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Alles zu Vektoren /Skalar und Kreuzprodukt /Koordinatengeometrie

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 Abitur Lernzettel
Koordinatengeometrie
Gliederung:
Vektoren
Ortsvektor
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Herleitung:
Gegenvektor
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Insgesamt 20 Seiten. Nicht jedes Thema passt in die Beschreibung. Allgemeines zu Vektoren Orts-/ Richtungs-/ Gegen-/ Nullvektor Rechnen mit Vektoren Kreuzprodukt Skalarprodukt Länge von Vektoren Lineare (Un-)Abhängigkeit Orthogonalität

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Abitur Lernzettel Koordinatengeometrie Gliederung: Vektoren Ortsvektor Richtungsvektor Herleitung: Gegenvektor Nullvektor Rechnen mit Vektoren Addieren Subtrahieren Multiplizieren Dividieren Zeichnen im 3D-Koordinatensystem 3D-Koordinatensystem in Allgemeiner Form: x-Achse in diesem Beispiel nach vorne Verschoben Flächeninhalt und Volumen im Kartesischen Koordinatensystem Beispiel (Fläche): Länge von Vektoren Linearkombination Lineare (Un-)Abhängigkeit Orthogonalität Multiplikation von Vektoren miteinander Kreuzprodukt Skalarprodukt Berechnung von einem eingeschlossenen Winkel Mathe S4 I Estiven, Efekan, Julian, Emanuel 1 Vektoren Durch einen Vektor wird die Verschiebung in der Ebene / im Raum beschrieben. Ein Vektor ist eine Menge von Pfeilen in der Ebene / im Raum, die alle: gleich lang →gleich gerichtet parallel zueinander sind. Ein einzelner Pfeil aus dieser Menge heißt Repräsentant. Man kann sich einen Vektor also als Pfeil vorstellen. Dieser Pfeil hat eine bestimmte Richtung und 2 Länge. Nehmen wir als Beispiel den Vektor (Vektoren schreibt man immer mit einem Pfeil über der Variable). Die Koordinaten von Vektoren werden übereinander geschrieben. Um den Vektor a darzustellen gehen wir 5 nach rechts (b) und 2 nach oben (c). Der rote Pfeil ist nun unser Vektor a. 2 1 0 2 a b 3 C Bsp: Der Vektor A A² = (-³) verschiebt den Punkt A (21213) 5 = Die Koordinaten eines Vektors schreibt man nicht wie bei einem Punkt nebeneinander sonder übereinander. Als erstes (oben) steht der x Wert, danach folgt der y Wert und anschließend folgt ggf. der z Wert. Ein Vektor in einem 2-dimensionalen Raum hat zwei Koordinaten, ein Vektor in einem 3-dimensionalen Raum hat drei Koordinaten und ein Vektor in einem n-dimensionalen Raum hat n Koordinaten. ↳...

