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9. Feb. 2026
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Janika
@_.janika_
Differentialrechnung: Anwendungen und Problemlösungen
Die Differentialrechnung bietet vielfältige Anwendungsmöglichkeiten zur... Mehr anzeigen
Diese Seite bietet einen umfassenden Überblick über verschiedene Anwendungen der Differentialrechnung, die für die Lösung komplexer mathematischer Probleme relevant sind. Die behandelten Themen umfassen das Anstiegsproblem, Extremalprobleme, das Tangentenproblem, das Schnittwinkelproblem und das Berührproblem.
Das Anstiegsproblem befasst sich mit der Berechnung des Anstiegs und des Anstiegswinkels an einer bestimmten Stelle x₁ einer Funktion. Die Lösung erfolgt in mehreren Schritten:
Definition: Der Anstiegswinkel α einer Funktion an einem Punkt wird durch den Arkustangens der Ableitung an diesem Punkt bestimmt: α = arctan(f'(x₀)).
Extremalprobleme beschäftigen sich mit der Identifikation von Hoch-, Tief- und Sattelpunkten einer Funktion. Diese Punkte zeichnen sich durch waagerechte Tangenten aus, was bedeutet, dass die erste Ableitung an diesen Stellen null ist.
Highlight: Hochpunkte und Tiefpunkte besitzen waagerechte Tangenten, für die gilt: f'(x₁) = 0.
Die Lösung eines Extremalproblems umfasst folgende Schritte:
Das Tangentenproblem beschäftigt sich mit der Bestimmung der Tangentengleichung an einem gegebenen Punkt einer Funktion. Die Lösungsschritte sind:
Example: Für eine Funktion f(x) = x² an der Stelle x = 2 wäre die Ableitung f'(x) = 2x. An der Stelle x = 2 ist f'(2) = 4, also die Steigung der Tangente. Die Tangentengleichung lautet dann y = 4x + n, wobei n durch Einsetzen des Punktes (2, 4) bestimmt wird.
Das Schnittwinkelproblem befasst sich mit der Berechnung des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Kurven. Die Lösung erfolgt in mehreren Schritten:
Vocabulary: Der Schnittwinkel ist der Winkel, den zwei sich schneidende Kurven an ihrem Schnittpunkt bilden.
Das Berührproblem behandelt den Fall, bei dem eine Kurve eine andere an einem Punkt berührt, ohne sie zu schneiden. Hierbei stimmen sowohl der Punkt als auch die Anstiege der beiden Kurven überein. Die Lösungsschritte sind:
Example: Wenn eine Gerade y = mx + n eine Parabel f(x) = ax² + bx + c berührt, müssen sowohl die y-Werte als auch die Steigungen an der Berührstelle übereinstimmen.
Diese Anwendungen der Differentialrechnung sind fundamental für die Lösung von Textaufgaben zur Ableitung und bilden die Grundlage für weiterführende Konzepte in der Analysis. Sie ermöglichen es, komplexe reale Probleme mathematisch zu modellieren und zu lösen, was sie zu einem wichtigen Werkzeug in vielen wissenschaftlichen und technischen Bereichen macht.
Das Extremalproblem beschäftigt sich mit der Bestimmung von Hoch-, Tief- und Sattelpunkten einer Funktion. Bei Extremwertaufgaben wie der klassischen Streichholzschachtel-Aufgabe musst du zuerst die Ableitung der Funktion bilden und diese gleich Null setzen. Nach dem Umstellen nach x setzt du den Wert in die Originalfunktion ein, um den y-Wert zu bestimmen. Die Extremstellen mit der zweiten Ableitung können zusätzlich auf ihre Art (Maximum oder Minimum) überprüft werden.
Um eine Tangentengleichung zu berechnen, bildest du zuerst die Ableitung der Funktion. Dann setzt du den x-Wert des Punktes in die Ableitung ein, um die Steigung m zu erhalten. Mit der Punktsteigungsform t(x) = mx + n und den Koordinaten des Punktes P kannst du n berechnen. Die Tangentengleichung lässt sich auch mit verschiedenen Tangenten Rechnern online überprüfen, aber es ist wichtig, den mathematischen Prozess zu verstehen. Die Tangente berührt die Kurve genau an diesem einen Punkt.
Beim Anstiegsproblem bestimmst du den Anstiegswinkel an einer bestimmten Stelle x₀ einer Funktion, indem du die Ableitung berechnest und dann α = tan⁻¹(f'(x₀)) anwendest. Beim Schnittwinkelproblem hingegen benötigst du zwei Funktionen und berechnest deren Schnittwinkel durch die Differenz ihrer jeweiligen Anstiegswinkel. Für Ableitungen im Sachzusammenhang ist es wichtig, beide Konzepte zu verstehen, da sie in praktischen Textaufgaben zur Ableitung häufig vorkommen.
