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Berührproblem
18.10.2021
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BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt ➤Berührbedingung: f(xB) = g(xB) f'(XB) = g'(XB) •Durch den Berührpunkt ver läuft ein Tangente • Diese Tangente nennt man Berührtangente O X • Nachweis gleicher Funktionswerte: ° f(x) = g(x) ↔ x = ? O • Nachweis gleicher Steigung: O ° f'(x) = g'(x) • Berührtangente: O • t(x) = mx + n O t(x) = g(x) → m+n=? • t'(x) = g'(x) → m = ? Ansatz O 04.03.2021 O Erklärung Um die gleichen Funktionswerte nachzuweisen, muss man die Funktionen gleichsetzen und nach x auflösen • Die Steigung der Funktionen ist an der x-Stelle gleich O O of und f werden gleichgesetzt und nach den Variablen m und n aufgelöst 04.03.2021 O Übung 5 Zeigen Sie, dass sich f(x) = x² + 1 und g(x) = 1 − x³ auf der y- Achse berühren ° x² + 1 = 1−x³ |−1 |+x³ //erste Berührbedingung °x5=01³√√ O ° x = 0 ° y = 0² + 1 = 1 O Sie berühren sich an dem Punkt B(0|1) Übung 6 • Wie muss a gewählt werden, damit der Graph von f(x) = a + x² die Winkelhalbierende g(x) = x berührt? • f(x) = a + x² ⇒ f'(x) = 2x O ° g(x) = x ⇒ g'(x) = 1 1 • 2x = 1 ⇒ x = //zweite Berührbedingung 2 。a + -²=-² //erste Berührbedingung • a = ²...
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Alternativer Bildtext:
→ f(x) = 1 + x² 4 4 04.03.2021 • Wie lautet die Gleichung der Berührtangente? O °¹1 + x² = x |-x //erste Berührbedingung 4 ° 0 = x² -x+|pq-Formel O ° x₁/2 = X1/2 ± √ √²-1/2 = 2_¹ = 0,5 ⇒ y = ¹ + 0,5² = 0,5 →B(0,510,5) O 1 ° m * 0.5 + n = = + 0,5² ↔m+n=1 4 om = 2 * 0,5 m = 1 ➜t(x) = X m = 1 n = 0 04.03.2021 Übung 7 • Wie müssen a und b gewählt werden, damit der Graph von f(x) = ax²b den Graphen von g(x) = bei x = 1 berührt? X 1 ° x = 1 ⇒ y = ² = 1 → B(1|1) 1 ° g'(x) = − ½1⁄2 → g′(1) = −1 = f'(1) //zweites Berührproblem x² 1 ° f'(x) = 2ax ⇒ −1 = 2a + 1 ⇒ a = −²/2 O 1 1 • f(x) = − } x² + b ⇒ 1 = − } • 1+b ⇒b= } O 2 2 3 • ➜f(x) = = -1/2 x ² + 1/²/2 O 04.03.2021 • Wie lautet die Gleichung der Berührtangente? m = -1 1 3 °m * 1+n= = − ² + 1² + ²³² m + n = 1 2 2 °m = 2* (¹) * 1² m = −1 (-1/2) ➜t(x) = -x+ 2 O n = 2 04.03.2021 Merksatz • Wenn sich die Funktion f und die Funktion g an dem Punkt XB berühren, spricht man vom Berührpunkt. Dafür Хв müssen zwei Berührbedingungen zutreffen: f(x) = g(xB) und f'(x) = g'(XB). Durch diesen Punkt xÅ verläuft die Berührtangentet: t(x) = mx + n. Dazu setzt man einmal f(x) und f(x) und einmal f'(x) und f'(x) gleich, um m und n zu erhalten. 04.03.2021 04.03.2021 VIELEN DANK FÜR IHRE AUFMERKSAMKEIT