Halbwertszeit und Verdopplungszeit
Die Konzepte der Halbwertszeit und Verdopplungszeit sind zentral für das Verständnis exponentieller Prozesse.
Definition: Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der sich eine Größe halbiert, während die Verdopplungszeit die Zeit ist, in der sich eine Größe verdoppelt.
Die Formeln für Halbwertszeit und Verdopplungszeit lauten:
- Verdopplungszeit: T_v = ln2 / k
- Halbwertszeit: T_h = ln0,5 / k
Dabei ist k der Zerfallskoeffizient oder die Wachstumsrate.
Example: Bei radioaktivem Zerfall ist die Halbwertszeit ein wichtiger Parameter zur Beschreibung der Zerfallsgeschwindigkeit.
Das Konzept des beschränkten Wachstums ist ebenfalls von Bedeutung. Es liegt vor, wenn die Differenzen zwischen einer Schranke S und dem Bestand exponentiell abnehmen.
Highlight: Die Formel für beschränktes Wachstum lautet ft = S - c · a^t oder ft = S - c · e^kt, wobei S die Schranke, c = S - f0 und k = lna ist.
Um beschränktes Wachstum nachzuweisen, kann man:
- Die Differenz zwischen Schranke und Funktionswert auf exponentielles Verhalten prüfen
- Eine Funktion der Form ft = S - c · e^kt aufstellen und eine Punktprobe durchführen
Example: Bei der Abkühlung eines Körpers nähert sich die Temperatur asymptotisch der Umgebungstemperatur an, was ein typisches Beispiel für beschränktes Wachstum ist.