Das Berührproblem wendest du an, wenn du den Punkt ermitteln möchtest, an dem zwei Kurven sich nicht nur schneiden, sondern tatsächlich berühren. In diesem speziellen Fall stimmen sowohl die Funktionswerte als auch die Steigungen (Ableitungen) an dieser Stelle überein. Bei Anwendungsaufgaben der Differentialrechnung kommt dieses Konzept zum Beispiel in der Physik oder bei Ableitungsaufgaben der 11. Klasse vor, wenn du Bewegungen von Objekten analysierst, die sich im gleichen Punkt mit gleicher Geschwindigkeit befinden.
Mathematik Oberstufe: Analysis - Textaufgaben und Anwendungen von Thomas Klein, Cornelsen 2021, Lehrbuch, Umfassende Sammlung von Anwendungsaufgaben zur Differentialrechnung mit ausführlichen Lösungswegen - Link
Lambacher Schweizer Mathematik - Differentialrechnung: Anwendungen der Ableitung von Dorn/Bader, Klett 2020, Schulbuch, Enthält strukturierte Erklärungen zu Extremalproblemen und Tangentenaufgaben mit praxisnahen Beispielen - Link
Mathe für Nicht-Freaks: Analysis verstehen von Daniel Jung, Springer 2019, Lernhilfe, Leicht verständliche Erklärungen zu Ableitungen im Sachzusammenhang mit vielen Übungsaufgaben - Link
Formelsammlung und Aufgaben zur Differentialrechnung vom Bayerischen Kultusministerium, 2021, Online-Ressource, Offizielle Formelsammlung mit Anwendungsaufgaben für die Oberstufe - Link
Erstelle eine Mind-Map zu Anwendungsgebieten der Ableitung: Verbinde Extremalprobleme, Tangentenprobleme und Schnittwinkelproblem mit konkreten Alltagsbeispielen (z.B. Kostenoptimierung, Geschwindigkeitsberechnung).
Modelliere ein eigenes Extremalproblem: Suche dir ein alltägliches Optimierungsproblem (z.B. optimale Form einer Verpackung) und löse es mit Hilfe der Differentialrechnung. Dokumentiere deinen Lösungsweg Schritt für Schritt.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
iOS-Nutzer
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Xander S
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Paul T
iOS-Nutzer
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
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Janika
@_.janika_
Differentialrechnung: Anwendungen und Problemlösungen
Die Differentialrechnung bietet vielfältige Anwendungsmöglichkeiten zur Lösung komplexer mathematischer Probleme. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie das Anstiegsproblem, Extremalprobleme, das Tangentenproblem, das Schnittwinkelproblem und das Berührproblem. Dabei werden Ableitungen im Sachzusammenhangangewandt... Mehr anzeigen
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Diese Seite bietet einen umfassenden Überblick über verschiedene Anwendungen der Differentialrechnung, die für die Lösung komplexer mathematischer Probleme relevant sind. Die behandelten Themen umfassen das Anstiegsproblem, Extremalprobleme, das Tangentenproblem, das Schnittwinkelproblem und das Berührproblem.
Das Anstiegsproblem befasst sich mit der Berechnung des Anstiegs und des Anstiegswinkels an einer bestimmten Stelle x₁ einer Funktion. Die Lösung erfolgt in mehreren Schritten:
Definition: Der Anstiegswinkel α einer Funktion an einem Punkt wird durch den Arkustangens der Ableitung an diesem Punkt bestimmt: α = arctan(f'(x₀)).
Extremalprobleme beschäftigen sich mit der Identifikation von Hoch-, Tief- und Sattelpunkten einer Funktion. Diese Punkte zeichnen sich durch waagerechte Tangenten aus, was bedeutet, dass die erste Ableitung an diesen Stellen null ist.
Highlight: Hochpunkte und Tiefpunkte besitzen waagerechte Tangenten, für die gilt: f'(x₁) = 0.
Die Lösung eines Extremalproblems umfasst folgende Schritte:
Das Tangentenproblem beschäftigt sich mit der Bestimmung der Tangentengleichung an einem gegebenen Punkt einer Funktion. Die Lösungsschritte sind:
Example: Für eine Funktion f(x) = x² an der Stelle x = 2 wäre die Ableitung f'(x) = 2x. An der Stelle x = 2 ist f'(2) = 4, also die Steigung der Tangente. Die Tangentengleichung lautet dann y = 4x + n, wobei n durch Einsetzen des Punktes (2, 4) bestimmt wird.
Das Schnittwinkelproblem befasst sich mit der Berechnung des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Kurven. Die Lösung erfolgt in mehreren Schritten:
Vocabulary: Der Schnittwinkel ist der Winkel, den zwei sich schneidende Kurven an ihrem Schnittpunkt bilden.
