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Wie du den Berührpunkt von Funktionen und Tangenten einfach berechnest

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Smilla

13.10.2025

Mathe

Berührproblem

Mathematik

Lagebeziehungen von Geraden

1.029

•

13. Okt. 2025

•

11 Seiten

Wie du den Berührpunkt von Funktionen und Tangenten einfach berechnest

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Smilla

@smillaolek

Understanding Berührpunkt (Point of Tangency) and Tangente(Tangent) calculations in... Mehr anzeigen

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BERÜHRPROBLEM # Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle ($\rightarrow$ f und g berühren sich an xB) • Diese Stelle nennt

Ansatz zur Lösung von Berührproblemen

Um Berührprobleme zu lösen, folgt man einem systematischen Ansatz:

  1. Nachweis gleicher Funktionswerte:

    • Setze die Funktionen gleich: fxx = g(x)
    • Löse die Gleichung nach x auf

  2. Nachweis gleicher Steigung:

    • Setze die Ableitungen gleich: f'xx = g'(x)

  3. Berechnung der Berührtangente:

    • Nutze die Form txx = mx + n
    • Setze txx = g(x) und löse nach m und n auf
    • Überprüfe mit t'xx = g'(x)

Beispiel: Bei der Berechnung der Berührtangente werden die Funktionen t(x) und g(x) gleichgesetzt, um die Variablen m und n zu bestimmen.

Dieser Ansatz ermöglicht es, Berührpunkt zweier Funktionen berechnen Aufgaben effizient zu lösen und die Tangentengleichung zu ermitteln.

BERÜHRPROBLEM # Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle ($\rightarrow$ f und g berühren sich an xB) • Diese Stelle nennt

Praktische Anwendung: Übungsaufgaben

Übung 5: Berührpunkt auf der y-Achse

Gegeben sind die Funktionen fxx = x² + 1 und gxx = 1 - x³. Es soll gezeigt werden, dass sich diese Funktionen auf der y-Achse berühren.

Lösungsweg:

  1. Gleichsetzen der Funktionen: x² + 1 = 1 - x³
  2. Auflösen nach x: x³ + x² = 0
  3. Faktorisieren: x²x+1x + 1 = 0
  4. Lösung: x = 0 dax=−1nichtaufdery−Achseliegtda x = -1 nicht auf der y-Achse liegt
  5. Berechnung des y-Werts: y = 0² + 1 = 1

Ergebnis: Der Berührpunkt liegt bei B(0|1)

Diese Aufgabe demonstriert, wie man den Berührpunkt mit x-achse berechnen kann und ist ein gutes Beispiel für die praktische Anwendung der Berührpunkt Analysis.

BERÜHRPROBLEM # Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle ($\rightarrow$ f und g berühren sich an xB) • Diese Stelle nennt

Komplexere Berührprobleme

Übung 6: Berührung mit der Winkelhalbierenden

Gegeben ist die Funktion fxx = a + x² und die Winkelhalbierende gxx = x. Es soll der Wert von a bestimmt werden, damit die Graphen sich berühren.

Lösungsschritte:

  1. Ableiten der Funktionen: f'xx = 2x, g'xx = 1
  2. Gleichsetzen der Ableitungen: 2x = 1
  3. Lösen nach x: x = 1/2
  4. Einsetzen in die Berührbedingung: a + 1/21/2² = 1/2
  5. Lösen nach a: a = 1/4

Ergebnis: Die Funktion fxx = 1/4 + x² berührt die Winkelhalbierende.

Berechnung der Berührtangente:

  • Berührpunkt: B(0,5|0,5)
  • Tangentengleichung: txx = x

Diese Aufgabe zeigt, wie man eine waagerechte Tangente berechnen und die allgemeine Tangentengleichung bestimmen kann.

BERÜHRPROBLEM # Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle ($\rightarrow$ f und g berühren sich an xB) • Diese Stelle nennt

Fortgeschrittene Berührprobleme

Übung 7: Berührung zweier komplexer Funktionen

Gegeben sind die Funktionen fxx = ax² + b und gxx = 1/x. Es sollen a und b so bestimmt werden, dass die Graphen sich bei x = 1 berühren.

Lösungsweg:

  1. Bestimmung des Berührpunkts: B(1|1)
  2. Ableiten der Funktionen: f'xx = 2ax, g'xx = -1/x²
  3. Gleichsetzen der Ableitungen bei x = 1: 2a = -1
  4. Lösen nach a: a = -1/2
  5. Einsetzen in die Berührbedingung: -1/2 + b = 1
  6. Lösen nach b: b = 3/2

Ergebnis: fxx = -1/2x² + 3/2 berührt gxx = 1/x bei x = 1

Berechnung der Berührtangente:

  • Steigung: m = -1
  • Tangentengleichung: txx = -x + 2

Diese Aufgabe demonstriert, wie man die Tangente Steigung berechnen und eine Tangente Funktion bestimmen kann.

