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Exponentialfunktion

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Brand: Knowunity

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Valerie

@valeriesthr_20d06c

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Die Ableitung von e-Funktionen und deren Integrale sind zentrale Themen der Differentialrechnung. Der natürliche Logarithmus spielt eine wichtige Rolle bei der Lösung von e-Funktionen. Wachstum und Zerfall bei Exponentialfunktionen werden anhand praktischer Beispiele erläutert. Der Hauptsatz der Differentialrechnung und Integralrechnung verbindet Ableitung und Integration und ermöglicht die Berechnung von Flächeninhalten.

• Die e-Funktion und ihre Ableitungen werden ausführlich behandelt, einschließlich Kettenregel und Produktregel.
• Praktische Anwendungen wie Wachstums- und Zerfallsprozesse werden mit e-Funktionen modelliert.
• Wichtige Stammfunktionen und Integrationsregeln werden vorgestellt.
• Die Berechnung von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraphen wird erklärt.

27.4.2021

6302

Integrale
-5
f(x)=e*;f'(x) = e
F(x)=e*
-4
-3
-2
-1
5-
4-
3-
2+
1 (0/1)
0
-1-
1
f(x) = ex
(1je)
2
e-Funktionen
&
f(x)=e²x
f'(x) = 2e²x
F(x)=

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Ableitungen und Integrationen von E-Funktionen

Die Ableitung von e-Funktionen folgt speziellen Regeln:

Die Ableitung von e^x ist e^x selbst.
Bei komplexeren Funktionen wie e^(2x) wird die Kettenregel angewendet.

Beispiel: Die Ableitung von f(x) = e^(x^2) ist f'(x) = 2x · e^(x^2).

Die Kettenregel ist besonders wichtig bei der Ableitung von e-Funktionen:

Bei f(x) = (ln(x))^2 ist f'(x) = 2ln(x) · 1/x

Highlight: Die Betrachtung der Funktion kann oft einen schnelleren Weg zur Ableitung zeigen als die mechanische Anwendung der Kettenregel.

Partielle Integration wird oft bei der Integration von e-Funktionen verwendet:

Example: ∫xe^x dx = xe^x - e^x + C

Die Stammfunktion der e-Funktion ist sie selbst plus eine Konstante:

F(x) = e^x + C

Definition: Eine Stammfunktion F(x) ist eine Funktion, deren Ableitung die ursprüngliche Funktion f(x) ergibt.

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Anwendungen der E-Funktion

E-Funktionen finden breite Anwendung in der Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsprozessen:

Exponentielles Wachstum: f(t) = a · e^(kt), wobei k > 0
Exponentieller Zerfall: f(t) = a · e^(-kt), wobei k > 0

Beispiel: Ein Kaffee mit 80°C kühlt in einem 20°C warmen Raum ab. Die Temperatur nach t Minuten kann durch f(t) = 60 · e^(-0,15t) + 20 beschrieben werden.

Die Zerfallskonstante k ist oft eng mit dem prozentualen Wert verbunden:

Highlight: Bei einem Zerfall um 8,3% pro Zeiteinheit ist k ≈ -ln(0,917) ≈ 0,087.

Begrenzte Zu- und Abnahme:

Bei Abkühlung oder Erwärmung nähert sich die Temperatur asymptotisch der Umgebungstemperatur.
Bei Wachstumsprozessen gibt es oft eine Sättigungsgrenze.

Example: Ein 14°C kalter Saft erwärmt sich in einem 30°C warmen Raum gemäß f(t) = 30 - 16 · e^(-0,05t).

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Integration und Flächenberechnung

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) verbindet Ableitung und Integration:

∫[a,b] f(x)dx = [F(x)]^b_a = F(b) - F(a)

Dabei ist F(x) eine Stammfunktion von f(x).

Definition: Das bestimmte Integral ∫[a,b] f(x)dx berechnet die Fläche zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse im Intervall [a,b].

Wichtige Stammfunktionen:

Konstante Funktion: F(x) = kx + C
e-Funktion: F(x) = e^x + C
Natürlicher Logarithmus: F(x) = x · ln(x) - x + C

Bei der Flächenberechnung unterscheidet man:

Orientierte Flächeninhalte (eigentliches Integral)
Nicht orientierte Flächeninhalte (uneigentliches Integral)

Highlight: Auch Flächen, die ins Unendliche reichen, können endliche Inhalte haben.

Zur Berechnung von Flächen zwischen Funktionen:

Schnittpunkte bestimmen
Teilintegrale bilden
A = ∫[a,b] [f(x) - g(x)] dx, wobei f(x) die obere und g(x) die untere Funktion ist

Example: Für f(x) = x^2 ist die Stammfunktion F(x) = (1/3)x^3 + C.

Diese Methoden ermöglichen die Berechnung komplexer Flächeninhalte, auch wenn die Funktionsgleichung nicht explizit gegeben ist.

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E-Funktionen und ihre Eigenschaften

Die e-Funktion f(x) = e^x ist eine fundamentale mathematische Funktion mit besonderen Eigenschaften:

Ihr Graph verläuft stets oberhalb der x-Achse und nähert sich dieser asymptotisch an.
Die Ableitung der e-Funktion ist sie selbst: f'(x) = e^x.
Die Stammfunktion der e-Funktion ist ebenfalls e^x plus eine Konstante: F(x) = e^x + C.

