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Mathe
10. Dez. 2025
15.313
5 Seiten
ceci @cectlkr
Die Exponentialfunktionist eine wichtige mathematische Funktion mit vielfältigen Anwendungen. Sie zeichnet sich durch exponentielles Wachstum oder Abnahme... Mehr anzeigen
Die Konzepte der Halbwertszeit und Verdopplungszeit sind zentral für das Verständnis exponentieller Prozesse.
Definition Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der sich eine Größe halbiert, während die Verdopplungszeit die Zeit ist, in der sich eine Größe verdoppelt.
Die Formeln für Halbwertszeit und Verdopplungszeit lauten
Dabei ist k der Zerfallskoeffizient oder die Wachstumsrate.
Example Bei radioaktivem Zerfall ist die Halbwertszeit ein wichtiger Parameter zur Beschreibung der Zerfallsgeschwindigkeit.
Das Konzept des beschränkten Wachstums ist ebenfalls von Bedeutung. Es liegt vor, wenn die Differenzen zwischen einer Schranke S und dem Bestand exponentiell abnehmen.
Highlight Die Formel für beschränktes Wachstum lautet f(t) = S - c · a^t oder f(t) = S - c · e^(kt), wobei S die Schranke, c = S - f(0) und k = ln(a) ist.
Um beschränktes Wachstum nachzuweisen, kann man
Example Bei der Abkühlung eines Körpers nähert sich die Temperatur asymptotisch der Umgebungstemperatur an, was ein typisches Beispiel für beschränktes Wachstum ist.
Die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis e ≈ 2,71828 nimmt eine besondere Stellung ein.
Definition Die natürliche Exponentialfunktion ist definiert als f(x) = e^x und hat die einzigartige Eigenschaft, dass sie mit ihrer Ableitungsfunktion übereinstimmt.
Wichtige Eigenschaften der natürlichen Exponentialfunktion
Der natürliche Logarithmus ln ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion.
Highlight Es gilt e^(ln(b)) = b und ln = x, was die inverse Beziehung zwischen e^x und ln(x) zeigt.
Für den Basiswechsel gilt f(x) = c · a^x = c · e^(ln(a)·x)
Vocabulary Die Euler'sche Zahl e ist die Basis der natürlichen Exponentialfunktion und des natürlichen Logarithmus.
Umkehrfunktionen spielen eine wichtige Rolle in der Mathematik. Eine Funktion ist umkehrbar, wenn es zu jedem y-Wert genau ein x gibt. Die Umkehrfunktion erhält man durch Vertauschen von x und y und anschließendes Umformen.
Example Die Umkehrfunktion von y = 2x + 1 ist x = 2y + 1, was zu y = 1/2x - 1/2 umgeformt werden kann.
Exponentialgleichungen sind Gleichungen, in denen die Unbekannte im Exponenten steht.
Definition Eine Exponentialgleichung hat die Form a^x = b und kann durch Logarithmieren gelöst werden x = log_a(b).
Wichtige Punkte zu Exponentialgleichungen und Nullstellen
Highlight Die Lösung von Exponentialgleichungen erfordert oft den Einsatz von Logarithmen, insbesondere des natürlichen Logarithmus ln.
Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über die wichtigsten Aspekte der Exponentialfunktion, ihre Eigenschaften, Anwendungen und verwandte Konzepte. Sie ist besonders nützlich für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Exponentialfunktionen vertiefen möchten.
Diese Seite bietet eine Zusammenfassung der wichtigsten Konzepte zu Exponentialfunktionen und ihren Anwendungen.
Highlight Die Exponentialfunktion ist ein zentrales Konzept in der Mathematik mit vielfältigen Anwendungen in Naturwissenschaften, Wirtschaft und Technik.
Wichtige Punkte zur Wiederholung
Example Beispiele für Exponentialfunktionen im Alltag umfassen Zinseszinsberechnungen, Bevölkerungswachstum und radioaktiven Zerfall.
