des Normalenvektors für Parameter der koordinaten form einsetzen 2. SV in Koordinaten form einsetzen und d berechnen X, Y, Z in Parameterform 1-2 6-2r+ - ( ) ( ^ * * **) - () -- () -- (?!) E: 0 + S S VISEIR VISEIR Darstellung von Ebenen E: ax +by+cz =d 1:d x+y+z=1 →Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinaten achsen (Spurpunkte) Sxy=0,2 =0 → Sx (1010) Sy x=0, 2=0 → Sy (01/10) ₂x=0, y = S₂ (01012). : Achsenabschnittsgleichung: A + 2 + ² = 1 Beispiel: 2x + 4y +52 =20 1:20 Y X + 2 + 3 / 2014 → Sx (101010) Sy (01510) Sz (01014) Spurpunkte Schnittpunkt einer Ebene mit den Koordinatenachsen. 1. Ebenenform in koordinaten form um formen 2. Jeweils 2 Parameter 0 setzen Schnittpunkt mit der x-Achse →> y=0,2 = 0. Schnittpunkt mit der y-Achse ⇒ x = 0₁ ² = 0 Schnittpunkt mit der Z-Achse → X=01 Y=0 = 1 3. nach der Variable umstellen → Sx (x1010) Sy (0/y10) S₂ (01012) Beispiel: E: 4x + 3y +6z=36 y=0,2 =0 4x+3.0+6.0=36 4x = 36 1:4 x = 9 → Sx (91010) x=0,² = 0 4.0 + 3y +6.0 = 36 3y Y = 36 1.3 = 12 →Sy (011210) x=0₁ Y=0 4.0+3.0 +62=36 Iman kann auch die Achsenabschnittsgleichung nutzen 62 = 36 1:6 2 =6 →S₂ (01016) Spurgeraden Schnittgerade von E und Exy; Ex, Eye 1. koordinaten der Achsenabschnitte ermitteln 2. Geradengleichung durch diese aufstellen Beispiel: E: 4x + 3y +6z=36 5 + 2/12 + 2 =^ → Sx (91010) → Sy (011210) → Sz (01016) 1:36 Schnittgerade mit Exy: g: 7² = ( ) + (12²) r. x² = OS +rSx Sy Schnillgerade mit Exz: g ₂ x² = ( 8 ) + + - ( 2³ ) x² = OSX +r-SX S₂ Schnittgerade mit Eye: 9₁₁² = (2) +- (-:-) 93³ X? ·OS, +r. +r. Sy S₂ ; VER it ER ; SER Lagebeziehungen Gerade und Gerade möglichkeiten Schnitt (gnh) parallel echt identisch parallel (g=h) (glih) Vorgehensweise: 9: x²=a²+r·b h: x²=C+s-d² r₁S EIR 2. Schnitt: Beispiel: g₁ P² = ( 1 ) h. x² = :↓ Schnittpunkt für r beig und s bein + ( ²2 ) ( ³3³ ) + ( 3³ ) 1. Parallelität: RV₁ = k· RV₂ genau eine Lösung für rund s 1. Parallelität ist To = k·a; KER (Richtungsvektoren linear abhängig/kollinear) 461 → 911h ist zusätzlich a= + sa (Ortsvektor lines Punktes Peg und gleichzeitig Peh) dann sind g und h・ identisch →g=h. Schnitt oder windschief 2. Keine Parallelität: Gleichsetzen: g=h I + 2r ㅍ Vin I: Windschief (дни, длы). 2 +r a+r·b = c+sa =h g= 2 = -2K → k=-^. -1 = 3k →=- ^ = 3k ( 1 ) + ( ² ) · ( ² ) + ( 3³ ) tr - keine Lösung (f.A.) ↓ gund h liegen Windschief zueinander (9th, 9th) = gth = 5-2s =-3 +35 →r=3-3s = 2 +35 1+2-(3-35) = 5-25 1+6 -65 = 5-2s | +6s 1-5 2 = 45 1:4 S = 1/ unendlich viele Lösungen (w. A.) ↓ identisch (Fehler bei Parallelitätsprüfung) Sin II: r=3-3-1 r = -³/1/12 3 runds in III: 2 + ² = 2 + 3₁/1/2 37 - ²2/ ring: x=1+2 ₁²2/² 3 y=- 2²/1/20 z = 2+ 를 M/N = W.A. →gnh - 2/2 - 5141- ²2/12/2) 클) (1) |H|N Lagebeziehungen Geraden und Ebenen möglichkeiten Schnitt echt parallel 1. Parallelität parallel E: X= OA +VAB + S.AC; r.se IR g: