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E-Funktionen

27.4.2021

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Integrale
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f(x)=e*;f'(x) = e
F(x)=e*
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f(x) = ex
(1je)
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f(x)=e²x
f'(x) = 2e²x
F(x)=
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f'(x) = 2e²x
F(x)=
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Integrale
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F(x)=e*
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&
f(x)=e²x
f'(x) = 2e²x
F(x)=

Integrale -5 f(x)=e*;f'(x) = e F(x)=e* -4 -3 -2 -1 5- 4- 3- 2+ 1 (0/1) 0 -1- 1 f(x) = ex (1je) 2 e-Funktionen & f(x)=e²x f'(x) = 2e²x F(x)= =-e 2x 3 5 6 f(x) = ex F(x) = ² + C eº = 1 e₁ = e ex. ev = exty BEISPIELE Terme vereinfachen: Ableitung Z.B. in (2x-1)=3 ein (2x-1)=³ 2x-1 X = Der Graph verläuft immer oberhalb der x- Achse. Er nähert sich ihr, wird sie aber nicht schneiden Exponentialfunktion xe mit der eulerschen Zahl unter Verwendung des natürlichen e-2,71828. als Basis Logarithmus (Inx) a ex ind > f(x) = 5x f'(x)= 5. ex e³+1 2 Kettenregel f(x) = √'(X) innere Gesamtfunktion Ableitung Lösen von e-Funktionen Zur Lösung von e-Funktionen verwendet man in der Regel ihre Umkehrfunktion, den natürlichen Logarithmus In. Ein nützlicher Zusammenhang ist 1:2 +1 In(e²) = 2 Allymarines = 10,54 In () In (²)= -2 In (re) = in (e) : 2 = 1 2e e f(x) e² in (x) u' (v(x)) äußere Ableitung 3e² in (²²) = in (2²) - In(K) = 2-In(K) ein (a) = 3 22 ez 20e3 =X denn Aussagen über die Ableitung einer Funktion f'(x) e² Ubahan] 2e² 3e² 2e2z 2ze ODER -4e²-4 3-20e³ In (ex) = x e²x + 1 = 1/2 lin 2x+1= In (1) In (e) = 1 2e²z Produktregel X BEISPIEL f(x) = et² = In (4) -^ 2 Die Kettenregel erklärt den vorgang zur Ableitung, doch bei Betrachtung der Funktion, kann man den weg häufig um einiges schneller finden! 1-1 1:2 Y(x)= x² u(x)= et v'(x)=2x u(x)-e² _u² (v (x)) = ex² f'(x) = v'(X) - W' (V(x)) = 2x - et² Weiteres Beispiel y = ex -2 = -0,847 Somit ergibt sich für die erste Ableitungs -1 (011) Wer möchte, kann diesen Ausdruck jetzt noch etwas umschreiben f(x)= (in (x))² V(x) = \n(x) v²(x) = 1/ f(z)-(²-2) mit u(z)-²-2 a(z)=2z und v(z)e2 (2)=-26-20 y f'(z)2ze2+(2²-2)-(-22) 5 4 f(2)=(22+ (2²-2)(-2)) =e3(2x-22²+4) =(-2z²+2x+4) 3 2 1 0 u'(v(x))...

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= 2 (In(x)) f'(x) = ² · 2in(x) = 210 (x) 1 u(x) = x² u'(x)=2x (1|e) 2 x Z.B. Ableiten allein durch Betrachten: f'(x)= 4. (x³-2x)³ (3x²-2) Außere Ableitung f(t) = (1-2+²)-4 f'(t) = -4.(1-2+)²³ (-4t) 80 f(x) = (x³-2x)" Zerfall um 8,3% Statwert as 20 0 f(x)=√x³-1¹ fit)- 05-e ein (0.817).t = 0,560,087 t Begrenzte zu- und Abnahme: Wachstum & Zerfall Abnahme f'(x)= 80°C Kaffee 3x² 2√x²-1² 80-20-60 f(t) = 60 € ²0, 15t +20 innere → 91,7% In (0,917)= -0,087 zerfallskonstante ähnelt prozentuellen Wert 1 Ableitung denn 20°C Raum Abkühlung 15% minütlich 60120 ergeben den Grenzwert (80°C kaffee) → Sättigungsgrenze an BEISPIELEN f(x)=√x f'(x ^ 2-1x 14°C saft 30°C Raum f(t)= 30-16 e 16{ zunanme 30- ли 5% zunahme -0,05t Differenz: 30-14=16 Hauptsatz der Differentialrechnung und Integralrechnung (HID) Unter der Voraussetzung, dass F(x) eine Stammfunktion der stetigen Funktion f(x) ist, also F'(x) = f(x), gilt nach dem HDI: 4(x)dx = [F(x)] = F(b)-F(a) Su-xizax Stammfunktion bilden Wichtige Stammfunktionen konstante Funktion Potenzfunktion Hyperbel e-Funktion In-Funktion Sinus Kosinus X-X Funktion f f(x)=k f(x)= x mitn ER\{-1} f(x) = ² = x foxx) f(x)=e* g(x) f(x) = ln(x) f(x)=sin(x) f(x) = cos(x) Stammfunktion von f F(x)=k.x+C F(x) = +1+1+C F(x)= In x +C Orientierte und nicht orientierte Flächeninhalte ermitteln orientierte Flächeninhalte = eigentliche Integral -> die zu berechnende Fläche ist Ivon a und b beschränkt (siehe obrige Themen) A=[(x)-(x)] dx F(x)=e* + C F(x)=x+x. ln(x) + C F(x) = cos(x) + C F(x)=sin(x) + C nicht orientierte Flächeninhalte= uneigentliches Integral -> eine Fläche kann ins Unendliche reichen und dennoch endliche Flächeninha. He besitzen -> zur Seite und nach oben begrenzt aber unendlich Beispiel die Fläche reicht in Richtung der x-Achse unendlich weit, dennoch könnte der Flächeninhalt endlich sein. Flächeninhalte zwischen Funktionen berechnen, auch bei mehreren Schnittpunkten als allgemeine Regel gilt: f(x)= x² -> {/x)= x ³ → Flächen zwischen Funktionsgraphen und der x- Achse berechnen, auch wenn die Funktionsgleichung nicht angegeben ist → Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen • Wenn f und g zwei Funktionen sind, die auf dem Intervall [aib] stetig sind und g(x) =f(x) für alle x in [a, b], dann ist die Fläche, die von beiden. Funktionen eingeschlossen wird. obere- untere Function -> den oberen- den unteren Funktionsgraphen Schnittstellen berechnen: f(x) = g(x) -> Teilintegrale falls die Graphen sich plotischer an Verlauf Punkten -> Schnittstellen bilden das Integral Mehreren schneiden