Abiturzusammenfassung Analytische Geometrie

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hat den Betrag 1 und die selbe Richtung wie der vektor a. Wenn a² 5² = 0 a² = OÀ = 08 Satz des Pythagoras la 1² + 161² = 16-21² ↓ Unter dem Skalarprodukt zweier vektoren versteht man die reele Zahl axbx + ay by +azbz Bezeichnung: a. bª ab ; ; AB = -a +6 =b²-a² a ob 0 = axbx + ay by +az bz ist a1b →a und to stehen. senkrecht aufeinander. 2 Orthogonalitätskriterium 2 lektoren is und t mit ‡0 und 0 sind genau dann zu einander orthogonal, wenn ihr Skalarproduct den wert 0 hat. Für 2 Vektoren 0 und 0 gilt also: genau dann, wenn w• ² = 0 cos d = Winkel zwischen 2 Vektoren W.V 11.10. Vektorprodukt / Kreuzprodukt → Verknüpfung zweier Vektoren, dessen Ergebnis ein Vektor ist, welcher Senkrecht auf beide vektoren stent axb² = (ta² und 2+1) Länge von 2 : 121= |a² xb²| = |a1·151. Sind là à xb = mit 0° 180° /azbз - азыг азва - ал вз a₁b₂-a₂b₁ →). Trick zur Berechnung des Kreuzproduktes 1. Beide Vektoren zweimal untereinander Schreiben 2. Oberste und unterste Zeile wegstreichen 3.-2. mit 3. Zeile verrechnen -3. mit 4. Zeile verrechnen -4. mit 5. Zeile verrechnen immer (links oben Spatprodukt → Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren axb und einem dritten vektor → dient zur Berechnung des volumens eines Spatprodukts & ist der Winkel Zwischen axb und 2 a₁ V=1(α² xb²)·2²1= reele Zahl . (a xb²)·2² = /агвз-азыг 9361-9163 b₂-a₂b₁ ● 3)-(3) (2₂) rechts unten) - (links unten rechts oben) Beispiel: 2² = ( 1² ) ¯ - ( ² ) ² = ( ³ ) a axb = 2 1. 1 V=²(a²x5)=2² 2.1-4.1 = -2 1:21.1 = A 1.4 -2.2 = O = ● (-3) (9) 2 TJ Beispiel: a² = =16 VE A=|C²|=|a²|·151. Sind * = Winkel, den a' und einschließen. * - ( 4 ) ¯ - (²) ĥ 4 2.1-4.1 1.2 -1.1 = 1.4 -2.2 = 2 =( 1 ) さ = -2 O Rechengesetze für Vektoren Für alle vektoren a, to und und alle v₁ SEIR gilt: Kommutativgesetz: a +b = b + a Assoziativgesetz: (a³ +6³) + 2 = α²³+(6+2) r. (3.a) = a.(r. 3) Distributivgesetz: Geraden Parameter form ·g: x² = SV +r⋅RV ; VER X² = OA+r• AB ; VEIR :X 8: ∙g: g: 7² = 2² +r. 5²³; VER √(a³² +b)=ra + vbo (r+s).