Ableitungen und Integrationen von E-Funktionen

Die Ableitung von e-Funktionen folgt speziellen Regeln:

1. Die Ableitung von e^x ist e^x selbst.
2. Bei komplexeren Funktionen wie e^(2x) wird die Kettenregel angewendet.

Beispiel: Die Ableitung von f(x) = e^(x^2) ist f'(x) = 2x · e^(x^2).

Die Kettenregel ist besonders wichtig bei der Ableitung von e-Funktionen:

• Bei f(x) = (ln(x))^2 ist f'(x) = 2ln(x) · 1/x

Highlight: Die Betrachtung der Funktion kann oft einen schnelleren Weg zur Ableitung zeigen als die mechanische Anwendung der Kettenregel.

Partielle Integration wird oft bei der Integration von e-Funktionen verwendet:

Example: ∫xe^x dx = xe^x - e^x + C

Die Stammfunktion der e-Funktion ist sie selbst plus eine Konstante:

F(x) = e^x + C

Definition: Eine Stammfunktion F(x) ist eine Funktion, deren Ableitung die ursprüngliche Funktion f(x) ergibt.

Integration und Flächenberechnung

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) verbindet Ableitung und Integration:

∫[a,b] f(x)dx = [F(x)]^b_a = F(b) - F(a)

Dabei ist F(x) eine Stammfunktion von f(x).

Definition: Das bestimmte Integral ∫[a,b] f(x)dx berechnet die Fläche zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse im Intervall [a,b].

Wichtige Stammfunktionen:

• Konstante Funktion: F(x) = kx + C
• e-Funktion: F(x) = e^x + C
• Natürlicher Logarithmus: F(x) = x · ln(x) - x + C

Bei der Flächenberechnung unterscheidet man:

1. Orientierte Flächeninhalte (eigentliches Integral)
2. Nicht orientierte Flächeninhalte (uneigentliches Integral)

Highlight: Auch Flächen, die ins Unendliche reichen, können endliche Inhalte haben.

Zur Berechnung von Flächen zwischen Funktionen:

1. Schnittpunkte bestimmen
2. Teilintegrale bilden
3. A = ∫[a,b] [f(x) - g(x)] dx, wobei f(x) die obere und g(x) die untere Funktion ist

Example: Für f(x) = x^2 ist die Stammfunktion F(x) = (1/3)x^3 + C.

Diese Methoden ermöglichen die Berechnung komplexer Flächeninhalte, auch wenn die Funktionsgleichung nicht explizit gegeben ist.