Exponentielles Wachstum und Zerfall

Exponentielles Wachstum und Zerfall beschreiben Prozesse, bei denen sich ein Wert in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor ändert. Die allgemeine Formel lautet:

N(t) = N₀ · aᵗ

Dabei ist:

• N(t): Wert nach der Zeit t
• N₀: Startwert
• a: Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor (positiv und ungleich 1)

Vocabulary: Verdopplungszeit ist die Zeitspanne, nach der sich der Anfangsbestand verdoppelt hat.

Vocabulary: Halbwertszeit ist die Zeitspanne, nach der sich der Anfangsbestand halbiert hat.

Highlight: Die Halbwertszeit Exponentialfunktion Formel lautet: tₕ = ln(0,5) / ln(q), wobei q der Abnahmefaktor ist.

Für die Berechnung von Verdopplungs- und Halbwertszeiten werden oft Logarithmen verwendet:

• Verdopplungszeit: tv = ln(2) / ln(a)
• Halbwertszeit: tₕ = ln(0,5) / ln(a)

Diese Formeln sind besonders nützlich für Halbwertszeit Aufgaben mit Lösungen und Halbwertszeit berechnen Mathe Klasse 10 Aufgaben.

Ableitungsregeln und Integrationsregeln

Für die Differenzial- und Integralrechnung sind verschiedene Regeln von Bedeutung:

1. Kettenregel: f'(x) = u'(v(x)) · v'(x)
2. Produktregel: (u · v)' = u' · v + u · v'
3. Partielle Integration: ∫f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - ∫f(x)g'(x)dx

Example: Ableitung von f(x) = eˣ²⁺ˣ mit der Kettenregel: f'(x) = eˣ²⁺ˣ · (2x+1)

Für das Integrieren gelten folgende Grundregeln:

• ∫xⁿ dx = (1/(n+1)) · xⁿ⁺¹ + C (für n ≠ -1)
• ∫eˣ dx = eˣ + C

Diese Regeln sind essentiell für die Lösung von Integralrechnung Beispiele mit Lösungen und die Verwendung eines Integralrechners.