Grundlagen der Funktionen

Jede Funktionsart hat ihre eigenen Eigenschaften, die du für die Abiturvorbereitung Mathe kennen solltest. Bei der linearen Funktion $y = mx + n$ ist $m$ die Steigung und $n$ der y-Achsenabschnitt. Die Steigung berechnest du mit $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Bei der quadratischen Funktion $y = ax^2 + bx + c$ bestimmt $a$ die Streckung oder Stauchung. Bei $a > 1$ wird die Funktion gestreckt, bei $0 < a < 1$ gestaucht. Wird ein Minuszeichen vorangestellt, wird die Funktion gespiegelt. Eine nach oben geöffnete Parabel hat ein positives $a$, eine nach unten geöffnete ein negatives.

Polynomfunktionen $ganrationale Funktionen$ haben die Form $y = ax^n + bx^{n-1} + ... + nx + n$. Dabei gibt der Grad $n$ (höchster Exponent) an, wie viele Nullstellen die Funktion maximal haben kann.

💡 Merke: Um die Eigenschaften einer Funktion zu bestimmen, solltest du zuerst den Funktionstyp erkennen. Die Operatoren "bestimmen" und "ermitteln" in Matheaufgaben fordern dich oft auf, Eigenschaften wie Nullstellen, Extrema oder Wendepunkte zu berechnen.

In der Differentialrechnung ist der Differenzenquotient die mittlere Änderungsrate mit der Formel $m = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$. Die momentane Änderungsrate $Ableitung$ ist $m = f'(x_0) = \lim_{h→0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$.

Funktionsuntersuchung

Bei der Funktionsuntersuchung kannst du folgende Eigenschaften ermitteln: Nullstellen, Schnittpunkt mit y-Achse, Extrema, Wendepunkte, Krümmungsverhalten, Symmetrie und Verhalten im Unendlichen.

Nullstellen lassen sich auf verschiedene Arten berechnen:

• p/q-Formel: $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$
• Ausklammern eines Linearfaktors
• Linearfaktorzerlegung
• GTR für Polynomgleichungen
• Substitution

Für Extrema gilt die notwendige Bedingung $f'(x) = 0$. Die hinreichende Bedingung prüfst du entweder über den Vorzeichenwechsel von $f'$ oder mit der zweiten Ableitung. Bei $f''(x_0) > 0$ liegt ein Minimum vor, bei $f''(x_0) < 0$ ein Maximum.

Wendestellen findest du, indem du die Stelle $x_0$ bestimmst, an der $f''(x_0) = 0$ $notwendige Bedingung$ und $f'''(x_0) \neq 0$ oder $f''$ einen Vorzeichenwechsel hat (hinreichende Bedingung).

🔍 Wichtig für Extremwertaufgaben: Die Kombination aus notwendiger und hinreichender Bedingung ermöglicht dir, lokale und globale Extrema sicher zu bestimmen. Bei Extremwertaufgaben im Abitur wird oft nach Maximal- oder Minimalwerten in praktischen Kontexten gefragt.

Das Krümmungsverhalten wird durch das Vorzeichen von $f''(x)$ bestimmt: Bei $f''(x) > 0$ ist die Kurve linksgekrümmt, bei $f''(x) < 0$ rechtsgekrümmt. Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente heißt Sattelpunkt.

Symmetrie und weitere Eigenschaften

Die Symmetrie einer Funktion kannst du durch Einsetzen überprüfen:

• Achsensymmetrisch zur y-Achse: $f(-x) = f(x)$
• Punktsymmetrisch zum Ursprung: $f(-x) = -f(x)$

Das Verhalten im Unendlichen bestimmst du, indem du für $f(x)→∞$ möglichst große/kleine Werte einsetzt. Für $f(x)→0$ nimmst du Werte, die sich 0 annähern.

Die Monotonie einer Funktion erkennst du am Vorzeichen der ersten Ableitung:

• $f'(x)≥0$: monoton steigend
• $f'(x)≤0$: monoton fallend
• $f'(x)>0$: streng monoton steigend
• $f'(x)<0$: streng monoton fallend

Der Definitionsbereich beschreibt, welche x-Werte in $f(x)$ eingesetzt werden dürfen. Der Wertebereich ist die Menge aller y-Werte, die man erhält.