Definition: Die e-Funktion verwendet die Eulersche Zahl e ≈ 2,71828 als Basis.

Wichtige Rechenregeln für e-Funktionen:

e^0 = 1
e^1 = e
e^x · e^y = e^(x+y)

Beispiel: f(x) = 5e^x hat die Ableitung f'(x) = 5 · e^x.

Die Kettenregel spielt eine wichtige Rolle bei der Ableitung komplexerer e-Funktionen:

Highlight: Bei f(x) = e^(x^2) ist f'(x) = 2x · e^(x^2), wobei 2x die innere Ableitung und e^(x^2) die äußere Ableitung ist.

Zur Lösung von e-Funktionen wird oft der natürliche Logarithmus ln als Umkehrfunktion verwendet:

ln(e^x) = x
ln(e) = 1

Vocabulary: Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der e-Funktion.

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Bei komplexeren Funktionen wie e^(2x) wird die Kettenregel angewendet.

Beispiel: Die Ableitung von f(x) = e^(x^2) ist f'(x) = 2x · e^(x^2).

Die Kettenregel ist besonders wichtig bei der Ableitung von e-Funktionen:

Bei f(x) = (ln(x))^2 ist f'(x) = 2ln(x) · 1/x

Highlight: Die Betrachtung der Funktion kann oft einen schnelleren Weg zur Ableitung zeigen als die mechanische Anwendung der Kettenregel.

Partielle Integration wird oft bei der Integration von e-Funktionen verwendet:

Example: ∫xe^x dx = xe^x - e^x + C

Die Stammfunktion der e-Funktion ist sie selbst plus eine Konstante:

F(x) = e^x + C

Definition: Eine Stammfunktion F(x) ist eine Funktion, deren Ableitung die ursprüngliche Funktion f(x) ergibt.

Anwendungen der E-Funktion

E-Funktionen finden breite Anwendung in der Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsprozessen:

Exponentielles Wachstum: f(t) = a · e^(kt), wobei k > 0
Exponentieller Zerfall: f(t) = a · e^(-kt), wobei k > 0

Beispiel: Ein Kaffee mit 80°C kühlt in einem 20°C warmen Raum ab. Die Temperatur nach t Minuten kann durch f(t) = 60 · e^(-0,15t) + 20 beschrieben werden.

Die Zerfallskonstante k ist oft eng mit dem prozentualen Wert verbunden:

Highlight: Bei einem Zerfall um 8,3% pro Zeiteinheit ist k ≈ -ln(0,917) ≈ 0,087.

Begrenzte Zu- und Abnahme:

Bei Abkühlung oder Erwärmung nähert sich die Temperatur asymptotisch der Umgebungstemperatur.
Bei Wachstumsprozessen gibt es oft eine Sättigungsgrenze.

Example: Ein 14°C kalter Saft erwärmt sich in einem 30°C warmen Raum gemäß f(t) = 30 - 16 · e^(-0,05t).

Integration und Flächenberechnung

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) verbindet Ableitung und Integration:

∫[a,b] f(x)dx = [F(x)]^b_a = F(b) - F(a)

Dabei ist F(x) eine Stammfunktion von f(x).

Definition: Das bestimmte Integral ∫[a,b] f(x)dx berechnet die Fläche zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse im Intervall [a,b].

Wichtige Stammfunktionen:

Konstante Funktion: F(x) = kx + C
e-Funktion: F(x) = e^x + C
Natürlicher Logarithmus: F(x) = x · ln(x) - x + C

Bei der Flächenberechnung unterscheidet man:

Orientierte Flächeninhalte (eigentliches Integral)
Nicht orientierte Flächeninhalte (uneigentliches Integral)

Highlight: Auch Flächen, die ins Unendliche reichen, können endliche Inhalte haben.

Zur Berechnung von Flächen zwischen Funktionen:

Schnittpunkte bestimmen
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A = ∫[a,b] [f(x) - g(x)] dx, wobei f(x) die obere und g(x) die untere Funktion ist

Example: Für f(x) = x^2 ist die Stammfunktion F(x) = (1/3)x^3 + C.

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Die e-Funktion f(x) = e^x ist eine fundamentale mathematische Funktion mit besonderen Eigenschaften:

Ihr Graph verläuft stets oberhalb der x-Achse und nähert sich dieser asymptotisch an.
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Die Stammfunktion der e-Funktion ist ebenfalls e^x plus eine Konstante: F(x) = e^x + C.

Definition: Die e-Funktion verwendet die Eulersche Zahl e ≈ 2,71828 als Basis.

Wichtige Rechenregeln für e-Funktionen:

e^0 = 1
e^1 = e
e^x · e^y = e^(x+y)

Beispiel: f(x) = 5e^x hat die Ableitung f'(x) = 5 · e^x.

Die Kettenregel spielt eine wichtige Rolle bei der Ableitung komplexerer e-Funktionen:

Highlight: Bei f(x) = e^(x^2) ist f'(x) = 2x · e^(x^2), wobei 2x die innere Ableitung und e^(x^2) die äußere Ableitung ist.

Zur Lösung von e-Funktionen wird oft der natürliche Logarithmus ln als Umkehrfunktion verwendet:

ln(e^x) = x
ln(e) = 1

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