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Abiturzusammenfassung Analytische Geometrie

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 Analytische Geometrie
Ein vektor ist eine menge von Pfeilen in der Ebener im Raum, die alle :
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16 Seiten Analytische Geometrie - Vektoren - Geraden - Ebenen - Lagebeziehungen - Abstände berechnen - Winkelberechnungen - Kreise ihr findet alle Lernzettel auch nochmal einzeln in meinem Ordner « Analytische Geometrie »

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Analytische Geometrie Ein vektor ist eine menge von Pfeilen in der Ebener im Raum, die alle : -gleich lang -gleich gerichtet -parallel zueinander sind vektoren Definition Ein einzelner Pfeil aus der menge heißt Repräsentant. Durch einen Vektor wird eine verschiebung in der Ebene lim Raum beschrieben. Schreibweise in der Ebene: ✓= (x) • (ž) im Raum: ✓ V=PQ: Nullvektor O = P YQ -YP (ZQ -2p/ besondere Vektoren (8) = Gegenvektor ~= (²) ma-+ = (-4) und 8 - (³² = 8) - (²) Ortsvektor O² = ( 2 = Betrag eines vektors Der Betrag eines Vektors gibt dessen Länge an. Für den Betrag eines vektors gilt: 1v1 = √√₂² +V₂² +v₂? Mittelpunkt einer Strecke P₁(x₂lY₁lZa) P₂ (x₂1x₂ 1Z₂) OM = 1/2 (OP²₁ + OP₂) M(x₁+x² | V₁ + V₂ | ²₁ +²₂) 2 Skalar multiplikation 1st a ein Vektor und r eine reele Zahl (Skalar), dann ist b=ra ein vektor mit folgenden geometrischen Eigenschaften: bist parallel zu a und a haben die selbe Richtung b hat die r-fache Länge von a COSA- 20 und a haben die entgegengesetzte Richtung hat die r-fache Länge von a Erzeugen eines Einheitsvektors Vektoren mit der Länge 11 dem Betrag 1 nennen wir Einheitsvektor (1) la²³1 =14²³ +1² +4²¹ = 133 161= √3 (1) 16²1=1 Bsp. a 8 To Lineare Abhängigkeit und unabhängigkeit Vektoren heißen voneinander linear abhängig, wenn mind. Eine Linearkombination der übrigen vektoren ist. Vektoren heißen linear unabhängig, wenn keiner der vektoren als Line Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden kann. Skalarprodukt AB Der Vektor hat den Betrag 1 und die...

