Mittlere und Momentane Änderungsrate: Übungen und Lösungen als PDF

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Allie

15.3.2022

Mathe

Analysis

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Ableitungsregeln

Quotientenregel

Mittlere und Momentane Änderungsrate: Übungen und Lösungen als PDF

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

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A comprehensive guide to differential calculus focusing on Mittlere Änderungsrate and Momentane Änderungsrate, covering key concepts from average rate of change to derivatives and their applications.

• Introduces fundamental concepts of average and instantaneous rates of change
• Details various derivative rules including power rule, factor rule, and sum rule
• Covers trigonometric function derivatives and their applications
• Explains practical applications through numerous solved examples
• Includes methods for finding characteristic points and extrema of functions

...

15.3.2022

5594

mittlere Anderungsrate
Definition
Die mittlere Anderungsrate beschreibt die durchschnittliche Steigung zwischen
2 Punkten. Mit dem Differenz

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Momentane Änderungsrate und Ableitung

Diese Seite führt das Konzept der momentanen Änderungsrate ein und verknüpft es mit der Ableitung einer Funktion.

Definition: Die momentane Änderungsrate einer Funktion f $x$ an der Stelle x gibt an, wie stark sich der Funktionswert ändert, wenn sich x in einer kleineren Umgebung von x ändert.

Es wird erklärt, dass die momentane Änderungsrate dem Grenzwert des Differenzenquotienten für h→0 entspricht, was als Ableitung f' $x$ bezeichnet wird.

Highlight: Die Ableitung f' $x$ ist die Steigung der Tangente am Graphen in einem Punkt P $x, f(x$ ).

Ein detailliertes Beispiel zeigt, wie man die Ableitung einer Funktion f $x$ = x² - 3x an der Stelle x = 3 näherungsweise bestimmt. Dabei wird der Differenzenquotient für immer kleiner werdende h-Werte berechnet.

Beispiel: Für die Funktion f $x$ = x² - 3x liegt die Ableitung an der Stelle x = 3 zwischen 2,999 und 3,001.

Die Seite schließt mit der exakten Berechnung der Ableitung durch Anwendung der Ableitungsregeln, was zeigt, dass f' $3$ = 3 ist.

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Ableitungsregeln

Diese Seite präsentiert wichtige Ableitungsregeln und deren Anwendung.

Definition: Die Potenzregel besagt, dass für f $x$ = x^n die Ableitung f' $x$ = n · x^ $n-1$ ist.

Es werden weitere Regeln vorgestellt:

Faktorregel: Für f $x$ = k · x^n ist f' $x$ = k · n · x^ $n-1$
Summenregel: Für f $x$ = x^n + k · x^m ist f' $x$ = n · x^ $n-1$ + k · m · x^ $m-1$

Beispiel: Für f $x$ = x³ + 3x² ist die Ableitung f' $x$ = 3x² + 6x.

Die Seite geht auch auf das Ableiten von Brüchen und Wurzeln ein:

Highlight: Bei Wurzeln gilt: $√x$ ' = 1 / $2√x$ und $³√x$ ' = 1 / $3 · ³√x²$

Abschließend wird die Verwendung eines Grafikrechners $GTR$ zur Berechnung von Ableitungen erklärt.

Beispiel: Für f $x$ = -0,3x² + 2 berechnet der GTR die Ableitung f' $x$ = -0,6x an der Stelle x = 1.

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Ableitung von Sinus- und Kosinusfunktionen

Diese Seite konzentriert sich auf die Ableitungen von Sinus- und Kosinusfunktionen.

Highlight: Die Ableitung von sin $x$ ist cos $x$ , und die Ableitung von cos $x$ ist -sin $x$ .

Es werden mehrere Beispiele für die Anwendung dieser Regeln gegeben:

Beispiel: Für f $x$ = 3 · cos $x$ ist die Ableitung f' $x$ = -3 · sin $x$ .

Die Seite erklärt auch, wie man komplexere Funktionen ableitet, die Sinus- und Kosinusterme enthalten:

Beispiel: Für f $x$ = 5x³ - sin $x$ ist die Ableitung f' $x$ = 15x² - cos $x$ .

Ein besonderer Fokus liegt auf der Herleitung der Tangentengleichung für trigonometrische Funktionen:

Beispiel: Für f $x$ = cos $x$ an der Stelle x = π/4 wird die Tangentengleichung y = -0,71x + 1,27 hergeleitet.

Die Seite schließt mit weiteren Beispielen, die die Anwendung der Ableitungsregeln auf komplexere trigonometrische Funktionen demonstrieren.

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Bedeutungen der Ableitung

Diese Seite präsentiert verschiedene Bedeutungen und Anwendungen der Ableitung in Form einer Mindmap-Übung.

Highlight: Die Ableitung hat verschiedene Bedeutungen und Anwendungen in der Mathematik und Physik.

Drei Hauptbedeutungen der Ableitung werden hervorgehoben:

Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente an einem Punkt des Funktionsgraphen an.
Die Ableitung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für h→0.
Die Ableitung beschreibt die Änderungsrate einer Funktion an einem bestimmten Punkt.

Beispiel: Für die Funktion f $x$ = x² + 2 soll die Tangentengleichung im Punkt P $1|2$ bestimmt werden. Hier wird die Ableitung als Steigung der Tangente verwendet.

Die Seite enthält Aufgaben, die jeweils eine andere Bedeutung der Ableitung nutzen:

Aufgabe: Berechne den Grenzwert von $f(3+h$ - f $3$ ) / h für h→0 für die Funktion f $x$ = x³ + 2x.

Diese Übung verdeutlicht, wie die verschiedenen Aspekte der Ableitung in unterschiedlichen mathematischen Kontexten angewendet werden.

