Binomialverteilung & Bernoulli für Kids: Formeln, Beispiele und einfache Erklärungen

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Luiza📚

1.4.2021

Mathe

Binomialverteilung

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Mathe

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Binomialverteilung & Bernoulli für Kids: Formeln, Beispiele und einfache Erklärungen

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Die Binomialverteilung ist ein wichtiges Konzept in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei Experimenten mit zwei möglichen Ausgängen, die mehrfach wiederholt werden. Zentrale Aspekte sind die Binomialverteilung Formel, Bernoulli-Experimente, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die grafische Darstellung durch Histogramme.

• Die Binomialverteilung Formel lautet P(X=k) = (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)
• Bernoulli-Experimente sind die Grundlage der Binomialverteilung
• Erwartungswert und Standardabweichung beschreiben wichtige Eigenschaften
• Histogramme visualisieren die Wahrscheinlichkeitsverteilung

...

1.4.2021

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BINOMIAL VERTEILUNG
> Formel zur Berechnung von Binomialverteilungen
n= Umfang
-Anzahl der Treffer
q= Misserfolgswanrscheinlichkeit
P(x=k) =

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Eigenschaften und Anwendungen der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung weist einige interessante Eigenschaften auf, die für ihre Anwendung in der Praxis von Bedeutung sind.

Highlight: Die Sigma-Regel besagt, dass für eine binomialverteilte Zufallsgröße X näherungsweise gilt:

P $μ-1σ ≤ X ≤ μ+1σ$ ≈ 68%

P $μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ$ ≈ 95,5%

P $μ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ$ ≈ 99,7%

Diese Faustregeln sind anwendbar, wenn die sogenannte Laplace-Bedingung erfüllt ist, also np $1-p$ > 9.

Die grafische Darstellung der Binomialverteilung erfolgt häufig durch Histogramme. Diese visualisieren die Wahrscheinlichkeitsverteilung und zeigen charakteristische Merkmale.

Example: Bei einem Experiment mit n=100 Wiederholungen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p=0,8 ergibt sich ein Erwartungswert von μ = 100 * 0,8 = 80 und eine Standardabweichung von σ = √ $100 * 0,8 * 0,2$ ≈ 4.

Die kumulierte Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine bestimmte Anzahl von Erfolgen oder weniger eintritt. Sie lässt sich durch Aufsummieren der Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen.

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Histogramme und empirische Standardabweichung

Histogramme sind ein wichtiges Werkzeug zur Visualisierung der Binomialverteilung. Sie weisen charakteristische Eigenschaften auf, die Rückschlüsse auf die zugrundeliegende Verteilung zulassen.

Highlight: Eigenschaften von Histogrammen der Binomialverteilung:

Der höchste Balken liegt beim Erwartungswert μ

Die Summe der Balkenhöhen ist 1

Bei p=0,5 ist das Histogramm symmetrisch

Histogramme mit p und 1-p sind zueinander gespiegelt

Mit steigendem n wird das Histogramm symmetrischer

Die empirische Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Werte um den Mittelwert. Sie lässt sich aus den beobachteten Daten berechnen und gibt Aufschluss über die Variabilität der Ergebnisse.

Formula: Die empirische Standardabweichung s berechnet sich als Wurzel aus der Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert, geteilt durch n-1: s = √ $Σ(x_i - x̄$ ² / $n-1$ )

Mit zunehmendem Stichprobenumfang n und gleichbleibendem p wird das Histogramm der Binomialverteilung breiter $mehr Ereignisse$ und symmetrischer. Dies illustriert den Zusammenhang zwischen der Binomialverteilung und der Normalverteilung, die für große n als Approximation dienen kann.

Vocabulary: Die Standardabweichung Binomialverteilung ist ein wichtiger Parameter, der die Streuung der Werte um den Erwartungswert beschreibt. Sie ist die Wurzel aus der Varianz und lässt sich mit der Formel σ = √ $npq$ berechnen.

