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Schnittpunkte zweier Funktionen einfach berechnen – Mathe für dich!

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6.2.2021

Mathe

Exponentialfunktion

Schnittpunkte zweier Funktionen einfach berechnen – Mathe für dich!

Die mathematische Analyse von Schnittpunkten zweier Funktionen ist ein fundamentales Konzept der höheren Mathematik.

In der Analysis beschäftigt man sich intensiv mit dem Schnittpunkt berechnen quadratische Funktion und dem Schnittpunkt berechnen lineare Funktion. Diese Berechnungen können sowohl algebraisch als auch graphisch durchgeführt werden. Bei komplexeren Funktionen, insbesondere bei Schnittpunkte zweier Funktionen 3. Grades, ist die Verwendung eines Schnittpunkte zweier Funktionen Rechner oft unerlässlich. Für Schüler und Studenten gibt es zahlreiche Schnittpunkte zweier Funktionen Aufgaben mit ausführlichen Lösungswegen, die das Verständnis vertiefen.

Im biologischen Kontext sind Pantoffeltierchen faszinierende Einzeller, die sich durch besondere Merkmale auszeichnen. Der Pantoffeltierchen Aufbau ist komplex: Mit einer durchschnittlichen Pantoffeltierchen Größe von 50-350 Mikrometern besitzen sie Zellkerne, Vakuolen und Cilien. Die Pantoffeltierchen Fortbewegung erfolgt durch diese Cilien, während die Pantoffeltierchen Ernährung hauptsächlich aus Bakterien besteht. Bei der Pantoffeltierchen Fortpflanzung ist die ungeschlechtliche Teilung der häufigste Weg. Zu den Pantoffeltierchen Besonderheiten gehört ihre Fähigkeit, sich sowohl asexuell als auch sexuell zu vermehren.

Für Oberstufenschüler sind Mathe LK Klausuren eine wichtige Herausforderung. Besonders in Nordrhein-Westfalen (Mathe LK Klausur NRW) umfassen diese verschiedene Themenbereiche wie Mathe LK Klausur Vektoren, Mathe LK Klausur Differentialrechnung und Mathe LK Klausur Stochastik. Zur Vorbereitung eignen sich Mathe Klasse 11 Übungen mit Lösungen PDF sowie spezifische Übungen zur Mathe Klausur Q1 Analysis. Die Mathe LK Klausur Exponentialfunktion und Abituraufgaben Integralrechnung PDF bieten zusätzliches Übungsmaterial für eine gründliche Prüfungsvorbereitung.

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6.2.2021

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1. Prüfungsteil - hilfsmittelfrei - 30 min.
1) (10 P.) Bestimmen Sie x.
a) ex+3 = 11 en
X+3=en(1)1-3
X=-3
d) 25* = 5
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3. Klausur

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Mathematik Leistungskurs: Klausuraufgaben Analysis und Exponentialfunktionen

Die Klausur behandelt zentrale Themen der Analysis mit besonderem Fokus auf Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen und Exponentialfunktionen. Im ersten Teil werden grundlegende Rechenfertigkeiten ohne Hilfsmittel geprüft.

Definition: Die Exponentialfunktion fxx = eˣ ist eine streng monoton wachsende Funktion mit der Eigenschaft f'xx = fxx.

Bei der Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionen müssen die Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden. Die Aufgabe zeigt dies am Beispiel fxx = eˣ + 0,5x + 1 und gxx = 0,5x. Durch geschicktes Umformen lässt sich nachweisen, dass keine Schnittpunkte existieren.

Die Monotonie einer Funktion wird über die erste Ableitung untersucht. Ist f'xx > 0 für alle x aus dem Definitionsbereich, so ist die Funktion streng monoton wachsend. Dies wird für die gegebene Funktion fxx nachgewiesen.

1. Prüfungsteil - hilfsmittelfrei - 30 min.
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a) ex+3 = 11 en
X+3=en(1)1-3
X=-3
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Biologische Wachstumsprozesse: Modellierung mit Exponentialfunktionen

Die Vermehrung von Pantoffeltierchen wird über einen Zeitraum von sechs Tagen beobachtet. Das exponentielle Wachstum wird durch die Funktion N₁tt = 400·e^0,6t0,6t modelliert.