ā Bsp.: A (2141-6) B(31-217) g ² x ² = ( ²³ ) + ( - 14 ) ³ ² x -6 13 Geradengleichungen aufstellen 1. ein Ortsvektor eines gegebenen Punktes als Stützuektor 2. Richtungsvektor vektor zwischen den gegebenen Punkten. Punktprobe ;VEIR SV Stützuektor RV = Richtungsvektor I|x = 1+r IY = 2 +r = (-1) → prüfen ob ein Punkt auf einer Geraden liegt → einsetzen des Ortsvektors des Punktes =r·a+sa AB 0 = 3 +r →→=-3 rin I und I x = 1 + (-3) = -2 Y = 2+(-3) =-^ Z=0 → Sxy (-21-110) 1 Beispiel: g₁ X ² = ( ² ) + √ ( ₁ ) ; r Exy : Z=0 → wenn bei allen 3 Zeilen für den Parameter der wert rauskommit, liegt der Punkt auf der Geraden gleiche Geradenscharen. → Parametera" (auch andere Bezeichnungen möglich) 2 :)-(-J) 3 = -2 4a : 2.8. g₁ = 7² = ( 4 ) + ( ²1 ²2 ) да Spurpunkte 3 , Durch Stoßspunkte" einer Geraden im Raum durch die koordinatenebenen Bestimmung: xy-Ebene (Exy) : 2 = 0 XZ-Ebene (Ext): y = 0 yz -Ebene (Eyz) : x=0 4 •; PEIR oder ga: x²= 8- - * - ( ) - ( ² ) + ; VEIR Exz: Y=o I|x = 1+r I 0= 2 +r → r=-2 IZ = 3 +r rin I und II X= 1 +(-2) = -1 Y=O z = 3+(-2) = 1 →Sx₂(-11011) Beispiel: A(-1121-2) 9:7² = ( 1₁ ) +r ( 213 ); VER -1=1+r. 2=1-3r -2=2r ; PEIR Eyz: X=0 I|0 = 1+r IY = 2 +r IZ = 3 +r AB V₁# √₂ r in II und III x=0 y = 2+(-1) = 1 2 = 3+ (-1) = 2 → Syz (01112) -→=-2 762² - 3/3 2r=-1 B im Raum gibt es nur clie Parameter form g Y → A&g Ebenen Parameterform: E: mit rund sER A OA नटे 2 X²³ = SV + r Span ³₁ + S. Span V₂ + S. AC ·E: X² = OR +r AB E: îx B = a² +r·b² + 5.2² Ebene E جی Die Spannvektoren dürfen nicht kollinear sein bzw. A, B und C dürfen nicht auf einer Geraden liegen Normalen form: E: [x²-SV] · n² = 0 Koordinatenform: E: ax+by+cz =d *² = ( 2 ) b n² = SpanV₁ × SpanV₂ Kreuzprodukt/ Vektorprodukt Ebenengleichungen aufstellen 3 Punkte gegeben 1. ein Punkt als Stützuektor 2. Spannvektoren zwischen Punkt des Stützvektors und zwei anderen Punkten Punkt und Gerade 1. SV der Geraden = SV der Ebene 2. RV der Geraden = SpanV₁ der Ebene 3. Span₂ = vektor zwischen dem Punkt und dem SV SV Stutzvektor SpanV₁ = Spannvektor SpanV₂ Spannvektor 2 Ebenen sind unbegrenzt! der Gerade Zwei Geraden, die parallel sind 1. SV einer der Geraden = 2. RV einer der Geraden = Span V₁ der Ebene 3. Span₂ = vektor zwischen den beiden SV (als Punkte) der beiden Geraden Zwei Geraden, die sich schneiden ·1.5v einer der Geraden = SV der Ebene 2. beide RV der Geraden = Spannvektoren der Ebene Ebenengleichungen umwandeln Parameterform in Normalen form : 1. n bilden durch box 2 E = x² = a +rib²³ + (kreuzprodukt der beiden Spannvektoren) ↓ 2. SV bleibt gleich und wird eingesetzt siz E: [*²-5²]·²=0 Beispiel: E: .X² ** = ( ) + ( ² ) + ( ) +S SV der Ebene 1:5² X ^5* - (²) × (?) ~² = ( 8 ) 2. E. [X-(8)] · ( 2 ) = 0 6 Beispiel: is ↓ E: ax+by+cz =d Parameterform: Normalenform: Parameterform in Koordinatenform: 1. n bilden durch E: X²= = a +r·b² + 5.2² E: n² ** - ( ² ) ; V, SEIR 3 n² = - ( ²³ ) × ( ²² ) 4 = (-₁0) 3 2 -1 3. 