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27.4.2021

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E funktion

Lerne Mathe mit Ableitungsrechner und E-Funktion Übungen!

Die Ableitung von e-Funktionen und deren Integrale sind zentrale Themen der Differentialrechnung. Der natürliche Logarithmus spielt eine wichtige Rolle bei der Lösung von e-Funktionen. Wachstum und Zerfall bei Exponentialfunktionen werden anhand praktischer Beispiele erläutert. Der Hauptsatz der Differentialrechnung und Integralrechnung verbindet Ableitung und Integration und ermöglicht die Berechnung von Flächeninhalten.

• Die e-Funktion und ihre Ableitungen werden ausführlich behandelt, einschließlich Kettenregel und Produktregel.
• Praktische Anwendungen wie Wachstums- und Zerfallsprozesse werden mit e-Funktionen modelliert.
• Wichtige Stammfunktionen und Integrationsregeln werden vorgestellt.
• Die Berechnung von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraphen wird erklärt.

...

27.4.2021

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Integrale -5 f(x)=e*;f'(x) = e F(x)=e* -4 -3 -2 -1 5- 4- 3- 2+ 1 (0/1) 0 -1- 1 f(x) = ex (1je) 2 e-Funktionen & f(x)=e²x f'(x) = 2e²x F(x)=

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Ableitungen und Integrationen von E-Funktionen

Die Ableitung von e-Funktionen folgt speziellen Regeln:

  1. Die Ableitung von e^x ist e^x selbst.
  2. Bei komplexeren Funktionen wie e^2x2x wird die Kettenregel angewendet.

Beispiel: Die Ableitung von fxx = e^x2x^2 ist f'xx = 2x · e^x2x^2.

Die Kettenregel ist besonders wichtig bei der Ableitung von e-Funktionen:

  • Bei fxx = ln(xln(x)^2 ist f'xx = 2lnxx · 1/x

Highlight: Die Betrachtung der Funktion kann oft einen schnelleren Weg zur Ableitung zeigen als die mechanische Anwendung der Kettenregel.

Partielle Integration wird oft bei der Integration von e-Funktionen verwendet:

Example: ∫xe^x dx = xe^x - e^x + C

Die Stammfunktion der e-Funktion ist sie selbst plus eine Konstante:

Fxx = e^x + C

Definition: Eine Stammfunktion Fxx ist eine Funktion, deren Ableitung die ursprüngliche Funktion fxx ergibt.

Integrale -5 f(x)=e*;f'(x) = e F(x)=e* -4 -3 -2 -1 5- 4- 3- 2+ 1 (0/1) 0 -1- 1 f(x) = ex (1je) 2 e-Funktionen & f(x)=e²x f'(x) = 2e²x F(x)=

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Anwendungen der E-Funktion

E-Funktionen finden breite Anwendung in der Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsprozessen:

  1. Exponentielles Wachstum: ftt = a · e^ktkt, wobei k > 0
  2. Exponentieller Zerfall: ftt = a · e^−kt-kt, wobei k > 0

Beispiel: Ein Kaffee mit 80°C kühlt in einem 20°C warmen Raum ab. Die Temperatur nach t Minuten kann durch ftt = 60 · e^−0,15t-0,15t + 20 beschrieben werden.

Die Zerfallskonstante k ist oft eng mit dem prozentualen Wert verbunden:

Highlight: Bei einem Zerfall um 8,3% pro Zeiteinheit ist k ≈ -ln0,9170,917 ≈ 0,087.

Begrenzte Zu- und Abnahme:

  • Bei Abkühlung oder Erwärmung nähert sich die Temperatur asymptotisch der Umgebungstemperatur.
  • Bei Wachstumsprozessen gibt es oft eine Sättigungsgrenze.

Example: Ein 14°C kalter Saft erwärmt sich in einem 30°C warmen Raum gemäß ftt = 30 - 16 · e^−0,05t-0,05t.

