Knowunity
Schule. Endlich einfach.
Mathe /
E-Funktionen
E-Funktionen
E-Funktionen
Valerie
35 Follower
202
Teilen
Speichern
e funktionen und integrale
11/12
Lernzettel
Integrale F(x)=e* -3 -5 -4 -N -3 -2 -1 5- 4+ 3+ 2+ 1 (01 0 -1 1 f(x) = ex (1le) ƒ(x)=e*; ƒ'(x)=e* 4 f(x) = e²x 3 JE f'(x)=2e²x F(x) = -1/e² 2 0 2 e-Funktionen & 3 4 5 6 X f(x) = ex F(x) = e² + C eº=1 C₁ = e ex. evetty = BEISPIELE Terme vereinfachen Ableitung In (2x-1)=3 ein (2x-1)=³ = Gesamtfunktion Z.B.: Der Graph verläuft immer oberhalb der x- Achse. Er nähert sich ihr, wird sie aber nicht schneiden. 2X-A X Exponentialfunktion x → e* mit der eulerschen Zahl unter Verwendung des natürlichen e=2,71828... als Basis Logarithmus (in(x) = ex-ina Kellenregel f(x) = v'(x) innere = e³ e³ +1 2 f(x) = ex f'(x)= 5. ex Lösen yon e-Funktionen Zur Lösung von e-Funktionen verwendet man in der Regel ihre Umkehrfunktion, den natürlichen Logarithmus In. Ein nützlicher Zusammenhang ist Inle²) = 2 Ableitung 1:2 1+1 Mysachers.. partus . In (2²) = In (C²2²) = -2 In ( √e) = in (e) : 2 = 1/2 in (€2²) = in (2²)- In(K) ein (³) = 3 in (x) 10,54 f(x) ex 2e 3e e²x e³x u' (v(x)) äußere Ableitung ex² e2-4x = X denn Aussagen über die Ableitung einer Funktion f'(x) e 2e 3e 2e2z 3e3x 2xe*² -4e²-4x ODER 20e3x 3.20e³ x. e²x Produktregel In (ex) = 2-In(K) In (e) = 1 e²x + 1 = 1/2 2x+1 X = X = = BEISPIEL f(x) = et² V(x)= x² u(x)= et V'(x)=2x U'(x) - e u² (v (x)) = ex² In () lin In (1)-1 2 Weiteres Beispiel 1-1 1:2 f'(x) = v'(x) · U² (√(x)) = 2X- -2 1. et² = -0,847 = ex Somit ergibt sich für die erste Ableitung: -1 (0|1) • Die Kettenregel erklärt den vorgang zur Ableitung, dlech bei Betrachtung der Funktion, kann man den weg häufig um einiges schneller finden! f(x) = (x²-2) 2 u(x) v(x) Wer möchte, kann diesen Ausdruck jetzt noch etwas umschreiben: mit u(x)=x²-2 u'(x) = 2x und v(z)e-2x v'(x) = -2e-2x y₁ f'(x) = 2xe...
Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.
Mit uns zu mehr Spaß am Lernen
Lerne mit über 620.000 Lerninhalten von den besten Schüler:innen!
Vernetze dich mit anderen Schüler:innen und helft euch gegenseitig!
Bekomme bessere Noten ohne großen Aufwand!
