Analysis

Alternativer Bildtext:

für c<o Verschielang nach links für c>0 x² + 2 fcc x1= (verschiebung nach oben für cso (verschiebung nach unten für c co 3 Streckung und Stauching -3 -2 -1 fcx)=x² g(x) = (0,5 x)² 0 -1 -2 -3 ! bei rechts verschoben Streckung In x- Stauching in 9 1 2 = - wird noch 3 4 Richtung für Occ x - Richtung für c >^ O, asa - Stauchung -gox) = (2x)² - 4x² Streckung -4 -3 -2 f -1 4 3 W 2 1 1 2 0 - No to y 4 4 3 V 9 1 f -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -2 1 2 3 y 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 3 -4 1 4 2 9 4 4 Spiegelung an der y f(-x) fcx) = (x+212 f(-x) gcx1 = - (-x - 2)2 - fcx) [(-1)(x-2)32 = (-1)² (x - 2)2 (x - 2)² = 5 Spiegelung an der x - Achse f(x) = (x+2) ² gcx) = - Achse fcx) -(x + 2)2 Verschiebung von Funktionen ...in x-Richtung (→) ...in y-Richtung (1) Skalierung von Funktionen ...in x-Richtung (→→→) ...in y-Richtung (1) Spiegelung von Funktionen ...an der y-Achse (→) ...an der x-Achse (1) f(x + c) f(x) + c Addition einer Konstanten f(c x) c. f(x) Multiplikation einer Konstanten -4 -3 f(-x) Multiplikation mit -1 -f(x) -2 ...am Koordinatenursprung O(010) -f(-x) 1 0 1 -2 -3 -4 1 Y 4 1 * -2 1 0 3 1 2 3 4 -1 9 2 (CER) (c > 0) 9 (c = -1) 2 3 Tangentengleichung Mest ist eine Funktion und ein x- wert gegeben, an dem die Tangente anvegen soll Eine Tangentengreichung sieht allgemein so aus fcx) = m x + n um die Tangentengreichung zu Giden, muss man staiging in und den y-Achsenal- Schnitt n herausfinden Steigung x - wert in f'(x) einsetzen y-Achsenabschnitt nauflösen nach Bsp fox)=2x-6x + 4 x = 3 Į l X in f(3) = 2 32-63+4= 4 2 Aldeitung bilden f(x) = 2x2 - 6x +4 F'(x) = 4x - 6 3 x in f'(x) f(3)-4 3-6 x und y des Berührungspunktes in Tangentengleichung einselben und 4 m und +(3) = 63+ n 18+ n Pin f(x) -4 = -14 P8 (314) m = 6 tex) = 6 x - 14 Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen fcx) = Bsp fcx) = g(x) 2x+1=x -1 2x + 2 = X 2= - X - 2 = X 2x + 1 und g(x) = x - 1 Bsp 1 + 1 1 - 2x 1 (-A) x in f(x) f(-2) = a (-2) + 1 = -4+1 = - 3 Bestimmung eines Berührpunktes - х2+а fcx) = 2 und gox)= Aldertungen alden 8 f'(x) = - x3 g'ox) = -x Stellen gleicher Steigung berechnen 8 - ³/13 = -√√√x²1x³ f'(x) = g(x) Gesucht sind die Schnittpunkte von fcx) und gcx). - Funktionsterme glechsetzen und diese Gleching noch X auflösen Man erhalt die koordinate x = -2 Un berechnet man die y- koordinate Der SP liegt bei P(-21-3) Schnittwinkel von Funktionen Sie sich in Schnittwinkel bel Graphen von Funktionen f und 9 entstehen, wenn Punkt schneiden Der Schnittwinkel wird dann mithilfe des Schnittwinkels der Tangente bagi fin diesem diesem Punkt und der Tangente bagl g in beschrieben c hat gegenüber der x-Achse einen slagings- Die Gerade mit der Gleching y = mx + winkel von a = tan-^ (m) Grod Indem man den Kleineren vom größeren winkel abzieht, erhält man auch den Schnitt. winkel zweier belielager Geraden Bsp Seien f und g zwei Funktionen, deren Graphen sich im Punkt Plal f(a)) schneiden Donn gilt für den Schnittwinkel & der Graphen von f und g m Punkt p die Formel α = I tan-1 (f'(a)). - tan^^ (g' (alll Der Schnittwinkel der beiden Graphen im fcx)=x²1; g(x) = x +1 → SO QLOM), P (11) 2 = 1 taon 1 (2) Be linearen Funktionen Da d+B= a und B Nebenwinkel sind gilt 180° Ist einer der beiden winkel bekannt, lässt sich der andere Whikel chne Probleme berechnen d = B 180° - tan^ (^) ~ 163, 43° -45° 