2 bxc (kreuz produkt der beiden Spannvektoren) 2. E in Koordinaten form aufstellen 3. Svin Koordinaten form einsetzen und d berechnen 2₁(-1)-(-1)-0 = -2 (-1)-3-3-(-1) = 0 2.3 = -6 3 +₁ ( ²₁² ) + S ( ²² ) ; TSEIR →E: 4x-лоу -t = -8 3.0 Koordinaten form: E: 4x-noy-z = d → Stützvektor einsetzen E: 4.1 -10:1 -2 = d und d berechnen -8 = d Neben rechnung: --3 دی د -1 2 1-2 (2-(-1)) = 4 -2 2.(-2) -32. = -10° - 1 3.(-1)-1-(-2) = -^ Normalen form in koordinaten form: 1. Koordinaten des Normalenvektors E: [x²-5v²]·ñ°²=0 für Parameter der Koordinaten form einsetzen 2. Svin koordinaten form einsetzen und d berechnen ↓ E: ax+by+cz =d Beispiel: E: [*- (-2)] · (²3³) = 0 E:X² 1. π = (33) → E: ax+by+cz =d ที 9 E: 2x-3y+9z = d koordinaten form in Parameterform. x 2. SV in E: E: ax+by+cz =d Y Z Sv² = (-2²) → 2·1-3-(-2) +9.5=d 2 +6 + 45 E: 2x-3y+92 = 53 = a² +r·b²³ + 5.2² E: ² Beispiel: 2x+4y=32 = 12 1-4y+3z = S A. Koordinatenform nach einer koordinate umformen 2. anderen Koordinaten mit r. und s ersetzen. =d 53 =a 3. in die Parameterform linsetzen 2x = 12-4y +32 1:2 X = 6 - 2y + 23/2 - = 6 − 2 y + ¾3⁄ 2 = 6−2r + 2 s = r * = ( 6 )+ - ( ) - ² ( 1 ) 0 X, Y, Z in Parameterform - 2r + -* ( * ) ( * * * * * *) - (6) +- ( 1 ) · · ( 1 ) E: +.S 2 VISEIR VISEIR Darstellung von Ebenen E: ax +by+cz = d l:d 2x + y + z = 1 d → Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen (Spurpunkte) Sxy=0,2 =0 → Sx (1010) Sy : x=0, 2=0 → Sy (01/10) x=0, y = 2(01011) Sz Achsenabschnittsgleichung: A + 5/5 + ²/ 하튼 =^ : Beispiel: 2x + 4y +52 =20 1:20 X 686 +61\/1325 + 12/201 10 → Sx (101010) Sy (01510) Sz (01014) Spurpunkte Schnittpunkt einer Ebene mit den Koordinatenachsen. 1. Ebenenform in koordinatenform um formen. 2. jeweils 2 Parameter 0 setzen Schnittpunkt mit der x-Achse → y=0,2 =0. Schnittpunkt mit der y-Achse → Schnittpunkt mit der Z-Achse ⇒ 3. nach der Variable umstellen → Sx (x1010) Sy (0/y10) Sz. (01012) Beispiel: E: 4x + 3y +62 = 36 y=0,2 =0 4x+3.0+6.0-36 4x X = 36 1:4 8 9 → Sx (91010) x = 0₁ ² = 0 x = 0₁ Y=0 x=0,² = 0 4:0 + 3y +6.0 = 36 3y = 361.3 = 12 →Sy (011210) x = 0, y = 0 4.0+3.0 +62=36 man kann auch die Achsenabschnittsgleichung →S₂ (01016) nutzen 62 = 36 1:6 2=6 Spurgeraden Schnittgerade von E und Exy, Exi, Eye 1. Koordinaten der Achsenabschnitte ermitteln 2. Geradengleichung durch diese aufstellen Beispiel: E: 4x + 3y +62=36 1:36 4 + 1/2 + 1/2 =^ → Sx (91010) → Sy (011210) → Sz (01016). Schnitigerade mit Exyg₁₂: x² = (8) + - (₁1²2) r. x² = OSx +rSx Sy Schnitgerade mit Exa: g, x² = ( 2 ) + (7) +t. 6 x² = OSX +r. Sx S₂ Schnillgerade mit Eyz : 9₂² x ² = (22) 93 - (-2) +.S. x² = OS₁ +r. S₁ S₂ ;.VER it ER ; SEIR Lagebeziehungen Gerade und Gerade möglichkeiten Schnitt parallel (gnh) echt identisch parallel (g=h) (glih) Vorgehensweise: 9: x²=a²+r. B² h: x²=C²+s-a² r.S.E.IR 2. Schnitt: (2). :↓ Schnittpunkt für r beig und s bein Beispiel: g₁ P = ( ₂ ) + ( ²₁ ) n. *² = ( ²3 ) + ³ ( 3³ ) h.. X? 1. Parallelität: RV₁ = K. RV₂ ㅍ Vin I I1 + 2r : tr Windschief (gith, gish). - 1. Parallelität ist bo = k·a; KEIR (Richtungsvektoren linear abhängig/kollinear) 4 bolla genau eine Lösung für rund s ()+(-)-(3) + (3) +S → 911h ist zusätzlich a = c+sa (Ortsvektor lines Punktes Peg und gleichzeitig Peh) dann sind. 9 und n identisch →g=h. Schnitt Oder windschief 2. Keine Parallelität: Gleichsetzen: g=h 2 tr a²+r·b = c + s-a g=h 2 =-2k → k =.-1. -1 = 3k →K= -1/2 =.3k | keine Lösung (f.A.) ↓ gund h liegen Windschief zueinander (gth, gh) = 5-2s =-3 +35 = 2 +35 2=45 1:4 S = 1/2 ⇒gth r=3-3s 1+2(3-35) = 5-2s 1+6 -65 = 5-2s | +6s 1-5 unendlich viele Lösungen (w. A.). ↓ identisch (Fehler bei Parallelitätsprüfung) Sin II: r=3-3-1/2 3 r = /²/2/2 r und Sin III: 2 + ³/2 = 2 + 3 • 1/2 Z ring: x=1+2₁3/3 y=-3/1/2 = 2 M/N 3/23 ²/7 = 1/²/3 W.A. →gnh () (1 () + -1/2/3 → 5141 - 12/31 1 27/01) |H|N Lagebezichungen Geraden und Ebenen Möglichkeiten Schnitt echt parallel gliegt in der Ebene parallel 1. Parallelität E: X² = OA +VAB + S∙AC; r₁SEIR g: X = OD + t.DE ; tEIR Ellg, wenn n.de =0 (dan+ DE) Beispiel: g: x² = ( ² ) + ( ₁1 ) ; VER E: x + 2y +3z =9 → n. RV=O ( 3 ) ( 2² ) - 1-1 + ² - 1 + 1 (²-0) = 0 = 1·1+2·1+ 3² (-1) = 0 W.A. → echt parallel oder liegt g in E? LSV in E=2+2·3+3·1=9 2. Schnitt (auch für Parallelitätsprüfung geeignet) → Einsetzen o. Gleichsetzen → erhält man eine falsche Aussage →parallel erhält man eine wahre Aussage in der Ebene erhält man ein eindeutiges Ergebnis → Schnittpunkt Beispiel 1: 9₁ x³² = ( ² ) ²-(1)-(3) +r 1. g: x = 2 +r y = 2 +r 2 = 1-r E: x + 2y +3z =9 ~*=(₁) (Beispierz) 9. P² = ( ³ ) + (-²); tr E: x + 2y +3z =9 →in E einsetzen: (2+r) + 2 · (2 +r) + 3·(1-r) = 9 2+r+4 +2r +3-3r =9 x=2-2r Y=3 +r 2=1-5. ; VEIR ;VEIR 2. ring. → x=2-2.7/7 = 1/3 y=3+ 1/²/3 →in E einsetzen: (2-2r) +2· (3+r) + 3·(1-r) = 9 2-2r +6 +2r +3-3r = 9 11-3r 4313 2=1-²/2 = 