Funktionen sind das A und O in der Oberstufenmathematik -... Mehr anzeigen
Mathe3,450 aufrufe·Aktualisiert May 16, 2026·6 SeitenGrundlagen zu Funktionen: Definition, Wertebereich und Eigenschaften
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Nele @n.lampe
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Grundlagen von Funktionen
Eine Funktion ist nichts anderes als eine eindeutige Zuordnung - jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet. Der x-Wert heißt Stelle, der y-Wert ist der Funktionswert.
Hier ein paar wichtige Regeln, die dir viel Zeit sparen: Funktionen mit geraden Exponenten (wie x², x⁴) sind achsensymmetrisch. Funktionen mit ungeraden Exponenten (wie x³, x⁵) sind punktsymmetrisch zum Ursprung.
Bei Funktionsveränderungen passiert Folgendes: Addierst oder subtrahierst du eine Zahl, verschiebst du den Graphen nach oben oder unten. Subtrahierst du eine Zahl von x , wandert der Graph nach rechts.
💡 Merktipp: Bei gebrochen rationalen Funktionen wie 1/x ist x = 0 nicht definiert - der Graph hat dort eine Definitionslücke!
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Lineare Funktionen und Steigungswinkel
Lineare Funktionen haben die Form f(x) = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Die Steigung berechnest du mit der Formel m = /.
Den Steigungswinkel findest du über die Tangens-Funktion: Bei positiver Steigung gilt α = tan⁻¹(m). Bei negativer Steigung rechnest du α = 180° - |tan⁻¹(m)|.
Für Schnittpunkte zweier Geraden setzt du die Gleichungen gleich, löst nach x auf und setzt das Ergebnis in eine der Gleichungen ein. Easy!
💡 Praxis-Tipp: Wenn beim Gleichsetzen 0 = 0 rauskommt, sind die Geraden identisch. Kommt sowas wie 0 = 2 raus, sind sie parallel.
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Schnittpunkte berechnen - drei Fälle
Beim Schnittpunkte berechnen können drei Situationen auftreten, die du sofort erkennen solltest.
Fall 1 - Normale Schnittpunkte: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt. Du bekommst einen konkreten x-Wert raus, wie x = 3 im Beispiel.
Fall 2 - Parallele Geraden: Wenn beim Auflösen sowas wie 0 = 2 entsteht, sind die Geraden parallel und schneiden sich nie. Fall 3 - Identische Geraden: Entsteht 0 = 0, liegen beide Geraden aufeinander.
💡 Klausur-Hack: Kontrolliere immer dein Ergebnis, indem du den x-Wert in beide ursprünglichen Gleichungen einsetzt - beide müssen den gleichen y-Wert ergeben!
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Orthogonalität und Scheitelpunktform
Orthogonale Geraden stehen senkrecht aufeinander - ihr Schnittpunkt bildet einen 90°-Winkel. Die Steigungen haben dabei die Beziehung: m₁ · m₂ = -1.
Die Scheitelpunktform f(x) = a² + e zeigt dir direkt den Scheitelpunkt S(d|e). Um den Streckfaktor a zu finden, setzt du einen bekannten Punkt ein und löst nach a auf.
Zwischen Scheitelpunktform und Normalform wechselst du mit den binomischen Formeln. Von Normalform zur Scheitelpunktform nutzt du die quadratische Ergänzung: Halbiere den Faktor vor x, quadriere ihn, addiere und subtrahiere ihn wieder.
💡 Umformungs-Trick: Bei der quadratischen Ergänzung von x² - 6x denkst du: -6 halbiert = -3, quadriert = 9. Also x² - 6x + 9 - 9 = ² - 9.
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Nullstellen finden - drei Methoden
Nullstellen sind die x-Werte, wo der Graph die x-Achse schneidet. Setze dazu die Funktion gleich null und wähle die passende Lösungsmethode.
Fall 1 - ax² + c = 0: Isoliere x² und ziehe die Wurzel. Beispiel: 3x² - 12 = 0 führt zu x² = 4, also x₁ = 2 und x₂ = -2.
Fall 2 - ax² + bx = 0: Klammere x aus. Beispiel: 4x² + 6x = 0 wird zu x = 0, also x₁ = 0 und x₂ = -1,5. Fall 3 - ax² + bx + c = 0: Verwende die pq-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √.
💡 Diskriminanten-Check: Ist der Term unter der Wurzel positiv = 2 Lösungen, null = 1 Lösung, negativ = keine Lösung.
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Definitions- und Wertemenge bestimmen
Die Definitionsmenge D umfasst alle x-Werte, die du einsetzen kannst. Die Wertemenge W zeigt alle möglichen y-Werte (Funktionswerte).
Bei den meisten Funktionen ist D = ℝ (alle reellen Zahlen). Ausnahmen: Bei f(x) = 1/x ist x = 0 ausgeschlossen, also D = ℝ{0}.
Die Wertemenge liest du am besten vom Graphen ab. Bei f(x) = x² - 2 hat die Parabel ihren tiefsten Punkt bei y = -2, also ist W = [-2; ∞[. Bei f(x) = 1/x können alle y-Werte außer 0 erreicht werden: W = ℝ{0}.
💡 Ablese-Tipp: Für die Wertemenge schaust du dir die y-Achse an - welche Werte kann der Graph dort erreichen? Bei nach oben geöffneten Parabeln beginnt W beim Scheitelpunkt-y-Wert.
Wir dachten schon, du fragst nie...
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
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Mathe3,450 aufrufe·Aktualisiert May 16, 2026·6 SeitenGrundlagen zu Funktionen: Definition, Wertebereich und Eigenschaften
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Funktionen sind das A und O in der Oberstufenmathematik - und ehrlich gesagt, sind sie viel einfacher zu verstehen als du denkst! Du lernst hier alles über Funktionsbegriffe, Steigungen, Schnittpunkte und Nullstellen, was du für deine nächste Klausur brauchst.
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Grundlagen von Funktionen
Eine Funktion ist nichts anderes als eine eindeutige Zuordnung - jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet. Der x-Wert heißt Stelle, der y-Wert ist der Funktionswert.
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Bei Funktionsveränderungen passiert Folgendes: Addierst oder subtrahierst du eine Zahl, verschiebst du den Graphen nach oben oder unten. Subtrahierst du eine Zahl von x , wandert der Graph nach rechts.
💡 Merktipp: Bei gebrochen rationalen Funktionen wie 1/x ist x = 0 nicht definiert - der Graph hat dort eine Definitionslücke!
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Für Schnittpunkte zweier Geraden setzt du die Gleichungen gleich, löst nach x auf und setzt das Ergebnis in eine der Gleichungen ein. Easy!
💡 Praxis-Tipp: Wenn beim Gleichsetzen 0 = 0 rauskommt, sind die Geraden identisch. Kommt sowas wie 0 = 2 raus, sind sie parallel.
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💡 Klausur-Hack: Kontrolliere immer dein Ergebnis, indem du den x-Wert in beide ursprünglichen Gleichungen einsetzt - beide müssen den gleichen y-Wert ergeben!
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Fall 2 - ax² + bx = 0: Klammere x aus. Beispiel: 4x² + 6x = 0 wird zu x = 0, also x₁ = 0 und x₂ = -1,5. Fall 3 - ax² + bx + c = 0: Verwende die pq-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √.
💡 Diskriminanten-Check: Ist der Term unter der Wurzel positiv = 2 Lösungen, null = 1 Lösung, negativ = keine Lösung.
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