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um +2 in Richtung xn-Achse ↳ um ~1 in Richtung x₂-Achse 4 um +3 in Richtume X3-Achse 2 Ortsvektor Ortsvektoren beginnen im Koordinatenursprung (O) und zeigen auf einen bestimmten Punkt (p) Ortsvektoren können dazu genutzt werden Punkte im Raum zu bezeichnen. Der Ortsvektor bezeichnet also den Vektoren vom, Ursprung (O) zum Punkt p. Jedem Punkt der Ebene oder des Raums lässt sich eindeutig ein Ortsvektor zuordnen. Der Ortsvektor wird nicht berechnet, denn er hat dieselben Koordinaten wie der Punkt. Einen Punkt kann man also als einen Vektoren angeben. Die Umschreibung funktioniert so: P (312) → OP² = P² (2) Richtungsvektor Wenn man allerdings einen Vektor zwischen 2 Punkten angeben möchte so muss man einen Richtungsvektor benutzen. Um einen Richtungsvektor zu bilden muss man den hinteren Vektor minus dem vorderen Vektor rechen. Hier ein Beispiel zum berechnen eines Vektors zwischen A und B. AB² = 6²' 1.) Y 2 8 Herleitung: Gegeben sind die Punkte P(214) und Q (516). (Abbildung 1) Der Verbindungsvektor zwischen den Punkten P und Q ist PO. Gesucht sind die Koordinaten von dem Verbindungsvektor. у 4 7 6 5 4 3 2 1 1 P 2 PQ 3 4 5 Q = 6 1 7 8 ₪35 2 = 8 7 Q 6 PQ 5 P P 4 3 2 1 2 3 0 2.) 5 1 4 I 5 6 7 8 3 Y 8 7 6 5 4 3 2 2 1 O OQ' 1 2 Dann gilt I 3 0 Q' 4 5 6 7 8 -1 = - व at YA 8 7 ✓ 6 3 -4 î 5 4 3 3.) 6 Nun verschieben wir den Vektor parallel, damit er im Koordinatenursprung beginnt. Anschließend entsprechen die Koordinaten des Vektors den Koordinaten des Endpunkts Q´ (Abbildung 2, 3). -1 = 2 Um zu P und Q zu kommen müssen wir O und Q' um den Vektor 0Q¹ + OP = OQ OQ' + OP=00 OQ' + OP-OP=0Q – OP 0Q¹ = 0Q - OP ӨР P PQ Der Verbindungsvektor von P zu Q berechnet sich also wie folgt: - xp xQ xp på = πà - OP = (*º ) - ( ²² ) = (1 - TP PQ ОР YQ ур YP Q 1 OQ' O 4.), º 2 3 4 5 6 7 8 OP Zusammenrechnen Gegenvektor Der Gegenvektor eines Vektors ist ein Vektor welcher genau so lang ist aber in die entgegengesetzte Richtung zeigt. Die Vorzeichen aller Koordinaten werden umgedreht. Man rechnet also den Vektor X- 1. Diese Gleichung lösen wir dann nach - OP ·31 OP OQ' auf. verschieben. (Abbildung 4) Nullvektor Der Nullvektor entsteht wenn man einen Vektor mit seinem Gegenvektor addiert. Jeder Wert in dem Vektor ist O. Demnach hat der Nullvektor keine Ausdehnung und unendlich viele Richtungen. Der Nullvektor sieht so aus: 4 Rechnen mit Vektoren Addieren Addiert man zwei Vektoren so addiert man jede Zeile für sich und bildet so einen neuen Vektor. Hier ein Beispiel: 2 = (2) + (1) 2 1 0 Graphisch gesehen kann man also beide Vektoren "ablaufen" und so an den richtigen Punkt kommen oder rechnen und dann die Summe ablaufen und somit direkt zum richtigen Punkt gelangen. = दो à t a Subtrahieren Subtrahiert man zwei Vektoren so subtrahiert man jede Zeile für sich und bildet so einen neuen Vektor. Hier ein Beispiel: 2 - 5 - - (1)-(²9) - (²-2) = (1) 3 2 Graphisches Subtrahieren läuft allerdings ein wenig komplizierter ab. Damit es Zeichnerisch funktioniert muss man aus der Subtraktion eine Addition machen. Dazu bildet man den Gegenvektor und geht anschließend so vor wie bei der Addition. Hier ein Beispiel: à-b² + (-5²) 5

