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Mathe
5. Dez. 2025
2.972
6 Seiten
Nele @n.lampe
Funktionen sind das A und O in der Oberstufenmathematik - und ehrlich gesagt, sind sie viel einfacher zu... Mehr anzeigen
Eine Funktion ist nichts anderes als eine eindeutige Zuordnung - jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet. Der x-Wert heißt Stelle, der y-Wert ist der Funktionswert.
Hier ein paar wichtige Regeln, die dir viel Zeit sparen Funktionen mit geraden Exponenten (wie x², x⁴) sind achsensymmetrisch. Funktionen mit ungeraden Exponenten (wie x³, x⁵) sind punktsymmetrisch zum Ursprung.
Bei Funktionsveränderungen passiert Folgendes Addierst oder subtrahierst du eine Zahl, verschiebst du den Graphen nach oben oder unten. Subtrahierst du eine Zahl von x , wandert der Graph nach rechts.
💡 Merktipp Bei gebrochen rationalen Funktionen wie 1/x ist x = 0 nicht definiert - der Graph hat dort eine Definitionslücke!
Lineare Funktionen haben die Form f(x) = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Die Steigung berechnest du mit der Formel m = /.
Den Steigungswinkel findest du über die Tangens-Funktion Bei positiver Steigung gilt α = tan⁻¹(m). Bei negativer Steigung rechnest du α = 180° - |tan⁻¹(m)|.
Für Schnittpunkte zweier Geraden setzt du die Gleichungen gleich, löst nach x auf und setzt das Ergebnis in eine der Gleichungen ein. Easy!
💡 Praxis-Tipp Wenn beim Gleichsetzen 0 = 0 rauskommt, sind die Geraden identisch. Kommt sowas wie 0 = 2 raus, sind sie parallel.
Beim Schnittpunkte berechnen können drei Situationen auftreten, die du sofort erkennen solltest.
Fall 1 - Normale Schnittpunkte Die Geraden schneiden sich in einem Punkt. Du bekommst einen konkreten x-Wert raus, wie x = 3 im Beispiel.
Fall 2 - Parallele Geraden Wenn beim Auflösen sowas wie 0 = 2 entsteht, sind die Geraden parallel und schneiden sich nie. Fall 3 - Identische Geraden Entsteht 0 = 0, liegen beide Geraden aufeinander.
💡 Klausur-Hack Kontrolliere immer dein Ergebnis, indem du den x-Wert in beide ursprünglichen Gleichungen einsetzt - beide müssen den gleichen y-Wert ergeben!
Orthogonale Geraden stehen senkrecht aufeinander - ihr Schnittpunkt bildet einen 90°-Winkel. Die Steigungen haben dabei die Beziehung m₁ · m₂ = -1.
Die Scheitelpunktform f(x) = a² + e zeigt dir direkt den Scheitelpunkt S(d|e). Um den Streckfaktor a zu finden, setzt du einen bekannten Punkt ein und löst nach a auf.
Zwischen Scheitelpunktform und Normalform wechselst du mit den binomischen Formeln. Von Normalform zur Scheitelpunktform nutzt du die quadratische Ergänzung Halbiere den Faktor vor x, quadriere ihn, addiere und subtrahiere ihn wieder.
💡 Umformungs-Trick Bei der quadratischen Ergänzung von x² - 6x denkst du -6 halbiert = -3, quadriert = 9. Also x² - 6x + 9 - 9 = ² - 9.
Nullstellen sind die x-Werte, wo der Graph die x-Achse schneidet. Setze dazu die Funktion gleich null und wähle die passende Lösungsmethode.
Fall 1 - ax² + c = 0 Isoliere x² und ziehe die Wurzel. Beispiel 3x² - 12 = 0 führt zu x² = 4, also x₁ = 2 und x₂ = -2.
Fall 2 - ax² + bx = 0 Klammere x aus. Beispiel 4x² + 6x = 0 wird zu x = 0, also x₁ = 0 und x₂ = -1,5. Fall 3 - ax² + bx + c = 0 Verwende die pq-Formel x₁,₂ = -p/2 ± √.
💡 Diskriminanten-Check Ist der Term unter der Wurzel positiv = 2 Lösungen, null = 1 Lösung, negativ = keine Lösung.
Die Definitionsmenge D umfasst alle x-Werte, die du einsetzen kannst. Die Wertemenge W zeigt alle möglichen y-Werte (Funktionswerte).
Bei den meisten Funktionen ist D = ℝ (alle reellen Zahlen). Ausnahmen Bei f(x) = 1/x ist x = 0 ausgeschlossen, also D = ℝ{0}.
Die Wertemenge liest du am besten vom Graphen ab. Bei f(x) = x² - 2 hat die Parabel ihren tiefsten Punkt bei y = -2, also ist W = [-2; ∞[. Bei f(x) = 1/x können alle y-Werte außer 0 erreicht werden W = ℝ{0}.
💡 Ablese-Tipp Für die Wertemenge schaust du dir die y-Achse an - welche Werte kann der Graph dort erreichen? Bei nach oben geöffneten Parabeln beginnt W beim Scheitelpunkt-y-Wert.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Erfahren Sie, wie man Schnittpunkte und Schnittwinkel zwischen Geraden berechnet. Diese Zusammenfassung behandelt die Identifikation von Parallelität, die Berechnung von Schnittpunkten durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen und die Bestimmung von Schnittwinkeln mithilfe der Steigungswinkel. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse in Geometrie und Winkelberechnung vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der linearen Funktionen, einschließlich der Berechnung von Nullstellen, Schnittpunkten sowie der Definitions- und Wertemenge. Dieser Lernzettel für die 11. Klasse bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Unterstützung Ihrer Mathematikstudien.