App herunterladen
Alternativer Bildtext:
2 + (x²-2).(-2e-2²) 5 4 3 f'(x) = e ²¹ (2x + (x² − 2)(-2)) =e-2¹ (2x2x² + 4) =e=2¹(-2x² + 2x + 4) 2 f(x)= (n (x) 1² V(x) = n(x) V'(x) = u'(v(x)) = 2 (In(x)) f'(x) = 2√n(x) 1 0 1 u(x) = x² u²(x)=2x (1|e) = 210 (x) X 2 ४ ४ Z.B. Ableiten allein durch Betrachten: f(x)= (x³-2x)4 O Zerfall um 8,3% Statwert OS 20 Ableitung f(t) = (1-2+²)-4 f'(t) = -4.(1-2¹)-³ (-ut) f(x)=√x³-₁¹ 80 f(t) = 0,5-en 0₁5.0 in (01917).t 0,087 t Wachstum & Zerfall Begrenzle zu- und Abnahme: Abnahme 80°C Kaffee f'(x)= 4⋅ (x²³-2x) ³. (3x²-2) Äußere f'(x)= 3x² 20°C Raum f(t) = 60∙ e" 80-20=60 2-√x²-1² -0, 15t → 91,7% In(0917)= -0,087 zer fallskonstante ähnelt prozentuellen wert ↑ +20 innere Ableitung denn an BEISPIELEN → Sättigungsgrenz 60+20 ergeben den Grenzwert (80°c kaffee) Abkühlung 15% minütlich f(x)=√x f'x 1 2.1x Zunahme 14°C saft 30°C Raum f(t) = 30-16 e 16{ -0,05t 30- t ли 5% zunahme Differenz: 30-14=16 Hauptsatz der Differentialrechnung und Integralrechnung (HID) Unter der Voraussetzung, dass F(x) eine Stammfunktion der stetigen Funktion f(x) ist, also F'(x) = f(x), gilt nach dem HDI: } f(x) dx = [F(x)] = F(b)-F(a) √(1-x1²0x Stammfunktion bilden Wichtige Stammfunktionen konstante Funktion Potenzfunktion Hyperbel e-Funktion In-Funktion Sinus Kosinus = X-X Funktion f f(x) = k f(x) = x mit n € R\{-1} f(x) 1 X f(x) = ex g(x) f(x) = X₂ =x-1 f(x) = ln(x) f(x) = sin(x) f(x) = cos(x) X₂ Stammfunktion von f F(x) = k·x+C 1 n+1 F(x) = ln |x| + C F(x) = F(x) = e* + C x+1+C F(x)=x+x. ln(x) + C Orientierte und nicht orientierte Flächeninhalte ermitteln orientierte Flächeninhalte = eigentliche Integral -> die zu berechnende Fläche ist von a und b beschränkt (siehe obrige. Themen) nicht orientierte Flächeninhalte = uneigentliches Integral -> eine Fläche kann ins Unendliche reichen und -> zur Seite und nach oben begrenzt aber unendlich F(x) = cos(x) + C F(x) = sin(x) + C -> Flächen → Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen dennoch endliche Flächeninha He besitzen Beispiel die Fläche reicht in Richtung der x-Achse unendlich weit, dennoch könnte der Flächeninhalt nendlich sein. Flächeninhalte zwischen Funktionen berechnen, auch bei mehreren Schnittpunkten als allgemeine Regel gilt: f(x)= x² -> f'(x)= 3· 个 Wenn f und 9 zwei Funktionen sind, die auf dem Intervall [aib] stetig sind und g(x) =f(x) für alle x in [a; b], dann ist die Fläche, die von beiden Funktionen eingeschlossen wird. asymptotischer Verlauf A = [(*)-(x)]dx -> den oberen - den unteren Funktionsgraphen Schnittstellen berechnen: f(x) = g(x) -> Teilintegrale falls die Graphen, sich an +4 · zwischen Funktionsgraphen und der x.- Achse berechnen, auch wenn die Funktionsgleichung nicht angegeben ist obere- untere Funktion z -> Schnittstellen bilden das Integral Mehreren Punkten. schneiden
