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12.5.2021
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Analysis Grundfunktionen Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Polynomfunktionen Wurzelfunktionen Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Graphentransformation Ableitung Ableitungsregeln Produktregel Kettenregel Sekante, Tangente und Normale Sekante Tangente Normale Kurvendiskussion Grenzverhalten Symmetrie Achsenabschnitt Definitionsbereich Wertebereich Extrempunkte Wendepunkte Monotonie Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung Steckbriefaufgaben Optimierungsaufgaben Extremwertaufgaben / -problem Integralrechnung Stammfunktionen Unbestimmtes Integral Bestimmtes Integral Flächeninhalt bestimmen Mittelwertsatz Rotationskörper Scharfunktionen Ortskurve Gemeinsame Punkte der Schar 1 1 1 1 NN 23 2 2 4 4 4 5 5 5 6 6679 00 O 9 10 10 12 12 GABW w w w 13 14 14 15 15 15 16 Grundfunktionen Lineare Funktionen m, y- Achsenabschnitt b f(x) = mx Steigung Steigungsdreieck (bei Geraden durch zwei Punkte gegeben) V/₂ - Y₁ X₂X₁ m = Null Stelle + b X = b m Quadratische Funktionen f(x) = y keine, eine oder zwei Nullstellen. ax² + bx + c Polynomfunktionen 3 y = 2x4+x³x²-3x+1 2 1 -1 0 3 X 2 1 18 0 y-Achsenabschnitt 1 S/TP -1 0S/HP1 -1 Ã 2 2 y = -x + 4 Summen von Termen pxk - 3. Grad f(x) = ax³ + bx² + cx+d 4. Grad: f(x) = ax² + bx³ + cx³ + dx + e Grad n höchster Exponent von x maximal so viele Nullstellen, wie der Gerad n der Funktion ist Nullstelle: f(x) = 0 X y = 2x²-3x+2 y=-3x²+2x-1 3 d 2 Wurzelfunktion √x nur für x>0 bei f(x) = √√√X - x € [0,00] wenn n = gerade -XEIR Wenn einzige Nullstelle bei x = 0 I ungerade Exponentialfunktion f(x) = b.qx e-Funktion: ex e = 2,71828... a je größern, des to flacher der Graph ab x= 1 immer positiv, keine Nullstelle geht durch P(011), da aº = ^ für jedes 970 Logarithmusfunktion f(x) = loga (x) = loga (x) In (x) In (a) Natürlicher Logarithmus loge (x)= In (x) Nullstelle bei P (110) YA 2 1 1 y A 2 0 -1 0 -2+ (110) 1 1 y = ex (11) -2 y = In(x) -1 (e|1) 2 2 3 y 5 4 3 2 0 3 (412) (0|1) X 4 (1 e) 1 y = √x 2 +5 + X X Graphentransformation f(x) = x² wird verschoben, gespiegelt, gestaucht oder gestreckt g(x) f(x-a) f(x) + a f (c. x) c. f(x) f(-x) -f(x) Wirkung auf den Graph Verschiebung in x-Richtung um ta Verschiebung in y-Richtung um ta 104041: Streckung : Streckung /...
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0²c <^: Stauchung C>^: Stauchung C 7 1: Spiegelung an y- Achse Spiegelung an X-Achse Beispiel: Wir möchten f(x) = x² 1. um 2 auf der x-Achse nach rechts verschieben f(x) = x² ⇒ f1(x) = f(x - 2) = (x - 2)² ⇒ f1(x) = (x - 2)² d.h. die Werte zu fi kommen im Vergleich zu f 2 Stellen "später" 2. an der x-Achse spiegeln d.h. durch "-" "kippen die Werte 3. um den Faktor 2 strecken f₁(x) = (x - 2)² ⇒ f₂(x) = -f1(x) = -(x - 2)² ƒ₂(x) = −(x − 2)² ⇒ ƒ3(x) = 