Hinweis: Bei der Pantoffeltierchen Fortpflanzung verdoppelt sich die Population in regelmäßigen Zeitabständen durch Zellteilung.

Die Pantoffeltierchen Besonderheiten zeigen sich in der Wachstumskurve: Nach drei Tagen verlangsamt sich die Wachstumsrate. Dies erfordert eine angepasste Modellfunktion N₂tt für den weiteren Verlauf. Die momentane Änderungsrate wird durch die Ableitung N'tt beschrieben.

Der Übergang zwischen den Wachstumsphasen wird durch die Bedingung N₂3+a3+a = N₁3a3-a modelliert, wodurch ein stetiger Übergang gewährleistet ist.

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Mathematische Modellierung von Abkühlungsprozessen

Die Abkühlung von Tee wird durch eine Exponentialfunktion beschrieben. Die Temperaturabnahme beträgt 18% pro Minute bei einer Raumtemperatur von 18°C.

Beispiel: Die Abkühlungsrate zu Beginn T=85°CT=85°C ist höher als nach 10 Minuten, da die Temperaturdifferenz zur Umgebung abnimmt.

Die Genießbarkeit des Tees liegt zwischen 60°C und 40°C. Durch Lösen entsprechender Gleichungen lässt sich das Zeitfenster bestimmen. Die Krümmung der Abkühlungskurve wird durch die zweite Ableitung untersucht.

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Integralrechnung und Flächenberechnung

Bei der Berechnung von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraphen wird die Integralrechnung angewendet. Die eingeschlossene Fläche im ersten Quadranten wird durch bestimmte Integration ermittelt.

Definition: Der Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen fxx und gxx im Intervall a,ba,b berechnet sich durch ∫f(x)g(x)f(x)-g(x)dx.

Die Umkehrfunktion einer streng monotonen Funktion existiert und ihre Ableitung steht in besonderer Beziehung zur Ableitung der Ursprungsfunktion. Dies wird am Beispiel der Exponentialfunktion demonstriert.

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Mathematische Modellierung von Bakterienwachstum und Temperaturverläufen

Das exponentielle Wachstum von Pantoffeltierchen lässt sich durch mathematische Funktionen präzise beschreiben. Die Grundfunktion Ntt = 400e^0,16t10,16t-1 modelliert die Populationsentwicklung, wobei t die Zeit in Tagen darstellt.

Definition: Das Pantoffeltierchen ParameciumParamecium ist ein einzelliger Organismus, dessen Pantoffeltierchen Fortpflanzung durch Zellteilung erfolgt. Die Pantoffeltierchen Größe beträgt etwa 0,1-0,3 mm.

Die Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen ist essentiell für die Analyse des Wachstumsverhaltens. Nach 3 Tagen erreicht die Population etwa 2420 Einzeller. Die Verdopplungszeit liegt bei 1,155 Tagen 27Stundenund43Minuten27 Stunden und 43 Minuten. Diese exponentiellen Wachstumsprozesse lassen sich mittels Schnittpunkte zweier Funktionen Rechner analysieren.

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Differentialrechnung und Wachstumsanalyse

Die Wachstumsrate der Population kann durch Differentialrechnung ermittelt werden. Eine Mathe LK Klausur Differentialrechnung behandelt häufig solche Anwendungsaufgaben.

Beispiel: Die tägliche Wachstumsrate beträgt am zweiten Tag etwa 797 Bakterien, wobei die Geschwindigkeit des Wachstums stetig zunimmt.

Für die Mathe Klausur Q1 Analysis ist das Verständnis der Zusammenhänge zwischen Exponentialfunktion und ihrer Ableitung fundamental. Die Berechnung von Schnittpunkt berechnen quadratische Funktion ermöglicht die Bestimmung kritischer Zeitpunkte im Wachstumsprozess.