BERÜHRPROBLEM # Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle ($\rightarrow$ f und g berühren sich an xB) • Diese Stelle nennt

Zusammenfassung und Merksatz

Das Berührproblem ist ein zentrales Konzept in der Analysis und findet Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.

Merksatz: Wenn sich die Funktionen f und g am Punkt xB berühren, müssen zwei Berührbedingungen erfüllt sein: fxBxB = gxBxB und f'xBxB = g'xBxB. Die Berührtangente txx = mx + n verläuft durch diesen Punkt.

Wichtige Aspekte:

  • Die Berechnung des Berührpunkts erfordert das Gleichsetzen von Funktionswerten und Ableitungen.
  • Die Berührtangente kann durch Gleichsetzen von f(x) mit t(x) und f'(x) mit t'(x) bestimmt werden.
  • Berührpunkt rechner und Ableitung gebrochen Rationale Funktion Rechner können bei komplexen Berechnungen hilfreich sein.

Das Verständnis des Berührproblems ist fundamental für weiterführende Konzepte in der Analysis und Berührpunkt Topologie.

BERÜHRPROBLEM # Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle ($\rightarrow$ f und g berühren sich an xB) • Diese Stelle nennt

Tangent Line Equation

This section focuses on deriving the tangent line equation.

Example: Calculating the tangent line equation:

  1. Find point of contact B(0.5|0.5)
  2. Determine slope m = 1
  3. Solve for y-intercept n = 0
BERÜHRPROBLEM # Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle ($\rightarrow$ f und g berühren sich an xB) • Diese Stelle nennt

Practice Exercise 7

The page demonstrates finding multiple parameters for tangency conditions.

Example: Finding parameters a and b for fxx = ax² + b:

  1. Use point (1|1)
  2. Find a = -1/2
  3. Calculate b = 3/2
BERÜHRPROBLEM # Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle ($\rightarrow$ f und g berühren sich an xB) • Diese Stelle nennt

Tangent Line Calculation

This section shows the process of finding the tangent line equation.

Example: Determining tangent equation:

  1. Calculate slope m = -1
  2. Find y-intercept n = 2
  3. Final equation: txx = -x + 2
BERÜHRPROBLEM # Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle ($\rightarrow$ f und g berühren sich an xB) • Diese Stelle nennt

Key Concepts Summary

The page summarizes all essential concepts about points of tangency.

Definition: A point of tangency occurs when functions f and g meet at point xB, satisfying both contact conditions: fxBxB = gxBxB and f'xBxB = g'(xB).

Highlight: The tangent line txx = mx + n passes through this point, with parameters determined by equating functions and their derivatives.

BERÜHRPROBLEM # Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle ($\rightarrow$ f und g berühren sich an xB) • Diese Stelle nennt

Conclusion

The final page concludes the presentation with acknowledgments.

Highlight: The material covers comprehensive understanding of tangency points and their calculations.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Wie du den Berührpunkt von Funktionen und Tangenten einfach berechnest

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Smilla @smillaolek

Understanding Berührpunkt (Point of Tangency) and Tangente (Tangent) calculations in mathematical functions.

  • The concept focuses on finding points where two functions touch at exactly one point
  • Key conditions include equal... Mehr anzeigen

BERÜHRPROBLEM # Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle ($\rightarrow$ f und g berühren sich an xB) • Diese Stelle nennt

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Ansatz zur Lösung von Berührproblemen

Um Berührprobleme zu lösen, folgt man einem systematischen Ansatz

  1. Nachweis gleicher Funktionswerte

    • Setze die Funktionen gleich fxx = g(x)
    • Löse die Gleichung nach x auf

  2. Nachweis gleicher Steigung

    • Setze die Ableitungen gleich f'xx = g'(x)

  3. Berechnung der Berührtangente

    • Nutze die Form txx = mx + n
    • Setze txx = g(x) und löse nach m und n auf
    • Überprüfe mit t'xx = g'(x)

Beispiel Bei der Berechnung der Berührtangente werden die Funktionen t(x) und g(x) gleichgesetzt, um die Variablen m und n zu bestimmen.

Dieser Ansatz ermöglicht es, Berührpunkt zweier Funktionen berechnen Aufgaben effizient zu lösen und die Tangentengleichung zu ermitteln.