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um +2 in Richtung xn-Achse ↳ um ~1 in Richtung x₂-Achse 4 um +3 in Richtume X3-Achse 2 Ortsvektor Ortsvektoren beginnen im Koordinatenursprung (O) und zeigen auf einen bestimmten Punkt (p) Ortsvektoren können dazu genutzt werden Punkte im Raum zu bezeichnen. Der Ortsvektor bezeichnet also den Vektoren vom, Ursprung (O) zum Punkt p. Jedem Punkt der Ebene oder des Raums lässt sich eindeutig ein Ortsvektor zuordnen. Der Ortsvektor wird nicht berechnet, denn er hat dieselben Koordinaten wie der Punkt. Einen Punkt kann man also als einen Vektoren angeben. Die Umschreibung funktioniert so: P (312) → OP² = P² (2) Richtungsvektor Wenn man allerdings einen Vektor zwischen 2 Punkten angeben möchte so muss man einen Richtungsvektor benutzen. Um einen Richtungsvektor zu bilden muss man den hinteren Vektor minus dem vorderen Vektor rechen. Hier ein Beispiel zum berechnen eines Vektors zwischen A und B. AB² = 6²' 1.) Y 2 8 Herleitung: Gegeben sind die Punkte P(214) und Q (516). (Abbildung 1) Der Verbindungsvektor zwischen den Punkten P und Q ist PO. Gesucht sind die Koordinaten von dem Verbindungsvektor. у 4 7 6 5 4 3 2 1 1 P 2 PQ 3 4 5 Q = 6 1 7 8 ₪35 2 = 8 7 Q 6 PQ 5 P P 4 3 2 1 2 3 0 2.) 5 1 4 I 5 6 7 8 3 Y 8 7 6 5 4 3 2 2 1 O OQ' 1 2 Dann gilt I 3 0 Q' 4 5 6 7 8 -1 = - व at YA 8 7 ✓ 6 3 -4 î 5 4 3 3.) 6 Nun verschieben wir den Vektor parallel, damit er im Koordinatenursprung beginnt. Anschließend entsprechen die Koordinaten des Vektors den Koordinaten des Endpunkts Q´ (Abbildung 2, 3). -1 = 2 Um zu P und Q zu kommen müssen wir O und Q' um den Vektor 0Q¹ + OP = OQ OQ' + OP=00 OQ' + OP-OP=0Q – OP 0Q¹ = 0Q - OP ӨР P PQ Der Verbindungsvektor von P zu Q berechnet sich also wie folgt: - xp xQ xp på = πà - OP = (*º ) - ( ²² ) = (1 - TP PQ ОР YQ ур YP Q 1 OQ' O 4.), º 2 3 4 5 6 7 8 OP Zusammenrechnen Gegenvektor Der Gegenvektor eines Vektors ist ein Vektor welcher genau so lang ist aber in die entgegengesetzte Richtung zeigt. Die Vorzeichen aller Koordinaten werden umgedreht. Man rechnet also den Vektor X- 1. Diese Gleichung lösen wir dann nach - OP ·31 OP OQ' auf. verschieben. (Abbildung 4) Nullvektor Der Nullvektor entsteht wenn man einen Vektor mit seinem Gegenvektor addiert. Jeder Wert in dem Vektor ist O. Demnach hat der Nullvektor keine Ausdehnung und unendlich viele Richtungen. Der Nullvektor sieht so aus: 4 Rechnen mit Vektoren Addieren Addiert man zwei Vektoren so addiert man jede Zeile für sich und bildet so einen neuen Vektor. Hier ein Beispiel: 2 = (2) + (1) 2 1 0 Graphisch gesehen kann man also beide Vektoren "ablaufen" und so an den richtigen Punkt kommen oder rechnen und dann die Summe ablaufen und somit direkt zum richtigen Punkt gelangen. = दो à t a Subtrahieren Subtrahiert man zwei Vektoren so subtrahiert man jede Zeile für sich und bildet so einen neuen Vektor. Hier ein Beispiel: 2 - 5 - - (1)-(²9) - (²-2) = (1) 3 2 Graphisches Subtrahieren läuft allerdings ein wenig komplizierter ab. Damit es Zeichnerisch funktioniert muss man aus der Subtraktion eine Addition machen. Dazu bildet man den Gegenvektor und geht anschließend so vor wie bei der Addition. Hier ein Beispiel: à-b² + (-5²) 5