x² = OD + t.DE ; tEIR Ellg, wenn ². DE=0 (dan + DE) Beispiel: g₁ X² = ( ² ) + (₁1) ; VER gliegt in der Ebene n. RV = 0 06)-- E: x + 2y +32 =9 → ñ: 1. → ²- ( 1₁ ) |= 1·1+2·1+ 3² (-1) = 0 W.A. → echt parallel oder liegt g in E? LSV in E=2+2·3+3.1=9 2. Schnitt (auch für Parallelitätsprüfung geeignet) → Einsetzen o. Gleichsetzen → erhält man eine falsche Aussage → parallel erhält man eine wahre Aussage. in der Ebene erhält man ein eindeutiges Ergebnis → Schnittpunkt Beispiel 4: 9: X² = ( ² ) (²) + (₁1) E: x + 2y +32 =9 g: x = 2 +r y = 2 +r → in E einsetzen: (2+r) +2·(2+r) + 3₁ (1-r) = 9 2 = 1-r 2+r+4 +2r +3-3r ;VEIR Beispiel2» 9: P² = ( ² ) + (-2²) (3); E: x + 2y +3z =9 x=2-2r →in E einsetzen: (2-2r) +2· (3+r) + 3. (1-r) = 9 Y = 3 +r 2-2r +6 +2r +3-3r = 9 2=1-5 11-3r =9 1-9 1+3r 3r 2 1:3 ;reIR 2. ring. → x=2-2.} = ²/3 =9 9 = 9 W.A. g liegt in der Ebene 11 = 9 f.A. g liegt echt parallel zu E v=³S (1414) 2= 1-²/2 = 1/2 Schnittpunkt von g und E = Lagebeziehung Ebene und Ebene möglichkeiten echt parallel identisch Schnittgerade Vorgehensweise → Einsetzen einer Ebenen gleichung in Parameter form in eine Ebenen gleichung in koordinaten form → Lösung: - Schnitt gerade - falsche Aussage → parallel wahre Aussage lunendlich viele Lösungen) → identisch Beispiel: E₁:4x+3y+62 = 36 Ez · · () + · ( ²³ ) + ( 2 ) S x = 3r+3s y=2r z = 3-r-S Sin E₂: →in E₁: 4.(3r+ 3s) + 3 2r +6-(3-r-S) = 36 12r +125 +6r+ 18-6r-6s=36 12r +65 +18 2=3-r-(3-2r) Beispiel: E₁: X+3z ·4y = 9 ; r₁SEIR x=3r+ 3(3-2r) = 3r +9-6r = 9-3r y=2r = 2r =2r = 3-r-3+2r = E ₂₁ * -( - ) + ( 6 ) + ( 8 ) ; 8 X = 3 Beispiel: E₁ -x-y-2z = -5 =361-18 1-12r 6s = 18-121 1:6 S = 32r x =^-r y = r +25 2 = 2-s ; r, SEIR = ₂: P² = ( 2 ) + ² ( 72² ) + ₁ ( 2₂ ) ; ₁ y=-7 +6r+3s z = 5 +8r+45 E₂ in En: 3+3 (5 +8r+45) -4 (-7 +6r+ 3 s) = 9 3+15+24r+125+28 -24r-12 S =9 ; r₁ SEIR 9 2 = ( 8 ) + ² (1 2²³) ; re Schnittgerade von E₁ und E2₂ g: -5 46 = 9 f.A. → parallel zueinander E₂ in E₁: -(1-r) - (r+25) -2 (2-5) = -5 -5 -1 +r-r-25-4+25 = -5 -5 W. A. → identisch Abstände berechnen Punkt-Punkt → Länge des vektors zwischen den beiden Punkten d = |AB| = ¹ x² + y² + z²² Bsp. P(3121-4) Q (41-113) a = 1²@1 -1 (²3) -(²³)| = |(²³) | = 11²+(-3)² +7²² Punkt-Gerade 1. Hilfsebene in Normalen form bestimmen, die senkrecht auf 9 Stent und den Punkt P enthält →Punkt P als Stützvektor = =159 7,68 LE von g ist der Normalenvektor der Hilfsebene 2. Schnittpunkt der Geraden und Hilfsebene H bestimmen (Einsetzen der Geradengleichung in Hilfsebene H) 3. Abstand Länge des vektors vom Schnittpunkt Zum Punkt P 2. BSP.: P(-2112) 9: T² = ( 2 ) + (-3); Bsp.. F =() 1. Hilfsebene H: [x² - ( ²₂² )² · (²²) - )) =0 g:. S von It und g Hin Koordinaten form → H: x-5y + ²z =d₂ Pin H-2-5·1+2·2=a X = 1+r y = 2-5r 2 = 2r (1+r)-5. (2-5r) +2.2₁ = -3. 1+r-10+25r+4r =-3 1+9 30 r = 6 1:30 ŝ ·음 in H:x-5y +2z = -3 ;reIR 6/6.5 3 ring: x= 1 + ²/² Y = 2-5. 