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Temperaturmodellierung und Abkühlungsprozesse

Die Abkühlung eines Getränks folgt einem beschränkten Wachstum mit der Funktion fxx = 18 + 67·0,82^x. Diese Art von Aufgabe ist typisch für eine Mathe LK Klausur NRW.

Highlight: Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur 27,21°C. Die Halbwertszeit der Temperaturabnahme liegt bei 3,5 Minuten.

Die Geschwindigkeit der Temperaturabnahme verringert sich von initial 10,903°C pro Minute auf 1,83°C pro Minute nach 10 Minuten. Solche Berechnungen sind häufiger Bestandteil von Mathe Klasse 11 Übungen mit Lösungen PDF.

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Praktische Anwendungen und Grenzwertbetrachtungen

Die Analyse zeigt, dass das Getränk zwischen 21,35 und 5,61 Minuten eine genießbare Temperatur aufweist. Diese Art der Modellierung realer Prozesse ist charakteristisch für Abituraufgaben Integralrechnung pdf.

Vokabular: Beschränktes Wachstum bezeichnet einen Prozess, bei dem sich eine Größe asymptotisch einem Grenzwert nähert.

Die mathematische Modellierung ermöglicht präzise Vorhersagen über das Verhalten von Temperatur- und Wachstumsprozessen. Solche Anwendungsaufgaben sind typisch für Mathe LK Klausur Stochastik und verdeutlichen die praktische Relevanz mathematischer Konzepte.

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Mathematische Funktionsanalyse und Ableitungen

Die Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen ist ein fundamentaler Bestandteil der Analysis. Bei der Untersuchung von e-Funktionen und natürlichen Logarithmen müssen verschiedene mathematische Aspekte berücksichtigt werden.

Die Exponentialfunktion fxx = e^2x-2x weist besondere Eigenschaften auf. Der Definitionsbereich erstreckt sich über alle reellen Zahlen D=RD = ℝ, während der Wertebereich auf die positiven reellen Zahlen beschränkt ist W=R+W = ℝ⁺. Die erste Ableitung f'xx = -2e^2x-2x ist für die Analyse des Funktionsverhaltens entscheidend. Die zweite Ableitung f''xx = 4e^2x-2x gibt Aufschluss über die Krümmung der Funktion.

Definition: Die e-Funktion ist eine stetige und differenzierbare Funktion, die für jeden reellen Exponenten definiert ist. Sie spielt eine zentrale Rolle in der Mathe LK Klausur Analysis.

Bei der Untersuchung der Logarithmusfunktion fxx = lnxx gelten andere Bedingungen. Der Definitionsbereich beschränkt sich auf positive reelle Zahlen D=R+D = ℝ⁺, während der Wertebereich alle reellen Zahlen umfasst W=RW = ℝ. Die Verschiebung der Funktion um zwei Einheiten nach unten ergibt y = lnxx - 2.

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Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

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Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

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6. Feb. 2021

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Schnittpunkte zweier Funktionen einfach berechnen – Mathe für dich!

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Die mathematische Analyse von Schnittpunkten zweier Funktionen ist ein fundamentales Konzept der höheren Mathematik.

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Mathematik Leistungskurs: Klausuraufgaben Analysis und Exponentialfunktionen

Die Klausur behandelt zentrale Themen der Analysis mit besonderem Fokus auf Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen und Exponentialfunktionen. Im ersten Teil werden grundlegende Rechenfertigkeiten ohne Hilfsmittel geprüft.

Definition: Die Exponentialfunktion fxx = eˣ ist eine streng monoton wachsende Funktion mit der Eigenschaft f'xx = fxx.

Bei der Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionen müssen die Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden. Die Aufgabe zeigt dies am Beispiel fxx = eˣ + 0,5x + 1 und gxx = 0,5x. Durch geschicktes Umformen lässt sich nachweisen, dass keine Schnittpunkte existieren.

Die Monotonie einer Funktion wird über die erste Ableitung untersucht. Ist f'xx > 0 für alle x aus dem Definitionsbereich, so ist die Funktion streng monoton wachsend. Dies wird für die gegebene Funktion fxx nachgewiesen.