1 = 18, 48° Beim Schnitt zweier Geraden entstehen im Allgemeinen vier Schnittwinkel, von denen je zwel gegenüberwiegende gleich groß sind Als Schnittwinkel wird meist der kleinere winkel (in der Aldalding a) bezeichnet 180° - B Bsp Punkt PAU) Die Formel zur Berechnung des Schnittwrikels boulet tan (2) = m₁-mz 1 + M₁ M₂ mi Steigung der Gerade y und m₂ die Steigung der Gerode x 94 - 0,25x + 3 h y = 2x - 7 Punkt > ton (x) = arctan Cổ) 49, yo f'(^) - 2 9'(1) = 1 0,25-2 1+0,25 einem B ४ -|- |- |- |- ²2 - 2 2 IS Was passiert bei 1 [0₁2] Die Streifenmethode des Archimedes - Vorläufer der integralrechnung Archimedes zerlegte die Fläche zwischen Graph und x-Achse in eine Vielzahl gleich gro- Ber Streifen "1 <J Untersumme" U₁ ≤A ≤ U-4 [0²+ ( )² + ( ² ) ² + 0 1 abersumme" Ou Alle Rechteckstreifen besitzen die Breite & während die Höhen an den Stellen 0, 4, 11, 2₁1 sind, also eingesetzt in f(x) = x² bel (4) ²₁ (11)², (3) ²2, (^)², (0)² I Damit kann man Uy und Oy we fagend berechnen u-A [o². (A)². (²). + + 1 u. € -1 2-2-1 = 6 (im 818 04 · [(4)² + (²)² + ( ²³ ) ² + ₁ ² ] . Um eine höhere Genauigkeit zu erzielen, kann man die Un (=^²]) 0-A [(A) ². (²) ² + + (^_^)² +₁²] ₂ O- 2+1 2+1 →sowohl A= 3 LX = lim (= n=1 - e 11 ( ² )²] - A <|J 30 64 an जत 6 la = Ober- und Untersumme streben dem MIJ 1 0,21 ≤A≤ 0,47 Anzahl der Streifen erhöhen Archimedes teilte das Intervall I [0, 1] in n - Streifen und Suchte nach einer allgemeinen Formel für Ober und Unter- Summe Archimedes bildete unendlich viele Streifen, also den Grenzwert für n ∞ Grenzwert zu weswegen gilt Flächeninhaltsfunktion - lineare Funktion - fox) = 3x 3x x|c Für die obere Fläche gilt A₂ (x) = 1/2 > X →Flächeninhaltsfunktion zur unteren 2x n Normalparabel - (fcx) = x²) Leitet man die Bsp X A'(x) = f(x) f A (x) - vereinfachte Bestimmung - normale Inhalt Funktion X X 3x = x²(x ist die Grundfläche, 3x ist die Hone) Grenze Null" Flächeninhaltsfunktion zunächst mussen Ober- und Untersumme berechnet werden. On-[(A)²³²+ (a ) ² + (3 %) ² + (n =)² ] \ n3 Ao (x) lim On →>> nx An(n+1) (an+1) 6 Ao Ą (x) (1²+2²+ lim xn-^ 918 Daraufhin berechnet man den Grenzwert Flacheninhaltsfunktion ㅅㅅ n² ) Flächeninhaltsfunktion 4x4 + C Funktion x3 der Fläche über [0₁2] => A₂ (2) = = 24 = 4 = x³ n. ned an ad 맴 n (t² n mal and1) २ = 1313 ab, so erhält man die normale Funktion Stammfunktion und unbestimmtes Integral Stammfunktion. Jede differenzierbare Funktion F, für die F'(x) als Stammfunktion von f bezeichnet Unbestimmtes Integral Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f heißt unbestimmtes integral von f Symbolische schrevoweise / foxlox →>> Bsp Bestimmen se die Menge aller Stammfunktionen von f Integral von f a) fcx) = x5 Sx5 dx = 6x6 +c Potenzregel der Differentialrechnung (x)=n-x-1 (n = Z, n=0) = Summenregel der Differentialrechnung Man kann eine Summe gliedweise dif- ferenzieren: (f(x) + g(x)) = f'(x) +g'(x). Faktorregel der Differentialrechnung Ein konstanter Faktor bleibt beim Dif- ferenzieren erhalten: (a-f(x)) = a-f'(x) (a≤R). fcx) gilt, wird Rechenregeln für unbestimmte Integrale Kettenregel der Differentialrechnung (lineare innere Funktion) Für a, b € IR gilt: (f(ax+b)) = f'(ax+b).a X →>> n+1 n+1 X Potenzregel der Integralrechnung Stammfunktion F + C Funktion Gesucht ist also das unbestimmte Ableitung [x" dx x" dx =A+C (n=Z, n/-1) n+1 Summenregel der Integralrechnung Man kann eine Summe gliedweise