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selbe Richtung wie der vektor a. 8 b = 08² → AB = -a +1 ; Satz des Pythagoras : la 1² + 161² = 15-21² ↓ =b²-a² b Unter dem Skalarprodukt zweier vektoren versteht man die reele Zahl axbx + ay by +azbz Bezeichnung: a. bª ; ab Wenn ಷ5² = 0 a obo 0 = axbx + ay by +az bz ist atb→a und to stehen. Senkrecht aufeinander. d Orthogonalitätskriterium 2 lektoren u und to mit ‡0 und 0 sind genau dann zu ein ander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt den Wert 0 hat. Für 2 vektoren 0 und to gilt also: genau dann, wenn wo =0 cos d = Winkel zwischen 2 Vektoren W.V In 1.15. Vektorprodukt / Kreuzprodukt → Verknüpfung zweier vektoren, dessen Ergebnis ein Vektor ist, welcher Senkrecht auf beide vektoren stent axb² = 2² (ca und b) Länge von 2 : 121= |a² x b'·| = |a³1·151. Sind à xb =. mit 0° 180° /a₂b3-a3b₂ азва - ат вз ·an b₂-a₂b₁ - Trick zur Berechnung des Kreuzproduktes 1. Beide Vektoren zweimal untereinander Schreiben an. 2. Oberste und unterste Zeile wegstreichen 3.-2. mit 3. Zeile verrechnen -3. mit. 4. Zeile verrechnen -4. mit 5. Zeile verrechnen immer (links oben Spatprodukt → Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren 'xb² und einem dritten vektor → dient zur Berechnung des volumens eines Spatprodukts & ist der Winkel Zwischen axbo und 2 ● V=1(α² xb)·2²1= reele Zahl (a xb).c / агоз - азыг a3b₁-a1b3 1b₂-a₂b₁ 3) (3) rechts unten) - (links unten rechts oben) Beispiel: * - (A) * - () * - ) a = = rã xổ 2 = N 1 1 2.1-4.1 = -2 1:21.1=² A 1-4-2-2 = O ● v = (@³²x5)-2² = (?) · ( ²₂ ) Beispiel: a 2 =16 VE TJ то A=|C| = |a²|·|61. Sind * = Winkel, den a' und einschließen. * - ( ² ) ¯ = ( ² ) b 4 = 2.1-4.1 1.2 - 1.1 = 1.4 -2.2 = 2 =( 1 ) Rechengesetze für Vektoren Für alle Vektoren a, to und und alle r. SEIR gilt: Kommutativgesetz: a +b = b + a² ASSoziativgesetz (@+b) +2 = α+(b+2) r. (3.a) = a.(r.3) Distributivgesetz: r·la² +6²) = ra + r.³6 Geraden Parameter form ·g: x² = SV +r·RV ; VER 8: x² = A+r• AB ; VER ·g: x² = a +r.b²; rEIR Geraden gleichungen aufstellen 1. ein Ortsvektor eines gegebenen Punktes als Stützuektor 2. Richtungsvektor vektor zwischen den gegebenen Punkten AB Bsp.: A (2141-6) B(31-217) * = - ( ² ) + ~ (-1) = tr. -6 Punktprobe (r+s).a =r·a² +sa² VEIR SV Stützuektor RV & Richtungsvektor IX = 1+r IY = 2 +r → prüfen ob ein Punkt auf einer Geraden liegt → einsetzen des Ortsvektors des Punktes → wenn bei allen 3 Zeilen für den Parameter wert rauskommit, liegt der Punkt der gleiche auf der Geraden Geradenscharen. → Parametera" (auch andere Bezeichnungen möglich) |0 = 3 +r → r=-3 Vin I und I x = 1 + (-3) = -2 •Y = 2+(-3) =-^ Z=0. → Sxy (-21-110) 1 Beispiel: g₁ x² = ( ₁ ) + r ( ₁ ) ; r Exy : Z=0 a 2. B. g₁ : 7² = ( 1 ) +r ( ²12 ) ર. Spurpunkte 1, Durch Stoßspunkte" einer Geraden im Raum durch die koordinatenebenen •; PER 3 2 -(-)-4) -2 Bestimmung: xy-Ebene (Exy): 2=0 XZ-Ebene (Exz): y = 0 yz -Ebene (Eyz) : x = 0 - (-1) 13. · oder - gai x² = ( 42 ) + ( ² ) ; VEIR Exz: Y=o I|x = 1+r 0 = 2 +r →r=-2 IZ = 3 +r Beispiel: A(-1121-2) 9:7² = ( ₁1 ) +r ( 12 ); VER -1=1+r ·→ r₂ = -2. 2=1-31 → 12₂ = -3 -2=2r rin I und II X=1+(-2) = -1 Y=O z=3+(-2) = 1 →Sx₂(-11011) ; PER Eyz: X=0 I|0 = 1+r IY = 2 +r 11Z = 3 +r Va #r₂ B im Raum gibt es nur. clie Parameter form →r=-1 r in II und III x=0 y = 2+(-1) = 1 2 = 3+(-1)=2 → Syz (01112) g → A&g Ebenen Parameterform: E: mit rund sSER A OA AC X² = SV + r SpanV/₁ + 5. Span V₂ + S. AZ ·E· X² = OR +r. AB E: X² B a² +r·b² + 5.2² Ebene E Normalen form: E: [ ²³²-5²]·ñ³² = 0 Die Spannvektoren dürfen nicht kollinear sein bzw. A, B und C dürfen nicht auf einer Geraden liegen n² = SpanV₁ × SpanV₂ Koordinatenform: E: ax+by+cz =d *² = ( 2 ) b Ebenengleichungen aufstellen 3 Punkte gegeben 1. ein Punkt als Stützuektor 2. Spannvektoren zwischen Punkt des Stützuektors and Zwei anderen Punkten Punkt und Gerade 1. Sv der Geraden - SV der Ebene 2. RV der Geraden = SpanV₁ der Ebene 3. Span₂ = vektor zwischen dem Punkt und dem SV SV Stützvektor SpanV₁ = Spannvektor SpanV₂ Spannvektor 2 Ebenen sind unbegrenzt! der Gerade Kreuzprodukt/ Vektorprodukt

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