Mathe /
E-Funktionen
Valerie
35 Follower
e funktionen und integrale
Ähnliche Knows
52
Analysis (Teil 1) Mathe Abi nrw 2023
Lernzettel (Teil 1) zur Analysis. Hoffe es hilft euch weiter, saß da sehr lange dran:)
51
e-Funktionen
Extremstellen, Wendestellen, Symmetrie, Integralrechnung, Ableitungsregen (Ketten/Produktregel), Wachstumsfaktor, Randwertbetrachtung
41
e-Funktionen und ln-Funktionen
Basics über e-Funktionen und ln-Funktionen mit Beispielen
7
höhere Ableitungsregeln
Produktregel, Kettenregel
12
Analysis Lernzettel Abitur 2022
Das ist meine Zusammenfassung zu den Abiturthemen im Bereich Analysis für das Jahr 2022 aus Niedersachsen. Meine Quellen sind meine Aufzeichnungen sowie das Stark Abitur Skript
43
Ableitung der e-Funktion »🔢«
»🔢 Von einfachen zu schweren Beispielen ; Steigende Schwierigkeit der abgleitenden e-Funktion
Integrale F(x)=e* -3 -5 -4 -N -3 -2 -1 5- 4+ 3+ 2+ 1 (01 0 -1 1 f(x) = ex (1le) ƒ(x)=e*; ƒ'(x)=e* 4 f(x) = e²x 3 JE f'(x)=2e²x F(x) = -1/e² 2 0 2 e-Funktionen & 3 4 5 6 X f(x) = ex F(x) = e² + C eº=1 C₁ = e ex. evetty = BEISPIELE Terme vereinfachen Ableitung In (2x-1)=3 ein (2x-1)=³ = Gesamtfunktion Z.B.: Der Graph verläuft immer oberhalb der x- Achse. Er nähert sich ihr, wird sie aber nicht schneiden. 2X-A X Exponentialfunktion x → e* mit der eulerschen Zahl unter Verwendung des natürlichen e=2,71828... als Basis Logarithmus (in(x) = ex-ina Kellenregel f(x) = v'(x) innere = e³ e³ +1 2 f(x) = ex f'(x)= 5. ex Lösen yon e-Funktionen Zur Lösung von e-Funktionen verwendet man in der Regel ihre Umkehrfunktion, den natürlichen Logarithmus In. Ein nützlicher Zusammenhang ist Inle²) = 2 Ableitung 1:2 1+1 Mysachers.. partus . In (2²) = In (C²2²) = -2 In ( √e) = in (e) : 2 = 1/2 in (€2²) = in (2²)- In(K) ein (³) = 3 in (x) 10,54 f(x) ex 2e 3e e²x e³x u' (v(x)) äußere Ableitung ex² e2-4x = X denn Aussagen über die Ableitung einer Funktion f'(x) e 2e 3e 2e2z 3e3x 2xe*² -4e²-4x ODER 20e3x 3.20e³ x. e²x Produktregel In (ex) = 2-In(K) In (e) = 1 e²x + 1 = 1/2 2x+1 X = X = = BEISPIEL f(x) = et² V(x)= x² u(x)= et V'(x)=2x U'(x) - e u² (v (x)) = ex² In () lin In (1)-1 2 Weiteres Beispiel 1-1 1:2 f'(x) = v'(x) · U² (√(x)) = 2X- -2 1. et² = -0,847 = ex Somit ergibt sich für die erste Ableitung: -1 (0|1) • Die Kettenregel erklärt den vorgang zur Ableitung, dlech bei Betrachtung der Funktion, kann man den weg häufig um einiges schneller finden! f(x) = (x²-2) 2 u(x) v(x) Wer möchte, kann diesen Ausdruck jetzt noch etwas umschreiben: mit u(x)=x²-2 u'(x) = 2x und v(z)e-2x v'(x) = -2e-2x y₁ f'(x) = 2xe...
Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.
Mit uns zu mehr Spaß am Lernen
Lerne mit über 620.000 Lerninhalten von den besten Schüler:innen!
Vernetze dich mit anderen Schüler:innen und helft euch gegenseitig!
Bekomme bessere Noten ohne großen Aufwand!
