E-Funktionen

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= 2 (In(x)) f'(x) = ² · 2in(x) = 210 (x) 1 u(x) = x² u'(x)=2x (1|e) 2 x Z.B. Ableiten allein durch Betrachten: f'(x)= 4. (x³-2x)³ (3x²-2) Außere Ableitung f(t) = (1-2+²)-4 f'(t) = -4.(1-2+)²³ (-4t) 80 f(x) = (x³-2x)" Zerfall um 8,3% Statwert as 20 0 f(x)=√x³-1¹ fit)- 05-e ein (0.817).t = 0,560,087 t Begrenzte zu- und Abnahme: Wachstum & Zerfall Abnahme f'(x)= 80°C Kaffee 3x² 2√x²-1² 80-20-60 f(t) = 60 € ²0, 15t +20 innere → 91,7% In (0,917)= -0,087 zerfallskonstante ähnelt prozentuellen Wert 1 Ableitung denn 20°C Raum Abkühlung 15% minütlich 60120 ergeben den Grenzwert (80°C kaffee) → Sättigungsgrenze an BEISPIELEN f(x)=√x f'(x ^ 2-1x 14°C saft 30°C Raum f(t)= 30-16 e 16{ zunanme 30- ли 5% zunahme -0,05t Differenz: 30-14=16 Hauptsatz der Differentialrechnung und Integralrechnung (HID) Unter der Voraussetzung, dass F(x) eine Stammfunktion der stetigen Funktion f(x) ist, also F'(x) = f(x), gilt nach dem HDI: 4(x)dx = [F(x)] = F(b)-F(a) Su-xizax Stammfunktion bilden Wichtige Stammfunktionen konstante Funktion Potenzfunktion Hyperbel e-Funktion In-Funktion Sinus Kosinus X-X Funktion f f(x)=k f(x)= x mitn ER\{-1} f(x) = ² = x foxx) f(x)=e* g(x) f(x) = ln(x) f(x)=sin(x) f(x) = cos(x) Stammfunktion von f F(x)=k.x+C F(x) = +1+1+C F(x)= In x +C Orientierte und nicht orientierte Flächeninhalte ermitteln orientierte Flächeninhalte = eigentliche Integral -> die zu berechnende Fläche ist Ivon a und b beschränkt (siehe obrige Themen) A=[(x)-(x)] dx F(x)=e* + C F(x)=x+x. ln(x) + C F(x) = cos(x) + C F(x)=sin(x) + C nicht orientierte Flächeninhalte= uneigentliches Integral -> eine Fläche kann ins Unendliche reichen und dennoch endliche Flächeninha. He besitzen -> zur Seite und nach oben begrenzt aber unendlich Beispiel die Fläche reicht in Richtung der x-Achse unendlich weit, dennoch könnte der Flächeninhalt endlich sein. Flächeninhalte zwischen Funktionen berechnen, auch bei mehreren Schnittpunkten als allgemeine Regel gilt: f(x)= x² -> {/x)= x ³ → Flächen zwischen Funktionsgraphen und der x- Achse berechnen, auch wenn die Funktionsgleichung nicht angegeben ist → Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen • Wenn f und g zwei Funktionen sind, die auf dem Intervall [aib] stetig sind und g(x) =f(x) für alle x in [a, b], dann ist die Fläche, die von beiden. Funktionen eingeschlossen wird. obere- untere Function -> den oberen- den unteren Funktionsgraphen Schnittstellen berechnen: f(x) = g(x) -> Teilintegrale falls die Graphen sich plotischer an Verlauf Punkten -> Schnittstellen bilden das Integral Mehreren schneiden