MatheEntdecken Sie die wichtigsten Differentialprobleme: Steigungsproblem, Steigungswinkelproblem, Extremalproblem, Tangentenproblem, Schnittwinkelproblem und Berührproblem. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Anwendung der Ableitungen in der Mathematik. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differenzialrechnung vertiefen möchten.
MatheErforschen Sie die mittlere und lokale Steigung von Funktionen anhand von Änderungsgraphen. Diese Zusammenfassung behandelt den Differenzquotienten, die geometrische Bedeutung der Sekanten und die verschiedenen Arten von Steigungen in Graphen. Ideal für Studierende, die ein tieferes Verständnis für Funktionalität und Graphenverhalten entwickeln möchten.
MatheEntdecken Sie die verschiedenen Anwendungsprobleme der Ableitung, einschließlich Anstiegsproblem, Extremalproblem, Tangentenproblem, Schnittwinkelproblem und Berührproblem. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten, zur Berechnung von Tangenten und zur Analyse von Schnittwinkeln. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differentialrechnung vertiefen möchten.
MatheEntdecke zwei effektive Methoden zur Bestimmung des Schnittpunkts zweier linearer Funktionen. Lerne, wie du sowohl zeichnerisch als auch rechnerisch den Schnittpunkt finden kannst. Ideal für Schüler, die ihre Fähigkeiten in der Geometrie und Algebra verbessern möchten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Nele
@n.lampe
Funktionen sind das A und O in der Oberstufenmathematik - und ehrlich gesagt, sind sie viel einfacher zu verstehen als du denkst! Du lernst hier alles über Funktionsbegriffe, Steigungen, Schnittpunkte und Nullstellen, was du für deine nächste Klausur brauchst.
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Eine Funktion ist nichts anderes als eine eindeutige Zuordnung - jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet. Der x-Wert heißt Stelle, der y-Wert ist der Funktionswert.
Hier ein paar wichtige Regeln, die dir viel Zeit sparen: Funktionen mit geraden Exponenten (wie x², x⁴) sind achsensymmetrisch. Funktionen mit ungeraden Exponenten (wie x³, x⁵) sind punktsymmetrisch zum Ursprung.
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Für Schnittpunkte zweier Geraden setzt du die Gleichungen gleich, löst nach x auf und setzt das Ergebnis in eine der Gleichungen ein. Easy!
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Orthogonale Geraden stehen senkrecht aufeinander - ihr Schnittpunkt bildet einen 90°-Winkel. Die Steigungen haben dabei die Beziehung: m₁ · m₂ = -1.
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💡 Umformungs-Trick: Bei der quadratischen Ergänzung von x² - 6x denkst du: -6 halbiert = -3, quadriert = 9. Also x² - 6x + 9 - 9 = ² - 9.
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Nullstellen sind die x-Werte, wo der Graph die x-Achse schneidet. Setze dazu die Funktion gleich null und wähle die passende Lösungsmethode.
Fall 1 - ax² + c = 0: Isoliere x² und ziehe die Wurzel. Beispiel: 3x² - 12 = 0 führt zu x² = 4, also x₁ = 2 und x₂ = -2.
Fall 2 - ax² + bx = 0: Klammere x aus. Beispiel: 4x² + 6x = 0 wird zu x = 0, also x₁ = 0 und x₂ = -1,5. Fall 3 - ax² + bx + c = 0: Verwende die pq-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √.
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Die Definitionsmenge D umfasst alle x-Werte, die du einsetzen kannst. Die Wertemenge W zeigt alle möglichen y-Werte (Funktionswerte).
Bei den meisten Funktionen ist D = ℝ (alle reellen Zahlen). Ausnahmen: Bei f(x) = 1/x ist x = 0 ausgeschlossen, also D = ℝ{0}.
Die Wertemenge liest du am besten vom Graphen ab. Bei f(x) = x² - 2 hat die Parabel ihren tiefsten Punkt bei y = -2, also ist W = [-2; ∞[. Bei f(x) = 1/x können alle y-Werte außer 0 erreicht werden: W = ℝ{0}.
💡 Ablese-Tipp: Für die Wertemenge schaust du dir die y-Achse an - welche Werte kann der Graph dort erreichen? Bei nach oben geöffneten Parabeln beginnt W beim Scheitelpunkt-y-Wert.
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Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
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Erfahren Sie, wie man Schnittpunkte und Schnittwinkel zwischen Geraden berechnet. Diese Zusammenfassung behandelt die Identifikation von Parallelität, die Berechnung von Schnittpunkten durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen und die Bestimmung von Schnittwinkeln mithilfe der Steigungswinkel. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse in Geometrie und Winkelberechnung vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der linearen Funktionen, einschließlich der Berechnung von Nullstellen, Schnittpunkten sowie der Definitions- und Wertemenge. Dieser Lernzettel für die 11. Klasse bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Unterstützung Ihrer Mathematikstudien.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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