in- tegrieren: f(f(x) + g(x) dx = ff(x)dx + [g(x) dx = F(x) +G(x) Faktorregel der Integralrechnung Ein konstanter Faktor bleibt beim Inte- grieren erhalten: integreren f differenzieren fa-f(x) dx = a- ff(x) dx (a € R). =a. F(x) Lineare Substitutionsregel der Integralrechnung Für a, b € IR, a 0 gilt: f(ax+b) dx = ¹.F(ax+b). f' Bestimmtes Integral Dos Integral ist eine abgekürzte Schreibweise für eine Streifensumme steht für das S von Summe, dx für die Streifenvorette AX Das bestimmte Integral als Flächenbilanz Besitzt f wechsende Vorzeichen, so besitzen die Streifentherme f (x₁) Ax souchi negative als auch positive Werte Summiert man sie, So erhält man eine Flächenbilanz Unterhalb der x-Achse liegende Flächenteile gehen negativ ein, Achse liegenden werden positiv gezänut die oberhoub der X- a bis b kann Das bestimmte Integral von f von durch die abgebildeten Flächen A₁, A₂ und A3 wie folgt eingestellt werden b a fox)dx-A₁-A₂- A3 A₁ = - [ foxlox Az = 5 fcx) dx Š n A₁- b Š - fox) dx = ŝ m fcx) dx Integrations- grenzen FUO) F(a) 3. Das m Zeichen S b I fax) dx Differential Integrand A3 VA Ал n WICHTIG ist der Flächeninhalt gefragt muss der Betrag der einzelnen Abschnitte verwendet werden T Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Die Funktion f sel F sei eine Stammfunktion von f Dann lässt sich das bestimmte Integral von f in den Grenzen von a bis 6 als Differenz F(b) F (a) berechnen eine auf dem Intervall [a, b] differenzierbare Funktion b f Beispiel Beispiel 2 -41 Beispiel 3 3 3 Satz 1.4: Rechenregeln für bestimmte Integrale f und g seien auf dem Intervall [a; b) differenzierbare Funktionen. Dann gilt: a (1) fr(sx)dx=0 b (2) [r(x)dx + f(x)dx=ff(x)dx a a (3) b fr(x) dx = -ff(x)dx a b (4) Rechenregeln für bestimmte Integrale b -f(x)dx=k. [f(x)dx b (5) f(f(x)- + g(x)dx=ff(x) dx + g(x)dx .4 a √√x² fcx) = (x²-4) 14 fox)=x²-3/ X +2 Stammfunktion von f 12x³ 3 Bestimmtes integral 4x²x. [2x²³],³ = ( 3³ ) - ( 12 1³) - 2.16 12 X F(x) 2 Stimmen obere und untere Grenze überein, so ist das Integral 0. Intervalladditivität Stammfunktion von f FCX) = x² - 4x = лах Bestimentes integral $(4x²-4) ox - [ + ³x³ - 4x] " - ( = 4³-44) Vertauschung der Grenzen ändert das Vorzeichen. Faktorregel 3 A₁ + A₂ Summenregel 1 Nullstellen 2ײ -√² × +2=0 x = A = ja fox) dx = [4x² - ³x² + 2x]* - = X O 3 2 foxlox - [x³-√√x² + 2x] 343 0034-1 M + 2,58 - - 들 w/8 → A= 을 Flächeninhalt zwischen Funktionsgraphen Methode A a Besprel gcx) b A = [ f(x) dx a Af = A Ag - Ş 2 f [goxidu g(x) Methode 2 b - 1 a fox) dx = [13³x²³+x] ² X = gcx) dx A₁ b A = [ (fax) - g(x)) ax 9 f a A₂ A Gesucht ist der Inhalt A der Fläche zwischen den Graphen von fcx) = x² + 1 und x² + x über dem intervall [1, 2] 322 -- [- 4x²+x]²--3-4 Inhalt der Fläche zwischen f und g über dem Intervall [a,b] = b Inhalt Af der Fläche unter füber dem Intervall [a, b] Inhalt Ag der Fläche unter g über den Intervall [a, b] 9 f Inhalt der Fläche zwischen f und = 12-4-3-2 = 9 A = nox) dx = (x²-x+1)x - [ײ - 1׈•×]²³ - ² į a a x X über dem Intervall [a,b] Inhalt der Fläche unter der Differenzfunktion h= f - g über dem Intervall [a, b] Beispiel Berechnen sie nun den Inhalt A der Fläche zwischen den Graphen fcx) = x² + 1 und gux) = x² + x Differenzfunktion h- f-g über dem Intervall [1, 2] mithilfe der Rekonstruktionsaufgaben Beispiel Eine ganzrationale Funktion f dritten Grades hat die aufgeführten Eigenschaften & Wendepunkt im