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Page 5: Applications of Derivatives

This page presents various applications of derivatives through a mindmap structure, emphasizing different interpretations of the derivative at a point.

Definition: The derivative f' $x₀$ represents the slope of the tangent line at point x₀.

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Page 6: Tangent Line Equations

Focuses on determining tangent line equations using derivatives, with detailed step-by-step examples.

Example: For f $x$ =0.5x², finding the tangent line equation at x=4 involves calculating f' $4$ and using point-slope form.

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Page 7: Limit Definition of Derivative

Explains the h-method for finding derivatives using limits of difference quotients.

Example: Detailed calculation of the derivative of f $x$ =5x² at x=3 using the limit definition.

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Page 8: H-Method Applications

Further applications of the h-method in finding derivatives and solving specific problems.

Highlight: The h-method provides a fundamental understanding of derivative calculations.

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5.594

•

15. März 2022

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Mittlere und Momentane Änderungsrate: Übungen und Lösungen als PDF

Allie

@alliecn_

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Momentane Änderungsrate und Ableitung

Diese Seite führt das Konzept der momentanen Änderungsrate ein und verknüpft es mit der Ableitung einer Funktion.

Definition: Die momentane Änderungsrate einer Funktion f $x$ an der Stelle x gibt an, wie stark sich der Funktionswert ändert, wenn sich x in einer kleineren Umgebung von x ändert.

Es wird erklärt, dass die momentane Änderungsrate dem Grenzwert des Differenzenquotienten für h→0 entspricht, was als Ableitung f' $x$ bezeichnet wird.

Highlight: Die Ableitung f' $x$ ist die Steigung der Tangente am Graphen in einem Punkt P $x, f(x$ ).

Beispiel: Für die Funktion f $x$ = x² - 3x liegt die Ableitung an der Stelle x = 3 zwischen 2,999 und 3,001.

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Ableitungsregeln

Diese Seite präsentiert wichtige Ableitungsregeln und deren Anwendung.

Definition: Die Potenzregel besagt, dass für f $x$ = x^n die Ableitung f' $x$ = n · x^ $n-1$ ist.

Es werden weitere Regeln vorgestellt:

Faktorregel: Für f $x$ = k · x^n ist f' $x$ = k · n · x^ $n-1$
Summenregel: Für f $x$ = x^n + k · x^m ist f' $x$ = n · x^ $n-1$ + k · m · x^ $m-1$

Beispiel: Für f $x$ = x³ + 3x² ist die Ableitung f' $x$ = 3x² + 6x.

Die Seite geht auch auf das Ableiten von Brüchen und Wurzeln ein:

Highlight: Bei Wurzeln gilt: $√x$ ' = 1 / $2√x$ und $³√x$ ' = 1 / $3 · ³√x²$

Abschließend wird die Verwendung eines Grafikrechners $GTR$ zur Berechnung von Ableitungen erklärt.

Beispiel: Für f $x$ = -0,3x² + 2 berechnet der GTR die Ableitung f' $x$ = -0,6x an der Stelle x = 1.

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Ableitung von Sinus- und Kosinusfunktionen

Diese Seite konzentriert sich auf die Ableitungen von Sinus- und Kosinusfunktionen.

Highlight: Die Ableitung von sin $x$ ist cos $x$ , und die Ableitung von cos $x$ ist -sin $x$ .

Es werden mehrere Beispiele für die Anwendung dieser Regeln gegeben:

Beispiel: Für f $x$ = 3 · cos $x$ ist die Ableitung f' $x$ = -3 · sin $x$ .

Die Seite erklärt auch, wie man komplexere Funktionen ableitet, die Sinus- und Kosinusterme enthalten:

Beispiel: Für f $x$ = 5x³ - sin $x$ ist die Ableitung f' $x$ = 15x² - cos $x$ .

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Beispiel: Für f $x$ = cos $x$ an der Stelle x = π/4 wird die Tangentengleichung y = -0,71x + 1,27 hergeleitet.

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Bedeutungen der Ableitung

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Drei Hauptbedeutungen der Ableitung werden hervorgehoben:

Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente an einem Punkt des Funktionsgraphen an.
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Page 5: Applications of Derivatives

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Page 8: H-Method Applications

Further applications of the h-method in finding derivatives and solving specific problems.

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Mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient

Die erste Seite führt in das Konzept der mittleren Änderungsrate ein und erklärt den Differenzenquotienten.

Definition: Die mittlere Änderungsrate beschreibt die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten einer Funktion.

Der Differenzenquotient wird als mathematische Formel zur Berechnung der mittleren Änderungsrate vorgestellt:

Formel: DQ = $f(x₂$ - f $x₁$ ) / $x₂ - x₁$

Es werden verschiedene Anwendungsfälle des Differenzenquotienten erläutert, wie zum Beispiel:

Wenn Intervall und Funktion gegeben sind
Wenn Graph und Intervall gegeben sind
Bei der Verwendung des Parameters h für die Intervallbreite

Beispiel: Für die Funktion f $x$ = 3x³ + 1 im Intervall $0,2$ beträgt die mittlere Änderungsrate 12.

Die Seite schließt mit einer Sachaufgabe zur Wachstumsrate einer Kressepflanze, die die praktische Anwendung des Konzepts veranschaulicht.

Highlight: Die Gerade, die zwei Punkte auf dem Graphen schneidet und verbindet, wird als Sekante bezeichnet. Ihre Steigung entspricht der mittleren Änderungsrate.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Momentane Änderungsrate und Ableitung

Ableitungsregeln

Ableitung von Sinus- und Kosinusfunktionen

Bedeutungen der Ableitung

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4.9+

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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