Fächer

Für Unternehmen

Karriere

Knowunity Pro

App öffnen

Fächer

Wie du den Berührpunkt von Funktionen und Tangenten einfach berechnest

Öffnen

20

0

user profile picture

Smilla

18.10.2021

Mathe

Berührproblem

Fächer

/

Mathe

/

Funktionen und analysis

/

Formen von quadratischen funktionen

/

Scheitelpunktform

Wie du den Berührpunkt von Funktionen und Tangenten einfach berechnest

Understanding Berührpunkt (Point of Tangency) and Tangente (Tangent) calculations in mathematical functions.

  • The concept focuses on finding points where two functions touch at exactly one point
  • Key conditions include equal function values and equal derivatives at the point of contact
  • The Berührpunkt rechner (point of tangency calculator) requires solving two main equations
  • Understanding Lineare Funktion (linear function) properties is crucial for tangent calculations
  • Applications include finding waagerechte Tangente (horizontal tangent) and calculating Tangentengleichung (tangent equations)
...

18.10.2021

966

BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

Öffnen

Ansatz zur Lösung von Berührproblemen

Um Berührprobleme zu lösen, folgt man einem systematischen Ansatz:

  1. Nachweis gleicher Funktionswerte:

    • Setze die Funktionen gleich: f(x) = g(x)
    • Löse die Gleichung nach x auf

  2. Nachweis gleicher Steigung:

    • Setze die Ableitungen gleich: f'(x) = g'(x)

  3. Berechnung der Berührtangente:

    • Nutze die Form t(x) = mx + n
    • Setze t(x) = g(x) und löse nach m und n auf
    • Überprüfe mit t'(x) = g'(x)

Beispiel: Bei der Berechnung der Berührtangente werden die Funktionen t(x) und g(x) gleichgesetzt, um die Variablen m und n zu bestimmen.

Dieser Ansatz ermöglicht es, Berührpunkt zweier Funktionen berechnen Aufgaben effizient zu lösen und die Tangentengleichung zu ermitteln.

BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

Öffnen

Praktische Anwendung: Übungsaufgaben

Übung 5: Berührpunkt auf der y-Achse

Gegeben sind die Funktionen f(x) = x² + 1 und g(x) = 1 - x³. Es soll gezeigt werden, dass sich diese Funktionen auf der y-Achse berühren.

Lösungsweg:

  1. Gleichsetzen der Funktionen: x² + 1 = 1 - x³
  2. Auflösen nach x: x³ + x² = 0
  3. Faktorisieren: x²(x + 1) = 0
  4. Lösung: x = 0 (da x = -1 nicht auf der y-Achse liegt)
  5. Berechnung des y-Werts: y = 0² + 1 = 1

Ergebnis: Der Berührpunkt liegt bei B(0|1)

Diese Aufgabe demonstriert, wie man den Berührpunkt mit x-achse berechnen kann und ist ein gutes Beispiel für die praktische Anwendung der Berührpunkt Analysis.

BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

Öffnen

Komplexere Berührprobleme

Übung 6: Berührung mit der Winkelhalbierenden

Gegeben ist die Funktion f(x) = a + x² und die Winkelhalbierende g(x) = x. Es soll der Wert von a bestimmt werden, damit die Graphen sich berühren.

Lösungsschritte:

  1. Ableiten der Funktionen: f'(x) = 2x, g'(x) = 1
  2. Gleichsetzen der Ableitungen: 2x = 1
  3. Lösen nach x: x = 1/2
  4. Einsetzen in die Berührbedingung: a + (1/2)² = 1/2
  5. Lösen nach a: a = 1/4

Ergebnis: Die Funktion f(x) = 1/4 + x² berührt die Winkelhalbierende.

Berechnung der Berührtangente:

  • Berührpunkt: B(0,5|0,5)
  • Tangentengleichung: t(x) = x

Diese Aufgabe zeigt, wie man eine waagerechte Tangente berechnen und die allgemeine Tangentengleichung bestimmen kann.

BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

Öffnen

Fortgeschrittene Berührprobleme

Übung 7: Berührung zweier komplexer Funktionen

Gegeben sind die Funktionen f(x) = ax² + b und g(x) = 1/x. Es sollen a und b so bestimmt werden, dass die Graphen sich bei x = 1 berühren.