💡 Praxistipp: In Operatoren-Listen für Mathe in NRW und Hessen findest du häufig den Begriff "bestimmen". Damit ist gemeint, dass du einen Wert oder eine Eigenschaft mit einem mathematischen Verfahren ermitteln sollst.

Für Sekanten und Tangenten gelten unterschiedliche Berechnungsmethoden:

• Sekante: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
• Tangente: $m = f'(x)$ Bei beiden verwendest du die allgemeine Geradengleichung $y = mx + b$, wobei du für $b$ den Punkt einsetzt und nach $b$ auflöst.

Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Lineare Funktionen (Geraden) können entweder parallel, identisch oder sich schneidend sein – abhängig von den Parametern $m$ und $n$. Ein lineares Gleichungssystem enthält mehrere Gleichungen und Unbekannte.

Zum Lösen von LGS kannst du verschiedene Verfahren anwenden:

1. Einsetzungsverfahren:

   • Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf
   • Setze diese Variable in die nächste Gleichung ein
   • Löse nach der nächsten Variablen auf
   • Setze fort, bis alle Variablen bestimmt sind

2. Gleichsetzungsverfahren:

   • Löse alle Gleichungen nach der gleichen Variablen auf
   • Setze die Gleichungen gleich
   • Löse nach der vorhandenen Variablen
   • Setze die berechnete Variable in eine Ausgangsgleichung ein

3. Additionsverfahren $Gauß-Verfahren$:

   • Eliminiere Variablen durch Verrechnen mit anderen Gleichungen
   • Berechne die übriggebliebene Variable

🔑 Für die Praxis: In Mathe-Operatoren NRW 2024 wird oft verlangt, LGS aufzustellen und zu lösen. Wenn du den Operator "ermitteln" siehst, sollst du die Lösung eines LGS bestimmen.

Bei Geraden mit $m_1 = m_2$ und $n_1 \neq n_2$ sind die Geraden parallel. Bei $m_1 = m_2$ und $n_1 = n_2$ sind sie identisch. Bei $m_1 \neq m_2$ haben sie einen gemeinsamen Schnittpunkt.

Integralrechnung

Die Stammfunktion einer Funktion $f(x) = x^n$ ist $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ für $n \neq -1$. Bei Wurzeln musst du diese als Potenz umschreiben, z.B. $\sqrt{x} = x^{0,5}$.

Das unbestimmte Integral bezeichnet die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion $f$ und wird mit $\int f(x)dx$ notiert. Beispiel: $\int (4x+3)dx = 2x^2 + 3x + c$.

Für Integrale gelten folgende Rechenregeln:

1. $\int kx^n dx = \frac{kx^{n+1}}{n+1} + c$, $k \in \mathbb{R}$, $n \neq -1$
2. $\int a \cdot f(x)dx = a \cdot \int f(x)dx$
3. $\int (f(x) + g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet Ableitung und Integral. Für das bestimmte Integral gilt: $\int_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.

📈 Wichtig für Extremwertaufgaben im Abitur: Beim Berechnen von Flächeninhalten solltest du beachten, dass diese immer positiv sind. Bei Extremwertaufgaben mit Lösungen PDF findest du oft folgende Strategie:

Zur Berechnung von Flächeninhalten:

1. Erstelle eine Skizze
2. Bestimme die Nullstellen von $f$
3. Berechne die Teilflächen zwischen den Nullstellen
4. Bilde die Summe der Teilflächen

Für die Fläche zwischen Funktionsgraphen berechnest du das Integral der Differenzfunktion: $A = \int_a^b (f(x) - g(x))dx$.

Uneigentliche Integrale und Anwendungen

Bei uneigentlichen Integralen fehlt eine Integrationsgrenze. Die Lösungsstrategie:

1. Führe eine Variable $k$ für die fehlende Grenze ein
2. Berechne das Integral in Abhängigkeit von $k$
3. Bestimme den Grenzwert für $k \to \infty$ oder $k \to 0$

Bei Rotationskörpern berechnet man das Volumen eines Körpers, der entsteht, wenn eine Funktion $f$ um die x-Achse rotiert: $V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 dx$.

