Abiturzusammenfassung Analytische Geometrie

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 Analytische Geometrie
Ein vektor ist eine menge von Pfeilen in der Ebenel im Raum, die alle :
-gleich lang
-gleich gerichtet
-parallel zuei
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Analytische Geometrie Ein vektor ist eine menge von Pfeilen in der Ebenel im Raum, die alle : -gleich lang -gleich gerichtet -parallel zueinander sind vektoren Definition Ein einzelner Pfeil aus der menge heißt Repräsentant. Durch einen Vektor wird eine verschiebung in der Ebene lim Raum beschrieben. Schreibweise in der Ebene: ✓ = (x) · (ž) im Raum: ✓ V = PQ² = /XQ - XP YQ -YP [q-ºp/ = besondere vektoren (8) Nullvektor O = Gegenvektor J = (²) mo- - (-2) und Orisvektor +- (2²) - (²) 8) = = Betrag eines vektors Der Betrag eines Vektors gibt dessen Länge an. Für den Betrag eines Vektors gilt: 15³1 =√√₂² +vy² +v₂? Mittelpunkt einer Strecke P₁(x₂lY₁lZ₁) P₂ (x₂1x₂ 1Z₂) OM = 1/2 (OP²₁ + OP₂) M(x₁+x² | V₁ + V₂ | ²₁ +²₂) हैन 2 Skalar multiplikation 1st a ein vektor und r eine reele Zahl (Skalar), dann ist b=ra ein vektor mit folgenden geometrischen Eigenschaften: -b ist parallel zu a -ro → b hat die r- -fache Länge von und a haben die selbe Richtung à 30 bund a haben die entgegengesetzte Richtung hat die r-fache Länge von a Erzeugen eines Einheitsvektors Vektoren mit der Länge 11 dem Betrag 1 nennen wir Einheitsvektor (2) 4 Bsp. a = To 12²1 =14² +1² +4²¹ = √33¹ lal 151 = √3/33² 121 133 (1) = 1 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit Vektoren heißen voneinander linear abhängig, wenn mina. Line Linearkombination der übrigen vektoren ist. Vektoren heißen linear unabhängig, wenn keiner der vektoren als line Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden kann. Skalarprodukt AB b Der Vektor...

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Alternativer Bildtext:

hat den Betrag 1 und die selbe Richtung wie der vektor a. Wenn a² 5² = 0 a² = OÀ = 08 Satz des Pythagoras la 1² + 161² = 16-21² ↓ Unter dem Skalarprodukt zweier vektoren versteht man die reele Zahl axbx + ay by +azbz Bezeichnung: a. bª ab ; ; AB = -a +6 =b²-a² a ob 0 = axbx + ay by +az bz ist a1b →a und to stehen. senkrecht aufeinander. 2 Orthogonalitätskriterium 2 lektoren is und t mit ‡0 und 0 sind genau dann zu einander orthogonal, wenn ihr Skalarproduct den wert 0 hat. Für 2 Vektoren 0 und 0 gilt also: genau dann, wenn w• ² = 0 cos d = Winkel zwischen 2 Vektoren W.V 11.10. Vektorprodukt / Kreuzprodukt → Verknüpfung zweier Vektoren, dessen Ergebnis ein Vektor ist, welcher Senkrecht auf beide vektoren stent axb² = (ta² und 2+1) Länge von 2 : 121= |a² xb²| = |a1·151. Sind là à xb = mit 0° 180° /azbз - азыг азва - ал вз a₁b₂-a₂b₁ →). Trick zur Berechnung des Kreuzproduktes 1. Beide Vektoren zweimal untereinander Schreiben 2. Oberste und unterste Zeile wegstreichen 3.