Die Kenntnis dieser Eigenschaften und Darstellungsformen der Binomialverteilung ist essenziell für ihre Anwendung in verschiedenen Bereichen der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung.

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Binomialverteilung & Bernoulli für Kids: Formeln, Beispiele und einfache Erklärungen

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@studywithlulu

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Eigenschaften und Anwendungen der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung weist einige interessante Eigenschaften auf, die für ihre Anwendung in der Praxis von Bedeutung sind.

Highlight: Die Sigma-Regel besagt, dass für eine binomialverteilte Zufallsgröße X näherungsweise gilt:

P $μ-1σ ≤ X ≤ μ+1σ$ ≈ 68%

P $μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ$ ≈ 95,5%

P $μ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ$ ≈ 99,7%

Diese Faustregeln sind anwendbar, wenn die sogenannte Laplace-Bedingung erfüllt ist, also np $1-p$ > 9.

Die grafische Darstellung der Binomialverteilung erfolgt häufig durch Histogramme. Diese visualisieren die Wahrscheinlichkeitsverteilung und zeigen charakteristische Merkmale.

Example: Bei einem Experiment mit n=100 Wiederholungen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p=0,8 ergibt sich ein Erwartungswert von μ = 100 * 0,8 = 80 und eine Standardabweichung von σ = √ $100 * 0,8 * 0,2$ ≈ 4.

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Histogramme und empirische Standardabweichung

Histogramme sind ein wichtiges Werkzeug zur Visualisierung der Binomialverteilung. Sie weisen charakteristische Eigenschaften auf, die Rückschlüsse auf die zugrundeliegende Verteilung zulassen.

Highlight: Eigenschaften von Histogrammen der Binomialverteilung:

Der höchste Balken liegt beim Erwartungswert μ

Die Summe der Balkenhöhen ist 1

Bei p=0,5 ist das Histogramm symmetrisch

Histogramme mit p und 1-p sind zueinander gespiegelt

Mit steigendem n wird das Histogramm symmetrischer

Formula: Die empirische Standardabweichung s berechnet sich als Wurzel aus der Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert, geteilt durch n-1: s = √ $Σ(x_i - x̄$ ² / $n-1$ )

Vocabulary: Die Standardabweichung Binomialverteilung ist ein wichtiger Parameter, der die Streuung der Werte um den Erwartungswert beschreibt. Sie ist die Wurzel aus der Varianz und lässt sich mit der Formel σ = √ $npq$ berechnen.

Die Kenntnis dieser Eigenschaften und Darstellungsformen der Binomialverteilung ist essenziell für ihre Anwendung in verschiedenen Bereichen der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung.

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Grundlagen der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist ein zentrales Konzept in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei Experimenten mit genau zwei möglichen Ausgängen, die mehrfach unabhängig voneinander wiederholt werden.

Definition: Die Binomialverteilung Formel lautet P $X=k$ = $n über k$ * p^k * $1-p$ ^ $n-k$ , wobei n die Anzahl der Versuche, k die Anzahl der Erfolge, p die Erfolgswahrscheinlichkeit und q=1-p die Misserfolgswahrscheinlichkeit ist.

Um die Binomialverteilung zu berechnen, kann man entweder die Formel anwenden oder Tabellenwerke bzw. einen Taschenrechner verwenden. Der Binomialkoeffizient $n über k$ lässt sich dabei als n! / $k! * (n-k$ !) berechnen.

Vocabulary: Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen $Treffer und Niete$ . Die n-fache unabhängige Wiederholung eines Bernoulli-Experiments wird als Bernoulli-Kette bezeichnet.

Zufallsgrößen spielen eine wichtige Rolle bei der Binomialverteilung. Sie ordnen jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs einen Wert zu und werden mit Großbuchstaben bezeichnet.

Highlight: Der Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ sind zentrale Kenngrößen der Binomialverteilung. Sie lassen sich mit den Formeln μ = np und σ = √ $np*q$ berechnen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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