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E-Funktionen Lernzettel: Grundlagen, Parameter und Kurvendiskussion

225

1

A

Amelie Niemann

19.3.2022

Mathe

Analysis Grundlagen/ e- Funktionen/ Parameter/ Funktionsscharr

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Exponentialfunktion

E funktion

10.806

•

19. März 2022

•

4 Seiten

E-Funktionen Lernzettel: Grundlagen, Parameter und Kurvendiskussion

A

Amelie Niemann

@amelieniemann_xmiz

Die E-Funktionist eine grundlegende mathematische Funktion mit vielfältigen Anwendungen.... Mehr anzeigen

-Integrieren f(x)=e" F(x)=e*+c fo(x) Funktionen die nicht nur von x, sondern auch von Parameter a abhängig sind. →Funktionenschar → Paramete

Parameterfunktionen und Integrale

Dieser Abschnitt behandelt Parameterfunktionen und ihre grafische Darstellung. Es wird gezeigt, wie Verschiebungen in verschiedene Richtungen die Funktion beeinflussen.

Beispiel: Eine Verschiebung in x-Richtung wird durch f(x-a) dargestellt, während eine Verschiebung in y-Richtung durch f(x)+a ausgedrückt wird.

Der Abschnitt geht auch auf Integrale ein und erklärt, wie man die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnet.

Definition: Um die Fläche zwischen zwei Funktionen zu berechnen, integriert man die Differenz der oberen und unteren Funktion.

Es werden weitere Eigenschaften der E-Funktion diskutiert, einschließlich Streckung und Stauchung:

Highlight: Bei einer Streckung oder Stauchung in y-Richtung ändert sich der Schnittpunkt mit der y-Achse zu (0,a), wobei a der Streckungsfaktor ist.

Der E-Funktion Graph wird detailliert beschrieben, einschließlich seiner charakteristischen Merkmale und Verhaltensweisen.

-Integrieren f(x)=e" F(x)=e*+c fo(x) Funktionen die nicht nur von x, sondern auch von Parameter a abhängig sind. →Funktionenschar → Paramete

Exponentialfunktionen und Ableitungsregeln

Dieser Abschnitt konzentriert sich auf Exponentialfunktionen und ihre Eigenschaften. Es wird erklärt, wie man Tangentengleichungen aufstellt und Funktionen schneidet.

Definition: Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion ist f(x) = c · e^x, wobei c eine Konstante ist.

Es werden verschiedene Fälle für den globalen Verlauf von Exponentialfunktionen diskutiert:

  • Für c > 1: exponentielle Zunahme
  • Für 0 < c < 1: exponentielle Abnahme

Highlight: Bei der Ableitung von Exponentialfunktionen bleibt der e-Term immer bestehen, nur der Exponent ändert sich.

Der Abschnitt behandelt auch natürliche Exponentialfunktionen (e-Funktionen) und ihre Ableitungsregeln, einschließlich Produkt-, Quotienten- und Kettenregel.

Beispiel: Die Ableitung von f(x) = e^x ist f'(x) = e^x.

Es wird auch das Verhalten von Funktionen im Unendlichen diskutiert und wie man Symmetrie in Funktionen erkennt.

Vocabulary: Der Grenzwert im Unendlichen gibt an, wie sich die y-Werte verhalten, wenn die x-Werte immer größer oder kleiner werden.

-Integrieren f(x)=e" F(x)=e*+c fo(x) Funktionen die nicht nur von x, sondern auch von Parameter a abhängig sind. →Funktionenschar → Paramete

Ganzrationale Funktionen und Schnittpunkte

Dieser letzte Abschnitt befasst sich mit ganzrationalen Funktionen und der Bestimmung von Schnittpunkten zwischen verschiedenen Funktionstypen.

Definition: Ganzrationale Funktionen sind Polynomfunktionen, bei denen alle Exponenten natürliche Zahlen sind.

Es wird erklärt, wie man die Anzahl der Schnittpunkte zwischen verschiedenen Funktionstypen bestimmt:

  • Parabel und Gerade: maximal zwei Schnittpunkte
  • Polynomfunktion und Gerade: Die maximale Anzahl der Schnittpunkte wird vom Grad des Polynoms bestimmt

Highlight: Die Bestimmung von Schnittpunkten ist ein wichtiger Schritt in der E-Funktion Kurvendiskussion.

Der Abschnitt endet mit einem Hinweis auf die Symmetrie von Funktionen und wie man diese untersuchen kann.

Beispiel: Um die Symmetrie einer Funktion zu untersuchen, setzt man die Funktionsterme gleich und löst die Gleichung nach x auf.

Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über die wichtigsten Aspekte der E-Funktionen und verwandter Themen, die für Schüler und Studenten gleichermaßen relevant sind.

-Integrieren f(x)=e" F(x)=e*+c fo(x) Funktionen die nicht nur von x, sondern auch von Parameter a abhängig sind. →Funktionenschar → Paramete

Funktionen mit Parametern und E-Funktionen

Dieser Abschnitt befasst sich mit Funktionen, die nicht nur von x, sondern auch von einem Parameter a abhängig sind. Diese bilden sogenannte Funktionenscharen. Der Parameter wird wie eine Zahl behandelt und ist beliebig, aber fest.

Definition: Eine Funktionenschar ist eine Menge von Funktionen, die von einem Parameter abhängen.

Bei der Untersuchung von Funktionenscharen werden oft Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte betrachtet. Ein Beispiel für eine Kurvendiskussion einer Funktionenschar wird gegeben: f_a(x) = x³ + ax².

