Ableitungsregeln

Diese Seite präsentiert wichtige Ableitungsregeln und deren Anwendung.

Definition: Die Potenzregel besagt, dass für f(x) = x^n die Ableitung f'(x) = n · x^(n-1) ist.

Es werden weitere Regeln vorgestellt:

1. Faktorregel: Für f(x) = k · x^n ist f'(x) = k · n · x^(n-1)
2. Summenregel: Für f(x) = x^n + k · x^m ist f'(x) = n · x^(n-1) + k · m · x^(m-1)

Beispiel: Für f(x) = x³ + 3x² ist die Ableitung f'(x) = 3x² + 6x.

Die Seite geht auch auf das Ableiten von Brüchen und Wurzeln ein:

Highlight: Bei Wurzeln gilt: (√x)' = 1 / (2√x) und (³√x)' = 1 / (3 · ³√x²)

Abschließend wird die Verwendung eines Grafikrechners (GTR) zur Berechnung von Ableitungen erklärt.

Beispiel: Für f(x) = -0,3x² + 2 berechnet der GTR die Ableitung f'(x) = -0,6x an der Stelle x = 1.

Ableitung von Sinus- und Kosinusfunktionen

Diese Seite konzentriert sich auf die Ableitungen von Sinus- und Kosinusfunktionen.

Highlight: Die Ableitung von sin(x) ist cos(x), und die Ableitung von cos(x) ist -sin(x).

Es werden mehrere Beispiele für die Anwendung dieser Regeln gegeben:

Beispiel: Für f(x) = 3 · cos(x) ist die Ableitung f'(x) = -3 · sin(x).

Die Seite erklärt auch, wie man komplexere Funktionen ableitet, die Sinus- und Kosinusterme enthalten:

Beispiel: Für f(x) = 5x³ - sin(x) ist die Ableitung f'(x) = 15x² - cos(x).

Ein besonderer Fokus liegt auf der Herleitung der Tangentengleichung für trigonometrische Funktionen:

Beispiel: Für f(x) = cos(x) an der Stelle x = π/4 wird die Tangentengleichung y = -0,71x + 1,27 hergeleitet.

Die Seite schließt mit weiteren Beispielen, die die Anwendung der Ableitungsregeln auf komplexere trigonometrische Funktionen demonstrieren.

Mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient

Die erste Seite führt in das Konzept der mittleren Änderungsrate ein und erklärt den Differenzenquotienten.

Definition: Die mittlere Änderungsrate beschreibt die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten einer Funktion.

Der Differenzenquotient wird als mathematische Formel zur Berechnung der mittleren Änderungsrate vorgestellt:

Formel: DQ = (f(x₂) - f(x₁)) / (x₂ - x₁)

Es werden verschiedene Anwendungsfälle des Differenzenquotienten erläutert, wie zum Beispiel:

1. Wenn Intervall und Funktion gegeben sind
2. Wenn Graph und Intervall gegeben sind
3. Bei der Verwendung des Parameters h für die Intervallbreite

Beispiel: Für die Funktion f(x) = 3x³ + 1 im Intervall [0,2] beträgt die mittlere Änderungsrate 12.

Die Seite schließt mit einer Sachaufgabe zur Wachstumsrate einer Kressepflanze, die die praktische Anwendung des Konzepts veranschaulicht.

Highlight: Die Gerade, die zwei Punkte auf dem Graphen schneidet und verbindet, wird als Sekante bezeichnet. Ihre Steigung entspricht der mittleren Änderungsrate.