Integration und Flächenberechnung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) verbindet Ableitung und Integration:
∫a,b fxdx = F(x)^b_a = Fb - F(a)
Dabei ist F(x) eine Stammfunktion von f(x).
Definition: Das bestimmte Integral ∫a,b fxdx berechnet die Fläche zwischen dem Graphen von fx und der x-Achse im Intervall a,b.
Wichtige Stammfunktionen:
- Konstante Funktion: Fx = kx + C
- e-Funktion: Fx = e^x + C
- Natürlicher Logarithmus: Fx = x · lnx - x + C
Bei der Flächenberechnung unterscheidet man:
- Orientierte Flächeninhalte (eigentliches Integral)
- Nicht orientierte Flächeninhalte (uneigentliches Integral)
Highlight: Auch Flächen, die ins Unendliche reichen, können endliche Inhalte haben.
Zur Berechnung von Flächen zwischen Funktionen:
- Schnittpunkte bestimmen
- Teilintegrale bilden
- A = ∫a,b f(x)−g(x) dx, wobei f(x) die obere und g(x) die untere Funktion ist
Example: Für fx = x^2 ist die Stammfunktion Fx = 1/3x^3 + C.
Diese Methoden ermöglichen die Berechnung komplexer Flächeninhalte, auch wenn die Funktionsgleichung nicht explizit gegeben ist.