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Biologische Wachstumsprozesse: Modellierung mit Exponentialfunktionen

Die Vermehrung von Pantoffeltierchen wird über einen Zeitraum von sechs Tagen beobachtet. Das exponentielle Wachstum wird durch die Funktion N₁tt = 400·e^0,6t0,6t modelliert.

Hinweis: Bei der Pantoffeltierchen Fortpflanzung verdoppelt sich die Population in regelmäßigen Zeitabständen durch Zellteilung.

Die Pantoffeltierchen Besonderheiten zeigen sich in der Wachstumskurve: Nach drei Tagen verlangsamt sich die Wachstumsrate. Dies erfordert eine angepasste Modellfunktion N₂tt für den weiteren Verlauf. Die momentane Änderungsrate wird durch die Ableitung N'tt beschrieben.

Der Übergang zwischen den Wachstumsphasen wird durch die Bedingung N₂3+a3+a = N₁3a3-a modelliert, wodurch ein stetiger Übergang gewährleistet ist.

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Mathematische Modellierung von Abkühlungsprozessen

Die Abkühlung von Tee wird durch eine Exponentialfunktion beschrieben. Die Temperaturabnahme beträgt 18% pro Minute bei einer Raumtemperatur von 18°C.

Beispiel: Die Abkühlungsrate zu Beginn T=85°CT=85°C ist höher als nach 10 Minuten, da die Temperaturdifferenz zur Umgebung abnimmt.

Die Genießbarkeit des Tees liegt zwischen 60°C und 40°C. Durch Lösen entsprechender Gleichungen lässt sich das Zeitfenster bestimmen. Die Krümmung der Abkühlungskurve wird durch die zweite Ableitung untersucht.

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Integralrechnung und Flächenberechnung

Bei der Berechnung von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraphen wird die Integralrechnung angewendet. Die eingeschlossene Fläche im ersten Quadranten wird durch bestimmte Integration ermittelt.

Definition: Der Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen fxx und gxx im Intervall a,ba,b berechnet sich durch ∫f(x)g(x)f(x)-g(x)dx.

Die Umkehrfunktion einer streng monotonen Funktion existiert und ihre Ableitung steht in besonderer Beziehung zur Ableitung der Ursprungsfunktion. Dies wird am Beispiel der Exponentialfunktion demonstriert.

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Mathematische Modellierung von Bakterienwachstum und Temperaturverläufen

Das exponentielle Wachstum von Pantoffeltierchen lässt sich durch mathematische Funktionen präzise beschreiben. Die Grundfunktion Ntt = 400e^0,16t10,16t-1 modelliert die Populationsentwicklung, wobei t die Zeit in Tagen darstellt.

Definition: Das Pantoffeltierchen ParameciumParamecium ist ein einzelliger Organismus, dessen Pantoffeltierchen Fortpflanzung durch Zellteilung erfolgt. Die Pantoffeltierchen Größe beträgt etwa 0,1-0,3 mm.

Die Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen ist essentiell für die Analyse des Wachstumsverhaltens. Nach 3 Tagen erreicht die Population etwa 2420 Einzeller. Die Verdopplungszeit liegt bei 1,155 Tagen 27Stundenund43Minuten27 Stunden und 43 Minuten. Diese exponentiellen Wachstumsprozesse lassen sich mittels Schnittpunkte zweier Funktionen Rechner analysieren.

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Differentialrechnung und Wachstumsanalyse

Die Wachstumsrate der Population kann durch Differentialrechnung ermittelt werden. Eine Mathe LK Klausur Differentialrechnung behandelt häufig solche Anwendungsaufgaben.

Beispiel: Die tägliche Wachstumsrate beträgt am zweiten Tag etwa 797 Bakterien, wobei die Geschwindigkeit des Wachstums stetig zunimmt.

Für die Mathe Klausur Q1 Analysis ist das Verständnis der Zusammenhänge zwischen Exponentialfunktion und ihrer Ableitung fundamental. Die Berechnung von Schnittpunkt berechnen quadratische Funktion ermöglicht die Bestimmung kritischer Zeitpunkte im Wachstumsprozess.