BERÜHRPROBLEM # Thema • Es berühren sich zwei Funktionen an einer Stelle ($\rightarrow$ f und g berühren sich an xB) • Diese Stelle nennt

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Praktische Anwendung Übungsaufgaben

Übung 5 Berührpunkt auf der y-Achse

Gegeben sind die Funktionen fxx = x² + 1 und gxx = 1 - x³. Es soll gezeigt werden, dass sich diese Funktionen auf der y-Achse berühren.

Lösungsweg

  1. Gleichsetzen der Funktionen x² + 1 = 1 - x³
  2. Auflösen nach x x³ + x² = 0
  3. Faktorisieren x²x+1x + 1 = 0
  4. Lösung x = 0 dax=−1nichtaufdery−Achseliegtda x = -1 nicht auf der y-Achse liegt
  5. Berechnung des y-Werts y = 0² + 1 = 1

Ergebnis Der Berührpunkt liegt bei B(0|1)

Diese Aufgabe demonstriert, wie man den Berührpunkt mit x-achse berechnen kann und ist ein gutes Beispiel für die praktische Anwendung der Berührpunkt Analysis.

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Komplexere Berührprobleme

Übung 6 Berührung mit der Winkelhalbierenden

Gegeben ist die Funktion fxx = a + x² und die Winkelhalbierende gxx = x. Es soll der Wert von a bestimmt werden, damit die Graphen sich berühren.

Lösungsschritte

  1. Ableiten der Funktionen f'xx = 2x, g'xx = 1
  2. Gleichsetzen der Ableitungen 2x = 1
  3. Lösen nach x x = 1/2
  4. Einsetzen in die Berührbedingung a + 1/21/2² = 1/2
  5. Lösen nach a a = 1/4

Ergebnis Die Funktion fxx = 1/4 + x² berührt die Winkelhalbierende.

Berechnung der Berührtangente

  • Berührpunkt B(0,5|0,5)
  • Tangentengleichung txx = x

Diese Aufgabe zeigt, wie man eine waagerechte Tangente berechnen und die allgemeine Tangentengleichung bestimmen kann.

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Fortgeschrittene Berührprobleme

Übung 7 Berührung zweier komplexer Funktionen

Gegeben sind die Funktionen fxx = ax² + b und gxx = 1/x. Es sollen a und b so bestimmt werden, dass die Graphen sich bei x = 1 berühren.

Lösungsweg

  1. Bestimmung des Berührpunkts B(1|1)
  2. Ableiten der Funktionen f'xx = 2ax, g'xx = -1/x²
  3. Gleichsetzen der Ableitungen bei x = 1 2a = -1
  4. Lösen nach a a = -1/2
  5. Einsetzen in die Berührbedingung -1/2 + b = 1
  6. Lösen nach b b = 3/2

Ergebnis fxx = -1/2x² + 3/2 berührt gxx = 1/x bei x = 1

Berechnung der Berührtangente

  • Steigung m = -1
  • Tangentengleichung txx = -x + 2

Diese Aufgabe demonstriert, wie man die Tangente Steigung berechnen und eine Tangente Funktion bestimmen kann.

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Zusammenfassung und Merksatz

Das Berührproblem ist ein zentrales Konzept in der Analysis und findet Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.

Merksatz Wenn sich die Funktionen f und g am Punkt xB berühren, müssen zwei Berührbedingungen erfüllt sein fxBxB = gxBxB und f'xBxB = g'xBxB. Die Berührtangente txx = mx + n verläuft durch diesen Punkt.

Wichtige Aspekte

  • Die Berechnung des Berührpunkts erfordert das Gleichsetzen von Funktionswerten und Ableitungen.
  • Die Berührtangente kann durch Gleichsetzen von f(x) mit t(x) und f'(x) mit t'(x) bestimmt werden.
  • Berührpunkt rechner und Ableitung gebrochen Rationale Funktion Rechner können bei komplexen Berechnungen hilfreich sein.

Das Verständnis des Berührproblems ist fundamental für weiterführende Konzepte in der Analysis und Berührpunkt Topologie.

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Tangent Line Equation

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Example Calculating the tangent line equation

  1. Find point of contact B(0.5|0.5)
  2. Determine slope m = 1
  3. Solve for y-intercept n = 0
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Example Finding parameters a and b for fxx = ax² + b

  1. Use point (1|1)
  2. Find a = -1/2
  3. Calculate b = 3/2
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Example Determining tangent equation

  1. Calculate slope m = -1
  2. Find y-intercept n = 2
  3. Final equation txx = -x + 2
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Key Concepts Summary

The page summarizes all essential concepts about points of tangency.

Definition A point of tangency occurs when functions f and g meet at point xB, satisfying both contact conditions fxBxB = gxBxB and f'xBxB = g'(xB).

Highlight The tangent line txx = mx + n passes through this point, with parameters determined by equating functions and their derivatives.

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Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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