Komplexere Berührprobleme

Übung 6: Berührung mit der Winkelhalbierenden

Gegeben ist die Funktion f(x) = a + x² und die Winkelhalbierende g(x) = x. Es soll der Wert von a bestimmt werden, damit die Graphen sich berühren.

Lösungsschritte:

1. Ableiten der Funktionen: f'(x) = 2x, g'(x) = 1
2. Gleichsetzen der Ableitungen: 2x = 1
3. Lösen nach x: x = 1/2
4. Einsetzen in die Berührbedingung: a + (1/2)² = 1/2
5. Lösen nach a: a = 1/4

Ergebnis: Die Funktion f(x) = 1/4 + x² berührt die Winkelhalbierende.

Berechnung der Berührtangente:

• Berührpunkt: B(0,5|0,5)
• Tangentengleichung: t(x) = x

Diese Aufgabe zeigt, wie man eine waagerechte Tangente berechnen und die allgemeine Tangentengleichung bestimmen kann.

Fortgeschrittene Berührprobleme

Übung 7: Berührung zweier komplexer Funktionen

Gegeben sind die Funktionen f(x) = ax² + b und g(x) = 1/x. Es sollen a und b so bestimmt werden, dass die Graphen sich bei x = 1 berühren.

Lösungsweg:

1. Bestimmung des Berührpunkts: B(1|1)
2. Ableiten der Funktionen: f'(x) = 2ax, g'(x) = -1/x²
3. Gleichsetzen der Ableitungen bei x = 1: 2a = -1
4. Lösen nach a: a = -1/2
5. Einsetzen in die Berührbedingung: -1/2 + b = 1
6. Lösen nach b: b = 3/2

Ergebnis: f(x) = -1/2x² + 3/2 berührt g(x) = 1/x bei x = 1

Berechnung der Berührtangente:

• Steigung: m = -1
• Tangentengleichung: t(x) = -x + 2

Diese Aufgabe demonstriert, wie man die Tangente Steigung berechnen und eine Tangente Funktion bestimmen kann.

Zusammenfassung und Merksatz

Das Berührproblem ist ein zentrales Konzept in der Analysis und findet Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.

Merksatz: Wenn sich die Funktionen f und g am Punkt xB berühren, müssen zwei Berührbedingungen erfüllt sein: f(xB) = g(xB) und f'(xB) = g'(xB). Die Berührtangente t(x) = mx + n verläuft durch diesen Punkt.

Wichtige Aspekte:

• Die Berechnung des Berührpunkts erfordert das Gleichsetzen von Funktionswerten und Ableitungen.
• Die Berührtangente kann durch Gleichsetzen von f(x) mit t(x) und f'(x) mit t'(x) bestimmt werden.
• Berührpunkt rechner und Ableitung gebrochen Rationale Funktion Rechner können bei komplexen Berechnungen hilfreich sein.

Das Verständnis des Berührproblems ist fundamental für weiterführende Konzepte in der Analysis und Berührpunkt Topologie.