Urspring a PL113) 1st Punkt von f 3 A = 3 um Ansate welche Funktion handelt Neuer Ansate 01 11 f(1) = 3 fcx) = ax³ + bx² + cx = d. fcx) = 3ax² + abx + C f"(x) = 6ax + 2b Prozess fox) dx = 3 → ₁₁a + ²/c Resultat fox) = - 6x³ + 9x Fassentleerung Bewegungsvorgang Ballonflug Lernprozess Festbesuch fox) = ax³ + cx Heizvorgang Staudammleck => a + c = 3 Arbeitsvorgang Arbeitsvorgang es = 3 Rekonstruktion von Beständen Bestimmung von f aus. der Anderungsrate f' sich 2 → 6= 0 Bedingungen f" (0) = 0 f (0) → d-0 a= -6₁ c= 9 Bestandsfunktion f Wasserhöhe im Fass in cm Zurückgelegter Weg in m Steighöhe des Ballons in m Anzahl gelernter Vokabeln in Stück Besucheranzahl in Menschen Heizkosten einer Periode in Euro Wasserverlust in m³ Arbeit in Joule Arbeit in Joule Änderungsrate f Abnahmerate in cm/min Geschwindigkeit in m/s Steiggeschwindigkeit in m/s Lernrate in Stück/min Zustrom/Abstrom in Menschen/h Kostenrate in Euro/Tag Verlustrate in m³/Tag Leistung in Joule/s bzw. Watt Kraft in Joule/m bzw. Newton Bei velen Prozessen, deren Ablauf durch eine Bestands- funktion f beschrieben werden kann, kennt man zwar die Anderungsrate f' der Bestands- funktion sellost Beispiel Gegeben ist die Anderungsrate f'(x) = 1 × einer Funktion of Außerdem ist der Funktionswert f(1) = 1, 25 bekannt We butet f2 f'(x)= ax ist die Anderingsrate bzw die Ableitung der gesuchten Bestandsfunktion of eine Stammfunktion von f' Durch Integration von f' erhalten wir die Menge aller fc cx) = 4x² с f ist also Stammfunktionen von f Es ist are Funktionsschaar Die Geschwindigkeit v ΔS ist die Änderungsrate des Weges s noch der Zeit +, denn es gilt die Beziehung v= as an v= s' Daher kann der weg rekonstruiert werden, wenn die Geschwindigkeit bekannt ist, 2 B durch Messung mit dem Fahrtenschreiber I Produktregel der Differentialrechnung Eine Summe fcx) = u(x) + v cx) wird guedweise differenziert Bel Produkten wird die Produktregel verwendet. Die Funktion f sel das Produkt der beiden differenzierbaren Faktoren u und fcx) u(x) v (x) Dann ist auch die Funktion of differenzierbar und für ihre Ableiting f' gilt die Formel f'(x) = u²(x) v (x) + U (x) V'(x) U Die Kettenregel Verkettete Funktionen sind solche, deren Funktionsterm aus geschochtelten Einzettermen besteht Beispielsweise lässt sich die Funktion KCx) = (2x + 1)³ als Verkettung der beiden einfachen Funktionen fcx) = x³ und g(x) = 2x+1 darstellen, denn es gilt K(x) = f (gx)) f heißt hierbei außere und Innere Funktion der Verketting k 9 K(x) f(g(x)) sei die verkettung der äußeren Funktion f mit der inneren Funktion an der Stelle x differenzierloor f se Stelle g(x) differenzierbar der 9 9 se Dann ist k es gilt an der Stelle x differenzierbar und K'(x) = f'(gul) g'(x) außere innere Ableitung Ableitung Lineare Substitutionsregel Die Integration einer verkelteten Funktion hcx) = fcgc+)) ist im allgemeinen recht schwierig Legt jedoch der besonders einfache Fall vor, dass die innere Funktion eine lineare Funktion ist, dh es gilt hcx) = f(ax+b), so lässt sich die Integration problemics durch- führen sofern man die außere Funktion of integrieron kam 1 a und b seien reelle Zahlen mit a #0 F sel eine Stammfunktion der Funktion f fcax + 6) dx = 1 = (ax+6) +C ✓ a Natürliche Exponentialfunktion_fox-ex e ist eine zahl, welche zwischen 2 und 3 liegt 2,718 e ist deshalb so interessant, well die Exponen- Halfunktion mit der Basis e ihre Ableitung darstellt