2 · ƒ₂(x) = -2(x - 2)² 4. um 2 in y-Richtung nach oben verschieben f3(x) = -2(x - 2)² ⇒ ƒ4(x) = ƒ3(x) +2 = -2(x - 2)² +2 ml 3 4 Ableitung Ableitungsregeln (₁) Ableitung einer konstanten (2) Ableitung von x (für p=^): (3) Potenzregel: (4) Faktorregel: (5) Summen-/Differenzregel: Produktregel f(x) = u(x) bsp.: . f(x)= x² ex = v (x) Kettenregel f(x) ex a* In (x) √x = x^ f(x) = u(v(x)) bsp.: f(x)= ex² 1/2 f'(x) = 2x.ex + x².ex ex (2x+x²) -1 ^/x-x^ f'(x) = -2xe-x² => f(x) = c f(x) = x ((x)=x² f(x) = c.g(x) f(x) · g(x) = h (x) f'(x) ex a* In (a) u(x) = x ² v (x)= ex ^/X 1/(2√x¹) -2 -x²² = -1/x² -> f'(x) = 0 -> f'(x) = 1 -> f'(x) = -> f'(x) = f'(x) = (₁²'(x) · v(x) u²(x) = 2x v'(x) = ex => f'(x) = v'(x) · (1²(v (x)) -> f '(x) = g'(x) = h'(x) p.x + c. g'(x) u1(x) · v' (x) . innere Ableitung äußere Ableitung Sekante, Tangente und Normale Sekante Sekante eine Gerade, welche den Graphen in zwei Punkten (P₁ und P₂) Schneidet = Sekantensteigung = Ay Tangente AX 4. Sekantengleichung: y = 3x +7 = уг - Ул mtan f'(x) X₂ - X₁ Tangente berührt Graphen in Po Tangenten steigung - Wert der Ableitungsfunktion bei Xo: 5. Tangentengleichung: y = 6x - 2 YA Y₂ Yo Vorgehen am Beispiel: f(x) = 3x² + 1 und x₁ = -1, x₂ = 2 1. Punkte ausrechnen: P₁(-1|f(-1)) = (-1|4), P₂(2|ƒ(2)) = (2|13) 13-4 2. Steigung berechnen: m = 2-(-1) == 3 3. In Geradengleichung y = 3x + b den Punkt P₁ (P₂ geht auch) einsetzen und bausrechnen: 43 (-1)+b⇒b=7 Y₁ X y A P₁ X1 4= 6.1+ b b = -2 X2-X1 Po P₂ Xo X2 Vorgehen am Beispiel: f(x) = 3x² + 1 und xo = 1 1. Ableitung bestimmen: f'(x) = 6x 2. Punkt bestimmen: Po (xolf (xo)) = (1/4) 3. Steigung berechnen: mtan = f'(xo = 1) = 6 4. In die Geradengleichung y = 6x + b werden die Koordinaten von Po eingesetzt und b (y- Achsenabschnitt) ausgerechnet: f(x) Sekante Y2 - Y₁ f(x) Tangente ام 5 6 Normale Normale Gerade, die Senkrecht zur Tangente Steht Steigung der Normalen ergibt sich aus cler Steigung der Tangente M norm 1 f (x) с mtan Vorgehen am Beispiel: f(x) = 3x² + 1 und xo = 1 1. Ableitung bestimmen: f'(x) = 6x 2. Punkt berechnen Po (xolf (xo)) = (1/4) 3. Steigung berechnen: Mnorm = Grenzverhalten 5. Normalengleichung: y = - x^, n >o xnnxo ex Kurvendiskussion ex man 4. In die Geradengleichung y = -x + b wird Po eingesetzt und b ausgerechnet: lim X-8 1 с f'(xo) 0 0 (-1)^.00 8 1 f(x) f'(xo) #0 - 1x + 25 lim x-> +8 U 8 08 0 介 介 ((x) 4 266 b Yo = -1 11 .1+ b + b Xo ex gewinnt → Steigt/fallt Stärker als jede andere Funktion f(x) Tangente Normale X Symmetrie YA f(x) = x³ - 2x R... X Punktsymmetrie zum Ursprung f(-x) = -f(x) z. 3. nur gerade Exponenten Achsenabschnitt y-Achsenabschnitt Schnittpunkt mit der y-Achse X=0 => f(0) = y Py (Oly) Definitionsbereich bzo YA f(x)=x²-x² CO Achsenymmetrie zur y-Achse f(-x) = f(x) Z.B. nur ungerade Exponente x-Ach senabschnitt: Schnittpunkt mit der x- Achse => Nullstellen y = 0 => f(x) = 0 gibt an, welche