Zusammengesetzte Funktionen
Bei zusammengesetzten Funktionen unterscheidet man zwischen Produkten und Verkettungen:
Produkt von Funktionen: Zwei Funktionen werden multipliziert.
Beispiel: u(x)=ex und v(x)=x2+A ergeben u(x)⋅v(x)=ex⋅(x2+A)
Verkettung von Funktionen: Eine Funktion wird in eine andere eingesetzt.
Beispiel: ex2+A besteht aus der inneren Funktion v(x)=x2+A und der äußeren Funktion u(x)=ex.
Für die Ableitung zusammengesetzter Funktionen gelten spezielle Regeln:
Produktregel: Für f(x)=u(x)⋅v(x) gilt:
f′(x)=u′(x)v(x)+v′(x)u(x)
Beispiel: f(x)=ex⋅(x2+1)
f′(x)=ex⋅(x2+1)+2x⋅ex=ex⋅(x2+2x+1)
💡 Wichtig für Operatoren in Mathe: Wenn in einer Aufgabe der Operator "ermitteln" in Mathe NRW vorkommt, musst du häufig Ableitungen berechnen. Dabei sind die Produkt- und Quotientenregel entscheidend.
Quotientenregel: Für f(x)=v(x)u(x) gilt:
f′(x)=v(x)2u′(x)⋅v(x)−u(x)⋅v′(x)
Beispiel: f(x)=x5x3+2
f′(x)=(x5)23x2⋅x5−(x3+2)⋅5x4=x10−2x7−10x4