Die Fähigkeit, Exponentialfunktionen zu zeichnen und ihre Parameter zu interpretieren, ist entscheidend für das Verständnis komplexer Systeme und Prozesse.
Vocabulary Der Begriff "asymptotisch" beschreibt die Annäherung einer Kurve an eine Gerade, ohne sie jemals zu erreichen - ein charakteristisches Merkmal von Exponentialfunktionen.
Diese Zusammenfassung dient als kompakter Leitfaden für die wichtigsten Aspekte der Exponentialfunktionen und bietet eine solide Grundlage für weiterführende mathematische Konzepte.
Die Exponentialfunktion ist eine fundamentale mathematische Funktion mit der allgemeinen Formel f(x) = c · a^x. Sie besitzt einige charakteristische Eigenschaften, die sie von anderen Funktionstypen unterscheiden.
Definition Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form f(x) = c · a^x, wobei a > 0 und a ≠ 1 ist.
Die Eigenschaften der Exponentialfunktion umfassen
Highlight Die Parameter a, b, c und d in der erweiterten Form f(x) = c · a^ beeinflussen das Verhalten der Funktion maßgeblich.
Um eine Exponentialfunktion aufzustellen, kann man verschiedene Methoden nutzen
Example Um zwischen linearem und exponentiellem Wachstum zu unterscheiden, betrachtet man, ob sich der Bestand um denselben Summanden (linear) oder um denselben Faktor (exponentiell) ändert.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Vertiefte Lerninhalte zur Normalverteilung, einschließlich Dichte- und Verteilungsfunktionen, Einzel- und Intervallwahrscheinlichkeiten. Zudem werden die Eigenschaften der e-Funktion, Ableitungsregeln, Tangentengleichungen sowie das Globalverhalten behandelt. Ideal für Mathematik LK Abiturvorbereitung.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der e-Funktionen und ln-Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Eigenschaften, Ableitungen, Asymptoten und Anwendungsbeispiele, um das Verständnis für natürliche Exponential- und Logarithmusfunktionen zu vertiefen.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen, einschließlich ihrer Definition, Einfluss von Exponenten, grafische Darstellung und die Bedeutung von Definitions- und Wertemengen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über die wichtigsten Konzepte wie Streckung, Stauchung und die Anwendung der Exponentialgesetze. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der e-Funktion, ihre Eigenschaften, Ableitungen und das Wachstumsverhalten. Diese Zusammenfassung behandelt die wichtigsten Konzepte wie die Euler'sche Zahl, die Produktregel, die Kettenregel und die Analyse von Funktionen. Ideal für das Abitur und das Verständnis von Exponentialfunktionen.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen des exponentiellen Wachstums und der Exponentialfunktionen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Funktionsgleichungen, Wachstumsfaktoren und graphische Darstellungen. Ideal für Mathematikstudenten, die sich auf Klassenarbeiten vorbereiten oder ihr Wissen über exponentielles Wachstum vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Exponential- und Logarithmusfunktionen, einschließlich der natürlichen Exponentialfunktion, der Gesetze der Logarithmen und der Transformation von Funktionen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über Definitionen, Ableitungen und das Verhalten von Funktionen, ideal für Schüler der 11. und 12. Klasse.
MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Jana V
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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@cectlkr
Die Exponentialfunktion ist eine wichtige mathematische Funktion mit vielfältigen Anwendungen. Sie zeichnet sich durch exponentielles Wachstum oder Abnahme aus und hat spezielle Eigenschaften wie die asymptotische Annäherung an die x-Achse. Die allgemeine Formel der Exponentialfunktionlautet f(x) = c ·... Mehr anzeigen
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Die Konzepte der Halbwertszeit und Verdopplungszeit sind zentral für das Verständnis exponentieller Prozesse.
Definition: Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der sich eine Größe halbiert, während die Verdopplungszeit die Zeit ist, in der sich eine Größe verdoppelt.
Die Formeln für Halbwertszeit und Verdopplungszeit lauten:
Dabei ist k der Zerfallskoeffizient oder die Wachstumsrate.