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Temperaturmodellierung und Abkühlungsprozesse

Die Abkühlung eines Getränks folgt einem beschränkten Wachstum mit der Funktion fxx = 18 + 67·0,82^x. Diese Art von Aufgabe ist typisch für eine Mathe LK Klausur NRW.

Highlight: Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur 27,21°C. Die Halbwertszeit der Temperaturabnahme liegt bei 3,5 Minuten.

Die Geschwindigkeit der Temperaturabnahme verringert sich von initial 10,903°C pro Minute auf 1,83°C pro Minute nach 10 Minuten. Solche Berechnungen sind häufiger Bestandteil von Mathe Klasse 11 Übungen mit Lösungen PDF.

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Die Analyse zeigt, dass das Getränk zwischen 21,35 und 5,61 Minuten eine genießbare Temperatur aufweist. Diese Art der Modellierung realer Prozesse ist charakteristisch für Abituraufgaben Integralrechnung pdf.

Vokabular: Beschränktes Wachstum bezeichnet einen Prozess, bei dem sich eine Größe asymptotisch einem Grenzwert nähert.

Die mathematische Modellierung ermöglicht präzise Vorhersagen über das Verhalten von Temperatur- und Wachstumsprozessen. Solche Anwendungsaufgaben sind typisch für Mathe LK Klausur Stochastik und verdeutlichen die praktische Relevanz mathematischer Konzepte.

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Mathematische Funktionsanalyse und Ableitungen

Die Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen ist ein fundamentaler Bestandteil der Analysis. Bei der Untersuchung von e-Funktionen und natürlichen Logarithmen müssen verschiedene mathematische Aspekte berücksichtigt werden.

Die Exponentialfunktion fxx = e^2x-2x weist besondere Eigenschaften auf. Der Definitionsbereich erstreckt sich über alle reellen Zahlen D=RD = ℝ, während der Wertebereich auf die positiven reellen Zahlen beschränkt ist W=R+W = ℝ⁺. Die erste Ableitung f'xx = -2e^2x-2x ist für die Analyse des Funktionsverhaltens entscheidend. Die zweite Ableitung f''xx = 4e^2x-2x gibt Aufschluss über die Krümmung der Funktion.

Definition: Die e-Funktion ist eine stetige und differenzierbare Funktion, die für jeden reellen Exponenten definiert ist. Sie spielt eine zentrale Rolle in der Mathe LK Klausur Analysis.

Bei der Untersuchung der Logarithmusfunktion fxx = lnxx gelten andere Bedingungen. Der Definitionsbereich beschränkt sich auf positive reelle Zahlen D=R+D = ℝ⁺, während der Wertebereich alle reellen Zahlen umfasst W=RW = ℝ. Die Verschiebung der Funktion um zwei Einheiten nach unten ergibt y = lnxx - 2.

1. Prüfungsteil - hilfsmittelfrei - 30 min.
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Funktionsuntersuchung und Krümmungsverhalten

Die Analyse des Krümmungsverhaltens ist besonders für Schnittpunkt berechnen quadratische Funktion relevant. Bei f''22 = 218,39 > 0 liegt eine rechtsgekrümmte Funktion vor. Dies ist ein wichtiger Aspekt für die Mathe Klausur Q1 Analysis.

Die Untersuchung der Ableitungsfunktionen ermöglicht Aussagen über Monotonie und Extremstellen. Bei negativen Funktionswerten der ersten Ableitung ist die Funktion streng monoton fallend. Der Wert -0,03 bei x = 2 bestätigt dies.

Highlight: Für die Mathe LK Klausur Differentialrechnung ist das Verständnis von Ableitungen und Krümmungsverhalten essentiell. Die Interpretation der Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung ermöglicht Rückschlüsse auf das Funktionsverhalten.

Die praktische Anwendung dieser mathematischen Konzepte findet sich in vielen Bereichen, von der Wirtschaft bis zur Physik. Das Zusammenspiel von e-Funktionen und Logarithmen ist dabei von besonderer Bedeutung für Abituraufgaben Integralrechnung pdf.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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