Analysis Lernzettel Mathe LK

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mon sight wo die höchste oder tidsle Steigung ist f'(x) >0 f'(x) 20 f"(x)=0 Extremstellen: Hp. (-21-16) Hp1 (21-16) EXTREMPUNKT (HP) SCHNITTPUNKT Y-ACHSE WENDEPUNKT BRZ NULLSTELLE weder noch NULLSTELLE GRENZVERHALTEN gerade und ungerade Exponenten f&)=2x4+x3 - 3x2 +1 Extrem stellen: TPC-21-16) HP (0/1) Ta (214) ملے W lokale und globale Extrema Definitionsbereich. globales Nox.mum lokales Noxima lokales Minimam-> -globales Minimeon Monotonie: / monoton steigend ms. \ monoton follend m.f. Seite 1 GRENZVERHALTEN NULLSTELLE EXTREMPUNKT (TP) Extremstellen bestimmen: F(x)= 0,5x4+x3 +1 Ableitung f'bilden f(x)=2x³+3x² 2 Nullstellen van f' berechnen: notw. Bed.: fcx)=0 2x3+3x²=0 | Ausklommer x² (2x+3) = 0 X1₁0 V 2x+3=0|--3 X₂=0 V 2x = -31:2 x=-1.5 mögliche Extremstelle 1 3 V2W-Tobelle anlegen hior Bed: V2W-Kriterium X -2 -15 -1 0 1 F(-15)=20,16 f(0) = 1 s Ergebnisse fax) -40 1 O S f(x) \ 4 y-Werte berechnen-> x-weste bei f einsetzen 2 TP(-15) und SPL011) f(x) = 2x³+3x² x bei f'einsetzen Hochpunkt U Tiefecnht л Sattelpunkt Steigung an einer bestimenten Stelle von f berechnen: F(x)= 0,5x4+x3+1 ges: Steigung bei x = 2 ^ f'bilden: f(2)=28 3 Ergebnisse 1 Klausur Die Steigung bei x=2 beträgt 28 Stelle berechnen bei der eine bestiamente Steigung ist: F(x) = 0,5x² + x3 +1 ges: Steigung = 1 4 f'bilden: V2W -/+ V2W +/- V2W -> +/+ oder -/- f(x)=2x³+3x² 21 gesuchte Steigung mit f'gleichsetzen → -f(x)=^ 22 Funktion bei Gleichungen - Polgnomgleichung einsetzen x₁ = -1x₂=95 3 Ergebnis Die funktion hat bei x=1 und x=as die Stegory 1 f(x) >0 -> + f(x) 20->- f'(x)=0->Extrempunkt Seite 2 Krümmungsverhalten bestimmen: f(x)=x4-2x²+1 4 Ableitung fund f" bilden f(x) = 4x² - 4x F"(x)= 12x²-4 2 Nellstellen von f" berechnen notu. Bed.: f(x) = 0 12x²-4 = 01+ 4 3 VZW-Tabelle anlegen hinr. Bed: VZW x-1-√√√1 12+²=4 1:12 x² = √² x₁ = √5 x₂ = -√√ ² mögliche Wende stellen f(x) 80 -4 08 20 rechts gehriat >0 inks- >O links 1 Klausur keing 4 Ergebnisse/Intervalle noliere TP->f"(x) >0 HP -> 20 SP ->f^(x)=0 im Intervall 1₁ =] -∞0;-√ [ ist flinksgekrönt im Intervall 1₁ = -√√√√ [ ist f rechtsgekümt im Intervall 1₁=√√;+∞ [ ist f links gekrämt U linksgekrümmt • rechtsgekrümmt n W kat f(x)=x² f(x) = 2x {"(x) = 2 {"(x) >0 =TP f(x)=x² fcx)=-2x {"(x) = -2 F"(x) 20 => HP f(x)= x4 f(x) = 4x³ f"(x)= 12x² f"(0)=0 fG) HP 1 SP J ^₂ TP Seile 3 f(x)= x³ f(x)= 3x² f"(x) = 6x f"col=o =>Sp f(x) = -x³ f(x)=-3x² {"(x)= - 6x f"co)=0 =>Sp f -> X Vorsicht! f"(o)=0 heißt in diesem Fall nicht gleich Sottel pennt. Es muss mit Hilfe des V2U übeprüftwerden um welches Extromo es sich Handel! Wende stellen berechnen: f(x)= (3x² +6x+3) 1 Ableitung: ff" und f" bilden f(x) = (3x² +6x + 3) F"(x) = (6x+6) f")=4-6 = 3/1 2 Nellstellen von f" berechnen notu. Bed.: f(x) = 0 (6x+6)=01-8 6x +6=0 1-6 6x=-6 1:6 x = -1 3 Vzu-Tabelle anlegen hins. Bed.: V2W J-00-1[3-1;+00 [ X -2 -10 {" 200 20 f' 4 Ergebnis 08\ TP => WST mit minimaler Steigung oder f(x)=01 f(x) 20 Definition: Die Funktion ist auf einem Intervall I definiert und 2 mal differenzierbar. Xot Eine Stelle I heißt Wendestelle von f, wenn f on der Stelle o dos krümmungsverhalten ändert. 