Halbwertszeit und Verdopplungszeit

Die Konzepte der Halbwertszeit und Verdopplungszeit sind zentral für das Verständnis exponentieller Prozesse.

Definition: Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der sich eine Größe halbiert, während die Verdopplungszeit die Zeit ist, in der sich eine Größe verdoppelt.

Die Formeln für Halbwertszeit und Verdopplungszeit lauten:

• Verdopplungszeit: T_v = ln(2) / k
• Halbwertszeit: T_h = ln(0,5) / k

Dabei ist k der Zerfallskoeffizient oder die Wachstumsrate.

Example: Bei radioaktivem Zerfall ist die Halbwertszeit ein wichtiger Parameter zur Beschreibung der Zerfallsgeschwindigkeit.

Das Konzept des beschränkten Wachstums ist ebenfalls von Bedeutung. Es liegt vor, wenn die Differenzen zwischen einer Schranke S und dem Bestand exponentiell abnehmen.

Highlight: Die Formel für beschränktes Wachstum lautet f(t) = S - c · a^t oder f(t) = S - c · e^(kt), wobei S die Schranke, c = S - f(0) und k = ln(a) ist.

Um beschränktes Wachstum nachzuweisen, kann man:

1. Die Differenz zwischen Schranke und Funktionswert auf exponentielles Verhalten prüfen
2. Eine Funktion der Form f(t) = S - c · e^(kt) aufstellen und eine Punktprobe durchführen

Example: Bei der Abkühlung eines Körpers nähert sich die Temperatur asymptotisch der Umgebungstemperatur an, was ein typisches Beispiel für beschränktes Wachstum ist.

Die natürliche Exponentialfunktion und Logarithmen

Die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis e ≈ 2,71828 nimmt eine besondere Stellung ein.

Definition: Die natürliche Exponentialfunktion ist definiert als f(x) = e^x und hat die einzigartige Eigenschaft, dass sie mit ihrer Ableitungsfunktion übereinstimmt.

Wichtige Eigenschaften der natürlichen Exponentialfunktion:

• f'(x) = e^x
• Eine Stammfunktion ist F(x) = e^x
• Der Punkt (0,1) liegt auf dem Graphen

Der natürliche Logarithmus ln ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion.

Highlight: Es gilt e^(ln(b)) = b und ln(e^x) = x, was die inverse Beziehung zwischen e^x und ln(x) zeigt.

Für den Basiswechsel gilt: f(x) = c · a^x = c · e^(ln(a)·x)

Vocabulary: Die Euler'sche Zahl e ist die Basis der natürlichen Exponentialfunktion und des natürlichen Logarithmus.

Umkehrfunktionen spielen eine wichtige Rolle in der Mathematik. Eine Funktion ist umkehrbar, wenn es zu jedem y-Wert genau ein x gibt. Die Umkehrfunktion erhält man durch Vertauschen von x und y und anschließendes Umformen.

Example: Die Umkehrfunktion von y = 2x + 1 ist x = 2y + 1, was zu y = 1/2x - 1/2 umgeformt werden kann.