-2. mit 3. Zeile verrechnen -3. mit 4. Zeile verrechnen -4. mit 5. Zeile verrechnen immer (links oben Spatprodukt → Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren axb und einem dritten vektor → dient zur Berechnung des volumens eines Spatprodukts & ist der Winkel Zwischen axb und 2 a₁ V=1(α² xb²)·2²1= reele Zahl . (a xb²)·2² = /агвз-азыг 9361-9163 b₂-a₂b₁ ● 3)-(3) (2₂) rechts unten) - (links unten rechts oben) Beispiel: 2² = ( 1² ) ¯ - ( ² ) ² = ( ³ ) a axb = 2 1. 1 V=²(a²x5)=2² 2.1-4.1 = -2 1:21.1 = A 1.4 -2.2 = O = ● (-3) (9) 2 TJ Beispiel: a² = =16 VE A=|C²|=|a²|·151. Sind * = Winkel, den a' und einschließen. * - ( 4 ) ¯ - (²) ĥ 4 2.1-4.1 1.2 -1.1 = 1.4 -2.2 = 2 =( 1 ) さ = -2 O Rechengesetze für Vektoren Für alle vektoren a, to und und alle v₁ SEIR gilt: Kommutativgesetz: a +b = b + a Assoziativgesetz: (a³ +6³) + 2 = α²³+(6+2) r. (3.a) = a.(r. 3) Distributivgesetz: Geraden Parameter form ·g: x² = SV +r⋅RV ; VER X² = OA+r• AB ; VEIR :X 8: ∙g: g: 7² = 2² +r. 5²³; VER √(a³² +b)=ra + vbo (r+s).ā Bsp.: A (2141-6) B(31-217) g ² x ² = ( ²³ ) + ( - 14 ) ³ ² x -6 13 Geradengleichungen aufstellen 1. ein Ortsvektor eines gegebenen Punktes als Stützuektor 2. Richtungsvektor vektor zwischen den gegebenen Punkten. Punktprobe ;VEIR SV Stützuektor RV = Richtungsvektor I|x = 1+r IY = 2 +r = (-1) → prüfen ob ein Punkt auf einer Geraden liegt → einsetzen des Ortsvektors des Punktes =r·a+sa AB 0 = 3 +r →→=-3 rin I und I x = 1 + (-3) = -2 Y = 2+(-3) =-^ Z=0 → Sxy (-21-110) 1 Beispiel: g₁ X ² = ( ² ) + √ ( ₁ ) ; r Exy : Z=0 → wenn bei allen 3 Zeilen für den Parameter der wert rauskommit, liegt der Punkt auf der Geraden gleiche Geradenscharen. → Parametera" (auch andere Bezeichnungen möglich) 2 :)-(-J) 3 = -2 4a : 2.8. g₁ = 7² = ( 4 ) + ( ²1 ²2 ) да Spurpunkte 3 , Durch Stoßspunkte" einer Geraden im Raum durch die koordinatenebenen Bestimmung: xy-Ebene (Exy) : 2 = 0 XZ-Ebene (Ext): y = 0 yz -Ebene (Eyz) : x=0 4 •; PEIR oder ga: x²= 8- - * - ( ) - ( ² ) + ; VEIR Exz: Y=o I|x = 1+r I 0= 2 +r → r=-2 IZ = 3 +r rin I und II X= 1 +(-2) = -1 Y=O z = 3+(-2) = 1 →Sx₂(-11011) Beispiel: A(-1121-2) 9:7² = ( 1₁ ) +r ( 213 ); VER -1=1+r. 2=1-3r -2=2r ; PEIR Eyz: X=0 I|0 = 1+r IY = 2 +r IZ = 3 +r AB V₁# √₂ r in II und III x=0 y = 2+(-1) = 1 2 = 3+ (-1) = 2 → Syz (01112) -→=-2 762² - 3/3 2r=-1 B im Raum gibt es nur clie Parameter form g Y → A&g Ebenen Parameterform: E: mit rund sER A OA नटे 2 X²³ = SV + r Span ³₁ + S. Span V₂ + S. AC ·E: X² = OR +r AB E: îx B = a² +r·b² + 5.2² Ebene E جی Die Spannvektoren dürfen nicht kollinear sein bzw. A, B und C dürfen nicht auf einer Geraden liegen Normalen form: E: [x²-SV] · n² = 0 Koordinatenform: E: ax+by+cz =d *² = ( 2 ) b n² = SpanV₁ × SpanV₂ Kreuzprodukt/ Vektorprodukt Ebenengleichungen aufstellen 3 Punkte gegeben 1. ein Punkt als Stützuektor 2. Spannvektoren zwischen Punkt des Stützvektors und zwei anderen Punkten Punkt und Gerade 1. SV der Geraden = SV der Ebene 2. RV der Geraden = SpanV₁ der Ebene 3. Span₂ = vektor zwischen dem Punkt und dem SV SV Stutzvektor SpanV₁ = Spannvektor SpanV₂ Spannvektor 2 Ebenen sind unbegrenzt! der Gerade Zwei Geraden, die parallel sind 1. SV einer der Geraden = 2. RV einer der Geraden = Span V₁ der Ebene 3. Span₂ = vektor zwischen den beiden SV (als Punkte) der beiden Geraden Zwei Geraden, die sich schneiden ·1.5v einer der Geraden = SV der Ebene 2. beide RV der Geraden = Spannvektoren der Ebene Ebenengleichungen umwandeln Parameterform in Normalen form : 1. n bilden durch box 2 E = x² = a +rib²³ + (kreuzprodukt der beiden Spannvektoren) ↓ 2. SV bleibt gleich und wird eingesetzt siz E: [*²-5²]·²=0 Beispiel: E: .X² ** = ( ) + ( ² ) + ( ) +S SV der Ebene 1:5² X ^5* - (²) × (?) ~² = ( 8 ) 2. E. [X-(8)] · ( 2 ) = 0 6 Beispiel: is ↓ E: ax+by+cz =d Parameterform: Normalenform: Parameterform in Koordinatenform: 1. n bilden durch E: X²= = a +r·b² + 5.2² E: n² ** - ( ² ) ; V, SEIR 3 n² = - ( ²³ ) × ( ²² ) 4 = (-₁0) 3 2 -1 3. 2 bxc (kreuz produkt der beiden Spannvektoren) 2. E in Koordinaten form aufstellen 3. Svin Koordinaten form einsetzen und d berechnen 2₁(-1)-(-1)-0 = -2 (-1)-3-3-(-1) = 0 2.3 = -6 3 +₁ ( ²₁² ) + S ( ²² ) ; TSEIR →E: 4x-лоу -t = -8 3.0 Koordinaten form: E: 4x-noy-z = d → Stützvektor einsetzen E: 4.1 -10:1 -2 = d und d berechnen -8 = d Neben rechnung: --3 دی د -1 2 1-2 (2-(-1)) = 4 -2 2.(-2) -32. = -10° - 1 3.(-1)-1-(-2) = -^ Normalen form in koordinaten form: 1. Koordinaten des Normalenvektors E: [x²-5v²]·ñ°²=0 für Parameter der Koordinaten form einsetzen 2. Svin koordinaten form einsetzen und d berechnen ↓ E: ax+by+cz =d Beispiel: E: [*- (-2)] · (²3³) = 0 E:X² 1. π = (33) → E: ax+by+cz =d ที 9 E: 2x-3y+9z = d koordinaten form in Parameterform. x 2. SV in E: E: ax+by+cz =d Y Z Sv² = (-2²) → 2·1-3-(-2) +9.5=d 2 +6 + 45 E: 2x-3y+92 = 53 = a² +r·b²³ + 5.2² E: ² Beispiel: 2x+4y=32 = 12 1-4y+3z = S A. Koordinatenform nach einer koordinate umformen 2. anderen Koordinaten mit r. und s ersetzen. =d 53 =a 3. in die Parameterform linsetzen 2x = 12-4y +32 1:2 X = 6 - 2y + 23/2 - = 6 − 2 y + ¾3⁄ 2 = 6−2r + 2 s = r * = ( 6 )+ - ( ) - ² ( 1 ) 0 X, Y, Z in Parameterform - 2r + -* ( * ) ( * * * * * *) - (6) +- ( 1 ) · · ( 1 ) E: +.S 2 VISEIR VISEIR Darstellung von Ebenen E: ax +by+cz = d l:d 2x + y + z = 1 d → Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen (Spurpunkte) Sxy=0,2 =0 → Sx (1010) Sy : x=0, 2=0 → Sy (01/10) x=0, y = 2(01011) Sz Achsenabschnittsgleichung: A + 5/5 + ²/ 하튼 =^ : Beispiel: 2x + 4y +52 =20 1:20 X 686 +61\/1325 + 12/201 10 → Sx (101010) Sy (01510) Sz (01014) Spurpunkte Schnittpunkt einer Ebene mit den Koordinatenachsen. 