Sie ist praktisch die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft (ex)' = ex Ableiten von Exponentialfunktionen Bei der Albleitung verschiedener, kompuzierterer Exponentialfunktionen werden die typische Summen- Produkt- und Kettenregel angewendet 1 Flächeninhaltsberechnungen bei Exponentialfunktionen 1 Berechnung von Al į a) fcx) = e 3x Kettenregel f'(x) = 3 e ³x b) f(x) = x + e-* Summenregel, Kettenregel f'(x) = 1-e²x c) f(x) = x e²x ➡Produktregel, kettenregel f '(x) = 1 @²x + x 2e²x d) f(x) = (x+1) e-* Produktregel, Kettenregel f'(x) = 1 e-x + (x + 1) (-e-x) = -x e²- C (1+2x) e²x -X (ex - 1) dx O 2 Berechnung von A₂ 3 fier.. [ex O (ex - 1) dx = In 3 [ex-x]=-=1/12 = -X In 3 7-7-7 3 K-O, 37 → 0.37 - 2 In 3 ~ 0,90 A₂ Rechtecksfläche - 0.9 A₂ ~ In 3 2 -0,9 A₂ ~ 1,30 ex -1 2,20-0,90 A1 2 5 1- A2 X f(x) = ex - A Verschiebungen fcx1 fcx) ex - e -X fcx) = 2 ex S normale Exponentialfunktion fcx) = -1 ex = -ex Spiegelung von fcx) an der y-Achse Spiegelung von fcx) an der x-Achse Streckung von fcx) um den Faktor a fox) = e* + 1 verschiebung um ex+1 fcx) 1 in Richtung y-Achse Verschiebung un 1 in Richtung x - Achse Kurvendiskussion 1. Symmetrie Achsensymmetrie wird von Punktsymmetrie unterschieden 2. Nullstellen und Schnittpunkt mit der y-Achse Die Schnittpunkte mit der x-Achse findet man Die Schnittpunkte mit der y-Achse findet man, indem man pq- Formel X112' Polynandhiusion + raten - f"cxel-O T"(xe co Maximum f" (X=) JO- Minimum ² ± √√√(£) ² - 9 Substitution b) Vorzeichenwechselknterium. Wechsel von f'(x) bel XE Wechsel von f'cx) bel XE von - kein Wechsel Sattelpunkt 3. lokale Extrempunkte Die Albleitungen von fcx) werden gelaldet Die Nullstellen von f'(x) werden gesucht ( Nullstellen von f'cx) werden in f'(x) eingesetzt) a) f"-kniterium keine Aussage 5. Verhalten von x gegen =∞ Für x→ ∞ strebt f Für x→→∞ strebt 7. Graphen zeichnen Wendepunkt L-R f (xw) >- Wendepunkt R-L b) vorzeichenwechsel - Kriterium Vorzeichenwechsel von f"(x) be xw + zu - Vorzeichenwechsel von f"(x) ba xw zu + f 6. Definitions und Wertebereich von + zu 4. Wendepunkte Die Albleitungen von f(x) werden gelaldet Die Nullstellen von f(x) werden gesucht (a) f(x). Kriterium (Nullstellen von f"(x) in f"(x)) f" (xw) = 0 - keine Aussage f (xw) ≤0 gegen X ausklammen O. zu gegen -∞ Maximum + Minimum - fcx) indem man fox) = 0 setzt und nach x auflöst setzt und noch y auflöst. x = 0 1 A f(-x) f(-x) = X - A fex) - 7 fcx) -Achsensymmetne fcx) - Punktsymmetrie L-R- Wendepunkt 10 5 0,09 0001 R-L-Wendepunkt 08 →O -10 8-8 - 5 -2 10³ -6 10³ →-∞ Kurvendiskussion Anwendungsbeispiel f'(x)= -x + 2 f"(x) = - = Symmetrie fc-x) = -(-x)² + a (-x)-A -- पै. 4x2 Schnittpunkt mit y - Achse - 0²+ O = Schnittpunkt mit x - Achse 4 x² + 2x - 1 l 2 4x² x = 4₁ 4= 3 f" (4) = - 2x - A 2 0 1 = y -1=4 3 0 = x² - 8x + 4 ×11²2 -- (-3) ± √((-8) ²-4 さ =4=√165 2 ^ 2x + Extrema f'(x) = 0₁ f^(X) +0 f'(x)=0 1 A xxx 0,54 -▬▬▬▬▬ 1 (-1) × 1 x + 2 Wendepunkte f" (x) = O ist für kein x € IR erfüllbar Graph X₁~0,54 X₂ Maximum H (413) x 7,46 +X 8 7,46 fcx) = -4x²+ X+ 2x d 1 Ableitungen bilden hier gibt es keine fcx) ist nicht gleich f(-x) - keine Symmetrie y in fox) - p= (-8) 3 Ableitung - 1 = -√ x² + 2x -x 습x2 (010) durch (-4) tellen um die pq - Formel anzuwenden Bedingung O- X = O 9=4 x = -6 ± √√) ² - 9 An der Stelle" x OS4 und ~46 Schneidet fcx) die x-Achse 11 (Verhalten + 2x → 2 Lösungen - Nullstellen von f'cx) in