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18.10.2021

Mathe

Berührproblem

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Scheitelpunktform

Wie du den Berührpunkt von Funktionen und Tangenten einfach berechnest

Understanding Berührpunkt (Point of Tangency) and Tangente (Tangent) calculations in mathematical functions.

  • The concept focuses on finding points where two functions touch at exactly one point
  • Key conditions include equal function values and equal derivatives at the point of contact
  • The Berührpunkt rechner (point of tangency calculator) requires solving two main equations
  • Understanding Lineare Funktion (linear function) properties is crucial for tangent calculations
  • Applications include finding waagerechte Tangente (horizontal tangent) and calculating Tangentengleichung (tangent equations)
...

18.10.2021

966

BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

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Ansatz zur Lösung von Berührproblemen

Um Berührprobleme zu lösen, folgt man einem systematischen Ansatz:

  1. Nachweis gleicher Funktionswerte:

    • Setze die Funktionen gleich: f(x) = g(x)
    • Löse die Gleichung nach x auf

  2. Nachweis gleicher Steigung:

    • Setze die Ableitungen gleich: f'(x) = g'(x)

  3. Berechnung der Berührtangente:

    • Nutze die Form t(x) = mx + n
    • Setze t(x) = g(x) und löse nach m und n auf
    • Überprüfe mit t'(x) = g'(x)

Beispiel: Bei der Berechnung der Berührtangente werden die Funktionen t(x) und g(x) gleichgesetzt, um die Variablen m und n zu bestimmen.

Dieser Ansatz ermöglicht es, Berührpunkt zweier Funktionen berechnen Aufgaben effizient zu lösen und die Tangentengleichung zu ermitteln.

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Praktische Anwendung: Übungsaufgaben

Übung 5: Berührpunkt auf der y-Achse

Gegeben sind die Funktionen f(x) = x² + 1 und g(x) = 1 - x³. Es soll gezeigt werden, dass sich diese Funktionen auf der y-Achse berühren.

Lösungsweg:

  1. Gleichsetzen der Funktionen: x² + 1 = 1 - x³
  2. Auflösen nach x: x³ + x² = 0
  3. Faktorisieren: x²(x + 1) = 0
  4. Lösung: x = 0 (da x = -1 nicht auf der y-Achse liegt)
  5. Berechnung des y-Werts: y = 0² + 1 = 1

Ergebnis: Der Berührpunkt liegt bei B(0|1)

Diese Aufgabe demonstriert, wie man den Berührpunkt mit x-achse berechnen kann und ist ein gutes Beispiel für die praktische Anwendung der Berührpunkt Analysis.

BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

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Komplexere Berührprobleme

Übung 6: Berührung mit der Winkelhalbierenden

Gegeben ist die Funktion f(x) = a + x² und die Winkelhalbierende g(x) = x. Es soll der Wert von a bestimmt werden, damit die Graphen sich berühren.

Lösungsschritte:

  1. Ableiten der Funktionen: f'(x) = 2x, g'(x) = 1
  2. Gleichsetzen der Ableitungen: 2x = 1
  3. Lösen nach x: x = 1/2
  4. Einsetzen in die Berührbedingung: a + (1/2)² = 1/2
  5. Lösen nach a: a = 1/4

Ergebnis: Die Funktion f(x) = 1/4 + x² berührt die Winkelhalbierende.

Berechnung der Berührtangente:

  • Berührpunkt: B(0,5|0,5)
  • Tangentengleichung: t(x) = x

Diese Aufgabe zeigt, wie man eine waagerechte Tangente berechnen und die allgemeine Tangentengleichung bestimmen kann.

BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

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Fortgeschrittene Berührprobleme

Übung 7: Berührung zweier komplexer Funktionen

Gegeben sind die Funktionen f(x) = ax² + b und g(x) = 1/x. Es sollen a und b so bestimmt werden, dass die Graphen sich bei x = 1 berühren.

