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Mathe /
Berührproblem
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Mynona
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BERÜHRPROBLEM O Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Thema O Diese Stelle nennt man Berührpunkt ➤Berührbedingung: f(x) = g(xB) f'(XB) = g'(XB) Durch den Berührpunkt ver läuft ein Tangente O • Diese Tangente nennt man Berührtangente 4 • Nachweis gleicher Funktionswerte: O • f(x) = g(x) ⇒ x =? Nachweis gleicher Steigung: ° f'(x) = g'(x) O Berührtangente: O • t(x) = mx + n O O Ansatz • t(x) = g(x) ➜m+n=? O • t´(x) = g'(x) →⇒ m =? 04.03.2021 O Erklärung Um die gleichen Funktionswerte nachzuweisen, muss man die Funktionen gleichsetzen und nach x auflösen O • Die Steigung der Funktionen ist an der x-Stelle gleich O of und f werden gleichgesetzt und nach den Variablen m und n aufgelöst 04.03.2021 Übung 5 O • Zeigen Sie, dass sich ƒ(x) = x² + 1 und g(x) = 1 – x³ auf der y- Achse berühren ° x² + 1 = 1−x³ |−1 | + x³ //erste Berührbedingung 5 °x²=01³√√ | ° x = 0 ° y = 0² + 1 = 1 O • Sie berühren sich an dem Punkt B(0|1) Übung 6 • Wie muss a gewählt werden, damit der Graph von f(x) = a + x² O die Winkelhalbierende g(x) = x berührt? • ƒ(x) = a + x² ⇒ ƒ'(x) = 2x O ° g(x) = x ⇒ g'(x) = 1 1 ° 2x = 1 ⇒ x = ²/ / /zweite Berührbedingung 2 2 ° a + ( ²...
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) ² = ²/1 −²)² //erste Berührbedingung 2 ° a = ² → ƒ(x) = ²/1 + x ² 4 4 04.03.2021 O • Wie lautet die Gleichung der Berührtangente? 1 ° ²/² + ° 0 = x² ° + x² x² X1/2 O = = x = x |−x //erste Berührbedingung - x + 1pq-Formel − x + 4 2 ± √(-²² 2 1 4 = °m = 2 * 0,5 m = 1 ➜t(x) = X 0,5 ⇒ y = = 1 ° m * 0.5 + n = ¹ + 0,5² ↔ m + n = 1 + 0,5² = 0,5 →B(0,5|0,5) 4 m = 1 n = 0 04.03.2021 • Wie müssen a und b gewählt werden, damit der Graph von O Übung 7 f(x) = ax²b den Graphen von g(x) = bei x = = - X ° g'(x) = O ° x = 1 ⇒ y = = = 1 → B(1|1) 1 ➜ g´(1) = −1 = f'(1) //zweites Berührproblem x² • ƒ'(x) = 2ax ⇒ −1 = 2a * 1 ↔ a = - O 2 1 2 1 3 · − ²x² + b → 1 = − ²½ « 1 +b ⇒b= = ²/² 2 2 2 of(x) 1 3 • →f(x) = − ² + x² + ²/ O 2 2 1 berührt? N/W 04.03.2021 O Wie lautet die Gleichung der Berührtangente? °m * 1+n= — −²+1²+ ³ < * 2 O m+n=1 ° m = 2 * ( − ²¹ ) * 1² ⇒m = −1 ➜t(x) = −x + 2 m = n = 2 -1 04.03.2021 Merksatz Wenn sich die Funktion f und die Funktion g an dem Punkt x berühren, spricht man vom Berührpunkt. Dafür müssen zwei Berührbedingungen zutreffen: f(x) = g(x₂) und f'(x³) = gʻ(xß). Durch diesen Punkt xÅ verläuft die Berührtangente t : f(x) = mx + n. Dazu setzt man einmal f(x) und f(x) und einmal f'(x) und f'(x) gleich, um m und n zu erhalten. 04.03.2021 04.03.2021 VIELEN DANK FÜR IHRE AUFMERKSAMKEIT (8)
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) ² = ²/1 −²)² //erste Berührbedingung 2 ° a = ² → ƒ(x) = ²/1 + x ² 4 4 04.03.2021 O • Wie lautet die Gleichung der Berührtangente? 1 ° ²/² + ° 0 = x² ° + x² x² X1/2 O = = x = x |−x //erste Berührbedingung - x + 1pq-Formel − x + 4 2 ± √(-²² 2 1 4 = °m = 2 * 0,5 m = 1 ➜t(x) = X 0,5 ⇒ y = = 1 ° m * 0.5 + n = ¹ + 0,5² ↔ m + n = 1 + 0,5² = 0,5 →B(0,5|0,5) 4 m = 1 n = 0 04.03.2021 • Wie müssen a und b gewählt werden, damit der Graph von O Übung 7 f(x) = ax²b den Graphen von g(x) = bei x = = - X ° g'(x) = O ° x = 1 ⇒ y = = = 1 → B(1|1) 1 ➜ g´(1) = −1 = f'(1) //zweites Berührproblem x² • ƒ'(x) = 2ax ⇒ −1 = 2a * 1 ↔ a = - O 2 1 2 1 3 · − ²x² + b → 1 = − ²½ « 1 +b ⇒b= = ²/² 2 2 2 of(x) 1 3 • →f(x) = − ² + x² + ²/ O 2 2 1 berührt? N/W 04.03.2021 O Wie lautet die Gleichung der Berührtangente? °m * 1+n= — −²+1²+ ³ < * 2 O m+n=1 ° m = 2 * ( − ²¹ ) * 1² ⇒m = −1 ➜t(x) = −x + 2 m = n = 2 -1 04.03.2021 Merksatz Wenn sich die Funktion f und die Funktion g an dem Punkt x berühren, spricht man vom Berührpunkt. Dafür müssen zwei Berührbedingungen zutreffen: f(x) = g(x₂) und f'(x³) = gʻ(xß). Durch diesen Punkt xÅ verläuft die Berührtangente t : f(x) = mx + n. Dazu setzt man einmal f(x) und f(x) und einmal f'(x) und f'(x) gleich, um m und n zu erhalten. 04.03.2021 04.03.2021 VIELEN DANK FÜR IHRE AUFMERKSAMKEIT (8)