Der Mittelwertsatz gibt den Durchschnitt aller y-Werte an: $\bar{m} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)dx = \frac{1}{b-a} [F(x)]_{a}^{b}$.

Im GTR (Grafikrechner) kannst du Integrale berechnen:

• F5 (weitere Befehle), F6, Sdx F3
• F4 Sdx → Integral mit beliebigen Grenzen
• F2 Root → Nullstellen → Flächeninhalt zwischen Nullstellen
• F3 Intsect → Schnittpunkte → Flächeninhalt zwischen Schnittpunkten
• F4 mixed → beliebige Grenze und Nullstelle als Integrationsgrenze

🧮 Praxistipp: Für Extremwertaufgaben mit dem Rechner kannst du einen Extremwertprobleme Rechner nutzen. Überlege, welche physikalische Bedeutung die Integrale haben - oft entspricht $f(x)$ einer Änderungsrate (z.B. Geschwindigkeit) und $F(x)$ einer Bestandsgröße (z.B. zurückgelegter Weg).

Wichtige Zusammenhänge zwischen Bestands- und Änderungsgrößen:

• Bevölkerung (Personen) → Zuwachsrate (Personen/Jahr)
• Zurückgelegter Weg (m) → Geschwindigkeit (m/s)
• Wasserhöhe (cm) → Abnahmerate (cm/min)

Extremwertprobleme

Extremwertaufgaben gehören zu den klassischen Abituraufgaben in Mathematik. Häufig gesucht sind:

• Maximales/minimales Volumen
• Maximaler/minimaler Flächeninhalt
• Maximale/minimale Längen

Die Lösungsstrategie für Extremwertprobleme:

1. Skizze erstellen und beschriften
2. Hauptbedingung bestimmen (die zu maximierende/minimierende Funktion)
3. Nebenbedingungen aufstellen (als Gleichung mit zwei Variablen)
4. Nebenbedingungen umformen (eine Variable isolieren)
5. Variable in die Zielfunktion einsetzen
6. Extremwert berechnen $durch Hoch-/Tiefpunkte$
7. Zweite Variable bestimmen

Bei Funktionsscharen handelt es sich um normale Funktionen mit einem weiteren Parameter, z.B. $f_t(x) = e^{-t(x-t)}$. Der Parameter wird wie eine Konstante behandelt.

🔍 Für Abiturvorbereitung: In Extremwertaufgaben Übungen mit Lösungen PDF findest du viele Beispiele. Typische Aufgaben sind z.B. die Maximierung der Fläche bei begrenztem Umfang oder das maximale Volumen bei begrenztem Material.

Eine Ortskurve kann beispielsweise eine Funktion sein, die alle Tiefpunkte einer Funktionsschar enthält. Die Strategie zur Bestimmung:

1. Tiefpunkt in Abhängigkeit vom Parameter bestimmen
2. x-Wert nach Parameter umstellen
3. Parameter in y-Wert des Tiefpunkts einsetzen

Beim Ableiten oder Integrieren von Funktionsscharen musst du den Parameter wie eine Konstante behandeln. Bei Fallunterscheidungen ist zu beachten, ob eine Einschränkung wie $a > 0$ oder $a \neq 0$ vorliegt.

Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion beschreibt ein exponentielles Wachstum mit der allgemeinen Formel $f(x) = a \cdot b^x$, wobei $a$ der Anfangswert und $b$ der Wachstumsfaktor ist. Die Ableitung dieser Funktion ist $f'(x) = a \cdot \ln(b) \cdot b^x$.

Die natürliche Exponentialfunktion hat die Form $f(x) = e^x$, wobei $e$ die Eulersche Konstante ist $e \approx 2,7182$. Besonders praktisch: Die Ableitung ist gleich der Funktion selbst: $f'(x) = e^x$.

Exponentialgleichungen der Form $e^x = b$ löst du durch Anwenden des natürlichen Logarithmus: $x = \ln(b)$.