1 → S (3/1/3/13/2) 9 g liegt in der Ebene = 9 W.A. Schnittpunkt von g 11 = 9 f.A. g liegt echt parallel zu E =9 1-9 1+38 3r=2 1:3 = }/3/3 und E Lagebeziehung Ebene und Ebene möglichkeiten 7 echt parallel identisch Schnittgerade Vorgehensweise → Einsetzen einer Ebenen gleichung in Parameter form in eine Ebenen gleichung in koordinaten form → Lösung: - Schnitt gerade Ez. • falsche Aussage → parallel wahre Aussage lunendlich viele Lösungen) → identisch - Beispiel: E₁:4x+3y+62 = 36 E2 : === - (²) +- (²2) · (²) 8 tr + >(6) x = 3r+3s y=2r z=3-r-S Sin E₂: x=3r+ 3(3- 2r) y = 2r z = 3-r-(3- 2r) → in En: 4:(3r+ 3s) + 3 2r +6-(3-r-S) = 36 12r +12s +6r + 18-6r-6s = 36 12r +65 +18 Beispiel: E₁ E₂: X²: Beispiel: E₁ : ; r₁SER E₂: X²= 6s S = 3r+9-6r = 9 =2r = 3-r-3+2r X +32 - 4y = 9 O 0 * • ( ³ ) · ( 6 ) + ( ! ); + 3 8 X = 3 y=-7 +6r+3s z = 5 +8r+45 E₂ in En: 3+3 (5 +8r+45) -4 (-7 +6r+ 3 s) = 9 3 +15+24r + 125+28 -24r-12 S = 9 x =^-r y = r +25 Z : 2-S - : =36 1-18 1-12r = 18-121 1:6 = 3 2r 3r 2r -x-y-2z = -5 0 * = ( 1 ) + ( 1) +5 ( 2 ) ; VISEIR 2 ; r, SEIR g: · 2 = ( 8 ) + < ( 2³ ) ; ²₁ Schnitgerade von E₁ und E₂ → -5 E₂ in E₁-11-r) - (r+25) -2 (2-5) = -5 -1 +r-r-25-4+25 = -5 -5 w. A. → identisch PEIR ·46 = 9 f.A. → parallel Zuein ander Abstände berechnen Punkt-Punkt → Länge des vektors zwischen den beiden Punkten d = |AB| = ¹ x² + y² +z²² 1 Bsp. P(3121-4) Q (41-113) a = 1³@1 = |( ²3 ) - ( ²³ ) | Punkt-Gerade 1. Hilfsebene in Normalen form bestimmen, die senkrecht auf 9 Stent und den Punkt P enthält →Punkt P als Stützvektor → RV von g ist der Normalenvektor der Hilfsebene 2. Schnittpunkt der Geraden und Hilfsebene I bestimmen (Einsetzen der Geradenglei Chung in Hilfsebene H) 3. Abstand Länge des vektors vom Schnittpunkt Zum Punkt P = 1 (²³) | - = 1₁²+(-3)² +7² 1597,68 LE Bsp. Pe-Luતાઈ ૭: 7 =(â)+™(); 1. Hilfsebene H: [x² - ( 2² )) (-) • =0 2. S von H und g Hin Koordinaten form → H: x-5y +²z =d form: Pin H-2-5.1+2·2=a : x=1+r in H:x-5y +2z ==3 g: Y=2-5r 2=2r (1+r)-5-(2-5r) +2.2₁ = -3₁ 1+r-10+25r+4r =-3 1+9 30r = 6 1:30 ring: x= 1 + 1/² y = 2-5. 1 z=2.4 V S 3 VEIR 6/6.5 ما اله = a = -3 → 5( } / 111; } }) 8.15¹ 3. 4-1)-() () 4 $250 3,58LE = 1 (₁/²6 ) ² + 0 ² + (-{ ) ² A a(A; B)= |AB| P (d(P:9) B g Punkt-Ebene ∙d (P; E)= Ing.P^ +1₂° Pz +^3 P3-dl n₁² +₂²² +₂ na Beispiel: E: 3x+2y+z=11 P(21411) 13.2 +2.4 +1.1-111 13² +2² +1²² d (P; E)= Gerade-Gerade Windschiefe Geraden hcH a(g; h) = d.(g; h) -flat= añ (a²-2). 