Lösungsweg:

  1. Bestimmung des Berührpunkts: B(1|1)
  2. Ableiten der Funktionen: f'(x) = 2ax, g'(x) = -1/x²
  3. Gleichsetzen der Ableitungen bei x = 1: 2a = -1
  4. Lösen nach a: a = -1/2
  5. Einsetzen in die Berührbedingung: -1/2 + b = 1
  6. Lösen nach b: b = 3/2

Ergebnis: f(x) = -1/2x² + 3/2 berührt g(x) = 1/x bei x = 1

Berechnung der Berührtangente:

  • Steigung: m = -1
  • Tangentengleichung: t(x) = -x + 2

Diese Aufgabe demonstriert, wie man die Tangente Steigung berechnen und eine Tangente Funktion bestimmen kann.

BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

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Zusammenfassung und Merksatz

Das Berührproblem ist ein zentrales Konzept in der Analysis und findet Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.

Merksatz: Wenn sich die Funktionen f und g am Punkt xB berühren, müssen zwei Berührbedingungen erfüllt sein: f(xB) = g(xB) und f'(xB) = g'(xB). Die Berührtangente t(x) = mx + n verläuft durch diesen Punkt.

Wichtige Aspekte:

  • Die Berechnung des Berührpunkts erfordert das Gleichsetzen von Funktionswerten und Ableitungen.
  • Die Berührtangente kann durch Gleichsetzen von f(x) mit t(x) und f'(x) mit t'(x) bestimmt werden.
  • Berührpunkt rechner und Ableitung gebrochen Rationale Funktion Rechner können bei komplexen Berechnungen hilfreich sein.

Das Verständnis des Berührproblems ist fundamental für weiterführende Konzepte in der Analysis und Berührpunkt Topologie.

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Tangent Line Equation

This section focuses on deriving the tangent line equation.

Example: Calculating the tangent line equation:

  1. Find point of contact B(0.5|0.5)
  2. Determine slope m = 1
  3. Solve for y-intercept n = 0
BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

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Practice Exercise 7

The page demonstrates finding multiple parameters for tangency conditions.

Example: Finding parameters a and b for f(x) = ax² + b:

  1. Use point (1|1)
  2. Find a = -1/2
  3. Calculate b = 3/2
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Tangent Line Calculation

This section shows the process of finding the tangent line equation.

Example: Determining tangent equation:

  1. Calculate slope m = -1
  2. Find y-intercept n = 2
  3. Final equation: t(x) = -x + 2
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Key Concepts Summary

The page summarizes all essential concepts about points of tangency.

Definition: A point of tangency occurs when functions f and g meet at point xB, satisfying both contact conditions: f(xB) = g(xB) and f'(xB) = g'(xB).

Highlight: The tangent line t(x) = mx + n passes through this point, with parameters determined by equating functions and their derivatives.

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Understanding Berührpunkt (Point of Tangency) and Tangente (Tangent) calculations in mathematical functions.

  • The concept focuses on finding points where two functions touch at exactly one point
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Ansatz zur Lösung von Berührproblemen

Um Berührprobleme zu lösen, folgt man einem systematischen Ansatz:

  1. Nachweis gleicher Funktionswerte:

    • Setze die Funktionen gleich: f(x) = g(x)
    • Löse die Gleichung nach x auf

  2. Nachweis gleicher Steigung:

    • Setze die Ableitungen gleich: f'(x) = g'(x)

  3. Berechnung der Berührtangente:

    • Nutze die Form t(x) = mx + n
    • Setze t(x) = g(x) und löse nach m und n auf
    • Überprüfe mit t'(x) = g'(x)

Beispiel: Bei der Berechnung der Berührtangente werden die Funktionen t(x) und g(x) gleichgesetzt, um die Variablen m und n zu bestimmen.

Dieser Ansatz ermöglicht es, Berührpunkt zweier Funktionen berechnen Aufgaben effizient zu lösen und die Tangentengleichung zu ermitteln.

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Praktische Anwendung: Übungsaufgaben

Übung 5: Berührpunkt auf der y-Achse

Gegeben sind die Funktionen f(x) = x² + 1 und g(x) = 1 - x³. Es soll gezeigt werden, dass sich diese Funktionen auf der y-Achse berühren.