Integrale -5 f(x)=e*;f'(x) = e F(x)=e* -4 -3 -2 -1 5- 4- 3- 2+ 1 (0/1) 0 -1- 1 f(x) = ex (1je) 2 e-Funktionen & f(x)=e²x f'(x) = 2e²x F(x)=

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Integration und Flächenberechnung

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung HDIHDI verbindet Ableitung und Integration:

∫a,ba,b fxxdx = F(x)F(x)^b_a = Fbb - Faa

Dabei ist Fxx eine Stammfunktion von fxx.

Definition: Das bestimmte Integral ∫a,ba,b fxxdx berechnet die Fläche zwischen dem Graphen von fxx und der x-Achse im Intervall a,ba,b.

Wichtige Stammfunktionen:

  • Konstante Funktion: Fxx = kx + C
  • e-Funktion: Fxx = e^x + C
  • Natürlicher Logarithmus: Fxx = x · lnxx - x + C

Bei der Flächenberechnung unterscheidet man:

  1. Orientierte Flächeninhalte eigentlichesIntegraleigentliches Integral
  2. Nicht orientierte Flächeninhalte uneigentlichesIntegraluneigentliches Integral

Highlight: Auch Flächen, die ins Unendliche reichen, können endliche Inhalte haben.

Zur Berechnung von Flächen zwischen Funktionen:

  1. Schnittpunkte bestimmen
  2. Teilintegrale bilden
  3. A = ∫a,ba,b f(x)−g(x)f(x) - g(x) dx, wobei fxx die obere und gxx die untere Funktion ist

Example: Für fxx = x^2 ist die Stammfunktion Fxx = 1/31/3x^3 + C.

Diese Methoden ermöglichen die Berechnung komplexer Flächeninhalte, auch wenn die Funktionsgleichung nicht explizit gegeben ist.

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27. Apr. 2021

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Valerie

@valeriesthr_20d06c

Die Ableitung von e-Funktionen und deren Integrale sind zentrale Themen der Differentialrechnung. Der natürliche Logarithmus spielt eine wichtige Rolle bei der Lösung von e-Funktionen. Wachstum und Zerfall bei Exponentialfunktionen werden anhand praktischer Beispiele erläutert. Der Hauptsatz der Differentialrechnung und Integralrechnung... Mehr anzeigen

Integrale -5 f(x)=e*;f'(x) = e F(x)=e* -4 -3 -2 -1 5- 4- 3- 2+ 1 (0/1) 0 -1- 1 f(x) = ex (1je) 2 e-Funktionen & f(x)=e²x f'(x) = 2e²x F(x)=

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Ableitungen und Integrationen von E-Funktionen

Die Ableitung von e-Funktionen folgt speziellen Regeln:

  1. Die Ableitung von e^x ist e^x selbst.
  2. Bei komplexeren Funktionen wie e^2x2x wird die Kettenregel angewendet.

Beispiel: Die Ableitung von fxx = e^x2x^2 ist f'xx = 2x · e^x2x^2.

Die Kettenregel ist besonders wichtig bei der Ableitung von e-Funktionen:

  • Bei fxx = ln(xln(x)^2 ist f'xx = 2lnxx · 1/x

Highlight: Die Betrachtung der Funktion kann oft einen schnelleren Weg zur Ableitung zeigen als die mechanische Anwendung der Kettenregel.

Partielle Integration wird oft bei der Integration von e-Funktionen verwendet:

Example: ∫xe^x dx = xe^x - e^x + C

Die Stammfunktion der e-Funktion ist sie selbst plus eine Konstante:

Fxx = e^x + C

Definition: Eine Stammfunktion Fxx ist eine Funktion, deren Ableitung die ursprüngliche Funktion fxx ergibt.