Das Berührproblem behandelt den Fall, bei dem eine Kurve eine andere an einem Punkt berührt, ohne sie zu schneiden. Hierbei stimmen sowohl der Punkt als auch die Anstiege der beiden Kurven überein. Die Lösungsschritte sind:
Example: Wenn eine Gerade y = mx + n eine Parabel f(x) = ax² + bx + c berührt, müssen sowohl die y-Werte als auch die Steigungen an der Berührstelle übereinstimmen.
Diese Anwendungen der Differentialrechnung sind fundamental für die Lösung von Textaufgaben zur Ableitung und bilden die Grundlage für weiterführende Konzepte in der Analysis. Sie ermöglichen es, komplexe reale Probleme mathematisch zu modellieren und zu lösen, was sie zu einem wichtigen Werkzeug in vielen wissenschaftlichen und technischen Bereichen macht.
Das Extremalproblem beschäftigt sich mit der Bestimmung von Hoch-, Tief- und Sattelpunkten einer Funktion. Bei Extremwertaufgaben wie der klassischen Streichholzschachtel-Aufgabe musst du zuerst die Ableitung der Funktion bilden und diese gleich Null setzen. Nach dem Umstellen nach x setzt du den Wert in die Originalfunktion ein, um den y-Wert zu bestimmen. Die Extremstellen mit der zweiten Ableitung können zusätzlich auf ihre Art (Maximum oder Minimum) überprüft werden.
Um eine Tangentengleichung zu berechnen, bildest du zuerst die Ableitung der Funktion. Dann setzt du den x-Wert des Punktes in die Ableitung ein, um die Steigung m zu erhalten. Mit der Punktsteigungsform t(x) = mx + n und den Koordinaten des Punktes P kannst du n berechnen. Die Tangentengleichung lässt sich auch mit verschiedenen Tangenten Rechnern online überprüfen, aber es ist wichtig, den mathematischen Prozess zu verstehen. Die Tangente berührt die Kurve genau an diesem einen Punkt.
Beim Anstiegsproblem bestimmst du den Anstiegswinkel an einer bestimmten Stelle x₀ einer Funktion, indem du die Ableitung berechnest und dann α = tan⁻¹(f'(x₀)) anwendest. Beim Schnittwinkelproblem hingegen benötigst du zwei Funktionen und berechnest deren Schnittwinkel durch die Differenz ihrer jeweiligen Anstiegswinkel. Für Ableitungen im Sachzusammenhang ist es wichtig, beide Konzepte zu verstehen, da sie in praktischen Textaufgaben zur Ableitung häufig vorkommen.
Das Berührproblem wendest du an, wenn du den Punkt ermitteln möchtest, an dem zwei Kurven sich nicht nur schneiden, sondern tatsächlich berühren. In diesem speziellen Fall stimmen sowohl die Funktionswerte als auch die Steigungen (Ableitungen) an dieser Stelle überein. Bei Anwendungsaufgaben der Differentialrechnung kommt dieses Konzept zum Beispiel in der Physik oder bei Ableitungsaufgaben der 11. Klasse vor, wenn du Bewegungen von Objekten analysierst, die sich im gleichen Punkt mit gleicher Geschwindigkeit befinden.
Mathematik Oberstufe: Analysis - Textaufgaben und Anwendungen von Thomas Klein, Cornelsen 2021, Lehrbuch, Umfassende Sammlung von Anwendungsaufgaben zur Differentialrechnung mit ausführlichen Lösungswegen - Link
Lambacher Schweizer Mathematik - Differentialrechnung: Anwendungen der Ableitung von Dorn/Bader, Klett 2020, Schulbuch, Enthält strukturierte Erklärungen zu Extremalproblemen und Tangentenaufgaben mit praxisnahen Beispielen - Link
Mathe für Nicht-Freaks: Analysis verstehen von Daniel Jung, Springer 2019, Lernhilfe, Leicht verständliche Erklärungen zu Ableitungen im Sachzusammenhang mit vielen Übungsaufgaben - Link
Formelsammlung und Aufgaben zur Differentialrechnung vom Bayerischen Kultusministerium, 2021, Online-Ressource, Offizielle Formelsammlung mit Anwendungsaufgaben für die Oberstufe - Link
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Entdecken Sie die wichtigsten Differentialprobleme: Steigungsproblem, Steigungswinkelproblem, Extremalproblem, Tangentenproblem, Schnittwinkelproblem und Berührproblem. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Anwendung der Ableitungen in der Mathematik. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differenzialrechnung vertiefen möchten.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
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Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Stefan S
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
Android-Nutzer
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Xander S
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Paul T
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