E-Funktionen

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 Integrale
F(x)=e*
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5-
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f(x) = ex
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ƒ(x)=e*; ƒ'(x)=e*
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f(x) = e²x
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f'(x)=2e²x
F(x) = -1/e²

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Integrale F(x)=e* -3 -5 -4 -N -3 -2 -1 5- 4+ 3+ 2+ 1 (01 0 -1 1 f(x) = ex (1le) ƒ(x)=e*; ƒ'(x)=e* 4 f(x) = e²x 3 JE f'(x)=2e²x F(x) = -1/e² 2 0 2 e-Funktionen & 3 4 5 6 X f(x) = ex F(x) = e² + C eº=1 C₁ = e ex. evetty = BEISPIELE Terme vereinfachen Ableitung In (2x-1)=3 ein (2x-1)=³ = Gesamtfunktion Z.B.: Der Graph verläuft immer oberhalb der x- Achse. Er nähert sich ihr, wird sie aber nicht schneiden. 2X-A X Exponentialfunktion x → e* mit der eulerschen Zahl unter Verwendung des natürlichen e=2,71828... als Basis Logarithmus (in(x) = ex-ina Kellenregel f(x) = v'(x) innere = e³ e³ +1 2 f(x) = ex f'(x)= 5. ex Lösen yon e-Funktionen Zur Lösung von e-Funktionen verwendet man in der Regel ihre Umkehrfunktion, den natürlichen Logarithmus In. Ein nützlicher Zusammenhang ist Inle²) = 2 Ableitung 1:2 1+1 Mysachers.. partus . In (2²) = In (C²2²) = -2 In ( √e) = in (e) : 2 = 1/2 in (€2²) = in (2²)- In(K) ein (³) = 3 in (x) 10,54 f(x) ex 2e 3e e²x e³x u' (v(x)) äußere Ableitung ex² e2-4x = X denn Aussagen über die Ableitung einer Funktion f'(x) e 2e 3e 2e2z 3e3x 2xe*² -4e²-4x ODER 20e3x 3.20e³ x. e²x Produktregel In (ex) = 2-In(K) In (e) = 1 e²x + 1 = 1/2 2x+1 X = X = = BEISPIEL f(x) = et² V(x)= x² u(x)= et V'(x)=2x U'(x) - e u² (v (x)) = ex² In () lin In (1)-1 2 Weiteres Beispiel 1-1 1:2 f'(x) = v'(x) · U² (√(x)) = 2X- -2 1. et² = -0,847 = ex Somit ergibt sich für die erste Ableitung: -1 (0|1) • Die Kettenregel erklärt den vorgang zur Ableitung, dlech bei Betrachtung der Funktion, kann man den weg häufig um einiges schneller finden! f(x) = (x²-2) 2 u(x) v(x) Wer möchte, kann diesen Ausdruck jetzt noch etwas umschreiben: mit u(x)=x²-2 u'(x) = 2x und v(z)e-2x v'(x) = -2e-2x y₁ f'(x) = 2xe...

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2 + (x²-2).(-2e-2²) 5 4 3 f'(x) = e ²¹ (2x + (x² − 2)(-2)) =e-2¹ (2x2x² + 4) =e=2¹(-2x² + 2x + 4) 2 f(x)= (n (x) 1² V(x) = n(x) V'(x) = u'(v(x)) = 2 (In(x)) f'(x) = 2√n(x) 1 0 1 u(x) = x² u²(x)=2x (1|e) = 210 (x) X 2 ४ ४ Z.B. Ableiten allein durch Betrachten: f(x)= (x³-2x)4 O Zerfall um 8,3% Statwert OS 20 Ableitung f(t) = (1-2+²)-4 f'(t) = -4.(1-2¹)-³ (-ut) f(x)=√x³-₁¹ 80 f(t) = 0,5-en 0₁5.0 in (01917).t 0,087 t Wachstum & Zerfall Begrenzle zu- und Abnahme: Abnahme 80°C Kaffee f'(x)= 4⋅ (x²³-2x) ³. (3x²-2) Äußere f'(x)= 3x² 20°C Raum f(t) = 60∙ e" 80-20=60 2-√x²-1² -0, 15t → 91,7% In(0917)= -0,087 zer fallskonstante ähnelt prozentuellen wert ↑ +20 innere Ableitung denn an BEISPIELEN → Sättigungsgrenz 60+20 ergeben den Grenzwert (80°c kaffee) Abkühlung 15% minütlich f(x)=√x f'x 1 2.1x Zunahme 14°C saft 30°C Raum f(t) = 30-16 e 16{ -0,05t 30- t ли 5% zunahme Differenz: 30-14=16 Hauptsatz der Differentialrechnung und Integralrechnung (HID) Unter der Voraussetzung, dass F(x) eine Stammfunktion der stetigen Funktion f(x) ist, also F'(x) = f(x), gilt nach dem HDI: } f(x) dx = [F(x)] = F(b)-F(a) √(1-x1²0x Stammfunktion bilden Wichtige Stammfunktionen konstante Funktion Potenzfunktion Hyperbel e-Funktion In-Funktion Sinus Kosinus = X-X Funktion f f(x) = k f(x) = x mit n € R\{-1} f(x) 1 X f(x) = ex g(x) f(x) = X₂ =x-1 f(x) = ln(x) f(x) = sin(x) f(x) = cos(x) X₂ Stammfunktion von f F(x) = k·x+C 1 n+1 F(x) = ln |x| + C F(x) = F(x) = e* + C x+1+C F(x)=x+x. ln(x) + C Orientierte und nicht orientierte Flächeninhalte ermitteln orientierte Flächeninhalte = eigentliche Integral -> die zu berechnende Fläche ist von a und b beschränkt (siehe obrige. Themen) nicht orientierte Flächeninhalte = uneigentliches Integral -> eine Fläche kann ins Unendliche reichen und -> zur Seite und nach oben begrenzt aber unendlich F(x) = cos(x) + C F(x) = sin(x) + C -> Flächen → Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen dennoch endliche Flächeninha He besitzen Beispiel die Fläche reicht in Richtung der x-Achse unendlich weit, dennoch könnte der Flächeninhalt nendlich sein. Flächeninhalte zwischen Funktionen berechnen, auch bei mehreren Schnittpunkten als allgemeine Regel gilt: f(x)= x² -> f'(x)= 3· 个 Wenn f und 9 zwei Funktionen sind, die auf dem Intervall [aib] stetig sind und g(x) =f(x) für alle x in [a; b], dann ist die Fläche, die von beiden Funktionen eingeschlossen wird. asymptotischer Verlauf A = [(*)-(x)]dx -> den oberen - den unteren Funktionsgraphen Schnittstellen berechnen: f(x) = g(x) -> Teilintegrale falls die Graphen, sich an +4 · zwischen Funktionsgraphen und der x.- Achse berechnen, auch wenn die Funktionsgleichung nicht angegeben ist obere- untere Funktion z -> Schnittstellen bilden das Integral Mehreren Punkten. schneiden

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-3
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-3
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5-
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3+
2+
1 (01
0
-1
1
f(x) = ex
(1le)
ƒ(x)=e*; ƒ'(x)=e*
4
f(x) = e²x
3
JE
f'(x)=2e²x
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Cool, mit dem Lernzettel konnte ich mich richtig gut auf meine Klassenarbeit vorbereiten. Danke 👍👍

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