Lösungsweg:

  1. Bestimmung des Berührpunkts: B(1|1)
  2. Ableiten der Funktionen: f'(x) = 2ax, g'(x) = -1/x²
  3. Gleichsetzen der Ableitungen bei x = 1: 2a = -1
  4. Lösen nach a: a = -1/2
  5. Einsetzen in die Berührbedingung: -1/2 + b = 1
  6. Lösen nach b: b = 3/2

Ergebnis: f(x) = -1/2x² + 3/2 berührt g(x) = 1/x bei x = 1

Berechnung der Berührtangente:

  • Steigung: m = -1
  • Tangentengleichung: t(x) = -x + 2

Diese Aufgabe demonstriert, wie man die Tangente Steigung berechnen und eine Tangente Funktion bestimmen kann.

BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

Öffnen

Zusammenfassung und Merksatz

Das Berührproblem ist ein zentrales Konzept in der Analysis und findet Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.

Merksatz: Wenn sich die Funktionen f und g am Punkt xB berühren, müssen zwei Berührbedingungen erfüllt sein: f(xB) = g(xB) und f'(xB) = g'(xB). Die Berührtangente t(x) = mx + n verläuft durch diesen Punkt.

Wichtige Aspekte:

  • Die Berechnung des Berührpunkts erfordert das Gleichsetzen von Funktionswerten und Ableitungen.
  • Die Berührtangente kann durch Gleichsetzen von f(x) mit t(x) und f'(x) mit t'(x) bestimmt werden.
  • Berührpunkt rechner und Ableitung gebrochen Rationale Funktion Rechner können bei komplexen Berechnungen hilfreich sein.

Das Verständnis des Berührproblems ist fundamental für weiterführende Konzepte in der Analysis und Berührpunkt Topologie.

BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

Öffnen

Tangent Line Equation

This section focuses on deriving the tangent line equation.

Example: Calculating the tangent line equation:

  1. Find point of contact B(0.5|0.5)
  2. Determine slope m = 1
  3. Solve for y-intercept n = 0
BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

Öffnen

Practice Exercise 7

The page demonstrates finding multiple parameters for tangency conditions.

Example: Finding parameters a and b for f(x) = ax² + b:

  1. Use point (1|1)
  2. Find a = -1/2
  3. Calculate b = 3/2
BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

Öffnen

Tangent Line Calculation

This section shows the process of finding the tangent line equation.

Example: Determining tangent equation:

  1. Calculate slope m = -1
  2. Find y-intercept n = 2
  3. Final equation: t(x) = -x + 2
BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

Öffnen

Key Concepts Summary

The page summarizes all essential concepts about points of tangency.

Definition: A point of tangency occurs when functions f and g meet at point xB, satisfying both contact conditions: f(xB) = g(xB) and f'(xB) = g'(xB).

Highlight: The tangent line t(x) = mx + n passes through this point, with parameters determined by equating functions and their derivatives.

Ähnliche Inhalte

Know Kurvendiskussion - Klausur thumbnail

58

1764

11/12

Kurvendiskussion - Klausur

Klausur zum Thema Kurvendiskussion | Note: 15 Punkte | Funktion untersuchen & bestimmen

Know Quadratische Ergänzung thumbnail

111

6491

9/10

Quadratische Ergänzung

lösen von quadratischen Gleichungen

Know Quadratische Funktionen thumbnail

326

4958

9

Quadratische Funktionen

-Parabel -Normalparabel -Verschiebungen -gestreckt/gestaucht -Scheitelpunkt

Know Quadratische Funktionen thumbnail

31

1106

11/12

Quadratische Funktionen

Scheitelpunktform Normalform Allgemeine Form Nullstellen Gleichungssystem

Know Mathe ABI Zusammenfassung Analysis Hessen GK thumbnail

196

7588

11/12

Mathe ABI Zusammenfassung Analysis Hessen GK

Viel Glück

Know Integralrechnung & Analysis thumbnail

165

7613

12/13

Integralrechnung & Analysis

Mathe GK-Q2, Klausur, 12 Punkte (2), Integralrechnung, Integrale, Analysis, Kurvendiskussion - mit EWH

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Ranked #1 Education App

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

20 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 17 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

Fächer

/

Mathe

/

Funktionen und analysis

/

Formen von quadratischen funktionen

/

Scheitelpunktform

Wie du den Berührpunkt von Funktionen und Tangenten einfach berechnest

user profile picture

Smilla

@smillaolek

·

102 Follower

Follow

Understanding Berührpunkt (Point of Tangency) and Tangente (Tangent) calculations in mathematical functions.