Integrale -5 f(x)=e*;f'(x) = e F(x)=e* -4 -3 -2 -1 5- 4- 3- 2+ 1 (0/1) 0 -1- 1 f(x) = ex (1je) 2 e-Funktionen & f(x)=e²x f'(x) = 2e²x F(x)=

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Anwendungen der E-Funktion

E-Funktionen finden breite Anwendung in der Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsprozessen:

  1. Exponentielles Wachstum: ftt = a · e^ktkt, wobei k > 0
  2. Exponentieller Zerfall: ftt = a · e^−kt-kt, wobei k > 0

Beispiel: Ein Kaffee mit 80°C kühlt in einem 20°C warmen Raum ab. Die Temperatur nach t Minuten kann durch ftt = 60 · e^−0,15t-0,15t + 20 beschrieben werden.

Die Zerfallskonstante k ist oft eng mit dem prozentualen Wert verbunden:

Highlight: Bei einem Zerfall um 8,3% pro Zeiteinheit ist k ≈ -ln0,9170,917 ≈ 0,087.

Begrenzte Zu- und Abnahme:

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Integration und Flächenberechnung

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung HDIHDI verbindet Ableitung und Integration:

∫a,ba,b fxxdx = F(x)F(x)^b_a = Fbb - Faa

Dabei ist Fxx eine Stammfunktion von fxx.

Definition: Das bestimmte Integral ∫a,ba,b fxxdx berechnet die Fläche zwischen dem Graphen von fxx und der x-Achse im Intervall a,ba,b.

Wichtige Stammfunktionen:

  • Konstante Funktion: Fxx = kx + C
  • e-Funktion: Fxx = e^x + C
  • Natürlicher Logarithmus: Fxx = x · lnxx - x + C

Bei der Flächenberechnung unterscheidet man:

  1. Orientierte Flächeninhalte eigentlichesIntegraleigentliches Integral
  2. Nicht orientierte Flächeninhalte uneigentlichesIntegraluneigentliches Integral

Highlight: Auch Flächen, die ins Unendliche reichen, können endliche Inhalte haben.

Zur Berechnung von Flächen zwischen Funktionen:

  1. Schnittpunkte bestimmen
  2. Teilintegrale bilden
  3. A = ∫a,ba,b f(x)−g(x)f(x) - g(x) dx, wobei fxx die obere und gxx die untere Funktion ist

Example: Für fxx = x^2 ist die Stammfunktion Fxx = 1/31/3x^3 + C.

Diese Methoden ermöglichen die Berechnung komplexer Flächeninhalte, auch wenn die Funktionsgleichung nicht explizit gegeben ist.

Integrale -5 f(x)=e*;f'(x) = e F(x)=e* -4 -3 -2 -1 5- 4- 3- 2+ 1 (0/1) 0 -1- 1 f(x) = ex (1je) 2 e-Funktionen & f(x)=e²x f'(x) = 2e²x F(x)=

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E-Funktionen und ihre Eigenschaften

Die e-Funktion fxx = e^x ist eine fundamentale mathematische Funktion mit besonderen Eigenschaften:

  • Ihr Graph verläuft stets oberhalb der x-Achse und nähert sich dieser asymptotisch an.
  • Die Ableitung der e-Funktion ist sie selbst: f'xx = e^x.
  • Die Stammfunktion der e-Funktion ist ebenfalls e^x plus eine Konstante: Fxx = e^x + C.

Definition: Die e-Funktion verwendet die Eulersche Zahl e ≈ 2,71828 als Basis.

Wichtige Rechenregeln für e-Funktionen:

  • e^0 = 1
  • e^1 = e
  • e^x · e^y = e^x+yx+y

Beispiel: fxx = 5e^x hat die Ableitung f'xx = 5 · e^x.

Die Kettenregel spielt eine wichtige Rolle bei der Ableitung komplexerer e-Funktionen:

Highlight: Bei fxx = e^x2x^2 ist f'xx = 2x · e^x2x^2, wobei 2x die innere Ableitung und e^x2x^2 die äußere Ableitung ist.

Zur Lösung von e-Funktionen wird oft der natürliche Logarithmus ln als Umkehrfunktion verwendet:

  • lnexe^x = x
  • lnee = 1

Vocabulary: Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der e-Funktion.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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