x in fcx) ein- setzen Anwendung des f" - Intenums →negativ also Hochpunkt keine Wendepunkle H (413) im unendlichen fehlt) Einfach gebrochen-rationale Funktionen Funktionen, deren Term sich als Quotient von zwei Polynomen darstellen lässt, heißen gelorachen- rationale Funktionen Sie werden bei Modellierungen verwendet aus einem Polynom und einer einfachen Hyperloel dargestellt werden Beispiel Beispiel Wie verhalt X fcx) fcx) 1 y ↑ Gelorachen- rationale Funktionen besitzen of Definitionslucken Nullstellen hat Mithilfe von Einsetzungen konn man klären, wie sich an eine Definitionslucke verhalt - 2 3 2x² + 1 fcx) = X 4 fcx) = 1,5 1,99 - 5 - 299 X + A x-2 sich die Funktion, wenn Graph von f l 2,5 2,01 7 301 2x + Paynom - 2 2 -8 X 2 ∞ lim X→ 2 xca und können mit Paynamalusion of lim x 2 x > 2 man sich der Definitionslucke bei x = 2 f(x) = Einfache Hyperbel X x + 1 x-a X + A x-a x + 1 2 ∞ ∞ = 1 + Diese liegen dort, wo der Nennerterm die Funktion bel Annorering in einer Summe verschwindet für x annonert 2 Sinus uns Kosinus- Funktionen Die Aldeitung von y 1- m=1 -1- Sinus und m=O TEIN FEIN kosinus m=-1 M TT T cos (x) = -(sin x) m=1 3T m=0 MIN 2TT 1 2T F X X Die Funktion f(x) Sinusregel Die Ablettung der Sinusfunktion ist die kasinusfunction (sin x)' = cos (x) Sinusregel Die Ableitung der kosinusfunction ist die negierte Sinusfunktion = Sin (x) Die Ablettung von f(x) = Sin (x) Die Integration von die Integra- Aus den beiden Ableitungsregeln für Sinus und kasinus ergeben sich auch tionsregen für die beiden Funktionen Der Nachweis erfolgt unmittelbar duch Differention Sinus und kosinus Sin (x) dx = -COS (x) + C lineare Substitutionsregel S Sin cax b) dx = A cas (ax+6) + C Extremalprobleme Bei den Extremwertaufgaben soll eine maximiert oder minimiert werden COS (x) dx = Sin (x) + C Hochpunkt, wenn gilt f" (XE) CO Tiefpunkt, wenn gilt f" (XE) > O Zuletzt werden dann noch aufgestelllen Bedingungen berechnet oder Maximum handelt S cas (ax+6) dx Funktion unter mindestens einer Nebenbedingung Aus Haupt- und Nebenbedingungen stellt man dozu die zelfunktion auf, deren Extrom- punkte man mit der Ableitung berechnen kann XE 4 f'(XE)-O Mit der hinreichenden Bedingung und zweiten Ableitung überprüft man noch, do es tatsächlich um ein Minimum vorgehensweise 1 Hauptbedingung 2 Nebenbedingung 3 Zielfunction aufstellen 4 Extremwerte der Zielfunktion berechnen 5 Berechnen fehlender Größen die fehlenden Größen mit der Lösung und = 16 sin (ax +b) + C sich den ursprünglich Bei Extremal problemen wird aus einer Haupt- und Nebenbedingung eine Funktion (die Zielfunktion) aufgestellt, deren Extremwerte gesucht werden Extremalprobleme Beispiel 11 Es soll ein möglichst graßes rechteckiges Gebiet mit 800m zain eingegrenzt werden Berechne die Größe der beiden Seiten und des Facheninhalts "/ 1 Hauptbedingung Die Fläche des Rechtecks die Hauptbedingung und abhängig von und 6 Ala, b) = a b 2 Nebenbedingung Es Stens des Rechtecks U= 2a + 26 800 = 2a + 2b a = nur 800m zain 3 Zielfunktion aufstellen Um beide Bedingungen miteinander vantablen umgestellt 20 + 26 1-26 20 la = 400-b 20= 800-26 2 sal maximal werden Doher ist das zwa Vanablen a zur Verfügung, der das Gelbiet eingrenzt A (a, b) = ab Acb) = (400 -b) b = yoob -6² Nun kann man A(b) = Goo6 - 62 A (6) = 400 - 26 Das muss jetzt in die Hauptbedingung eingesetzt werden und man ener Vanablen abhängig ist die nur noch von 4 Extremwerte der Zielfunktion berechnen. ->> zu verknüpfen, wird Hochpunkt Mit der zweiten Ableitung überprüft man noch da der Focheninhalt maximal werden soll A" () = -2 A" (200) = -2 40 = 5 Berechnen fehlender Größen b= 200m. b (wie bei anderen Funktionen auch) die Extremwerte der zielfunktion berechnen. 