Analysis

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'(x₂). Sie kann also mit der 1. Ableitung berechnet werden. Die Ableitung f'(x) ist die Steigung der Tangente am Graphen in einem Pkt P(x, lfG) ·lim f(x, th)-f(x₂) h>0 h f(3+h)-f(3) h -0,1 -0,29 --0,01 -0,02 99 -0,001 -0,00299 f(x) Beispiel näherungsweise Ableitung Funktion f bestimmen MB S. 57 Nr. 8 f(x)=x²-3x =(x-1,5)² -2,25 a) h→0 0,1 0,31 0,01 0,0301 0,001 0,003001 f(3+h)-f(3) h 2,9 2,99 2,999 3,1 3,01 Von Allie 3,001 A: Die Ableitung von f an der Stelle Xp=3 ist zwischen 2,999 und 3,001 xo x=3 b) -2- 2) d (f 1 (x) x = 3 dx A: Die Ableitung von. f an der Stelle X₁ = 3 ist f'(3)=3 Ableitungsregeln von Allie Potenzregel: f(x)=x^ → f'(x) = n²x^-^ Bsp. f(x) = x4 f'(x) = 4x²³ Faktorregel: f(x)= k·x^ → f'(x) = k·n.xn-- Bsp f(x) = 4x³ f '(x) = 12x² Summenregel f(x)=x k·x^→ f'(x)=n·x^² +knx^-^ Bsp f(x)=x³+3x² f'(x) = 5x * +6x Bruche ableiten Beispiel 13 f(x)= f'(x) = 2 X 3+1 Wurzel ableiten • √x^' => ²√x^² => x ² • 3√/X²² =) X ²³/ x² => x² dx Vorzeichen ändert sich 2 Exponent mal Zähler 3 +1 Zum Exponenten Mit GTR ableiten Beispiel 2 f(x)== -0,3 x² + 2 menu → 4 Analysis → Abl. an einem Punkt Wert: 1 (f(x)) x = 1 X Zahlen ohne Variable fallen weg. f'(x) = -0,6 Weitere Beispiele 1 --x-1 3x-4 •× X 3 x² 1x/0 -2 •³x²0,75-8x² = 6x* ↑ • 2x 9/3/2 Beispiel f(x) = (x + 2)² =x²+4x +4 f(x)=2x+4 Ableitung Sinus- und Kosinusfunktion Beispiele f(x)= 3· cos(x) f'(x)= 3 - Sin (x) f(x) = 5x³-sin(x) f'(x)=15x² -cos(x). f(x)=2.cos(x) + ·x² f'(x)=-2 sin(x) + x 1 f(x-2 sin(x) + X f'(x)=-2 cos (X) -X f(x)= -2.sin(x) f'(x)= 2 cos (x) ·f(x)- 2 cos (x) -sin (x) ·f'(x) = -2・sin(x) -(os(x) Sinus- und mit Tagenten herleiten Beispiel f(x)= -9 sin (x) x₁ = π f(x) = -9 sin (x) f'(x) = -9 cos (x) Kosinusfunktion 1x₁ = π für x f'(π)= -9 cos (JT) 1 x (0) einsetzen f'(π)=9 bzw. cos von π = -1 von Allie f(x)=sin(x) + 2x - 3x ²³/₂ f'(x) = cos (x + 2-9x². f(x) = √5²¹.cos(x) f'(x)=-25 sin (x) · f(x) = 1/1/2 •Sin (x). f'(x) = = · cos (x) 3. und Beispiel S.73 Nr. 6 a) f(x) = cos (x) f'(x) = -sin (x) 1. f ( =) = cos (π) = 0,71 f(x)=x² + cos(x) f'(x)= x - Sin (X) 2. f '( =) = -sin ( =)) = - 0,71 -cos (x) Tangentengleichung mit Sinus- Kosinus y = mx + n == P ( ² (?) E Gleichung y=mx+n 0,71 -0,71 0,71 = -0,56 +n 1,27 ·・Y = - 0,71··x + 1,27 (1) +n Sin (x) m -Sin (x) ·1+0,56 cos (x) III Abhängigkeit und Änderung - Ableitung Mindmap: Verschiedene Bedeutungen der Ableitung Um die Aufgaben in den Kästchen zu lösen, wird jeweils eine andere Bedeutung der Ableitung f'(xo) einer Funktion f an einer Stelle x, benötigt. Bearbeite die Aufgaben und erstelle dann eine Mindmap zur Ableitung. indem du in die grauen Kästchen die in der Aufgabe verwendete Bedeutung der Ableitung einträgst. Bedeutung: f'(x) = -2x3+1 f'(^)=-1 2=-1·1+n n=3 f(x)=-1x+3 x₁ = 1 →Die Abl. gibt Steigung der Tangenten im Punkt x = 1 an Aufgabe 1: Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f mit f(x) = 2 + x im Punkt P(1/2). Bedeutung: f(3+h)-f(3) h = -(3+h) ³ Aufgabe 3: Gegeben ist die Funktion f mit. f(x) = x³ + 2x. Berechne den f(3+h)-f(3) Grenzwert