1. Ebenenform in koordinatenform um formen. 2. jeweils 2 Parameter 0 setzen Schnittpunkt mit der x-Achse → y=0,2 =0. Schnittpunkt mit der y-Achse → Schnittpunkt mit der Z-Achse ⇒ 3. nach der Variable umstellen → Sx (x1010) Sy (0/y10) Sz. (01012) Beispiel: E: 4x + 3y +62 = 36 y=0,2 =0 4x+3.0+6.0-36 4x X = 36 1:4 8 9 → Sx (91010) x = 0₁ ² = 0 x = 0₁ Y=0 x=0,² = 0 4:0 + 3y +6.0 = 36 3y = 361.3 = 12 →Sy (011210) x = 0, y = 0 4.0+3.0 +62=36 man kann auch die Achsenabschnittsgleichung →S₂ (01016) nutzen 62 = 36 1:6 2=6 Spurgeraden Schnittgerade von E und Exy, Exi, Eye 1. Koordinaten der Achsenabschnitte ermitteln 2. Geradengleichung durch diese aufstellen Beispiel: E: 4x + 3y +62=36 1:36 4 + 1/2 + 1/2 =^ → Sx (91010) → Sy (011210) → Sz (01016). Schnitigerade mit Exyg₁₂: x² = (8) + - (₁1²2) r. x² = OSx +rSx Sy Schnitgerade mit Exa: g, x² = ( 2 ) + (7) +t. 6 x² = OSX +r. Sx S₂ Schnillgerade mit Eyz : 9₂² x ² = (22) 93 - (-2) +.S. x² = OS₁ +r. S₁ S₂ ;.VER it ER ; SEIR Lagebeziehungen Gerade und Gerade möglichkeiten Schnitt parallel (gnh) echt identisch parallel (g=h) (glih) Vorgehensweise: 9: x²=a²+r. B² h: x²=C²+s-a² r.S.E.IR 2. Schnitt: (2). :↓ Schnittpunkt für r beig und s bein Beispiel: g₁ P = ( ₂ ) + ( ²₁ ) n. *² = ( ²3 ) + ³ ( 3³ ) h.. X? 1. Parallelität: RV₁ = K. RV₂ ㅍ Vin I I1 + 2r : tr Windschief (gith, gish). - 1. Parallelität ist bo = k·a; KEIR (Richtungsvektoren linear abhängig/kollinear) 4 bolla genau eine Lösung für rund s ()+(-)-(3) + (3) +S → 911h ist zusätzlich a = c+sa (Ortsvektor lines Punktes Peg und gleichzeitig Peh) dann sind. 9 und n identisch →g=h. Schnitt Oder windschief 2. Keine Parallelität: Gleichsetzen: g=h 2 tr a²+r·b = c + s-a g=h 2 =-2k → k =.-1. -1 = 3k →K= -1/2 =.3k | keine Lösung (f.A.) ↓ gund h liegen Windschief zueinander (gth, gh) = 5-2s =-3 +35 = 2 +35 2=45 1:4 S = 1/2 ⇒gth r=3-3s 1+2(3-35) = 5-2s 1+6 -65 = 5-2s | +6s 1-5 unendlich viele Lösungen (w. A.). ↓ identisch (Fehler bei Parallelitätsprüfung) Sin II: r=3-3-1/2 3 r = /²/2/2 r und Sin III: 2 + ³/2 = 2 + 3 • 1/2 Z ring: x=1+2₁3/3 y=-3/1/2 = 2 M/N 3/23 ²/7 = 1/²/3 W.A. →gnh () (1 () + -1/2/3 → 5141 - 12/31 1 27/01) |H|N Lagebezichungen Geraden und Ebenen Möglichkeiten Schnitt echt parallel gliegt in der Ebene parallel 1. Parallelität E: X² = OA +VAB + S∙AC; r₁SEIR g: X = OD + t.DE ; tEIR Ellg, wenn n.de =0 (dan+ DE) Beispiel: g: x² = ( ² ) + ( ₁1 ) ; VER E: x + 2y +3z =9 → n. RV=O ( 3 ) ( 2² ) - 1-1 + ² - 1 + 1 (²-0) = 0 = 1·1+2·1+ 3² (-1) = 0 W.A. → echt parallel oder liegt g in E? LSV in E=2+2·3+3·1=9 