Anwendungen der E-Funktion

E-Funktionen finden breite Anwendung in der Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsprozessen:

1. Exponentielles Wachstum: f(t) = a · e^(kt), wobei k > 0
2. Exponentieller Zerfall: f(t) = a · e^(-kt), wobei k > 0

Beispiel: Ein Kaffee mit 80°C kühlt in einem 20°C warmen Raum ab. Die Temperatur nach t Minuten kann durch f(t) = 60 · e^(-0,15t) + 20 beschrieben werden.

Die Zerfallskonstante k ist oft eng mit dem prozentualen Wert verbunden:

Highlight: Bei einem Zerfall um 8,3% pro Zeiteinheit ist k ≈ -ln(0,917) ≈ 0,087.

Begrenzte Zu- und Abnahme:

• Bei Abkühlung oder Erwärmung nähert sich die Temperatur asymptotisch der Umgebungstemperatur.
• Bei Wachstumsprozessen gibt es oft eine Sättigungsgrenze.

Example: Ein 14°C kalter Saft erwärmt sich in einem 30°C warmen Raum gemäß f(t) = 30 - 16 · e^(-0,05t).

E-Funktionen und ihre Eigenschaften

Die e-Funktion f(x) = e^x ist eine fundamentale mathematische Funktion mit besonderen Eigenschaften:

• Ihr Graph verläuft stets oberhalb der x-Achse und nähert sich dieser asymptotisch an.
• Die Ableitung der e-Funktion ist sie selbst: f'(x) = e^x.
• Die Stammfunktion der e-Funktion ist ebenfalls e^x plus eine Konstante: F(x) = e^x + C.

Definition: Die e-Funktion verwendet die Eulersche Zahl e ≈ 2,71828 als Basis.

Wichtige Rechenregeln für e-Funktionen:

• e^0 = 1
• e^1 = e
• e^x · e^y = e^(x+y)

Beispiel: f(x) = 5e^x hat die Ableitung f'(x) = 5 · e^x.

Die Kettenregel spielt eine wichtige Rolle bei der Ableitung komplexerer e-Funktionen:

Highlight: Bei f(x) = e^(x^2) ist f'(x) = 2x · e^(x^2), wobei 2x die innere Ableitung und e^(x^2) die äußere Ableitung ist.

Zur Lösung von e-Funktionen wird oft der natürliche Logarithmus ln als Umkehrfunktion verwendet:

• ln(e^x) = x
• ln(e) = 1

Vocabulary: Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der e-Funktion.

Integration und Flächenberechnung

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) verbindet Ableitung und Integration:

∫[a,b] f(x)dx = [F(x)]^b_a = F(b) - F(a)

Dabei ist F(x) eine Stammfunktion von f(x).

Definition: Das bestimmte Integral ∫[a,b] f(x)dx berechnet die Fläche zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse im Intervall [a,b].

Wichtige Stammfunktionen:

• Konstante Funktion: F(x) = kx + C
• e-Funktion: F(x) = e^x + C
• Natürlicher Logarithmus: F(x) = x · ln(x) - x + C

Bei der Flächenberechnung unterscheidet man:

1. Orientierte Flächeninhalte (eigentliches Integral)
2. Nicht orientierte Flächeninhalte (uneigentliches Integral)

Highlight: Auch Flächen, die ins Unendliche reichen, können endliche Inhalte haben.

Zur Berechnung von Flächen zwischen Funktionen:

1. Schnittpunkte bestimmen
2. Teilintegrale bilden
3. A = ∫[a,b] [f(x) - g(x)] dx, wobei f(x) die obere und g(x) die untere Funktion ist

Example: Für f(x) = x^2 ist die Stammfunktion F(x) = (1/3)x^3 + C.

Diese Methoden ermöglichen die Berechnung komplexer Flächeninhalte, auch wenn die Funktionsgleichung nicht explizit gegeben ist.