2=2.4 3. d= = | 8.15¹ ª - ³*-|(³) - ( )| ( )|- ~)* ·* --* - 4€ ما الى a = -3 → 51 / 111/²/3) A X a(A; B)= IABI 3,58 LE a(P; 9) g Punkt-Ebene d (P; E) = In₁ P₁ +1₂ P₂ +n₂ P3-dl Trả trẻ trở Beispiel: E: 3x+2y+z=11 P(21411) 13.2 +2.4 +1.1-111 13² +2² +1²² d (P; E)= Gerade-Gerade Windschiefe Geraden hcH a(9;h) =|(@²=2):7² || เล dig; h) Bsp.: 9₁7² = () ++ (2); +t h: x = ² = ( ²³ ) + ² ( 1 ) S H d(g; h) = = 2 3 tEIR → = ( ² ) × ( 1 ) = ( ¹² ) ñ ; SEIR (19)-(;)) (33) 1(3)1 (6)·() 11 (2) ²³ +2²³ + (-1) ²² ·LE P(P₁ P₂ P3) E: M₁x +₂y+n₂ ⋅ 2 = d →h liegt in der Ebene H →g verläuft parallel zur Ebene H |9: x² = a² +r·b²² h: x² = c+sa (n² = bxd) 114 911H LE Gerade-Ebene →Gerade verläuft parallel zur Ebene → Rechnung wie bei Punkt-Ebene (beliebiger Punkt von vọng) XP parallele Geraden → Rechnung wie be: Punkt-Gerade Ebene-Ebene →parallele Ebenen E und I → Rechnung wie be: Punkt-Ebene (beliebiger Punkt von E) d(P; E) d(g; E) E a(E;F) 9 F E Zwischen 2 vektoren W.V. W.VI Beispiel: a² = (-²4), 6² = ( ²₂ ) (-²₂). (²) -4 12² +1-41²+1²²-13² +0² +(-2)² → α=cos ^/ cos d = Cosd= 121.113 Zwischen 2 Geraden |u². Vl cos d = Sind = Beispiel: g: x² =( 3³ ) +r. (¯ ½) * = (-²³²) + ₁ - ( ² ) h: 7² Cos d = 1(E) - (²) ( )|-|()T Cos 2 = 0 winkelberechnungen In.u²| RE 42 = 90° Zwischen Gerade und Ebene sind = 1 ( 2 ) - ( 2³ )| He Cos d= mit 0⁰25180° mit 0°≤ ≤ 90° 45= α = Sin-1 (1¹) 56,8⁰ Zwischen 2 Ebenen Ininal In 1-151 (osd_16)-(2) =! 3² (12²4 13² ) ~ 76 ° ; VISEIR -8 +4+4 √(-4)² +2²³ +2² 12² +2²³ +2² mit 0°≤ ≤ 90° kein Cos! Beispiel 9: 7² = ( 13² ) + √(- 12); FER E: x-y +22=67² = 1 (1-4 + (-1/² (-2) +2·0.) 1. 41²+(-1)² +2²² · 44² + (-2)² +0² Beispiel: E: y+27=6 == (3) +- (3) +¹(3) ³-(?) mit 0° 90° • ² = ( 1 ) × (²) = = und sind die Richtungsvektoren der Geraden O 216.213 n ist der Normalen vektor der Ebene 6 130⁰ 16.120 10 131 und sind die Normalenvektoren der Ebenen ; V, SEIR 1 (-) -6. + (-10) 1₁ | 16 | |(²)||(²²)|__¹0³²+1³² +2²° •1₁3³ +(-6) ²+ + 5)² 15² · 1230 →261,80 α T> a C Ts Ts 9 h g Schnittgerade g K: 1x²-m³²l=r (x²-m²)² =r² M(mxlmy) m² = OM x = Ox mit Xek k₁ ((x ) - ( x ))² = i =p² Kreise ((x)-(mx)) ·((~)-(mx)) = r² (x-mx) (x-mx) + (y-my)·(y-my) = (² |k: (x-mx)³+ (y-my)² = √² Koordinaten form Lagebeziehung eines Punktes zu einem Kreis Gegeben Sei ein Punkt (xly) und ein kreis k: (x-mx)³² + (y-my)² <r? 1. Gilt (x-mx)² + (y-my)² = r², So liegt. P auf dem Kreisk 2. Gilt (x-mx)² + (y-my)² < r², so liegt Pinnerhalb des Kreises 2 3. Gilt (x-mx)² + (y-my)² > r², so liegt P außerhalb des Kreises Lagebeziehung einer Geraden zu einem Kreis D a O Sekante 42 Schnittpunkte Tangente 4 ein Schnittpunkt Passante : xbao.ox Vorgehensweise: - Geradengleichung in Kreisgreichung -auflösen → eine Lösung Tangente. Zwei Lösungen: Sekante keine Lösung: Passante Kein Schnittpunkt bzw. M M m bzw. OM