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Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

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Wie du den Berührpunkt von Funktionen und Tangenten einfach berechnest

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

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Wie du den Berührpunkt von Funktionen und Tangenten einfach berechnest

Smilla

@smillaolek

88 Follower

Das Berührproblem beschäftigt sich mit dem Punkt, an dem sich zwei Funktionen berühren. An diesem Berührpunkt haben die Funktionen denselben Funktionswert und dieselbe Steigung. Durch den Berührpunkt verläuft eine Tangente, die als Berührtangente bezeichnet wird. Um den Berührpunkt zu berechnen, müssen die Berührbedingungen erfüllt sein: gleiche Funktionswerte und gleiche Ableitungen an der Berührstelle. Die Berechnung der Berührtangente erfolgt durch Gleichsetzen der Funktionen und ihrer Ableitungen.

18.10.2021

814

BERÜHRPROBLEM Thema
• Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g
berühren sich an XB)
O
Diese Stelle nennt man Berührpunkt

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Zusammenfassung und Merksatz

Das Berührproblem ist ein zentrales Konzept in der Analysis und findet Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.

Merksatz: Wenn sich die Funktionen f und g am Punkt xB berühren, müssen zwei Berührbedingungen erfüllt sein: f(xB) = g(xB) und f'(xB) = g'(xB). Die Berührtangente t(x) = mx + n verläuft durch diesen Punkt.

Wichtige Aspekte:

Die Berechnung des Berührpunkts erfordert das Gleichsetzen von Funktionswerten und Ableitungen.
Die Berührtangente kann durch Gleichsetzen von f(x) mit t(x) und f'(x) mit t'(x) bestimmt werden.
Berührpunkt rechner und Ableitung gebrochen Rationale Funktion Rechner können bei komplexen Berechnungen hilfreich sein.

Das Verständnis des Berührproblems ist fundamental für weiterführende Konzepte in der Analysis und Berührpunkt Topologie.

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Komplexere Berührprobleme

Übung 6: Berührung mit der Winkelhalbierenden

Gegeben ist die Funktion f(x) = a + x² und die Winkelhalbierende g(x) = x. Es soll der Wert von a bestimmt werden, damit die Graphen sich berühren.

Lösungsschritte:

Ableiten der Funktionen: f'(x) = 2x, g'(x) = 1
Gleichsetzen der Ableitungen: 2x = 1
Lösen nach x: x = 1/2
Einsetzen in die Berührbedingung: a + (1/2)² = 1/2
Lösen nach a: a = 1/4

Ergebnis: Die Funktion f(x) = 1/4 + x² berührt die Winkelhalbierende.

Berechnung der Berührtangente:

Berührpunkt: B(0,5|0,5)
Tangentengleichung: t(x) = x

Diese Aufgabe zeigt, wie man eine waagerechte Tangente berechnen und die allgemeine Tangentengleichung bestimmen kann.

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Ansatz zur Lösung von Berührproblemen

Um Berührprobleme zu lösen, folgt man einem systematischen Ansatz:

Nachweis gleicher Funktionswerte:
- Setze die Funktionen gleich: f(x) = g(x)
- Löse die Gleichung nach x auf
Nachweis gleicher Steigung:
- Setze die Ableitungen gleich: f'(x) = g'(x)
Berechnung der Berührtangente:
- Nutze die Form t(x) = mx + n
- Setze t(x) = g(x) und löse nach m und n auf
- Überprüfe mit t'(x) = g'(x)

Beispiel: Bei der Berechnung der Berührtangente werden die Funktionen t(x) und g(x) gleichgesetzt, um die Variablen m und n zu bestimmen.

Dieser Ansatz ermöglicht es, Berührpunkt zweier Funktionen berechnen Aufgaben effizient zu lösen und die Tangentengleichung zu ermitteln.

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Fortgeschrittene Berührprobleme

Übung 7: Berührung zweier komplexer Funktionen

Gegeben sind die Funktionen f(x) = ax² + b und g(x) = 1/x. Es sollen a und b so bestimmt werden, dass die Graphen sich bei x = 1 berühren.

Lösungsweg:

Bestimmung des Berührpunkts: B(1|1)
Ableiten der Funktionen: f'(x) = 2ax, g'(x) = -1/x²
Gleichsetzen der Ableitungen bei x = 1: 2a = -1
Lösen nach a: a = -1/2
Einsetzen in die Berührbedingung: -1/2 + b = 1
Lösen nach b: b = 3/2

Ergebnis: f(x) = -1/2x² + 3/2 berührt g(x) = 1/x bei x = 1

Berechnung der Berührtangente:

Steigung: m = -1
Tangentengleichung: t(x) = -x + 2

Diese Aufgabe demonstriert, wie man die Tangente Steigung berechnen und eine Tangente Funktion bestimmen kann.

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Berührproblem: Grundlagen und Konzepte

Das Berührproblem befasst sich mit dem Phänomen, bei dem sich zwei Funktionen an einer bestimmten Stelle berühren. Dieser Punkt wird als Berührpunkt bezeichnet und ist von großer Bedeutung in der Analysis.

Definition: Der Berührpunkt ist die Stelle, an der sich zwei Funktionen berühren, ohne sich zu schneiden.

An diesem Punkt gelten zwei wichtige Bedingungen:

Die Funktionswerte sind gleich: f(xB) = g(xB)
Die Steigungen (Ableitungen) sind gleich: f'(xB) = g'(xB)

Diese Bedingungen werden als Berührbedingungen bezeichnet und sind entscheidend für die Berechnung des Berührpunkts.

Highlight: Durch den Berührpunkt verläuft eine spezielle Gerade, die als Berührtangente bezeichnet wird.

