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Differenzialrechnung: Von der mittleren Änderungsrate zur Ableitung einer Funktion
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Schlauistwow
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Wie kommt man Schritt für Schritt von der mittleren Änderungsrate bis zur Ableitung einer Funktion
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1. Schritt: Mittlere Änderungsrate Die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung der Sekante durch die zwei entsprechenden Punkte. J Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate Beispiel: f(x) = 5x² Die Berechnung der Steigung erfolgt mit dem Differenzenquotienten. Dies entspricht der bekannten Berechnung mittels Steigungsdreieck m[xixo+h] = Ay _ f (x + h) − f(x) _ƒ(x +h) − f (x) = Ax (x +h)-xo h 2. Schritt: Annäherung an die momentane Änderungsrate Einen Näherungswert für die momentane Änderungsrate erhält man, wenn man immer kleinere Intervalle bei der Berechnung des Differenzenquotienten wählt. s 3.5 12 14 3. Schritt: Ableitung an einer Stelle x, berechnen Die momentane Änderungsrate / Ableitung entspricht der Steigung der Tangente im entsprechenden Punkt. 4 2 3.5 Ableitung an der Stelle xo: f '(x) = lim h→0 45 4 45 Die Berechnung erfolgt als Grenzwert der Sekantensteigung. f(x +h)-f(x) h Existiert dieser Grenzwert, so heißt f an der Stelle x, differenzierbar. Berechnung der mittleren Änderungsrate im Intervall [2;3]: m[2;3] 5.3²-5-2² 3-2 45-20 1 = Beispiel: f(x) = 5x², Stelle x₁ = 2 m[2;2,1] Näherung für die momentane Änderungsrate an der Stelle x₁=2 durch Wahl eines kleines Intervalls [2;2,1]: ƒ(3) − ƒ(2) 3-2 = lim h→0 5.2,1²-5-2² 2,1-2 = lim h→0 = 25 = |f'(2) = lim h→0 = lim h→0 Beispiel: f(x) = 5x², Stelle x₁ = 2 = lim h→0 ƒ(2,1) – ƒ(2) 2,1-2 = 20,5 f(2+h)-f(2) h 5.(2+h)² −5.2² h 5. (4+4h+h²) - 5.2² h 20+20h+5h² - 20 h h(20+5h) h = lim 20+5h = 20 h→0 4. Schritt: Ableitungsfunktion berechnen Interessiert man sich an mehreren Stellen für die Tangentensteigung, so kann man statt immer neu die Ableitung an einer Stelle zu bestimmen, die Ableitung allgemein für alle Stellen angeben. Die Funktion f': x...
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→ f'(x) die dabei jedem Punkt seine Ableitung an der Stelle zuordnet heißt Ableitungsfunktion oder Ableitung von f. Voraussetzung für die Existenz der Ableitung ist, dass die Funktion für alle Stellen Xo ED differenzierbar ist. Man nennt f in diesem Fall differenzierbar. 5. Schritt: Ableitungsfunktion aus Rechenregeln bestimmen Die Berechnung der Ableitung f' einer Funktion lässt sich ohne aufwendige Rechnung und Grenzwertbildung mit Hilfe von den folgenden 3 Rechenregeln bestimmen: Potenzregel: f(x)=x² mit ZE Z Faktorregel: |f(x) = r · g(x) mit re R Summenregel: |f(x) = g(x) + h(x) f'(x) = z. x²-1 f'(x) = r.g'(x) Kurzfassung: f'(x) = g'(x) + h'(x) Weitere Aufgaben zum Themengebiet: Bestimmung der Tangentengleichung an einer gegebenen Stelle xo: Die Tangente durch einen Punkt entspricht einer linearen Funktion, die Funktionsgleichung lautet also allgemein: f(x) = mx + c Die Steigung m entspricht der Ableitung an der Stelle X。. Der Wert für c lässt sich anschließend ausrechnen, indem man den Punkt (xo|f(x)) in die Tangentengleichung einsetzt und die Gleichung nach c auflöst. 1. Tangentengleichung f₁(x) = mx + c 2. Ableitung an der Stelle x, berechnen ⇒ m = f'(x。) 3. Tangentengleichung f₁(x) = mx + c 4. Funktionswert an der Stelle x, berechnen ⇒ P (xo|f(xo)) 5. Punkt in Tangentengleichung einsetzen und c bestimmen. 6. Tangentengleichung fţ(x) = = mx + c Beispiel: f(x) = 5x² f'(x) = lim- h→0 h 5. (x + h)² −5.x² 2 h = lim · h→0 = = lim h→0 2 2 5. (x² + 2x₂h+h²) — 5.x₂² h 5x² +10xh+5h² – 5x² 2 h h(10x +5h) h = lim10x +5h = 10x0 h→0 = lim h→0 = lim h→0 f(x +h)-f(x) 0 Dies gilt für jeden Punkt xo, so dass für die Ableitungsfunktion gilt: |f'(x) = 10x f(x) = 5x² Beispiel: f(x) = 5x² ⇒f'(x) = 5 · 2 ·x¹ = 10x Gegeben: f(x) = 5x² sowie ⇒Tangente: f(x) = mx + c Xo = 1 f'(x) = 10x ⇒m = f'(1) = 10.1 = 10 ⇒ Tangente: f(x) = 10 x + c Funktionswert an der Stelle xo: |f(1) = 5-1² = 5 Einsetzen des Punktes (115) in die Tang tengleichung: |5=10·1+c | -10 -5 = C ⇒ Tangente: f(x) = 10 x - 5
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