App herunterladen
Alternativer Bildtext:
2 + (x²-2).(-2e-2²) 5 4 3 f'(x) = e ²¹ (2x + (x² − 2)(-2)) =e-2¹ (2x2x² + 4) =e=2¹(-2x² + 2x + 4) 2 f(x)= (n (x) 1² V(x) = n(x) V'(x) = u'(v(x)) = 2 (In(x)) f'(x) = 2√n(x) 1 0 1 u(x) = x² u²(x)=2x (1|e) = 210 (x) X 2 ४ ४ Z.B. Ableiten allein durch Betrachten: f(x)= (x³-2x)4 O Zerfall um 8,3% Statwert OS 20 Ableitung f(t) = (1-2+²)-4 f'(t) = -4.(1-2¹)-³ (-ut) f(x)=√x³-₁¹ 80 f(t) = 0,5-en 0₁5.0 in (01917).t 0,087 t Wachstum & Zerfall Begrenzle zu- und Abnahme: Abnahme 80°C Kaffee f'(x)= 4⋅ (x²³-2x) ³. (3x²-2) Äußere f'(x)= 3x² 20°C Raum f(t) = 60∙ e" 80-20=60 2-√x²-1² -0, 15t → 91,7% In(0917)= -0,087 zer fallskonstante ähnelt prozentuellen wert ↑ +20 innere Ableitung denn an BEISPIELEN → Sättigungsgrenz 60+20 ergeben den Grenzwert (80°c kaffee) Abkühlung 15% minütlich f(x)=√x f'x 1 2.1x Zunahme 14°C saft 30°C Raum f(t) = 30-16 e 16{ -0,05t 30- t ли 5% zunahme Differenz: 30-14=16 Hauptsatz der Differentialrechnung und Integralrechnung (HID) Unter der Voraussetzung, dass F(x) eine Stammfunktion der stetigen Funktion f(x) ist, also F'(x) = f(x), gilt nach dem HDI: } f(x) dx = [F(x)] = F(b)-F(a) √(1-x1²0x Stammfunktion bilden Wichtige Stammfunktionen konstante Funktion Potenzfunktion Hyperbel e-Funktion In-Funktion Sinus Kosinus = X-X Funktion f f(x) = k f(x) = x mit n € R\{-1} f(x) 1 X f(x) = ex g(x) f(x) = X₂ =x-1 f(x) = ln(x) f(x) = sin(x) f(x) = cos(x) X₂ Stammfunktion von f F(x) = k·x+C 1 n+1 F(x) = ln |x| + C F(x) = F(x) = e* + C x+1+C F(x)=x+x. ln(x) + C Orientierte und nicht orientierte Flächeninhalte ermitteln orientierte Flächeninhalte = eigentliche Integral -> die zu berechnende Fläche ist von a und b beschränkt (siehe obrige. Themen) nicht orientierte Flächeninhalte = uneigentliches Integral -> eine Fläche kann ins Unendliche reichen und -> zur Seite und nach oben begrenzt aber unendlich F(x) = cos(x) + C F(x) = sin(x) + C -> Flächen → Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen dennoch endliche Flächeninha He besitzen Beispiel die Fläche reicht in Richtung der x-Achse unendlich weit, dennoch könnte der Flächeninhalt nendlich sein. Flächeninhalte zwischen Funktionen berechnen, auch bei mehreren Schnittpunkten als allgemeine Regel gilt: f(x)= x² -> f'(x)= 3· 个 Wenn f und 9 zwei Funktionen sind, die auf dem Intervall [aib] stetig sind und g(x) =f(x) für alle x in [a; b], dann ist die Fläche, die von beiden Funktionen eingeschlossen wird. asymptotischer Verlauf A = [(*)-(x)]dx -> den oberen - den unteren Funktionsgraphen Schnittstellen berechnen: f(x) = g(x) -> Teilintegrale falls die Graphen, sich an +4 · zwischen Funktionsgraphen und der x.- Achse berechnen, auch wenn die Funktionsgleichung nicht angegeben ist obere- untere Funktion z -> Schnittstellen bilden das Integral Mehreren Punkten. schneiden