Exponentialfunktionen

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Spreadsheets →x-werte in Spalte A →y-werte in spalte B → Spalten makieren menu →4 →→ 1→A + menu → 39 (schnellgraph), Regression zeichnen: menu → 468 ac und ba, weil von der Funktion f(x) = a.b* ausgegangen wird MATHEKLAUSUR-EXPONENTIALFUNKTIONEN Halbwerts-/verdopplungszeit Die Zeit in der sich eine Größe halbiert bzw. verdoppelt nennt man Halbwerts-/verdopplungszeit a) verdopplungszeit b) Halbwertszeit c) Prozentuale Abweichung über einen Zeitraum un (%) 2C = c.e TH= (n (0,5) k Zp = К in (2) = k·Tv 1:k (n (2) = Tv K k Tv Beschränktes wachstum Beschränktes wachstum mit der Schranke s liegt vor, wenn die Differenzen zwischen einer schranke s und dem Bestand zum tpunkt t exponentiell abnehmen. Den Bestand zum Zeitpunkt & kann man mithilfe. einer Funktion vom Typ f(t) = S-C.at (0 < a <^) bzw. f(t) = S-c.ekt (mit k<0) bestimmen. Dabei ist C = S-F(0) und k = (n(a). 1:0 In z.B: Temperatur differenz Schranke-y-koordinate von Punkt P und & rechnen Funktion ► Ps-y und as-y f(x) = ca einsetzen berechnen Beschränktes wachstum nachweisen Option : f(x)=(.ekx S f(x) für jeden Punkt X O f(x) 10 60-f(x) 50 25 50 = (2) exponentielles wachstum nachweisen f(n) f(n-1) Beispiel: Nachweis, dass S=60 vorliegen könnte ^ 2 3 4 35 47,5 53,75 56,88 25 12,5 25 →Graph bei einer beschränkten exponentiellen Abnahme 12,5 6,25 6,25 12,5 n(x)=-c.ekx <= 0,5 = a option 2: g(x)= S-C-ekx Temperaturbestand: S-f(x). Funktion f(t) = S-C ·ekt mit werten aufstellen und nach k umformen 2 Punktprobe mit allen werten durchführen O X f(x) 10 Beispiel: Nachweis, dass S=60 vorliegen könnte 2 3 4 47,5 53,75 56,88 ^ 35 S=60; C = S-f(0) = 50 f(t)= 60-50-eke Punkte einsetzen: 35 = 60-50 ·ek²1 k = ... 47,5 = 60 -50e²k k=... MATHEKLAUSUR-EXPONENTIALFUNKTIONEN Es gibt eine Basis e≈ 2,71828, für die die Exponentialfunktion mit f(x) = ex exakt mit ihrer Ableitungsfunktion übereinstimmen. Diese Zani e heißt Euler'sche Zahl. Die zugehörige Exponentialfunktion mit f(x) = ex heißt natürliche Exponentialfunktion. natürliche Exponentialfunktion Für f(x) = ex gilt filx)=e*. Außerdem ist F mit F(x) = ex eine stammfunktion von f. Der natürliche Logarithmus ist are Lösung der Exponentialgleichung für eine positive zanıb: ex = b <=> x = ln (b). (n(b) Es gilt e =b una (n(e) =c, da in die Umkehrfunktion von e ist. Basiswechsel: f(x) = c·ax = c· ein(a).x Punkt (^le) liegt auf der natürlichen Exponentialfunktion I.Umkenrfunktion Eine Funktion & ist umkehrbar, wenn es zu jedem y aus der wertemenge von & genau ein x aus der Definitionsmenge von f gibt. Eine Umkenrfunktion bestimmt man wie folgt: variablen x und y tauschen y = 2x + 1 => umformen nach y x = 2y + 1 K x = 2y + 1 1-1 1:2 y = 1/2 x - 21/1/201 Die Umkenrfunktion von f(x) = ex heißt natürliche Logarithmusfunktion in mit F(x) = (n(x) ; x EIR Exponentialgleichung ax=b <=> x= 109a (b) Logarithmus von b zur Basis a 45° Eigenschaften: ► jede Parallele