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Binomialverteilung
1.4.2021
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BINOMIAL VERTEILUNG > Formel zur Berechnung von Binomialverteilungen n= Umfang -Anzahl der Treffer q= Misserfolgswanrscheinlichkeit P(x=k) = (2) pk .q' > Wie berechnet man → Binomialkoeffizient In Tabellenform: n-k Binomialverteilung im Bpd: bei genauen Zahlen Bcd: mit Ober- und Untergrenze (höchstens / mindestent) (2) ? n = Anzahl Objekte gesamt K = Anzahl ausgewählter Objekte > Bernoulli-Experiment STR: 2 1 / P(x= k) = (²) · pk. (1-P)n-k k P(x=k) k PCx=k) (k-μ)²· P(x+k) O 0,25 O 0,13 0,40 0,2 0,23 0₁23 0,5 0,10 0,20 0,16 5 0,02 Summe 0,10 0,36 0.73 OPTN › Zufallsgrößen Eine Zufallsgröße ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eine Zufalls versuchs einen Wert k, also eine reelle zanı, zuordnet. Zufallsgrößen werden mit Großbuchstaben, z.B. mit X berechnet. Die wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße ist eine Funktion, die jedem west to der Zufallsgröße eine wahrscheinlichkeit P(x=k) zuordnet. 2 Erwartungswert M. P- Erfolgswahrscheinlichkeit 0,03 0,02 0,7 DIST →STAT → ·(1-P) = 9 →Binominal → Bpd/Bcd √o P( k, n, p) varianz o n! k!·(n-k)! Standardabweichung: √017 = 0,84 Interpretation: Man erwartet einen Gewinn von 0,73. Ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen (Treffer und Niete) heißt Bernoulli - Experiment. Die Trefferwahrscheinlichkeit bezeichnet man mit p, die wahrscheinlichkeit für eine Niete mit 9³1-p. Die n-fache unabhängige Wiederholung eines Bernoulli - Experiments heißt Bernoulli-Kette der Länge n. Die Trefferwahrscheinlichkeit p bleibt dabei konstant. > Sigma - Regel Für σ- Intervalle um Für eine PH-link 1·0) = 68% P(μ-2.0sXs+2-0) = 95,5% P(μ-3-65Xs+3-a) = 99,7% Diese Faustregeln sind anwendbar, wenn a3, also n-p-(1-p) >9 (sogenannte LAPLACE-Bedingung). n-300; p= 0,5: μ-300-0,5-150: a-√300-0,5-0,5 = 8,66; also 2o 17,32; 30 = 25,98 Wir runden den für e,...
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Alternativer Bildtext:
20 und 3e berechneten Wert ab bzw. auf und bestimmen dann mithilfe eines GTR die exakten Wahrscheinlichkeiten der Umgebungen um den Erwartungswert µ: P(150 -8 < Xs 150+8)= 0,673: P(150-9sX s 150 + 9) = 0,727 P(150 - 17 sX s 150+17)= 0,957: P(150-18 s X 150+18) = 0,968 P(150-25 sxs 150 + 25) = 0,997; P(150-26 ≤ x ≤ 150 +26) 0,998 e Zufallsgröße X gilt näherungsweise: z.B. n = 100 p=0,8 49=0,2 > Histogramme Tabelle k O 1 1.) der Erwartungswert: 2.) die Standardabweichung. o = √n P ~ 3 J M gilt: 2 > Erwartungswert und Standardabweic weichung Erwartungswert und Standardabweichung von binomial Eine binomial verteilte Zufallsgröße mit n wiederholungen und der Erfolgswahrscheinlichkeit p und die Misserfolgswahrscheinlichkeit q=1-p hat... Summe P(x=k) 0,07 01264 0,374 0, 236 0₁ 056 1 Beispiel n= 100 M= n · p σ= p=018 PC76 <x<84) ≈ 0,68 M = 100·018 = 80 P(72<x<88) * 9955 10-8 √100·018-0,2 = 80-8 → √16¹ 80.4 ON 012 Histogramm 0 = 4 →M=80 0 = 4 verteilten Zufallsgrößen. 2 3 4 › Eigenschaften von Histogrammen → höchster Balken beim Erwartungswest M. →Die Summe des Balkenhöhen ist 1. Beispiel: → Das Histogramm mit p= 0,5 ist symmetrisch. -> Die Histogramme z. B. mit p=0,1 und 0,9 oder p=012 und 0,8 sind gespiegelt. Je höher das n ist, desto symmetrischer verhalten sich die Balken. > Empirische Standardabweichung bei größer werdenden ʼn und gleichen p..... Das Streuverhalten des abweichung angegeben werden. 5 = √(0-1,613² Iweste um 3 = √√√(x₁ - x)²· P(x=k) + to Histogramm wird breiter (mehr Ereignisse) 4 Histogramm wird symmetrischer Mittelwert (xm - x)²·n cxm) 0,42+...+ (4-1,61)².0,05 Haufigkeitsverteilung kann durch die empirische dard-