400-26 O - 26= - 400 b= 200 = 40 000 m² a = 400 - 200- 200m Aus der Hauptbedingung lässt sich A berechnen A (a, b) = ab A (a,b) 200m 200m A = ab u= 800m Aus der Lungestellten) Nebenbedinging kann man hun a berechnen a-400-b Dieser die Nebenbedingung nach einer a ist der Umfang erhalt die Zielfunktion, do das Ergebnis tatsächlich ein Hochpunkt ist, I Wendetangenten Schneidet ( Dadurch, dass die Tangente die Funktion f nicht sondem nur beruht, heißt das, dass die wendetangente und der Funktionsgraph von f an der wendestelle die glache Steigung haben. Deshalb muss man für die Ermittlung der Steigung der Tangente die wendestelle in die erste Ableitung einsetzen 4w (x) fist = f'(xw) (x-Xw) 41 wobel W CX w. You) en wendepunkt der Funktion 1 Berechne die ersten drei Ableitungen der Funktion f a Ermittle für welche x-Werte die zweite Albeitung = 0 ist 3 ist die dritte Alderching on oten gefundenen x-werten ungleich o, so handelt es sich um Wendsouncle 4 Für die genauen koordinaten setzt du die Wendepunkt x-werte die Funktion fen Einsetoen von der wendestelle in die erste Ableitung, um so f'c xw) zu erhalten Einsetcen des wenderancies W (xw, yw) and alle staging f'(xw) in die Punkt - steigings form en und erhalten der gesuchten Tangente Formansätze BSO S (6x +12) e2x dx Fox) = (3ax + a l Anwendung der Produktregel bem Formansatz u = ax + b c' = a v' = 3e 3x noch unstellen 3 Vanablen in FCX) = (2x a vergleichen mit fex) 3a=6 a 2 a +36= 12 + = LIATE + 응) 36) = 2 3x v=e3x 3x 2+36-12 den Formansate gegebener Formansate Fcx) = (ax+6) I 6= 3/3 L = logarithmische Funktionen (log, In, lg, ...) I = inverse Winkelfunktionen (asin, acos, atan, ...) A = algebraische Funktionen (x², 5x³,...) T = trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan, ...) E = Exponentialfunktionen (ex, 5ax, ...) einsetzen e 3+ Partielle Integration Die partielle integration (Produktintegration) braucht man ebenfalls, wenn ein Produkt von Funktionen integrnert werden soll [ f(x) · g'(x) dx = f(x) · g(x) — ·[ f'(x) · g(x) dx Beim partiellen Integneren kann man fur f(x) einsetet, also ab integriert Die Wahl des richtigen Faktors für f(x) und g(x) kann aber die Rechnung für dich stark vereinfachen. Dabei hilft dir LIATE: Der Formansatz wird ver- wendet, um ein Produkt integreren zu sich selbst aussuchen, welchen Faktor man und welchen also man für g'(x) einsetzt 1 Dein Ziel ist es immer, das Produkt, das du partiell integrieren willst, zu vereinfachen. Dazu setzt du den Faktor für f(x) ein, der in LIATE möglichst am Anfang kommt. Denn er vereinfacht sich durch Ableiten. Den Faktor, der in LIATE weiter hinten steht, setzt du in der Formel für partielle Integration für g'(x) ein. Denn er vereinfacht sich durch Integrieren. Wenn du beispielsweise die Funktion In(x). 8x³ integrieren möchtest, solltest du In(x) für f(x) und 8x³ für g'(x) in die Formel einsetzen. Denn in LIATE steht In(x) als Logarithmische Funktion über der Algebraischen Funktion 8x³. Wachstums- und Zerfallsprozesse Be Wachstum handelt es sich um die zeltuche Entwicklung einer Population Man unterscheidet zwischen verschiedenen wachstumsprozessen I lineares Wachstum 2 exponentielles Wachstum. 