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Exponentialfunktion

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1. Prüfungsteil - hilfsmittelfrei - 30 min.
1) (10 P.) Bestimmen Sie x.
a) ex+3 = 11 en
X+3=en(1)1-3
x = -3
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Mathe LK Klausur Q1 Note:13 Punkte Themen -Beschränktes Wachstum -Exponentialfunktionen -Stammfunktion -Analysis,Abituraufgabe Nr.2

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A 1. Prüfungsteil - hilfsmittelfrei - 30 min. 1) (10 P.) Bestimmen Sie x. a) ex+3 = 11 en X+3=en(1)1-3 x = -3 d) 25* = 5 16 QI Mathe LK 3. Klausur e b) e³x = = |en On-One"") 13 x Fx (-/-) = 216 e) d'a 2) (12 P.) Gegeben sind die beiden Funktionen f und g mit f(x) = e* + x + 1 und g(x) = 0,5x 2 01SX 0,5x 0₁$ M c) 52x+4 = 0,0412094 = 100 5 =0.01 1-3 Viel Erfolg! 26.03.19 216 135 min. a) Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph von f und der Graph von g keinen gemeinsamen Punkt besitzen. b) Weisen Sie rechnerisch nach, dass das Monotonieverhalten von f streng monoton wachsend ist. c) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen von von f und g, der y-Achse und der parallel zur y-Achse verlaufenden Gerade mit der Gleichung x=1 eingeschlossen wird. 25 A 25 0.250123 88 30 AL -2=2x+4-4 -6=2x1=2 1 dis 5.5.3 QI Mathe LK 3. Klausur 2. Prüfungsteil - Formelsammlung und GTR 3) (24 P.) Ein Schüler beobachtet in einem Experiment insgesamt sechs Tage lang die Vermehrung von Pantoffeltierchen in einer Nährlösung. Zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen während der ersten drei Tage verwendet er für I≤ t ≤ 3 die Funktion N₁ mit der Gleichung N₁(t) = 400 e0.61 mit t € IR. Dabei wird t als Maßzahl zur Einheit Tag und Ni(t) als Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt t aufgefasst. 26.03.19 a) Berechnen Sie den Funktionswert von N, an der...

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Stelle t = 3 und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang. c) Ermitteln Sie die Verdopplungszeit der Bakterienanzahl. 135 min. b) Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem 1600 Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind. d) Berechnen Sie die 1.Ableitung N'i(t) für 0 ≤ t ≤ 3 und beschreiben Sie ihre Bedeutung im Sachkontext. [zur Kontrolle: N{(t) = 240-e0,6¹] ina) -2 e) Bei der weiteren Beobachtung erkennt der Schüler, dass nach etwa drei Tagen die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen geringer wird. Um die Entwicklung ab dem Zeitpunkt t = zu prognostizieren, sucht er eine Funktion, für deren momentane Änderungsrate N₂'(t) zu jedem Zeitpunkt mit t = 3 + a mit I ≤ a ≤ 3 die Gleichung N₂(3 + a) = N(3 - a) gilt. Leiten Sie aus der Gleichung N{(t) = 240 e0,6¹ für die momentane Änderungsrate N' (t) und · der Gleichung N₂(3 + a) = N(3a) mit I ≤ a ≤ 3, die Gleichung N₂(t) = 240 e3,6-0,6 mit 3 ≤ t ≤ 6 zur Modellierung der momentanen Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag her. Viel Erfolg! Nr. 4) (10 P.) Bilden Sie die Stammfunktion von f. a) f(x) = 3. e-0,25.x QI Mathe LK 3. Klausur b) f(x) = 3x + 4 X c) f(x) = 2+x² x3 c) Weisen Sie nach, dass die Funktion f linksgekrümmt ist. d) (i) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion f von f. (ii) Geben Sie die Definitions- und Wertemenge von fan. (iii) Bilden Sie die Ableitungsfunktion von f. Viel Erfolg! 26.03.19 Nr. 5) (22 P.) In einer Teekanne hat der Tee zur Zeit t=0 die Temperatur von 85 °C. Pro Minute verringert sich die die Teetemperatur um 18 Prozent. Die Raumtemperatur beträgt. 18 °C. 135 min. a) Ermitteln Sie eine passende Funktionsgleichung. [zur Kontrolle: f(x) = 18 +670,82%] b) Berechnen Sie, wie viel die Teetemperatur nach 10 Minuten beträgt. c) Bestimmen Sie rechnerisch, wann sich die Teetemperatur halbiert hat. d) Leiten Sie eine Funktionsgleichung her, die die Abkühlungsrate beschreibt. e) Berechnen Sie die Abkühlungsrate in der 1. Und 10. Minute und erklären Sie, wieso mit voranschreitender Zeit die Geschwindigkeit der Temperaturabnahme sich verringert. f) Ab ca. 60° C bis ca. 40° C ist der Tee genießbar. Ermitteln Sie, in welchem Zeitfenster der Tee genießbar ist. Nr. 6) (22 P.) Gegeben ist die Funktion ƒ(x) = e−²x. a) Geben Sie die Definitions- und Wertemenge von f an. b) Die Funktion f umschließt im 1. Quadranten mit den beiden Koordinatenachsen eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhalt der begrenzten Fläche. 3. Blusur Aufonbe 1 (a) ex+3 = 1 en (1) X+3 = 01-3 X -3₂ 3x = -11:3 2 (CD) 52x+4 =0,0414 (d.) 25* =s i lag +-2=2x+41-4² 5² 25² 100 = 0,04 A 52-41 also -6=2x1:2 (3-X) (e) (²) 8 (4)* AX X= 9 Aufgabe 2: c.) = f(x)= e* + 0,5x + 1 und a.) 216 1296 erweilest 6 3x b.) e³*- ^len (²) = е ex ex+0,5x + 1 = 0,5x ex +1 = 0 -1 a x = X į 26.03.2019 X=10923 (5) (X=0,5 X SEFA 513 A 3 b.) f'(x) = (²+0₁5 e* :D=R²₂ f¹(1) = C+0₁5 > O ✓ W=1R² & ²(0) = e° +0₁5 = 1+015=1,550 Gex Ocx ; also ist es wachsend (~ 13- 1.1.1. A 66 6 2-16 = 216 1 g(x)=0,5x 1-0,5 x 1-1 V xx X 1.3 -Vol G C.) f(x) = e ² + 0₁S x + 1 g(x) = 0₁5x Pro) = e° +0₁5.0+1=2,5 P(01215) g(0) = 0,5·0=0₁5 Q (OTOS) Ŝ(kin-g(x)) = (@¹ +0,5x+1) - (01sx)) 1 [~ + 4ײ + x ] - [ 4 X^]' Oct Oût 1) - (0,25) 0 = IT 14 T OAS 0175 1 oriz