1 Klausur Arten von Wendestellen: Le Imo.. f I III fá If If Atas UA min. steiging mox. Steiging I min. -Steig og max Seite 4 max. Steigung -> höchste Steigung von f min. Steigung → niedrigste steigang von f વર્ષઠઇ ganzootionale Funktionen bestimmen: 1 ges: Quadratische Funktion mit (orso) und (25183) → f(x) = a.x²+bx+c f(x)=20x+b 2 3 Gleichungen aufstellen (0/80)-> (=80 (25/83) f(25) = 83 4 I HP bei x=25 -> f'(25) = 0 2.0.25 +b=0 SOG + b = 0 Lösung mit GTR II 0.25² +b.25 +80 = 83 6250 +2sb = 3 I 625 +25b=3 soat 1b=0 I => x-46-3=-625 Y 0,25 In Funktion einsetzen f(x) = -6 ²25x²₂5 x x+80 a b с 옳 Regressions funktionen: -> b 1 geg: mehrere Penkte 2 ges: Funktion, die möglichst genow den Sachverhalt beschreibt 3 gegebene Penhle in GTP eintragen Funktion bestimmen Anzahl der Unbekante: 1 Klausur 1 ersta Grades f(x)=ox+b>2 Unbekante 2 zweiten Grades f(x) = ax²+bx+c -> 3 Unbekante 3 dritten Grodes fax)=0x³ + bx² + cx +d4 Unbeharte 5 Punktsymmetrische forhti GTR: jehöher der Grad, desto mehr unbehaante gibt es 1 Gleichungen 2 Lin Gleichungssyst 3 Anzahl der Unbekannten 4 Zahlen in Tabelle eintragen. 4 Achsensymmetrische faktion →nur goode Exponente alle ungerade Exponenten können. Weg genomma worden. → f(x)=G x² +bx+c 0x² + b → nur ungerade Exponante. alle ungerade Exponenten könne. weggenommen werden → fcx)= ox²+bx+cox Gleichungen aufstellen: 1 Plo/s) -> X-Achsen abschnitt = s 2 P (17/3) -f(13)=3 3 Extremstelle be: x=2 f'(2)=0 4 berührt den Ucspring -> HP oder TP bei (0/0) -> f'(o)=0 / X-Achsen abschnitt=0 s geht durch den Ursprong eco10) Seile S fcol=0/x-Achscrobschnitt = 0 6 Tangente in PC-3/0) parallel zu g= 6x -> x=-3 hat die Steigen von 6 -f(-3) = 6 7 Wendepenkt bei P(2/3) ->f" (2)=0 GTR: 1 Statistik 3 Colc (12₂)→ REG (F3) -> X, X², x3, etc. 2 Penkle eintragen 4 Copy Fenktion wird angazeist Liste Listez S Graph öffnen: Forbtion graphisch anzeigen X-Werte y-Werte Funktionenscharen: →> Funktionsterm mit einer westeren Voriabel -> Porometer >>> Abgeleitet wird weiterhin noch x, da die Variabel ols konstant angenommen wird VaCx)=4x3_чах? тачк Forbtions- Vocable Posome ter → man kann für a jede Zahl ein Sateen 2.B V₁0(x) = 4x³ - 4. (10) x² + (10)². x Nellstellen berechnen Callgemein): V₁(x)=0 4x³-40x² +o²x=01 Ausklammern x(4x²-40x + a²) = 0 x₁ = 0 V 4x² - 40x+o² = 01:4 Aussagen über funktionen schoren prüfen: x² - 6x0² 1 q-Formel = = = √( + ) ¹² - 40²² 2 facx)=x²-2ax-80-16 • Aussage: alle Funktionen gehen durch s(410) s in fack) einsetzen 4²-20.4480-16=0 1 16-80 80-16=0 O=O Extremstellen berechnen (allgememein): facx)=x²-20x180-16 Ableiteng: f'cnd f" bilden facx)=2x-20 f"o(x)=2 2 Nullstellen von f' berechnen notu.Bed: f(x)=0 1 Klausur 2x-2α=01+420 2x = 20 1:2 x = a <- mögliche Extremstelle →XS₁ (2010) NS₂ (0/0) 3 überprüfen ob es eine Extremstelle ist hins Bed: fax)=01f" () = 20 faca) = 2 20 => TP 4 Y-West berechnen fa (u) = 0²-200+80-16 = - a² +80-16 Teca/-a²+80-16) 0=0 →> Aussage stimmt für alle a → richtige Aussage Seite 6 0=1(070)-> Aussage stimmt für ken a → falsche Aussage a=2B17-> Aussage stimmt ner für 0= 17 → teilweise richtige Aussage fallunterscheidung:- 2.3. kommt bei der Überprüfung der Extremstell facx) = 2a rocs mess man eine Follanterschoiday mach, d 020 - He o> OTP man kann für a alle werte einsetzen und behemmt donn die Extremstelle Extremwert probleme: 1 gecken was gosecht ist 2.B. ges: Rechtech mit mox flächeninhalt Zielgröße aufstellen Zielgröße: A = ab (= x. fcx)) 3 Nebenbeding oufalellen 1 Klausur Nebenbedingung: Scx) = -√x +5 4 Zielfunktion aufstellen -> Nebenbedinging in Zielgröße einsetzen Acx) = x₁(-√x+5) s Moximiren bzw. Minimiren Acx) = -√√x² + 5x сте => HP (1,5/3,75) x → A (x) Boeile des Flächeninhalt rechtecks in LE in FE Breile flächeninhalt 6 Definitionsberech D Ocfstellen DA [013] 7 Ronduntersuchung durchführen -> Ränder dos Definitions beseichs bei A(x) einselco A(0)= 0 23,75 A (3)=023,75 8 Höchen bestimmung -> Extrempaht in zielgröße einsateen A = o.b 3,75= 1,5.b => b=2,5 3 Antwort schreiben Antwort: Der maximale flächeninhalt beträgt 3,25 FE; die Seitenlängen betrogen 1,5 LE and 2,5LE. Seite 7