3 beschränktes Wachstum 4 logistisches Wachstum Lineares Wachstum ist die Differenz zweier werke der Population zu die gleiche zanı, dann legt lineares wochstum vor beschränkt Bsp Tag Geld O l O 2 B(t) BIO) + k + = mx 3 4 S 6 6 7 12 14 Endwert - Startwert Wachstumsfaktor wachstumsfaktor a zwei benachbarten Zeitpunkten immer Uneares wochstum ist nicht t 8 9 16 18 1 + Prozentwert ODER 1-Prozentwert 14 12 - 20 ५ 15 10 5 8 Exponentielles Wachstum Unterscheiden sich die werte der Population zwischen zwei benachbarten zeit- punkten immer um den gleichen Faktor, dann vegt exponentielles wochstum vor nicht beschränkt Es ist Die Wochstumsfunktion lautet BH)=B0) kt 1st k > 1, donn handelt. es sich um ein Wachstum der Population Gilt ockcl dann ist die Rede von exponentiellem Zerfall BSP ES Uegt eine unbekannte Spezies vor Jeden Tag misst man die Anzahl Nach 7 Tagen stellt man fest, dass sich die Anzahl jeden Tag verdreifacht hat Das heißt, B(t)= B(0) 3+ B(t) = Anzahl von + Tagen BO) = Wert der ersten Messung 0 4 wert noch + Tagen = wert nach O Tagen + + 2 -3 l -2 -1 2 0 X 3 1 2 4 3 4 S Beschränktes Wachstum Grundsätzuche Funktion ECH) = 30 - 16 + f(t) 30+ 14 e Halbwertszeit fcx) = S = C beschränktes Wachstum t -opst Sq E f(t) = 200 0, gt-> e -kt g(t) = g(+) 46 30 100 200 OS= 0, gt bg (OS) = log (G5) (og (0,9) ко = SEIR beschränkte Alanahme 33 + 16 e-0,0st o, gt 1200 llog bg(0, 9) + tl lag (0,9) Funktionsscharen ene Schar 2 was st y = f(x) = mx + 1 m=0,5m= 1 m=2 •m=-1 •m=-2 Nullstellen fa (x) = ax² -5 O = ax² - S 1+5 S = аха x2 Ableiten mit Parametern fa (x) f'alx) facx) facx) I a 1=√ a x 2 2x + ax³ - ya = заха 4x3 fu(t)= t²-ça fult) at + u 2 X In ft ( at ) f"t (-at) - Extrempunkte bei Scharen f (x)= x³ - 12+2 x f't (x) зха лата f"t (x) = 6x = O + t f"(x) 6 2t = 6 y = f(x) = 0,5x + n + S - • ± √√ = - at 1 f '=(x) О= 3ха lata 1+ lata lata = 3x2 13 4t² = x²1=√ ±at = X •n=0 n=1 n=2 n=-1 n=-2 и 3 x in fcx). ft (at) = (2+)³ - 12t² ft (-at) (-2+)3 (t€ let) = lat - xy = 2t лага = X - X Qt Bei den jeweiligen Funktionen ist der Parameter n und m unbekannt Dementsprechend sieht fcx) verschieden Tiefpunkt aus Der Parameter a wird we eine normale Zahl behandelt Bsp facx) facx) a stent Hochpunkt 8t3 24t³ = - 16t3 2+= 8+3 + 24t³ = 3x3+4x + ax² 9х2 + 4 + дах - nur für eine zahl! 16t3 T(2t - 16t ³) H(-2+1 16+ ³) Wendepunkt bei Funktionsscharen facx)= x³ - 20 facx) ха - ua f" acx) f" a (x) 2 1 facx) = 0 O=2x- ya 4a = 2x 12 2a - X 2 x in f"a (20) 3 x in fcx). fa (20) é | xx Integrieren facx) = a % ← 2x - ya f" a (x) - at 1 (-2) t Berechnen Sie die Ortskurve der Extrempunkte El-at I 16+ 3) ax3 2(a+x2) x² X f (x) 0 1 1+ 4a = 2 - R-L-Wendepunkt We-L (2a1-1³) 1 (20) ³ - 2a (20)² - 1/3 89³ - 20 40² - 3 89³ 803 4- 16t3 y = 16 (=//=2) ² 3 4 = 16 XS -8 y = -2x3 Fa (x) ax aax ax 슈 lax + ахи - 16 1 Den x- wert rausschreiben 2 Den y - wert rausschreiben 3 x-Wert nach Parameter umstellen 4 Den gewonnenen wert in y einsetzen (klammer) S ausrechnen, kurzen Verhalten im Unendlichen was mocht was mocht en Graph bei immer positiveren Zahlen 2 en Graph bei Bei einer Kurvendiskussion immer negativeren Zahlen 2 lim fox) lim fex) 81-8 für x sehr große zanhtien ensetzen und schoven, an welche Zahl sich f(x) annähert für x sehr an welche kleine Zahlen (negativ) einsetzen und schauen, Zahl sich f(x) annähest.