Momentane Änderungsrate und Ableitung

Diese Seite führt das Konzept der momentanen Änderungsrate ein und verknüpft es mit der Ableitung einer Funktion.

Definition: Die momentane Änderungsrate einer Funktion f(x) an der Stelle x gibt an, wie stark sich der Funktionswert ändert, wenn sich x in einer kleineren Umgebung von x ändert.

Es wird erklärt, dass die momentane Änderungsrate dem Grenzwert des Differenzenquotienten für h→0 entspricht, was als Ableitung f'(x) bezeichnet wird.

Highlight: Die Ableitung f'(x) ist die Steigung der Tangente am Graphen in einem Punkt P(x, f(x)).

Ein detailliertes Beispiel zeigt, wie man die Ableitung einer Funktion f(x) = x² - 3x an der Stelle x = 3 näherungsweise bestimmt. Dabei wird der Differenzenquotient für immer kleiner werdende h-Werte berechnet.

Beispiel: Für die Funktion f(x) = x² - 3x liegt die Ableitung an der Stelle x = 3 zwischen 2,999 und 3,001.

Die Seite schließt mit der exakten Berechnung der Ableitung durch Anwendung der Ableitungsregeln, was zeigt, dass f'(3) = 3 ist.

Ableitung von Sinus- und Kosinusfunktionen

Diese Seite konzentriert sich auf die Ableitungen von Sinus- und Kosinusfunktionen.

Highlight: Die Ableitung von sin(x) ist cos(x), und die Ableitung von cos(x) ist -sin(x).

Es werden mehrere Beispiele für die Anwendung dieser Regeln gegeben:

Beispiel: Für f(x) = 3 · cos(x) ist die Ableitung f'(x) = -3 · sin(x).

Die Seite erklärt auch, wie man komplexere Funktionen ableitet, die Sinus- und Kosinusterme enthalten:

Beispiel: Für f(x) = 5x³ - sin(x) ist die Ableitung f'(x) = 15x² - cos(x).

Ein besonderer Fokus liegt auf der Herleitung der Tangentengleichung für trigonometrische Funktionen:

Beispiel: Für f(x) = cos(x) an der Stelle x = π/4 wird die Tangentengleichung y = -0,71x + 1,27 hergeleitet.

Die Seite schließt mit weiteren Beispielen, die die Anwendung der Ableitungsregeln auf komplexere trigonometrische Funktionen demonstrieren.