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Mathematik

Geometrische und funktionale Symmetrie

Gerade Funktion

Mathe3.584Aktualisiert 7. Sept. 20266 Seiten

Grundlagen zu Funktionen: Definition, Wertebereich und Eigenschaften

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Nele @n.lampe
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Funktionen sind das A und O in der Oberstufenmathematik - und ehrlich gesagt, sind sie viel einfacher zu verstehen als du denkst! Du lernst hier alles über Funktionsbegriffe, Steigungen, Schnittpunkte und Nullstellen, was du für deine nächste Klausur brauchst.
Funktionen, Definitions- und Wertebereich – Seite 1

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Grundlagen von Funktionen

Eine Funktion ist nichts anderes als eine eindeutige Zuordnung - jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet. Der x-Wert heißt Stelle, der y-Wert ist der Funktionswert.

Hier ein paar wichtige Regeln, die dir viel Zeit sparen: Funktionen mit geraden Exponenten (wie x², x⁴) sind achsensymmetrisch. Funktionen mit ungeraden Exponenten (wie x³, x⁵) sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

Bei Funktionsveränderungen passiert Folgendes: Addierst oder subtrahierst du eine Zahl, verschiebst du den Graphen nach oben oder unten. Subtrahierst du eine Zahl von x (wie bei fxx = x−2x-2²), wandert der Graph nach rechts.

💡 Merktipp: Bei gebrochen rationalen Funktionen wie 1/x ist x = 0 nicht definiert - der Graph hat dort eine Definitionslücke!

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Lineare Funktionen und Steigungswinkel

Lineare Funktionen haben die Form fxx = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Die Steigung berechnest du mit der Formel m = y2−y1y₂-y₁/x2−x1x₂-x₁.

Den Steigungswinkel findest du über die Tangens-Funktion: Bei positiver Steigung gilt α = tan⁻¹mm. Bei negativer Steigung rechnest du α = 180° - |tan⁻¹mm|.

Für Schnittpunkte zweier Geraden setzt du die Gleichungen gleich, löst nach x auf und setzt das Ergebnis in eine der Gleichungen ein. Easy!

💡 Praxis-Tipp: Wenn beim Gleichsetzen 0 = 0 rauskommt, sind die Geraden identisch. Kommt sowas wie 0 = 2 raus, sind sie parallel.

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Schnittpunkte berechnen - drei Fälle

Beim Schnittpunkte berechnen können drei Situationen auftreten, die du sofort erkennen solltest.

Fall 1 - Normale Schnittpunkte: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt. Du bekommst einen konkreten x-Wert raus, wie x = 3 im Beispiel.

Fall 2 - Parallele Geraden: Wenn beim Auflösen sowas wie 0 = 2 entsteht, sind die Geraden parallel und schneiden sich nie. Fall 3 - Identische Geraden: Entsteht 0 = 0, liegen beide Geraden aufeinander.

💡 Klausur-Hack: Kontrolliere immer dein Ergebnis, indem du den x-Wert in beide ursprünglichen Gleichungen einsetzt - beide müssen den gleichen y-Wert ergeben!

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Orthogonalität und Scheitelpunktform

Orthogonale Geraden stehen senkrecht aufeinander - ihr Schnittpunkt bildet einen 90°-Winkel. Die Steigungen haben dabei die Beziehung: m₁ · m₂ = -1.

Die Scheitelpunktform fxx = ax−dx-d² + e zeigt dir direkt den Scheitelpunkt S(d|e). Um den Streckfaktor a zu finden, setzt du einen bekannten Punkt ein und löst nach a auf.

Zwischen Scheitelpunktform und Normalform wechselst du mit den binomischen Formeln. Von Normalform zur Scheitelpunktform nutzt du die quadratische Ergänzung: Halbiere den Faktor vor x, quadriere ihn, addiere und subtrahiere ihn wieder.

💡 Umformungs-Trick: Bei der quadratischen Ergänzung von x² - 6x denkst du: -6 halbiert = -3, quadriert = 9. Also x² - 6x + 9 - 9 = x−3x-3² - 9.

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Nullstellen finden - drei Methoden

Nullstellen sind die x-Werte, wo der Graph die x-Achse schneidet. Setze dazu die Funktion gleich null und wähle die passende Lösungsmethode.

Fall 1 - ax² + c = 0: Isoliere x² und ziehe die Wurzel. Beispiel: 3x² - 12 = 0 führt zu x² = 4, also x₁ = 2 und x₂ = -2.

Fall 2 - ax² + bx = 0: Klammere x aus. Beispiel: 4x² + 6x = 0 wird zu x4x+64x + 6 = 0, also x₁ = 0 und x₂ = -1,5. Fall 3 - ax² + bx + c = 0: Verwende die pq-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √(p/2)2−q(p/2)² - q.

💡 Diskriminanten-Check: Ist der Term unter der Wurzel positiv = 2 Lösungen, null = 1 Lösung, negativ = keine Lösung.

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Definitions- und Wertemenge bestimmen

Die Definitionsmenge D umfasst alle x-Werte, die du einsetzen kannst. Die Wertemenge W zeigt alle möglichen y-Werte (Funktionswerte).

Bei den meisten Funktionen ist D = ℝ (alle reellen Zahlen). Ausnahmen: Bei fxx = 1/x ist x = 0 ausgeschlossen, also D = ℝ{0}.

Die Wertemenge liest du am besten vom Graphen ab. Bei fxx = x² - 2 hat die Parabel ihren tiefsten Punkt bei y = -2, also ist W = [-2; ∞[. Bei fxx = 1/x können alle y-Werte außer 0 erreicht werden: W = ℝ{0}.

💡 Ablese-Tipp: Für die Wertemenge schaust du dir die y-Achse an - welche Werte kann der Graph dort erreichen? Bei nach oben geöffneten Parabeln beginnt W beim Scheitelpunkt-y-Wert.

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