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18. Jan. 2026
•
Allie
@alliecn_
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Diese Seite führt das Konzept der momentanen Änderungsrate ein und verknüpft es mit der Ableitung einer Funktion.
Definition: Die momentane Änderungsrate einer Funktion f(x) an der Stelle x gibt an, wie stark sich der Funktionswert ändert, wenn sich x in einer kleineren Umgebung von x ändert.
Es wird erklärt, dass die momentane Änderungsrate dem Grenzwert des Differenzenquotienten für h→0 entspricht, was als Ableitung f'(x) bezeichnet wird.
Highlight: Die Ableitung f'(x) ist die Steigung der Tangente am Graphen in einem Punkt P(x, f(x)).
Ein detailliertes Beispiel zeigt, wie man die Ableitung einer Funktion f(x) = x² - 3x an der Stelle x = 3 näherungsweise bestimmt. Dabei wird der Differenzenquotient für immer kleiner werdende h-Werte berechnet.
Beispiel: Für die Funktion f(x) = x² - 3x liegt die Ableitung an der Stelle x = 3 zwischen 2,999 und 3,001.
Die Seite schließt mit der exakten Berechnung der Ableitung durch Anwendung der Ableitungsregeln, was zeigt, dass f'(3) = 3 ist.
Diese Seite präsentiert wichtige Ableitungsregeln und deren Anwendung.
Definition: Die Potenzregel besagt, dass für f(x) = x^n die Ableitung f'(x) = n · x^ ist.
Es werden weitere Regeln vorgestellt:
Beispiel: Für f(x) = x³ + 3x² ist die Ableitung f'(x) = 3x² + 6x.
Die Seite geht auch auf das Ableiten von Brüchen und Wurzeln ein:
Highlight: Bei Wurzeln gilt: (√x)' = 1 / (2√x) und (³√x)' = 1 / (3 · ³√x²)
Abschließend wird die Verwendung eines Grafikrechners (GTR) zur Berechnung von Ableitungen erklärt.
Beispiel: Für f(x) = -0,3x² + 2 berechnet der GTR die Ableitung f'(x) = -0,6x an der Stelle x = 1.
Diese Seite konzentriert sich auf die Ableitungen von Sinus- und Kosinusfunktionen.
Highlight: Die Ableitung von sin(x) ist cos(x), und die Ableitung von cos(x) ist -sin(x).
Es werden mehrere Beispiele für die Anwendung dieser Regeln gegeben:
Beispiel: Für f(x) = 3 · cos(x) ist die Ableitung f'(x) = -3 · sin(x).
Die Seite erklärt auch, wie man komplexere Funktionen ableitet, die Sinus- und Kosinusterme enthalten:
Beispiel: Für f(x) = 5x³ - sin(x) ist die Ableitung f'(x) = 15x² - cos(x).
Ein besonderer Fokus liegt auf der Herleitung der Tangentengleichung für trigonometrische Funktionen:
Beispiel: Für f(x) = cos(x) an der Stelle x = π/4 wird die Tangentengleichung y = -0,71x + 1,27 hergeleitet.
Die Seite schließt mit weiteren Beispielen, die die Anwendung der Ableitungsregeln auf komplexere trigonometrische Funktionen demonstrieren.
Diese Seite präsentiert verschiedene Bedeutungen und Anwendungen der Ableitung in Form einer Mindmap-Übung.
Highlight: Die Ableitung hat verschiedene Bedeutungen und Anwendungen in der Mathematik und Physik.
Drei Hauptbedeutungen der Ableitung werden hervorgehoben:
Beispiel: Für die Funktion f(x) = x² + 2 soll die Tangentengleichung im Punkt P(1|2) bestimmt werden. Hier wird die Ableitung als Steigung der Tangente verwendet.
Die Seite enthält Aufgaben, die jeweils eine andere Bedeutung der Ableitung nutzen:
Aufgabe: Berechne den Grenzwert von / h für h→0 für die Funktion f(x) = x³ + 2x.
Diese Übung verdeutlicht, wie die verschiedenen Aspekte der Ableitung in unterschiedlichen mathematischen Kontexten angewendet werden.
This page presents various applications of derivatives through a mindmap structure, emphasizing different interpretations of the derivative at a point.
Definition: The derivative f'(x₀) represents the slope of the tangent line at point x₀.
Focuses on determining tangent line equations using derivatives, with detailed step-by-step examples.
Example: For f(x)=0.5x², finding the tangent line equation at x=4 involves calculating f'(4) and using point-slope form.
Explains the h-method for finding derivatives using limits of difference quotients.
Example: Detailed calculation of the derivative of f(x)=5x² at x=3 using the limit definition.
Further applications of the h-method in finding derivatives and solving specific problems.
Highlight: The h-method provides a fundamental understanding of derivative calculations.
Die erste Seite führt in das Konzept der mittleren Änderungsrate ein und erklärt den Differenzenquotienten.
Definition: Die mittlere Änderungsrate beschreibt die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten einer Funktion.
Der Differenzenquotient wird als mathematische Formel zur Berechnung der mittleren Änderungsrate vorgestellt:
Formel: DQ = /
Es werden verschiedene Anwendungsfälle des Differenzenquotienten erläutert, wie zum Beispiel:
Beispiel: Für die Funktion f(x) = 3x³ + 1 im Intervall [0,2] beträgt die mittlere Änderungsrate 12.
Die Seite schließt mit einer Sachaufgabe zur Wachstumsrate einer Kressepflanze, die die praktische Anwendung des Konzepts veranschaulicht.
Highlight: Die Gerade, die zwei Punkte auf dem Graphen schneidet und verbindet, wird als Sekante bezeichnet. Ihre Steigung entspricht der mittleren Änderungsrate.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
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Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
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Xander S
iOS-Nutzer
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Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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A comprehensive guide to differential calculus focusing on Mittlere Änderungsrate and Momentane Änderungsrate, covering key concepts from average rate of change to derivatives and their applications.
• Introduces fundamental concepts of average... Mehr anzeigen
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Diese Seite führt das Konzept der momentanen Änderungsrate ein und verknüpft es mit der Ableitung einer Funktion.
Definition: Die momentane Änderungsrate einer Funktion f(x) an der Stelle x gibt an, wie stark sich der Funktionswert ändert, wenn sich x in einer kleineren Umgebung von x ändert.
Es wird erklärt, dass die momentane Änderungsrate dem Grenzwert des Differenzenquotienten für h→0 entspricht, was als Ableitung f'(x) bezeichnet wird.
Highlight: Die Ableitung f'(x) ist die Steigung der Tangente am Graphen in einem Punkt P(x, f(x)).
Ein detailliertes Beispiel zeigt, wie man die Ableitung einer Funktion f(x) = x² - 3x an der Stelle x = 3 näherungsweise bestimmt. Dabei wird der Differenzenquotient für immer kleiner werdende h-Werte berechnet.
Beispiel: Für die Funktion f(x) = x² - 3x liegt die Ableitung an der Stelle x = 3 zwischen 2,999 und 3,001.
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Beispiel: Für f(x) = x³ + 3x² ist die Ableitung f'(x) = 3x² + 6x.
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Beispiel: Für f(x) = 5x³ - sin(x) ist die Ableitung f'(x) = 15x² - cos(x).
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Diese Übung verdeutlicht, wie die verschiedenen Aspekte der Ableitung in unterschiedlichen mathematischen Kontexten angewendet werden.
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Formel: DQ = /
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
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Paul T
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Anna
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