7² H In d(g; h) = Bsp.: 9₁ 7² = ( ² ) ++ ( 2 ) ; + EIR + ₁² = ( ² ) + ³ ( 3 ) = h: ; SEIR (9-0))-(3) |(3²)| = · = ( ² ) × (-1) = ( ¹² ) 11=2)² +2²³ + (-1) ²² 2 = 3/4 LE P(P₁ P₂ P3) E: M₁x +₂y+n₂₁2 = d 4 114' 911H 9: x² = a² +r·b· g: h: x²=C²+s· a (n² = ² x ²) →h liegt in der Ebene it →g verläuft parallel zur Ebene H LE parallele Geraden Rechnung wie bei Punkt-Gerade Gerade-Ebene →Gerade verläuft parallel zur Ebene → Rechnung wie be: Punkt-Ebene (beliebiger Punkt vong) P a(P; E) Ebene-Ebene →parallele Ebenen E und I → Rechnung wie be: Punkt-Ebene (beliebiger Punkt von E) d (g; E) E a(E; F) F Zwischen 2 vektoren W.V 1.13 Beispiel: a² = (²4); 6 = ( ²₂ ) (9). (:) (3₂) -4. 12²+(-4)²+1²+13+0²+(-2)² cos d = Cosd= 4 121.113 Zwischen 2 Geraden |u.V. cos d = sind = > Cos d = Beispiel: g: x² = ( ² ) + r. (2) h = x² = ( ² ) + ₁ - ( ² ) Cos d = 0 (os d 2 2 |(²). (2) (3) winkelberechnungen Sind = / ( ²3 ) · (~3 )| the 42= 90° zwischen Gerade und Ebene Inw²| 121.121 3 kein Cos! Beispiel: 9₁ 7² = (~ 3 ² ) + ( ²12 ) ; re 8 Ininal mit 0°424 90° α= Sin1( ) ≈ 56,8⁰ 130¹ 10 Ina 1.1521 = Zwischen 2 Ebenen mit 0° 180° (cos α = [(G)- (23)| d IGHET d=205. ^ (12774 173 5) ≈ 76 ° mit 0° 90° -8. +4, +4. √(-4)² +2²³ +2² √2² +2²³ +2²² Beispiel: E: y+2z=6_F= 47-(:) 45= 1 2 ; V, SEIR | (1.4 + (-1) (-2) +2.0) | ^² + (−1)² +2²². •√4² + (−2)² +0²² mit 0°222 90° (²) +-( 3 ) +₁ (3) tr. +S = = E: x-y +22=6 →7²² = und sind die Richtungsvektoren der Geraden O 216.213 n ist der Normalen vektor der Ebene -0.0-3) = 16.120 10 13 ; VISEIR und sind die Normalen vektoren der Ebenen -6. + (-10) ²+1²+2²² •√13³ +(-6)²+(-5)²² 130. - (-) 1_1-161 72 = 61,8° 15. 1230 d ū Ts 31 Is 9 80 g Schnittgerade g K: 1x²-m²l=r (2²-√²)² = r² M(mxlmy) m² = OM x = Ox mit Xek k. (( ~ ) - ( m ^₁ ) )² = µ-² k: ((*)-(x)) ·((*)-(x)) = r² Kreise (x-mx)-(x-mx) + (y-my) (y-my) = (² k: (x-mx)³+ (y-my)² = p² Koordinaten form Lagebeziehung eines Punktes zu einem Kreis Gegeben Sei ein Punkt (xly) und ein Kreis k: (x-mx)³² + (y-my)² =r² Gilt (x-mx)² + (y-my)² = r², so liegt. P auf dem Kreisk 2. Gilt (x-mx)² + (y-my)² < r², so liegt: P innerhalb des Kreises. 3. Gilt (x-mx)² + (y-my)² > r², so liegt P außerhalb des Kreises Sekante 42 Schnittpunkte Lagebeziehung einer Geraden zu einem Kreis ооо xbay.ox Vorgehensweise: - Geradengleichung in Kreisgreichung - auflösen → eine Lösung : Tangente Zwei Lösungen: Sekante Keine Lösung: Passante Tangente Passante 4 ein Schnittpunkt ↳ kein Schnittpunkt r³bzw. Mi * M. m' bzw. OM