  • The concept focuses on finding points where two functions touch at exactly one point
  • Key conditions include equal function values and equal derivatives at the point of contact
  • The Berührpunkt rechner (point of tangency calculator) requires solving two main equations
  • Understanding Lineare Funktion (linear function) properties is crucial for tangent calculations
  • Applications include finding waagerechte Tangente (horizontal tangent) and calculating Tangentengleichung (tangent equations)
...

18.10.2021

966

 

10

 

Mathe

20

BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Ansatz zur Lösung von Berührproblemen

Um Berührprobleme zu lösen, folgt man einem systematischen Ansatz:

  1. Nachweis gleicher Funktionswerte:

    • Setze die Funktionen gleich: f(x) = g(x)
    • Löse die Gleichung nach x auf

  2. Nachweis gleicher Steigung:

    • Setze die Ableitungen gleich: f'(x) = g'(x)

  3. Berechnung der Berührtangente:

    • Nutze die Form t(x) = mx + n
    • Setze t(x) = g(x) und löse nach m und n auf
    • Überprüfe mit t'(x) = g'(x)

Beispiel: Bei der Berechnung der Berührtangente werden die Funktionen t(x) und g(x) gleichgesetzt, um die Variablen m und n zu bestimmen.

Dieser Ansatz ermöglicht es, Berührpunkt zweier Funktionen berechnen Aufgaben effizient zu lösen und die Tangentengleichung zu ermitteln.

BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Praktische Anwendung: Übungsaufgaben

Übung 5: Berührpunkt auf der y-Achse

Gegeben sind die Funktionen f(x) = x² + 1 und g(x) = 1 - x³. Es soll gezeigt werden, dass sich diese Funktionen auf der y-Achse berühren.

Lösungsweg:

  1. Gleichsetzen der Funktionen: x² + 1 = 1 - x³
  2. Auflösen nach x: x³ + x² = 0
  3. Faktorisieren: x²(x + 1) = 0
  4. Lösung: x = 0 (da x = -1 nicht auf der y-Achse liegt)
  5. Berechnung des y-Werts: y = 0² + 1 = 1

Ergebnis: Der Berührpunkt liegt bei B(0|1)

Diese Aufgabe demonstriert, wie man den Berührpunkt mit x-achse berechnen kann und ist ein gutes Beispiel für die praktische Anwendung der Berührpunkt Analysis.

BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Komplexere Berührprobleme

Übung 6: Berührung mit der Winkelhalbierenden

Gegeben ist die Funktion f(x) = a + x² und die Winkelhalbierende g(x) = x. Es soll der Wert von a bestimmt werden, damit die Graphen sich berühren.

Lösungsschritte:

  1. Ableiten der Funktionen: f'(x) = 2x, g'(x) = 1
  2. Gleichsetzen der Ableitungen: 2x = 1
  3. Lösen nach x: x = 1/2
  4. Einsetzen in die Berührbedingung: a + (1/2)² = 1/2
  5. Lösen nach a: a = 1/4

Ergebnis: Die Funktion f(x) = 1/4 + x² berührt die Winkelhalbierende.

Berechnung der Berührtangente:

  • Berührpunkt: B(0,5|0,5)
  • Tangentengleichung: t(x) = x

Diese Aufgabe zeigt, wie man eine waagerechte Tangente berechnen und die allgemeine Tangentengleichung bestimmen kann.

BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Fortgeschrittene Berührprobleme

Übung 7: Berührung zweier komplexer Funktionen

Gegeben sind die Funktionen f(x) = ax² + b und g(x) = 1/x. Es sollen a und b so bestimmt werden, dass die Graphen sich bei x = 1 berühren.