2. Schnitt (auch für Parallelitätsprüfung geeignet) → Einsetzen o. Gleichsetzen → erhält man eine falsche Aussage →parallel erhält man eine wahre Aussage in der Ebene erhält man ein eindeutiges Ergebnis → Schnittpunkt Beispiel 1: 9₁ x³² = ( ² ) ²-(1)-(3) +r 1. g: x = 2 +r y = 2 +r 2 = 1-r E: x + 2y +3z =9 ~*=(₁) (Beispierz) 9. P² = ( ³ ) + (-²); tr E: x + 2y +3z =9 →in E einsetzen: (2+r) + 2 · (2 +r) + 3·(1-r) = 9 2+r+4 +2r +3-3r =9 x=2-2r Y=3 +r 2=1-5. ; VEIR ;VEIR 2. ring. → x=2-2.7/7 = 1/3 y=3+ 1/²/3 →in E einsetzen: (2-2r) +2· (3+r) + 3·(1-r) = 9 2-2r +6 +2r +3-3r = 9 11-3r 4313 2=1-²/2 = 1 → S (3/1/3/13/2) 9 g liegt in der Ebene = 9 W.A. Schnittpunkt von g 11 = 9 f.A. g liegt echt parallel zu E =9 1-9 1+38 3r=2 1:3 = }/3/3 und E Lagebeziehung Ebene und Ebene möglichkeiten 7 echt parallel identisch Schnittgerade Vorgehensweise → Einsetzen einer Ebenen gleichung in Parameter form in eine Ebenen gleichung in koordinaten form → Lösung: - Schnitt gerade Ez. • falsche Aussage → parallel wahre Aussage lunendlich viele Lösungen) → identisch - Beispiel: E₁:4x+3y+62 = 36 E2 : === - (²) +- (²2) · (²) 8 tr + >(6) x = 3r+3s y=2r z=3-r-S Sin E₂: x=3r+ 3(3- 2r) y = 2r z = 3-r-(3- 2r) → in En: 4:(3r+ 3s) + 3 2r +6-(3-r-S) = 36 12r +12s +6r + 18-6r-6s = 36 12r +65 +18 Beispiel: E₁ E₂: X²: Beispiel: E₁ : ; r₁SER E₂: X²= 6s S = 3r+9-6r = 9 =2r = 3-r-3+2r X +32 - 4y = 9 O 0 * • ( ³ ) · ( 6 ) + ( ! ); + 3 8 X = 3 y=-7 +6r+3s z = 5 +8r+45 E₂ in En: 3+3 (5 +8r+45) -4 (-7 +6r+ 3 s) = 9 3 +15+24r + 125+28 -24r-12 S = 9 x =^-r y = r +25 Z : 2-S - : =36 1-18 1-12r = 18-121 1:6 = 3 2r 3r 2r -x-y-2z = -5 0 * = ( 1 ) + ( 1) +5 ( 2 ) ; VISEIR 2 ; r, SEIR g: · 2 = ( 8 ) + < ( 2³ ) ; ²₁ Schnitgerade von E₁ und E₂ → -5 E₂ in E₁-11-r) - (r+25) -2 (2-5) = -5 -1 +r-r-25-4+25 = -5 -5 w. A. → identisch PEIR ·46 = 9 f.A. → parallel Zuein ander Abstände berechnen Punkt-Punkt → Länge des vektors zwischen den beiden Punkten d = |AB| = ¹ x² + y² +z²² 1 Bsp. P(3121-4) Q (41-113) a = 1³@1 = |( ²3 ) - ( ²³ ) | Punkt-Gerade 1. Hilfsebene in Normalen form bestimmen, die senkrecht auf 9 Stent und den Punkt P enthält →Punkt P als Stützvektor → RV von g ist der Normalenvektor der Hilfsebene 2. Schnittpunkt der Geraden und Hilfsebene I bestimmen (Einsetzen der Geradenglei Chung in Hilfsebene H) 3. Abstand Länge des vektors vom Schnittpunkt Zum Punkt P = 1 (²³) | - = 1₁²+(-3)² +7² 1597,68 LE Bsp. Pe-Luતાઈ ૭: 7 =(â)+™(); 1. Hilfsebene H: [x² - ( 2² )) (-) • =0 2. S von H und g Hin Koordinaten form → H: x-5y +²z =d form: Pin H-2-5.1+2·2=a : x=1+r in H:x-5y +2z ==3 g: Y=2-5r 2=2r (1+r)-5-(2-5r) +2.2₁ = -3₁ 1+r-10+25r+4r =-3 1+9 30r = 6 1:30 ring: x= 1 + 1/² y = 2-5. 1 z=2.4 V S 3 VEIR 6/6.5 ما اله = a = -3 → 5( } / 111; } }) 8.15¹ 3. 