von für h→ 0. (3+h)-(-3³+23) Die Abl. ist der Grenzwert des Differenen- quotient für h>0 1600 1000 30 min + Einzelarbeit 978-3-12-734402-8 LS Einführungsphase NW, Serviceband Bedeutung: f'(x)=2x+4 f'(4) = 12 A Ableitung f'(xo) einer Funktion f an einer Stelle xo 1 S49 Aufgabe 2: Das zeitliche Wachstum eines Be- standes ist gegeben durch f(x) = x² + 4x. Bestimme die momentane Wachstumsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt Xo = 4. =>Die Abl. gibt momentane Wachstumsgeschw zum Zeitpunkt 4 an. Aufgabe 4: Berechne die Steigung des Graphen der Funktion f mit f(x)=3x²2x²-1 an der Stelle Xo = -1. = f'(2)=0 f'(3) = -1100 Bedeutung: f(x)= 15x8x³ 15-(-8) f'(-1)=-23 m = 23 Die Abl. gibt die Steigung der Funktion f Ides Graphen an der Stelle x = 1 Als Kopiervorlage freigegeben. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2010 Funktionsgleichung einer Tangente. ermitteln. Ubung S.71 Nr. 1 1) @ f(x) = 0,5 x ² f'(x) = 0,5- 2x f'(x) = 1x f'(4) = 4 4.4th ↳> y = mx + n 16 +n Y = f(4) = 0,5-4² =8 8 = 16 ↓ Xo in die Original gleichung f(x) einsetzen um y zu bekommen -8-n P ( 4 | f(x)) 4 für x einsetzen Y = 4-X-8 Gm tn 1-16 an Funktion im Punkt P(x, 1 f(x)). Alles gegeben aber Funktion nicht von Allie → m= 3 g(x)=3x + 1,5 P (-11-1,5) f(x) = ax² Y -1=-1₁5.1² -1=- 1,5. f(x) = -1₁5 x ² f'(x) = = -3 Ableitung an einer Stelle als Grenzwert des Differenzenquotienten mithilfe Beispiel f(x) = 5x² x ₂ = 3 lim f(3 +h) ² = f(3) h→0 f(3+h)-5-(3+h) ² lim 5 (3+h) ²-5.3² h→0 h lim h→0 lim h→0 lim 45 +30h+Sh² - 15 h h→0 lim h→0 lim h→0 lim h→0 5 (9+6h +h²)-5.9 h h (30+5h) h (30+5h) b 30+5 h 1. Xo in Formel einsetzen f(3) = 5.3² 2. f(x₁th) & f(x₂) bilden 30+50=30 h-Methode bestimmen. Grundformel. lim f(x +h)-f(x₂) ho →in original Funktion einsetzen 3. f (x₂th) & f(x₂) einsetzen 4. Vereinfachen + Binomische Formel Von Allie → hebt sich auf Shim Zähler ausklammern 6. h weghürzen 7. far h Null einsetzen Ch lauft gegen null) + ausrechnen An Stelle x₁ = 3 ist die Steigung 30 f'(3)-30 h Ableitungsfunktion f mit h-Methode f mit f. (x). 2 ·x² +4.x. X = = h- Methode bestimmen. f(xo+h)-f(x₂)_ -(x₂ +h)² +4·(xo +h)-(x² + 4·x₂) h h G=°x 2 = = 0X 8 = Ableitung an bestimmten Stellen -Xo --X₁ + 2x₂h +h² +4 x₂ + 4h +x₂² -3:x h 2 - 2 xoh-h² + 4b = (2x。-h+4). h h h. : f'(x) = 2x₂ +4 f(x)=-2x+4 f'(-2) == 2 · (-2) +4 f'(5) = -25+4 чол 9- Allie 2 fallt weg. Für welches xo ist f(x) = 2 f'(x) = -2x + 4 X = 1 = -2-1+4 -2x = -2 einfach ausprobieren Charakteristische Punkte Nullstelle x = -2, -3 Nullstelle x = -0,5 A -- -1 +2+ 0 -1- _T₁ (x₂₁ [ f(x₂))_ Nullstellen y-Achsenabchnitt Extremstellen Extremwerte/ lokale y C H (x3|f(x₂)) von Allie _T₂ (x₂1 f (x₂)) 1 2 3 -y-Achsen- abschnitt 1,5 Fig.1 Weiteres Beispiel: x = -2 und x = -0,5 y = 1,5 X₁, X₂ und x3 => x-Werte f(x₁), f(x₂) und f(x3) => y-Werte Extrema lokale Minima lokales Maximum globales Minimum globales Maximum großtes Max. WAS Extrem- das 3 punkte </ gleiche f(x₁) und f(x₂) => Kl. Extrem werte f(x3) gr. Extrem werte f(x₁)->größtes Min. TP/HP in bestimmten Bereich Cy- Koordinate) höchste/ tiefste y-Koordinate