Allgemeine Exponentialfunktionen lassen sich mit Hilfe der e-Funktion darstellen: $f(x) = a^x = (e^{\ln(a)})^x = e^{\ln(a)x}$

🧠 Merke: Für die Mathe Abi Zusammenfassung ist es wichtig zu verstehen, dass die natürliche Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus Umkehrfunktionen sind.

Die natürliche Logarithmusfunktion $f(x) = \ln(x)$ ist die Umkehrfunktion von $e^x$. Sie ordnet jedem $y > 0$ eine reelle Zahl $x = \ln(y)$ zu. Die Graphen von $e^x$ und $\ln(x)$ liegen symmetrisch zur ersten Winkelhalbierenden.

Eigenschaften von $\ln(x)$:

• $\ln(1) = 0$
• Nullstelle bei $x = 1$
• Keine Extrema und Wendepunkte
• $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ $y-Achse ist vertikale Asymptote$
• $\lim_{x \to \infty} \ln(x) = \infty$
• Rechenregeln: $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$, $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$, $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$

Zusammengesetzte Funktionen

Bei zusammengesetzten Funktionen unterscheidet man zwischen Produkten und Verkettungen:

Produkt von Funktionen: Zwei Funktionen werden multipliziert. Beispiel: $u(x) = e^x$ und $v(x) = x^2 + A$ ergeben $u(x) \cdot v(x) = e^x \cdot (x^2 + A)$

Verkettung von Funktionen: Eine Funktion wird in eine andere eingesetzt. Beispiel: $e^{x^2 + A}$ besteht aus der inneren Funktion $v(x) = x^2 + A$ und der äußeren Funktion $u(x) = e^x$.

Für die Ableitung zusammengesetzter Funktionen gelten spezielle Regeln:

Produktregel: Für $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ gilt: $f'(x) = u'(x)v(x) + v'(x)u(x)$

Beispiel: $f(x) = e^x \cdot (x^2 + 1)$ $f'(x) = e^x \cdot (x^2 + 1) + 2x \cdot e^x = e^x \cdot (x^2 + 2x + 1)$

💡 Wichtig für Operatoren in Mathe: Wenn in einer Aufgabe der Operator "ermitteln" in Mathe NRW vorkommt, musst du häufig Ableitungen berechnen. Dabei sind die Produkt- und Quotientenregel entscheidend.

Quotientenregel: Für $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ gilt: $f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$

Beispiel: $f(x) = \frac{x^3 + 2}{x^5}$ $f'(x) = \frac{3x^2 \cdot x^5 - (x^3 + 2) \cdot 5x^4}{(x^5)^2} = \frac{-2x^7 - 10x^4}{x^{10}}$

Kettenregel und Exponentialmodelle

Die Kettenregel ist ein wichtiges Werkzeug für die Ableitung verketteter Funktionen. Für $f(x) = u(v(x))$ gilt: $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$

Beispiele:

1. $f(x) = (x^2 + 2x)^5$ $f'(x) = 5(x^2 + 2x)^4 \cdot (2x + 2)$

2. $f(x) = e^{4x}$ $f'(x) = e^{4x} \cdot 4 = 4e^{4x}$

3. $f(x) = e^{x^2 - 4}$ $f'(x) = e^{x^2 - 4} \cdot 2x$

Für die Modellierung mit Exponentialfunktionen kannst du verschiedene Methoden nutzen:

1. Mittelwerte der Quotienten aufeinanderfolgender Werte berechnen
2. Anfangswert und einen geeigneten weiteren Datenpunkt verwenden (wähle einen Punkt, der möglichst weit vom ersten entfernt ist)
3. Funktionsschar Rechner oder GTR für Ausgleichsfunktionen nutzen:
   • Menü 2 (Statistik)
   • Datenpunkte in Tabelle eingeben
   • Graph 1 → Calc → exp aebx

📊 Praxistipp: Für die Abiturvorbereitung Mathe LK ist es wichtig, zwischen verschiedenen Wachstumsmodellen unterscheiden zu können. Exponentielles Wachstum erkennst du daran, dass der Quotient aufeinanderfolgender Werte konstant ist.

Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph immer stärker anschmiegt. Der Abstand zwischen Kurve und Asymptote wird beliebig klein. Bei $f(x) = e^x$ ist die x-Achse eine Asymptote für $x \to -\infty$.