Lösungsweg:

  1. Gleichsetzen der Funktionen: x² + 1 = 1 - x³
  2. Auflösen nach x: x³ + x² = 0
  3. Faktorisieren: x²(x + 1) = 0
  4. Lösung: x = 0 (da x = -1 nicht auf der y-Achse liegt)
  5. Berechnung des y-Werts: y = 0² + 1 = 1

Ergebnis: Der Berührpunkt liegt bei B(0|1)

Diese Aufgabe demonstriert, wie man den Berührpunkt mit x-achse berechnen kann und ist ein gutes Beispiel für die praktische Anwendung der Berührpunkt Analysis.

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Komplexere Berührprobleme

Übung 6: Berührung mit der Winkelhalbierenden

Gegeben ist die Funktion f(x) = a + x² und die Winkelhalbierende g(x) = x. Es soll der Wert von a bestimmt werden, damit die Graphen sich berühren.

Lösungsschritte:

  1. Ableiten der Funktionen: f'(x) = 2x, g'(x) = 1
  2. Gleichsetzen der Ableitungen: 2x = 1
  3. Lösen nach x: x = 1/2
  4. Einsetzen in die Berührbedingung: a + (1/2)² = 1/2
  5. Lösen nach a: a = 1/4

Ergebnis: Die Funktion f(x) = 1/4 + x² berührt die Winkelhalbierende.

Berechnung der Berührtangente:

  • Berührpunkt: B(0,5|0,5)
  • Tangentengleichung: t(x) = x

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Übung 7: Berührung zweier komplexer Funktionen

Gegeben sind die Funktionen f(x) = ax² + b und g(x) = 1/x. Es sollen a und b so bestimmt werden, dass die Graphen sich bei x = 1 berühren.

Lösungsweg:

  1. Bestimmung des Berührpunkts: B(1|1)
  2. Ableiten der Funktionen: f'(x) = 2ax, g'(x) = -1/x²
  3. Gleichsetzen der Ableitungen bei x = 1: 2a = -1
  4. Lösen nach a: a = -1/2
  5. Einsetzen in die Berührbedingung: -1/2 + b = 1
  6. Lösen nach b: b = 3/2

Ergebnis: f(x) = -1/2x² + 3/2 berührt g(x) = 1/x bei x = 1

Berechnung der Berührtangente:

  • Steigung: m = -1
  • Tangentengleichung: t(x) = -x + 2

Diese Aufgabe demonstriert, wie man die Tangente Steigung berechnen und eine Tangente Funktion bestimmen kann.

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Zusammenfassung und Merksatz

Das Berührproblem ist ein zentrales Konzept in der Analysis und findet Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.

Merksatz: Wenn sich die Funktionen f und g am Punkt xB berühren, müssen zwei Berührbedingungen erfüllt sein: f(xB) = g(xB) und f'(xB) = g'(xB). Die Berührtangente t(x) = mx + n verläuft durch diesen Punkt.

Wichtige Aspekte:

  • Die Berechnung des Berührpunkts erfordert das Gleichsetzen von Funktionswerten und Ableitungen.
  • Die Berührtangente kann durch Gleichsetzen von f(x) mit t(x) und f'(x) mit t'(x) bestimmt werden.
  • Berührpunkt rechner und Ableitung gebrochen Rationale Funktion Rechner können bei komplexen Berechnungen hilfreich sein.

Das Verständnis des Berührproblems ist fundamental für weiterführende Konzepte in der Analysis und Berührpunkt Topologie.

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This section focuses on deriving the tangent line equation.

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  2. Determine slope m = 1
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Practice Exercise 7

The page demonstrates finding multiple parameters for tangency conditions.

Example: Finding parameters a and b for f(x) = ax² + b:

  1. Use point (1|1)
  2. Find a = -1/2
  3. Calculate b = 3/2
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Tangent Line Calculation

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Example: Determining tangent equation:

  1. Calculate slope m = -1
  2. Find y-intercept n = 2
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Key Concepts Summary

The page summarizes all essential concepts about points of tangency.

Definition: A point of tangency occurs when functions f and g meet at point xB, satisfying both contact conditions: f(xB) = g(xB) and f'(xB) = g'(xB).

Highlight: The tangent line t(x) = mx + n passes through this point, with parameters determined by equating functions and their derivatives.

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Conclusion

The final page concludes the presentation with acknowledgments.

Highlight: The material covers comprehensive understanding of tangency points and their calculations.

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