x-Werte in die Funktion eingesetzt werden dürfen Wichtig: â => a #o √b² =7 h(c) => Px (x 10) X 2 B.: D { X ER | X > 2 ^ X # 3} 8 Wertebereich ist die Menge von y- Werten, die man erhält, wenn man jedes mögliche x in die Funktion f(x) einsetzt W= [-8,00] Extrempunkte 1. Ableitungen bilden f'(x) und f" (x) 2. notwendige Bedingung: f'(x) = 0 3. hinreichende Bedingung: f'(x)=0 (v) und f"(x) #0 f"(x) > 0 -> linkskrümmung => lokaler TP f" (x) = 0 f" (x) < 0 4. Berechne y- Jerte: Wenn →>möglicherweise Sattelpunkt → rechtskrūmmung => lokaler HP ↓ konvex f"(x) > 0f"(x) <0 (positiv) (negativ) dann ist der Graph von f x in Funktion einsetzen linksgekrümmt. rechtsgekrümmt. ⇓ lok. TP W -8+ ↑ lok. HP ↓ konkav Achtung! Intervallgrenzen beachten bei Intervall [a, b] immer f(a) und f(b) einbeziehen! f" (x) = 0 ^. 2. " Vorzeichenwechselkriterium Wert "₁ links" (x₂) und if rechts" (x₂) f'(x₁) und f'(x₂) berechnen a) f'(x₁) <0 ^ f'(x₂) >0 -> TP b) f'(x₁) >0 ^ f'(x₂) <0 -> HP c) Sonst Sattelpunkt Monotonie Wendepunkte Stelle, an der sich die Krümmung ändert und ist der Punkt mit kleinster Oder größter Tagentensteigung stärkste Zunahme von X 1. Ableitungen bilden f"(x) und f (x) 2. notwendige Bedingung · f" (x) = 0 3. hinreichende Bedingung: f"(x)=0 (v) und f"(x) # 0 4. Berechne y-Werte stärkste Abnahme X₁ < x₂ monoton steigend : -> f(x₁) = f(x₂); Steigung f'(x) 20 streng monoton Steigend: x₁ < x₂ -> f(x₁) < f(xz); Steigung f'asso monoton fallend X₁ > x₂ -> f (x₁) = f(x₂); Steigung f'(x) ≤0 : Streng monoton fallend: X^>X₂ -> f(x₁) = f(x₂); Steigung f'(x) < 0 7 Ico 9 10 Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung f(x) + m = 0 W m=0 f'(x) + f"(x) + m=0 Steckbriefaufgaben X 4. Steckbrieftabelle 5. LGS aufstellen und lösen X Zu vorgegebenen Eigenschaften die Zugehörige Funktion finden. 1 Um welche Art von Funktion handelt es sich? 2. Ist eine Symmetrie vorhanden? 3. Aussagen über Punkte f(x)=y, Sleigung f'(x) = m, Extremstellen f'(x)=0_ und Wendestellen f (x)=0 ? 6. Funktionsgleichung aufstellen und Probe durchführen Steckbrieftabelle Hier einige Beispiele für typische Bedingungen: ...hat im Punkt (314)... ...geht durch den Ursprung... ...schneidet die x-Achse bei 5 ... ...hat bei x = 3 die Steigung m = -1... ...ist bei x = 4 parallel zur Geraden y = 2x + 3... ...schneidet die y-Achse bei 8... ...hat einen Extrempunkt bei E(0|5)... ...berührt die x-Achse bei 5... ...hat bei x = -5 einen Wendepunkt... ...seine Wendetangente bei x = -2... f(3) = 4 f(0) = 0 ƒ(5) = 0 f'(3) = -1 f'(4) = 2 f(0) = 8 f(0) = 5, f'(0) = 0 f(5) = 0, f'(5) = 0 f"(-5) = 0 f"(-2) = 0 ^^ ज्ञ 12 Optimierungsaufgaben Extremwertproblem Maximum oder Minimum unter bestimmten Bedingungen Z.B. maximale Volumen V = ... ^ Hauptbedingung (HB) aufstellen 2. Nebenbedingung (NB) 3. NB nach eine Variablen umstellen und in HB einsetzen => Zielfunktion (ZF) 4. ZF auf Extremstellen