Die Berührtangente hat die allgemeine Form t(x) = mx + n, wobei m die Steigung und n den y-Achsenabschnitt darstellt.

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Praktische Anwendung: Übungsaufgaben

Übung 5: Berührpunkt auf der y-Achse

Gegeben sind die Funktionen f(x) = x² + 1 und g(x) = 1 - x³. Es soll gezeigt werden, dass sich diese Funktionen auf der y-Achse berühren.

Lösungsweg:

Gleichsetzen der Funktionen: x² + 1 = 1 - x³
Auflösen nach x: x³ + x² = 0
Faktorisieren: x²(x + 1) = 0
Lösung: x = 0 (da x = -1 nicht auf der y-Achse liegt)
Berechnung des y-Werts: y = 0² + 1 = 1

Ergebnis: Der Berührpunkt liegt bei B(0|1)

Diese Aufgabe demonstriert, wie man den Berührpunkt mit x-achse berechnen kann und ist ein gutes Beispiel für die praktische Anwendung der Berührpunkt Analysis.

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Wichtige Aspekte:

Die Berechnung des Berührpunkts erfordert das Gleichsetzen von Funktionswerten und Ableitungen.
Die Berührtangente kann durch Gleichsetzen von f(x) mit t(x) und f'(x) mit t'(x) bestimmt werden.
Berührpunkt rechner und Ableitung gebrochen Rationale Funktion Rechner können bei komplexen Berechnungen hilfreich sein.

Das Verständnis des Berührproblems ist fundamental für weiterführende Konzepte in der Analysis und Berührpunkt Topologie.

Komplexere Berührprobleme

Übung 6: Berührung mit der Winkelhalbierenden

Gegeben ist die Funktion f(x) = a + x² und die Winkelhalbierende g(x) = x. Es soll der Wert von a bestimmt werden, damit die Graphen sich berühren.

Lösungsschritte:

Ableiten der Funktionen: f'(x) = 2x, g'(x) = 1
Gleichsetzen der Ableitungen: 2x = 1
Lösen nach x: x = 1/2
Einsetzen in die Berührbedingung: a + (1/2)² = 1/2
Lösen nach a: a = 1/4

Ergebnis: Die Funktion f(x) = 1/4 + x² berührt die Winkelhalbierende.

Berechnung der Berührtangente:

Berührpunkt: B(0,5|0,5)
Tangentengleichung: t(x) = x

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Ansatz zur Lösung von Berührproblemen

Um Berührprobleme zu lösen, folgt man einem systematischen Ansatz:

Nachweis gleicher Funktionswerte:
- Setze die Funktionen gleich: f(x) = g(x)
- Löse die Gleichung nach x auf
Nachweis gleicher Steigung:
- Setze die Ableitungen gleich: f'(x) = g'(x)
Berechnung der Berührtangente:
- Nutze die Form t(x) = mx + n
- Setze t(x) = g(x) und löse nach m und n auf
- Überprüfe mit t'(x) = g'(x)

Beispiel: Bei der Berechnung der Berührtangente werden die Funktionen t(x) und g(x) gleichgesetzt, um die Variablen m und n zu bestimmen.

Dieser Ansatz ermöglicht es, Berührpunkt zweier Funktionen berechnen Aufgaben effizient zu lösen und die Tangentengleichung zu ermitteln.

Fortgeschrittene Berührprobleme

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Gegeben sind die Funktionen f(x) = ax² + b und g(x) = 1/x. Es sollen a und b so bestimmt werden, dass die Graphen sich bei x = 1 berühren.

Lösungsweg:

Bestimmung des Berührpunkts: B(1|1)
Ableiten der Funktionen: f'(x) = 2ax, g'(x) = -1/x²
Gleichsetzen der Ableitungen bei x = 1: 2a = -1
Lösen nach a: a = -1/2
Einsetzen in die Berührbedingung: -1/2 + b = 1
Lösen nach b: b = 3/2

Ergebnis: f(x) = -1/2x² + 3/2 berührt g(x) = 1/x bei x = 1

Berechnung der Berührtangente:

Steigung: m = -1
Tangentengleichung: t(x) = -x + 2

Diese Aufgabe demonstriert, wie man die Tangente Steigung berechnen und eine Tangente Funktion bestimmen kann.

Berührproblem: Grundlagen und Konzepte

Definition: Der Berührpunkt ist die Stelle, an der sich zwei Funktionen berühren, ohne sich zu schneiden.

An diesem Punkt gelten zwei wichtige Bedingungen:

Die Funktionswerte sind gleich: f(xB) = g(xB)
Die Steigungen (Ableitungen) sind gleich: f'(xB) = g'(xB)

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Highlight: Durch den Berührpunkt verläuft eine spezielle Gerade, die als Berührtangente bezeichnet wird.

Die Berührtangente hat die allgemeine Form t(x) = mx + n, wobei m die Steigung und n den y-Achsenabschnitt darstellt.

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Übung 5: Berührpunkt auf der y-Achse

Gegeben sind die Funktionen f(x) = x² + 1 und g(x) = 1 - x³. Es soll gezeigt werden, dass sich diese Funktionen auf der y-Achse berühren.

Lösungsweg:

Gleichsetzen der Funktionen: x² + 1 = 1 - x³
Auflösen nach x: x³ + x² = 0
Faktorisieren: x²(x + 1) = 0
Lösung: x = 0 (da x = -1 nicht auf der y-Achse liegt)
Berechnung des y-Werts: y = 0² + 1 = 1

Ergebnis: Der Berührpunkt liegt bei B(0|1)

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