Beispiel: Für die Funktionenschar f_a(x) = x³ + ax² lauten die Ableitungen: f'_a(x) = 3x² + 2ax f''_a(x) = 6x + 2a

Der Abschnitt geht auch auf die Eigenschaften der E-Funktion ein. Die E-Funktion Eigenschaften umfassen:

  • Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0,1)
  • Keine Nullstellen
  • Keine Extrempunkte
  • Keine Wendepunkte
  • Grenzwerte: lim(x→-∞) e^x = 0 und lim(x→∞) e^x = ∞

Highlight: Die E-Funktion ist streng monoton steigend und nähert sich der x-Achse an, ohne sie zu schneiden.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hans T

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Funktionen und analysis

Exponentialfunktion

E funktion

 

Mathe

•

10.806

•

19. März 2022

•

4 Seiten

E-Funktionen Lernzettel: Grundlagen, Parameter und Kurvendiskussion

A

Amelie Niemann

@amelieniemann_xmiz

Die E-Funktion ist eine grundlegende mathematische Funktion mit vielfältigen Anwendungen. Sie zeichnet sich durch ihre einzigartigen Eigenschaften aus, wie den Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0,1), das Fehlen von Nullstellen und Extrempunkten sowie ihr monotones Wachstum. Der E-Funktion Lernzettelbehandelt... Mehr anzeigen

-Integrieren f(x)=e" F(x)=e*+c fo(x) Funktionen die nicht nur von x, sondern auch von Parameter a abhängig sind. →Funktionenschar → Paramete

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Parameterfunktionen und Integrale

Dieser Abschnitt behandelt Parameterfunktionen und ihre grafische Darstellung. Es wird gezeigt, wie Verschiebungen in verschiedene Richtungen die Funktion beeinflussen.

Beispiel: Eine Verschiebung in x-Richtung wird durch f(x-a) dargestellt, während eine Verschiebung in y-Richtung durch f(x)+a ausgedrückt wird.

Der Abschnitt geht auch auf Integrale ein und erklärt, wie man die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnet.

Definition: Um die Fläche zwischen zwei Funktionen zu berechnen, integriert man die Differenz der oberen und unteren Funktion.

Es werden weitere Eigenschaften der E-Funktion diskutiert, einschließlich Streckung und Stauchung:

Highlight: Bei einer Streckung oder Stauchung in y-Richtung ändert sich der Schnittpunkt mit der y-Achse zu (0,a), wobei a der Streckungsfaktor ist.

Der E-Funktion Graph wird detailliert beschrieben, einschließlich seiner charakteristischen Merkmale und Verhaltensweisen.

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Exponentialfunktionen und Ableitungsregeln

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Definition: Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion ist f(x) = c · e^x, wobei c eine Konstante ist.

Es werden verschiedene Fälle für den globalen Verlauf von Exponentialfunktionen diskutiert:

  • Für c > 1: exponentielle Zunahme
  • Für 0 < c < 1: exponentielle Abnahme

Highlight: Bei der Ableitung von Exponentialfunktionen bleibt der e-Term immer bestehen, nur der Exponent ändert sich.

Der Abschnitt behandelt auch natürliche Exponentialfunktionen (e-Funktionen) und ihre Ableitungsregeln, einschließlich Produkt-, Quotienten- und Kettenregel.

Beispiel: Die Ableitung von f(x) = e^x ist f'(x) = e^x.

Es wird auch das Verhalten von Funktionen im Unendlichen diskutiert und wie man Symmetrie in Funktionen erkennt.

Vocabulary: Der Grenzwert im Unendlichen gibt an, wie sich die y-Werte verhalten, wenn die x-Werte immer größer oder kleiner werden.

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Ganzrationale Funktionen und Schnittpunkte

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Definition: Ganzrationale Funktionen sind Polynomfunktionen, bei denen alle Exponenten natürliche Zahlen sind.

Es wird erklärt, wie man die Anzahl der Schnittpunkte zwischen verschiedenen Funktionstypen bestimmt:

  • Parabel und Gerade: maximal zwei Schnittpunkte
  • Polynomfunktion und Gerade: Die maximale Anzahl der Schnittpunkte wird vom Grad des Polynoms bestimmt

Highlight: Die Bestimmung von Schnittpunkten ist ein wichtiger Schritt in der E-Funktion Kurvendiskussion.

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Beispiel: Um die Symmetrie einer Funktion zu untersuchen, setzt man die Funktionsterme gleich und löst die Gleichung nach x auf.

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Funktionen mit Parametern und E-Funktionen

Dieser Abschnitt befasst sich mit Funktionen, die nicht nur von x, sondern auch von einem Parameter a abhängig sind. Diese bilden sogenannte Funktionenscharen. Der Parameter wird wie eine Zahl behandelt und ist beliebig, aber fest.

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Bei der Untersuchung von Funktionenscharen werden oft Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte betrachtet. Ein Beispiel für eine Kurvendiskussion einer Funktionenschar wird gegeben: f_a(x) = x³ + ax².

Beispiel: Für die Funktionenschar f_a(x) = x³ + ax² lauten die Ableitungen: f'_a(x) = 3x² + 2ax f''_a(x) = 6x + 2a

Der Abschnitt geht auch auf die Eigenschaften der E-Funktion ein. Die E-Funktion Eigenschaften umfassen:

  • Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0,1)
  • Keine Nullstellen
  • Keine Extrempunkte
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Highlight: Die E-Funktion ist streng monoton steigend und nähert sich der x-Achse an, ohne sie zu schneiden.

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Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Samantha Klich

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Anna

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Jana V

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Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Julia S

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