4-1)-() () 4 $250 3,58LE = 1 (₁/²6 ) ² + 0 ² + (-{ ) ² A a(A; B)= |AB| P (d(P:9) B g Punkt-Ebene ∙d (P; E)= Ing.P^ +1₂° Pz +^3 P3-dl n₁² +₂²² +₂ na Beispiel: E: 3x+2y+z=11 P(21411) 13.2 +2.4 +1.1-111 13² +2² +1²² d (P; E)= Gerade-Gerade Windschiefe Geraden hcH a(g; h) = d.(g; h) -flat= añ (a²-2). 7² H In d(g; h) = Bsp.: 9₁ 7² = ( ² ) ++ ( 2 ) ; + EIR + ₁² = ( ² ) + ³ ( 3 ) = h: ; SEIR (9-0))-(3) |(3²)| = · = ( ² ) × (-1) = ( ¹² ) 11=2)² +2²³ + (-1) ²² 2 = 3/4 LE P(P₁ P₂ P3) E: M₁x +₂y+n₂₁2 = d 4 114' 911H 9: x² = a² +r·b· g: h: x²=C²+s· a (n² = ² x ²) →h liegt in der Ebene it →g verläuft parallel zur Ebene H LE parallele Geraden Rechnung wie bei Punkt-Gerade Gerade-Ebene →Gerade verläuft parallel zur Ebene → Rechnung wie be: Punkt-Ebene (beliebiger Punkt vong) P a(P; E) Ebene-Ebene →parallele Ebenen E und I → Rechnung wie be: Punkt-Ebene (beliebiger Punkt von E) d (g; E) E a(E; F) F Zwischen 2 vektoren W.V 1.13 Beispiel: a² = (²4); 6 = ( ²₂ ) (9). (:) (3₂) -4. 12²+(-4)²+1²+13+0²+(-2)² cos d = Cosd= 4 121.113 Zwischen 2 Geraden |u.V. cos d = sind = > Cos d = Beispiel: g: x² = ( ² ) + r. (2) h = x² = ( ² ) + ₁ - ( ² ) Cos d = 0 (os d 2 2 |(²). (2) (3) winkelberechnungen Sind = / ( ²3 ) · (~3 )| the 42= 90° zwischen Gerade und Ebene Inw²| 121.121 3 kein Cos! Beispiel: 9₁ 7² = (~ 3 ² ) + ( ²12 ) ; re 8 Ininal mit 0°424 90° α= Sin1( ) ≈ 56,8⁰ 130¹ 10 Ina 1.1521 = Zwischen 2 Ebenen mit 0° 180° (cos α = [(G)- (23)| d IGHET d=205. ^ (12774 173 5) ≈ 76 ° mit 0° 90° -8. +4, +4. √(-4)² +2²³ +2² √2² +2²³ +2²² Beispiel: E: y+2z=6_F= 47-(:) 45= 1 2 ; V, SEIR | (1.4 + (-1) (-2) +2.0) | ^² + (−1)² +2²². •√4² + (−2)² +0²² mit 0°222 90° (²) +-( 3 ) +₁ (3) tr. +S = = E: x-y +22=6 →7²² = und sind die Richtungsvektoren der Geraden O 216.213 n ist der Normalen vektor der Ebene -0.0-3) = 16.120 10 13 ; VISEIR und sind die Normalen vektoren der Ebenen -6. + (-10) ²+1²+2²² •√13³ +(-6)²+(-5)²² 130. - (-) 1_1-161 72 = 61,8° 15. 1230 d ū Ts 31 Is 9 80 g Schnittgerade g K: 1x²-m²l=r (2²-√²)² = r² M(mxlmy) m² = OM x = Ox mit Xek k. (( ~ ) - ( m ^₁ ) )² = µ-² k: ((*)-(x)) ·((*)-(x)) = r² Kreise (x-mx)-(x-mx) + (y-my) (y-my) = (² k: (x-mx)³+ (y-my)² = p² Koordinaten form Lagebeziehung eines Punktes zu einem Kreis Gegeben Sei ein Punkt (xly) und ein Kreis k: (x-mx)³² + (y-my)² =r² Gilt (x-mx)² + (y-my)² = r², so liegt. P auf dem Kreisk 2. Gilt (x-mx)² + (y-my)² < r², so liegt: P innerhalb des Kreises. 3. Gilt (x-mx)² + (y-my)² > r², so liegt P außerhalb des Kreises Sekante 42 Schnittpunkte Lagebeziehung einer Geraden zu einem Kreis ооо xbay.ox Vorgehensweise: - Geradengleichung in Kreisgreichung - auflösen → eine Lösung : Tangente Zwei Lösungen: Sekante Keine Lösung: Passante Tangente Passante 4 ein Schnittpunkt ↳ kein Schnittpunkt r³bzw. Mi * M. m' bzw. OM