untersuchen bsp.: f(x)= x² + 4,5 P(ulf(u)) maximaler Flächeninhalt vom Dreieck HB : 슬 9. b NB: g = u und h= f(u) = ZF: A (u) = 2.4. => A' (u) = 0 h = f(u) => A= 3 V YA 4 3 2 1 1 U₂ = 3 g=u (u)² + 4.5 (- 1/2 (4₁² + 4,5) = -√₁1/124³ +2,25u 2 => A" (3) -312 <0 →> rechtsgekrümmt →lok. HP => y - Koordinate: f(3) = 3 →P (313 P(ulf(u)) 3 4 5 Integralrechnung Berechnung des Flacheninhalts unter dem Graph einer Funktion Stammfunktionen F(x) -> F'(x) = f(x) f(x) 10 X b S₁ x² 5x7 3x4-2x3 +4 F(x) 10 X 1x² 3x³ 8 x³²x4+ + 4x Unbestimmtes Integral Integral ohne Grenzen alle möglichen Stammfunktionen [ f(x) dx = [F(x) +c] Bestimmtes Integral vorgegebene Grenzen CER f(x) dx = [F(x)] = F(b) = F(a) f(x) ex езх 4-2x 10x 20 e 3e-2x YA F(x) ex a 3x -1e4 2 e 4-2x 10x 5-2x b f(x) X 13 14 Flächeninhalt bestimmen ^. zwischen dem Graphen und der x- Achse in einem Intervall [a,b] Zwischen dem Graphen und der x-Achse (eingeschlossene Fläche) zwischen zwei Funktionen (eingeschlossene Fläche) 2. 3. 31 YA 1 m -1 0 Fall 2: Fall 3: ►X Mittelwertsatz 35 zu intigrierende Funktion wählen Fall 1/2 f(x) 2 1 Zur Berechnung des Flächeninhalts nicht über die integrieren (x₁, x₂, X3,...,xn) Integration Fall 1: Flächeninhalt des Schraffierten Rechtecks. f 15" for-gandx | + ... + 1 $ ^fa) -g(x) dx l f(x) f(x) An-1 0 1 2 3 4 |_ √*^ f(x) dx | + √" f(x) dx | +... ·• |_ √° f (x) dx | + |_$* fox ax 1 + 1, 5* ((x) dx | + ... + [S^f(x) dx | f = ist! -3 m. m ist der Mittelwert der Funktionswerte von If im Intervall [a,b] genau dann, wenn der => m Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion f und der 1. Achse im Intervall [a, b] = -2 -1 b • f(x) dx (b-a). ffl 46. Sfendy y Af 2 g 1 Fall 3: Differenz funktion f(x)-g(x) Nullstellen hinweg 0 1 2 3 ▶X Rotationskörper ein körper, der durch die Rotation eines Graphen um eine Achse entsteht Volumen formel X-Achse : ^. 2. y-Achse: V = π Scharfunktionen Funktionsgleichung mit einem weiteren Parameter (z.B. a) Nullstellen / Extrempunkte / Wendestellen sind meist von -> wird wie eine Zahl behandelt 2a a² a²x V = π. Ableiten/ Integrieren fa (x) f (x) (a-1)x 3G² x 3 ·S (FC₂ a аху-чах + аз f(b) T. S (f ( x ) )² dx f(a) 4. Ortskurve 0 0 (f(x))² dx a² a-A ga ²x² 4ax³-4a fa (x) a a² a²x a²x² a²x²-ax+ a² a (x³ - a) Fa (x) ax C²x 1a¹x 3a²x³ a²x5-ax² + ³x a (x-ax) a abhängig 3. Achte 2.B. auf Definitionslücken, welche die Werte für a einschränken 15 16 Ortskurve Kurve auf der alle Extrempunkte / Wendepunkte liegen fa (x)=x²-ax bsp.: fa' (x)=2x-a = 0 fa" () = 2 X = (2) => x² - ax² T(x1 g(x)) TP( { / -¢) 22 => = 270 - lok. TP <=> x² = 0 Ortskurve <=> X = 0 Gemeinsame Punkte der Schar = (=> -ax² + bx² = 0 Für zwei beliebige Parameter a und b fa(x) = fb (x) x² - (-a+b) = 0 a = V -> X = xo - 5x2 을 - a+b=0 g(x) = -x² a x g(x)= TT 21 - 2² ) . T ( ²* |- (2²/1²) T (x ₁~²6) = 1- x² + bx² a = bentfällt, da a #b -2 a = 1 a = 2 XI 3 a = 4 g(x) AV mit a #b