zur x-Achse schneidet den Graphen von f höchstens ein Mal - trifft für alle f zu, die streng monoton steigend/fallend sind - trifft zu für alle ungeraden Funktionen trifft zu für alle Funktionen ohne Extremstellen II. Nullstellen Grundsätzlich: ex = 04 → 0 EIR weiterhin kann die Regel gelten a) ein Produkt ist gleich null, wenn einer der Faktoren null ist bzw. b) ein Quotient ist dann gleich null, wenn der zähler =0 und der Nenner # 0 ist. ZUSAMMENGESETZTE FUNKTIONEN Neue Funktionen aus alten Funktionen Summe : U(X) + V(x) = (U+V)(x) Differenz : U(X)-V(x) = (U-V)(x) Produkt : U(X) V(x) = (U·V) (x) Quotient : U(X) / V(x) = (U:V) (x) Ableitungen /Stammfunktionen Funktionstyp Ganzrational Exponential verkettung verkettung Logarithmus natürliche e-Funktion h(x) = ex E-Funktion Funktion - cos (x) f(x) = x^ sin (x) g(x) = ax i(x) = e mx+b j(x) = amx+b Sinus-cosinusfunktionen K(x) = (n(x) ((x1= ekx cos (x) -sin(x) m-Ableitung 4-Stammfunktion verkettung Die Funktion u ov mit (u ov) (x) = U(V(x)) heißt Verkettung von u und v. →u nach v" oder ,u verkettet mit v" U OV = U(V(x)) VOU=V (U(X)) inn innere Funktion Ableitung f'(x) = n · X ¸n-1 g'(x)= (n(a)·a* h'(x) = ex i'(x) = m. e mx+b j'(x) = m.in(a) · a k'(x)= 1 ('(x) = k·ekx mx+b Lim x →xo kettenregel f'(x) = U'(V(x)) · V³(x) Allgemeine Definition f(x) = f(xo) x-xo bzw. äußere Funktion Stammfunktion F(x) = F(x) = F(x)= F(x) = ex F(x) = L(x) = 1 n+^ Lim n-o Produktregel f'(x)= U'(x) · V(x) + U(X) V'(X) ggf. Quotienten als produkt schreiben A in (a) A m X + n+1 ^ m.(n(a) mx+b e X e · a kx f(xo+h)-f(xo) n mx+b ZUSAMMENGESETZTE FUNKTIONEN verhalten im Unendlichen und nahe NULL a) zusammengesetzte Exponential funktionen Für x→ ∞o dominiert e* über xn: I. Für x →∞o gilt: xn.exo und x.ex→ ∞ CO 40 II. Für x→ ∞ gilt für geraden: x^.exo und xn.ex → 00 +0 III. Für x→ -∞o gilt für ungerade nxn.exo und x^ b) zusammengesetzte Logo Funktionen Für x→ ∞o und xo dominiert xn über den in(x) → Achtung bei 00/-∞0 liegt kein wirkliches konkurrenzverhalten vor deshalb müssen die vorzeichen beachtet werden I. Für xo gilt (n=^) : xn (n(x) → 0 und -n X 418 B 418 I. Für x→ ∞o gilt (n = 1): x^. (n(x)→ ∞o und (n(x) ·x¯ˆ o symmetrieverhalten C) Auf Asymptoten (y = n) untersuchen Definition: Eine Gerade, der sich der Graph immer starker, anschmiegt", heißt Asymptote. f(-x) = f(x) : Achsensymmetrie zur x-Achse f(-x) = -f(x) : Punktsymmetrie zu (010) · (n (x) →-00 8 => # f(x) und -f(x), dann liegt keine standardsymmetrie vor Der Abstand zwischen der Asymptote und der kurve wird dabel beliebig klein. Man schreibt: Der Graph der Funktion f nähert sich für x→ co der x-Achse/Geraden immer mehr an F"(x) > 0 positiv f"(x) < 0 negativ Kurvendiskussion A. Definitionsbereich (ggf. Definitionslücken) 2. Achsenabschnitte 3. Symmetrieverhalten 4. verhalten im unendlichen/nane NULL 5. Extrempunkte 6. Monotoníe verhalten 7. Krümmungsverhalten 8. Wendepunkte 9. Wertebereich. ®® →Verlauf eines Graphen beschreiben