Analysis

Alternativer Bildtext:

0²c <^: Stauchung C>^: Stauchung C 7 1: Spiegelung an y- Achse Spiegelung an X-Achse Beispiel: Wir möchten f(x) = x² 1. um 2 auf der x-Achse nach rechts verschieben f(x) = x² ⇒ f1(x) = f(x - 2) = (x - 2)² ⇒ f1(x) = (x - 2)² d.h. die Werte zu fi kommen im Vergleich zu f 2 Stellen "später" 2. an der x-Achse spiegeln d.h. durch "-" "kippen die Werte 3. um den Faktor 2 strecken f₁(x) = (x - 2)² ⇒ f₂(x) = -f1(x) = -(x - 2)² ƒ₂(x) = −(x − 2)² ⇒ ƒ3(x) = 2 · ƒ₂(x) = -2(x - 2)² 4. um 2 in y-Richtung nach oben verschieben f3(x) = -2(x - 2)² ⇒ ƒ4(x) = ƒ3(x) +2 = -2(x - 2)² +2 ml 3 4 Ableitung Ableitungsregeln (₁) Ableitung einer konstanten (2) Ableitung von x (für p=^): (3) Potenzregel: (4) Faktorregel: (5) Summen-/Differenzregel: Produktregel f(x) = u(x) bsp.: . f(x)= x² ex = v (x) Kettenregel f(x) ex a* In (x) √x = x^ f(x) = u(v(x)) bsp.: f(x)= ex² 1/2 f'(x) = 2x.ex + x².ex ex (2x+x²) -1 ^/x-x^ f'(x) = -2xe-x² => f(x) = c f(x) = x ((x)=x² f(x) = c.g(x) f(x) · g(x) = h (x) f'(x) ex a* In (a) u(x) = x ² v (x)= ex ^/X 1/(2√x¹) -2 -x²² = -1/x² -> f'(x) = 0 -> f'(x) = 1 -> f'(x) = -> f'(x) = f'(x) = (₁²'(x) · v(x) u²(x) = 2x v'(x) = ex => f'(x) = v'(x) · (1²(v (x)) -> f '(x) = g'(x) = h'(x) p.x + c. g'(x) u1(x) · v' (x) . innere Ableitung äußere Ableitung Sekante, Tangente und Normale Sekante Sekante eine Gerade, welche den Graphen in zwei Punkten (P₁ und P₂) Schneidet = Sekantensteigung = Ay Tangente AX 4. Sekantengleichung: y = 3x +7 = уг - Ул mtan f'(x) X₂ - X₁ Tangente berührt Graphen in Po Tangenten steigung - Wert der Ableitungsfunktion bei Xo: 5. Tangentengleichung: y = 6x - 2 YA Y₂ Yo Vorgehen am Beispiel: f(x) = 3x² + 1 und x₁ = -1, x₂ = 2 1. Punkte ausrechnen: P₁(-1|f(-1)) = (-1|4), P₂(2|ƒ(2)) = (2|13) 13-4 2. Steigung berechnen: m = 2-(-1) == 3 3. In Geradengleichung y = 3x + b den Punkt P₁ (P₂ geht auch) einsetzen und bausrechnen: 43 (-1)+b⇒b=7 Y₁ X y A P₁ X1 4= 6.1+ b b = -2 X2-X1 Po P₂ Xo X2 Vorgehen am Beispiel: f(x) = 3x² + 1 und xo = 1 1. Ableitung bestimmen: f'(x) = 6x 2. Punkt bestimmen: Po (xolf (xo)) = (1/4) 3. Steigung berechnen: mtan = f'(xo = 1) = 6 4. In die Geradengleichung y = 6x + b werden die Koordinaten von Po eingesetzt und b (y- Achsenabschnitt) ausgerechnet: f(x) Sekante Y2 - Y₁ f(x) Tangente ام 5 6 Normale Normale Gerade, die Senkrecht zur Tangente Steht Steigung der Normalen ergibt sich aus cler Steigung der Tangente M norm 1 f (x) с mtan Vorgehen am Beispiel: f(x) = 3x² + 1 und xo = 1 1. Ableitung bestimmen: f'(x) = 6x 2. Punkt berechnen Po (xolf (xo)) = (1/4) 3. Steigung berechnen: Mnorm = Grenzverhalten 5. Normalengleichung: y = - x^, n >o xnnxo ex Kurvendiskussion ex man 4. In die Geradengleichung y = -x + b wird Po eingesetzt und b ausgerechnet: lim X-8 1 с f'(xo) 0 0 (-1)^.00 8 1 f(x) f'(xo) #0 - 1x + 25 lim x-> +8 U 8 08 0 介 介 ((x) 4 266 b Yo = -1 11 .1+ b + b Xo ex gewinnt → Steigt/fallt Stärker als jede andere Funktion f(x) Tangente Normale X Symmetrie YA f(x) = x³ - 2x R... X Punktsymmetrie zum Ursprung f(-x) = -f(x) z. 