Integration und Flächenberechnung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) verbindet Ableitung und Integration:
∫[a,b] f(x)dx = [F(x)]^b_a = F(b) - F(a)
Dabei ist F(x) eine Stammfunktion von f(x).
Definition: Das bestimmte Integral ∫[a,b] f(x)dx berechnet die Fläche zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse im Intervall [a,b].
Wichtige Stammfunktionen:
- Konstante Funktion: F(x) = kx + C
- e-Funktion: F(x) = e^x + C
- Natürlicher Logarithmus: F(x) = x · ln(x) - x + C
Bei der Flächenberechnung unterscheidet man:
- Orientierte Flächeninhalte (eigentliches Integral)
- Nicht orientierte Flächeninhalte (uneigentliches Integral)
Highlight: Auch Flächen, die ins Unendliche reichen, können endliche Inhalte haben.
Zur Berechnung von Flächen zwischen Funktionen:
- Schnittpunkte bestimmen
- Teilintegrale bilden
- A = ∫[a,b] [f(x) - g(x)] dx, wobei f(x) die obere und g(x) die untere Funktion ist
Example: Für f(x) = x^2 ist die Stammfunktion F(x) = (1/3)x^3 + C.
Diese Methoden ermöglichen die Berechnung komplexer Flächeninhalte, auch wenn die Funktionsgleichung nicht explizit gegeben ist.