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Linearfaktor zerlegung → 3. Bin. Formel z. B. f(x)=x²-4 = (x+2) (x-2) → X₁₁2= ±2 4 Polynomgleichung → GTR 5 Substitution 2.B. x² = ² (Ersetzen) tu+lokales Minimum →lokales Maximum - lokal: mehrere global dos größte/kleinste 2. Ableitung von *。 *0 einfacher Wenn f'(x)=0 & f^(X₂) <0→lokales Maximum wenn f'(x₂)=0 & f*(x₂) >0 →lokales Minimum bei Intervallen Randwerte! WENDESTELLEN Eine Stelle x, bei der der Graph von f von einer Rechtskurve in eine Linkskurve übergeht heißt Wendestelle von f 1 f"&f" bestimmen 2 NB: f(x)=0 3 HB: a Wenn f (x₂)=0&f™ (x₂) *0 = WP b wenn f"(x) & f" einen VZW von xo - WP 4 Bestimmung der y-Koordinate f(x) Schnittpunkt Y-Achse Grenzverhalten → Ein WP mit waargerechter Tangente heißt Sattelpunkt Nullstelle Extrempunkt (HP) KRÜMMUNGSVERHALTEN → Wenn f(x) co für alle XEI, so ist f auf I rechtsgekrümmt Wenn f"(x) >0 für alle XEI, so ist f auf I linksgekrümmt Nullstelle Wendepunkt globales Maximum Wendepunkt Extrempunkt (TP) SCHNITTPUNKT MIT Y-ACHSE ⇒x=0 fro) f(x)=0-Sattelpunkt Grenzverhalten Nullstelle bei:stärkste Zu/Abnahme lokale Maxima globales Minimum W lokales Minimum X Linkskurve SYMMETRIE Achsensymmetrisch: f(-x) = f(x) Punktsymmetrisch: f(-x) = - -f(x) • f(x) ist streng monoton steigend f'(x) < 0 f(x) ist streng monoton fallend VERHALTEN IM 00 → für f(x)00/-00 möglichst große/kleine Werte einsetzen → für f(x)→ Wert einsetzen, die sich 0 annähern f'(x) > -> MONOTONIE (STEIGUNGSVERHALTEN) f'(x) 20 → f(x) ist monoton steigend streng monoton: f(x) f'(x) ≤0 f(x) ist monoton fallend nimmt an keiner Stelle x den wert O an DEFINITIONS BEREICH L beschreibt, welchen x-Wert man in f(x) einsetzen darf INTERVALLSCHREIBWEISE WERTEBEREICH Lo die Menge von y-Werten, die man erhält, wenn man jedes mögliche x in die Funktion einsetzt Schreibweise [a,b] [a,b) (a,b] (a,b) SEKANTE/TANGENTE SEKANTENGLEICHUNG Lo Differenzenquotient У+ Y2 У1 allg. Geradengleichung: y=mx+b Y2₂ Ya 27 für mim=x₂-XA -Punkte einsetzen 31 für b: m und einen der beiden Punkte einsetzen & auflösen P1 Mengenschreibweise as x ≤b X1 a ≤ x ≤ b a ≤x≤ b асх сь X2X1 M: f(x)/ P₂ X2 YL-YA $ Achsensym Sekante -Yz-J1 durchschnittl. Anderungsrate Punktsym. Rechnerisch: (-x) statt x in den Funktionsterm einsetzen y GRAPHISCHES AUF/ABLEITEN f(x) Yo f'(x) + f"(x) O TANGENTENGLEICHUNG Ableitung an der Stelle x: m= f'(x) Po m=0 allg. Geradengleichung: y=mx+b 2 für m: m: f'(x) 3 für bim & Punkt einsetzen & auflösen xo m=0 m = 0 f(x)/ momentane Tangente Änderungsrate LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME (LGS) Lineare Funktionen (Geraden) sind entweder: > parallel > identisch > schneiden sich abhängig von m & ein LGS enthält mehrere Gleichung und Unbekannte BEISPIEL I 3x₁2x₂ + 2x₂ = 1 I-2x₁ +Sx₂+6×3=0 4x+3x₂ - 2x3 = 3 mx +n =0 EINSETZUNGSVERFAHREN 7 21 31 m = M₂ ⇒parallel M₁ = M₂ ^ ^₁ = n₂ ⇒ identisch 8 m →gem. Schnittpunkt LOSEN VON LGS: Additionsverfahren -Gauss-Verfahren Einsettungsverfahren Gleichsetzungsverfahren Auflösen einer Gleichung nach einer Variablen 27 Variable in nächste Gleichung einsetzen 31 Auflösen einer nächsten Variable 4 dieses Verfahren fortführen, bis alle Variablen bestimmt sind GLEICHSETZUNGSVERFAHREN Auflösen der Gleichungen nach der gleichen Variable 27 Gleichungen gleichsetzen 31 Auflösen nach der vorhandenen variable Variable in Ausgangsgleichung einsetzen und letzte Variable berechnen ADDITIONSVERFAHREN Variablen eliminieren durch verrechnen mit anderen Gleichungen to addieren, subrahieren etc. 27 Übergebliebene Variable berechnen INTEGRALRECHNUNG STAMMFUNKTION f(x)=x": F(x) = A X n+A 7.B. f(x) = x³ + 2x² F(x) = x² + ¾ x² + c DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion & heißt unbestimmtes Integral von f (f(x) dx nta 1.8. RECHEN REGELN FÜR INTEGRALE √ √x²dx=A+C 2 Sa-fix) dx = a. Sfixidx 3] [f(x) + g(x))dx = f(x) dx + Sg(x) dx FLACHENINHALTE f(x) A₂ A₁ Bei Symmetrie: An=A₂ →nur ein A ausrechnen X ((4x+3) dx = 2x² + 3x 8 HAUPTSATZ DER DIFFERENZIAL & INTEGRAL RECHNUNG Insbesondere gilt für das bestimmte Integral über dem Intervall [a,b] HI thu Šfixldx berechnet die bilanzierte Fläche unter der Berandungsfunktion & im Intervall [a; b] ke R₁ks-1 Strategie: Skizze FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTIONSGRAPHEN Konstante +C Inhalt der Fläche swischen & und g über dem Intervall [a,b] h=f-g Strategie: Wurzeln: 27 Nullstellen von & bestimmen → Intervalle 31 Bestimme die Teilflächen zwischen den Nullstellen 4 Bilde die Summe der Teilflächen Flächeninhalte nicht aber Nullstellen hinwegintegrieren √x A= S(f(x)-g(x)) dx f(x)= Inhalt der Fläche unter der Different funktion h=f-g über dem Intervall [a,b] → ein konstanter Vorfaktor bleibt beim Integrieren erhalten man darf summandenweise integrieren f(x)=5·√x¹²=5.x²° → F(x) = -√√x³ F(x)=5._*__ X 8 S&Grids. [PL] a 5. A 4.8 Schnittstellen bestimmen • f(x) - g(x) = 0 21 Integral von h(x) berechnen = F(b)-F(a) Flächeninhalte sind immer positiv-Betragstriche