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Stelle t = 3 und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang. c) Ermitteln Sie die Verdopplungszeit der Bakterienanzahl. 135 min. b) Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem 1600 Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind. d) Berechnen Sie die 1.Ableitung N'i(t) für 0 ≤ t ≤ 3 und beschreiben Sie ihre Bedeutung im Sachkontext. [zur Kontrolle: N{(t) = 240-e0,6¹] ina) -2 e) Bei der weiteren Beobachtung erkennt der Schüler, dass nach etwa drei Tagen die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen geringer wird. Um die Entwicklung ab dem Zeitpunkt t = zu prognostizieren, sucht er eine Funktion, für deren momentane Änderungsrate N₂'(t) zu jedem Zeitpunkt mit t = 3 + a mit I ≤ a ≤ 3 die Gleichung N₂(3 + a) = N(3 - a) gilt. Leiten Sie aus der Gleichung N{(t) = 240 e0,6¹ für die momentane Änderungsrate N' (t) und · der Gleichung N₂(3 + a) = N(3a) mit I ≤ a ≤ 3, die Gleichung N₂(t) = 240 e3,6-0,6 mit 3 ≤ t ≤ 6 zur Modellierung der momentanen Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag her. Viel Erfolg! Nr. 4) (10 P.) Bilden Sie die Stammfunktion von f. a) f(x) = 3. e-0,25.x QI Mathe LK 3. Klausur b) f(x) = 3x + 4 X c) f(x) = 2+x² x3 c) Weisen Sie nach, dass die Funktion f linksgekrümmt ist. d) (i) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion f von f. (ii) Geben Sie die Definitions- und Wertemenge von fan. (iii) Bilden Sie die Ableitungsfunktion von f. Viel Erfolg! 26.03.19 Nr. 5) (22 P.) In einer Teekanne hat der Tee zur Zeit t=0 die Temperatur von 85 °C. Pro Minute verringert sich die die Teetemperatur um 18 Prozent. Die Raumtemperatur beträgt. 18 °C. 135 min. a) Ermitteln Sie eine passende Funktionsgleichung. [zur Kontrolle: f(x) = 18 +670,82%] b) Berechnen Sie, wie viel die Teetemperatur nach 10 Minuten beträgt. c) Bestimmen Sie rechnerisch, wann sich die Teetemperatur halbiert hat. d) Leiten Sie eine Funktionsgleichung her, die die Abkühlungsrate beschreibt. e) Berechnen Sie die Abkühlungsrate in der 1. Und 10. Minute und erklären Sie, wieso mit voranschreitender Zeit die Geschwindigkeit der Temperaturabnahme sich verringert. f) Ab ca. 60° C bis ca. 40° C ist der Tee genießbar. Ermitteln Sie, in welchem Zeitfenster der Tee genießbar ist. Nr. 6) (22 P.) Gegeben ist die Funktion ƒ(x) = e−²x. a) Geben Sie die Definitions- und Wertemenge von f an. b) Die Funktion f umschließt im 1. Quadranten mit den beiden Koordinatenachsen eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhalt der begrenzten Fläche. 3. Blusur Aufonbe 1 (a) ex+3 = 1 en (1) X+3 = 01-3 X -3₂ 3x = -11:3 2 (CD) 52x+4 =0,0414 (d.) 25* =s i lag +-2=2x+41-4² 5² 25² 100 = 0,04 A 52-41 also -6=2x1:2 (3-X) (e) (²) 8 (4)* AX X= 9 Aufgabe 2: c.) = f(x)= e* + 0,5x + 1 und a.) 216 1296 erweilest 6 3x b.) e³*- ^len (²) = е ex ex+0,5x + 1 = 0,5x ex +1 = 0 -1 a x = X į 26.03.2019 X=10923 (5) (X=0,5 X SEFA 513 A 3 b.) f'(x) = (²+0₁5 e* :D=R²₂ f¹(1) = C+0₁5 > O ✓ W=1R² & ²(0) = e° +0₁5 = 1+015=1,550 Gex Ocx ; also ist es wachsend (~ 13- 1.1.1. A 66 6 2-16 = 216 1 g(x)=0,5x 1-0,5 x 1-1 V xx X 1.3 -Vol G C.) f(x) = e ² + 0₁S x + 1 g(x) = 0₁5x Pro) = e° +0₁5.0+1=2,5 P(01215) g(0) = 0,5·0=0₁5 Q (OTOS) Ŝ(kin-g(x)) = (@¹ +0,5x+1) - (01sx)) 1 [~ + 4ײ + x ] - [ 4 X^]' Oct Oût 1) - (0,25) 0 = IT 14 T OAS 0175 1 oriz