3. nur gerade Exponenten Achsenabschnitt y-Achsenabschnitt Schnittpunkt mit der y-Achse X=0 => f(0) = y Py (Oly) Definitionsbereich bzo YA f(x)=x²-x² CO Achsenymmetrie zur y-Achse f(-x) = f(x) Z.B. nur ungerade Exponente x-Ach senabschnitt: Schnittpunkt mit der x- Achse => Nullstellen y = 0 => f(x) = 0 gibt an, welche x-Werte in die Funktion eingesetzt werden dürfen Wichtig: â => a #o √b² =7 h(c) => Px (x 10) X 2 B.: D { X ER | X > 2 ^ X # 3} 8 Wertebereich ist die Menge von y- Werten, die man erhält, wenn man jedes mögliche x in die Funktion f(x) einsetzt W= [-8,00] Extrempunkte 1. Ableitungen bilden f'(x) und f" (x) 2. notwendige Bedingung: f'(x) = 0 3. hinreichende Bedingung: f'(x)=0 (v) und f"(x) #0 f"(x) > 0 -> linkskrümmung => lokaler TP f" (x) = 0 f" (x) < 0 4. Berechne y- Jerte: Wenn →>möglicherweise Sattelpunkt → rechtskrūmmung => lokaler HP ↓ konvex f"(x) > 0f"(x) <0 (positiv) (negativ) dann ist der Graph von f x in Funktion einsetzen linksgekrümmt. rechtsgekrümmt. ⇓ lok. TP W -8+ ↑ lok. HP ↓ konkav Achtung! Intervallgrenzen beachten bei Intervall [a, b] immer f(a) und f(b) einbeziehen! f" (x) = 0 ^. 2. " Vorzeichenwechselkriterium Wert "₁ links" (x₂) und if rechts" (x₂) f'(x₁) und f'(x₂) berechnen a) f'(x₁) <0 ^ f'(x₂) >0 -> TP b) f'(x₁) >0 ^ f'(x₂) <0 -> HP c) Sonst Sattelpunkt Monotonie Wendepunkte Stelle, an der sich die Krümmung ändert und ist der Punkt mit kleinster Oder größter Tagentensteigung stärkste Zunahme von X 1. Ableitungen bilden f"(x) und f (x) 2. notwendige Bedingung · f" (x) = 0 3. hinreichende Bedingung: f"(x)=0 (v) und f"(x) # 0 4. Berechne y-Werte stärkste Abnahme X₁ < x₂ monoton steigend : -> f(x₁) = f(x₂); Steigung f'(x) 20 streng monoton Steigend: x₁ < x₂ -> f(x₁) < f(xz); Steigung f'asso monoton fallend X₁ > x₂ -> f (x₁) = f(x₂); Steigung f'(x) ≤0 : Streng monoton fallend: X^>X₂ -> f(x₁) = f(x₂); Steigung f'(x) < 0 7 Ico 9 10 Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung f(x) + m = 0 W m=0 f'(x) + f"(x) + m=0 Steckbriefaufgaben X 4. Steckbrieftabelle 5. LGS aufstellen und lösen X Zu vorgegebenen Eigenschaften die Zugehörige Funktion finden. 1 Um welche Art von Funktion handelt es sich? 2. Ist eine Symmetrie vorhanden? 3. Aussagen über Punkte f(x)=y, Sleigung f'(x) = m, Extremstellen f'(x)=0_ und Wendestellen f (x)=0 ? 6. Funktionsgleichung aufstellen und Probe durchführen Steckbrieftabelle Hier einige Beispiele für typische Bedingungen: ...hat im Punkt (314)... ...geht durch den Ursprung... ...schneidet die x-Achse bei 5 ... ...hat bei x = 3 die Steigung m = -1... ...ist bei x = 4 parallel zur Geraden y = 2x + 3... ...schneidet die y-Achse bei 8... ...hat einen Extrempunkt bei E(0|5)... ...berührt die x-Achse bei 5... ...hat bei x = -5 einen Wendepunkt... ...seine Wendetangente bei x = -2... f(3) = 4 f(0) = 0 ƒ(5) = 0 f'(3) = -1 f'(4) = 2 f(0) = 8 f(0) = 5, f'(0) = 0 f(5) = 0, f'(5) = 0 f"(-5) = 0 f"(-2) = 0 ^^ ज्ञ 12 Optimierungsaufgaben Extremwertproblem Maximum oder Minimum unter bestimmten Bedingungen Z.B. maximale Volumen V = ... ^ Hauptbedingung (HB) aufstellen 2. Nebenbedingung (NB) 3. NB nach eine Variablen umstellen und in HB einsetzen => Zielfunktion (ZF) 4. ZF auf Extremstellen untersuchen bsp.: f(x)= x² + 4,5 P(ulf(u)) maximaler Flächeninhalt vom Dreieck HB : 슬 9. b NB: g = u und h= f(u) = ZF: A (u) = 2.4. => A' (u) = 0 h = f(u) => A= 3 V YA 4 3 2 1 1 U₂ = 3 g=u (u)² + 4.5 (- 1/2 (4₁² + 4,5) = -√₁1/124³ +2,25u 2 => A" (3) -312 <0 →> rechtsgekrümmt →lok. HP => y - Koordinate: f(3) = 3 →P (313 P(ulf(u)) 3 4 5 Integralrechnung Berechnung des Flacheninhalts unter dem Graph einer Funktion Stammfunktionen F(x) -> F'(x) = f(x) f(x) 10 X b S₁ x² 5x7 3x4-2x3 +4 F(x) 10 X 1x² 3x³ 8 x³²x4+ + 4x Unbestimmtes Integral Integral ohne Grenzen alle möglichen Stammfunktionen [ f(x) dx = [F(x) +c] Bestimmtes Integral vorgegebene Grenzen CER f(x) dx = [F(x)] = F(b) = F(a) f(x) ex езх 4-2x 10x 20 e 3e-2x YA F(x) ex a 3x -1e4 2 e 4-2x 10x 5-2x b f(x) X 13 14 Flächeninhalt bestimmen ^. zwischen dem Graphen und der x- Achse in einem Intervall [a,b] Zwischen dem Graphen und der x-Achse (eingeschlossene Fläche) zwischen zwei Funktionen (eingeschlossene Fläche) 2. 3. 31 YA 1 m -1 0 Fall 2: Fall 3: ►X Mittelwertsatz 35 zu intigrierende Funktion wählen Fall 1/2 f(x) 2 1 Zur Berechnung des Flächeninhalts nicht über die integrieren (x₁, x₂, X3,...,xn) Integration Fall 1: Flächeninhalt des Schraffierten Rechtecks. f 15" for-gandx | + ... + 1 $ ^fa) -g(x) dx l f(x) f(x) An-1 0 1 2 3 4 |_ √*^ f(x) dx | + √" f(x) dx | +... ·• |_ √° f (x) dx | + |_$* fox ax 1 + 1, 5* ((x) dx | + ... + [S^f(x) dx | f = ist! -3 m. m ist der Mittelwert der Funktionswerte von If im Intervall [a,b] genau dann, wenn der => m Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion f und der 1. Achse im Intervall [a, b] = -2 -1 b • f(x) dx (b-a). ffl 46. Sfendy y Af 2 g 1 Fall 3: Differenz funktion f(x)-g(x) Nullstellen hinweg 0 1 2 3 ▶X Rotationskörper ein körper, der durch die Rotation eines Graphen um eine Achse entsteht Volumen formel X-Achse : ^. 2. y-Achse: V = π Scharfunktionen Funktionsgleichung mit einem weiteren Parameter (z.B. a) Nullstellen / Extrempunkte / Wendestellen sind meist von -> wird wie eine Zahl behandelt 2a a² a²x V = π. Ableiten/ Integrieren fa (x) f (x) (a-1)x 3G² x 3 ·S (FC₂ a аху-чах + аз f(b) T. S (f ( x ) )² dx f(a) 4. Ortskurve 0 0 (f(x))² dx a² a-A ga ²x² 4ax³-4a fa (x) a a² a²x a²x² a²x²-ax+ a² a (x³ - a) Fa (x) ax C²x 1a¹x 3a²x³ a²x5-ax² + ³x a (x-ax) a abhängig 3. Achte 2.B. auf Definitionslücken, welche die Werte für a einschränken 15 16 Ortskurve Kurve auf der alle Extrempunkte / Wendepunkte liegen fa (x)=x²-ax bsp.: fa' (x)=2x-a = 0 fa" () = 2 X = (2) => x² - ax² T(x1 g(x)) TP( { / -¢) 22 => = 270 - lok. TP <=> x² = 0 Ortskurve <=> X = 0 Gemeinsame Punkte der Schar = (=> -ax² + bx² = 0 Für zwei beliebige Parameter a und b fa(x) = fb (x) x² - (-a+b) = 0 a = V -> X = xo - 5x2 을 - a+b=0 g(x) = -x² a x g(x)= TT 21 - 2² ) . T ( ²* |- (2²/1²) T (x ₁~²6) = 1- x² + bx² a = bentfällt, da a #b -2 a = 1 a = 2 XI 3 a = 4 g(x) AV mit a #b