Lösungsweg:

  1. Bestimmung des Berührpunkts: B(1|1)
  2. Ableiten der Funktionen: f'(x) = 2ax, g'(x) = -1/x²
  3. Gleichsetzen der Ableitungen bei x = 1: 2a = -1
  4. Lösen nach a: a = -1/2
  5. Einsetzen in die Berührbedingung: -1/2 + b = 1
  6. Lösen nach b: b = 3/2

Ergebnis: f(x) = -1/2x² + 3/2 berührt g(x) = 1/x bei x = 1

Berechnung der Berührtangente:

  • Steigung: m = -1
  • Tangentengleichung: t(x) = -x + 2

Diese Aufgabe demonstriert, wie man die Tangente Steigung berechnen und eine Tangente Funktion bestimmen kann.

BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Zusammenfassung und Merksatz

Das Berührproblem ist ein zentrales Konzept in der Analysis und findet Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.

Merksatz: Wenn sich die Funktionen f und g am Punkt xB berühren, müssen zwei Berührbedingungen erfüllt sein: f(xB) = g(xB) und f'(xB) = g'(xB). Die Berührtangente t(x) = mx + n verläuft durch diesen Punkt.

Wichtige Aspekte:

  • Die Berechnung des Berührpunkts erfordert das Gleichsetzen von Funktionswerten und Ableitungen.
  • Die Berührtangente kann durch Gleichsetzen von f(x) mit t(x) und f'(x) mit t'(x) bestimmt werden.
  • Berührpunkt rechner und Ableitung gebrochen Rationale Funktion Rechner können bei komplexen Berechnungen hilfreich sein.

Das Verständnis des Berührproblems ist fundamental für weiterführende Konzepte in der Analysis und Berührpunkt Topologie.

BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Tangent Line Equation

This section focuses on deriving the tangent line equation.

Example: Calculating the tangent line equation:

  1. Find point of contact B(0.5|0.5)
  2. Determine slope m = 1
  3. Solve for y-intercept n = 0
BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Practice Exercise 7

The page demonstrates finding multiple parameters for tangency conditions.

Example: Finding parameters a and b for f(x) = ax² + b:

  1. Use point (1|1)
  2. Find a = -1/2
  3. Calculate b = 3/2
BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Tangent Line Calculation

This section shows the process of finding the tangent line equation.

Example: Determining tangent equation:

  1. Calculate slope m = -1
  2. Find y-intercept n = 2
  3. Final equation: t(x) = -x + 2
BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Key Concepts Summary

The page summarizes all essential concepts about points of tangency.

Definition: A point of tangency occurs when functions f and g meet at point xB, satisfying both contact conditions: f(xB) = g(xB) and f'(xB) = g'(xB).

Highlight: The tangent line t(x) = mx + n passes through this point, with parameters determined by equating functions and their derivatives.

BERÜHRPROBLEM Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle (→ f und g berühren sich an XB) O Diese Stelle nennt man Berührpunkt

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Conclusion

The final page concludes the presentation with acknowledgments.

Highlight: The material covers comprehensive understanding of tangency points and their calculations.

Ähnliche Inhalte

Mathe - Kurvendiskussion - Klausur

Klausur zum Thema Kurvendiskussion | Note: 15 Punkte | Funktion untersuchen & bestimmen

58

1764

0

Know Kurvendiskussion - Klausur thumbnail

Mathe - Quadratische Ergänzung

lösen von quadratischen Gleichungen

111

6491

1

Know Quadratische Ergänzung thumbnail

Mathe - Quadratische Funktionen

-Parabel -Normalparabel -Verschiebungen -gestreckt/gestaucht -Scheitelpunkt

326

4958

2

Know Quadratische Funktionen thumbnail

Mathe - Quadratische Funktionen

Scheitelpunktform Normalform Allgemeine Form Nullstellen Gleichungssystem

31

1106

3

Know Quadratische Funktionen thumbnail

Mathe - Mathe ABI Zusammenfassung Analysis Hessen GK

Viel Glück

196

7588

0

Know Mathe ABI Zusammenfassung Analysis Hessen GK thumbnail

Mathe - Integralrechnung & Analysis

Mathe GK-Q2, Klausur, 12 Punkte (2), Integralrechnung, Integrale, Analysis, Kurvendiskussion - mit EWH

165

7613

0

Know Integralrechnung & Analysis thumbnail

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Ranked #1 Education App

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

20 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 17 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.