Example: Bei radioaktivem Zerfall ist die Halbwertszeit ein wichtiger Parameter zur Beschreibung der Zerfallsgeschwindigkeit.
Das Konzept des beschränkten Wachstums ist ebenfalls von Bedeutung. Es liegt vor, wenn die Differenzen zwischen einer Schranke S und dem Bestand exponentiell abnehmen.
Highlight: Die Formel für beschränktes Wachstum lautet f(t) = S - c · a^t oder f(t) = S - c · e^(kt), wobei S die Schranke, c = S - f(0) und k = ln(a) ist.
Um beschränktes Wachstum nachzuweisen, kann man:
Example: Bei der Abkühlung eines Körpers nähert sich die Temperatur asymptotisch der Umgebungstemperatur an, was ein typisches Beispiel für beschränktes Wachstum ist.
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Die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis e ≈ 2,71828 nimmt eine besondere Stellung ein.
Definition: Die natürliche Exponentialfunktion ist definiert als f(x) = e^x und hat die einzigartige Eigenschaft, dass sie mit ihrer Ableitungsfunktion übereinstimmt.
Wichtige Eigenschaften der natürlichen Exponentialfunktion:
Der natürliche Logarithmus ln ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion.
Highlight: Es gilt e^(ln(b)) = b und ln = x, was die inverse Beziehung zwischen e^x und ln(x) zeigt.
Für den Basiswechsel gilt: f(x) = c · a^x = c · e^(ln(a)·x)
Vocabulary: Die Euler'sche Zahl e ist die Basis der natürlichen Exponentialfunktion und des natürlichen Logarithmus.
Umkehrfunktionen spielen eine wichtige Rolle in der Mathematik. Eine Funktion ist umkehrbar, wenn es zu jedem y-Wert genau ein x gibt. Die Umkehrfunktion erhält man durch Vertauschen von x und y und anschließendes Umformen.
Example: Die Umkehrfunktion von y = 2x + 1 ist x = 2y + 1, was zu y = 1/2x - 1/2 umgeformt werden kann.
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Exponentialgleichungen sind Gleichungen, in denen die Unbekannte im Exponenten steht.
Definition: Eine Exponentialgleichung hat die Form a^x = b und kann durch Logarithmieren gelöst werden: x = log_a(b).
Wichtige Punkte zu Exponentialgleichungen und Nullstellen:
Highlight: Die Lösung von Exponentialgleichungen erfordert oft den Einsatz von Logarithmen, insbesondere des natürlichen Logarithmus ln.
Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über die wichtigsten Aspekte der Exponentialfunktion, ihre Eigenschaften, Anwendungen und verwandte Konzepte. Sie ist besonders nützlich für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Exponentialfunktionen vertiefen möchten.
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Wichtige Punkte zur Wiederholung:
Example: Beispiele für Exponentialfunktionen im Alltag umfassen Zinseszinsberechnungen, Bevölkerungswachstum und radioaktiven Zerfall.
Die Fähigkeit, Exponentialfunktionen zu zeichnen und ihre Parameter zu interpretieren, ist entscheidend für das Verständnis komplexer Systeme und Prozesse.
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Die Exponentialfunktion ist eine fundamentale mathematische Funktion mit der allgemeinen Formel f(x) = c · a^x. Sie besitzt einige charakteristische Eigenschaften, die sie von anderen Funktionstypen unterscheiden.
Definition: Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form f(x) = c · a^x, wobei a > 0 und a ≠ 1 ist.
Die Eigenschaften der Exponentialfunktion umfassen:
Highlight: Die Parameter a, b, c und d in der erweiterten Form f(x) = c · a^ beeinflussen das Verhalten der Funktion maßgeblich.
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Example: Um zwischen linearem und exponentiellem Wachstum zu unterscheiden, betrachtet man, ob sich der Bestand um denselben Summanden (linear) oder um denselben Faktor (exponentiell) ändert.
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MatheEntdecken Sie die Grundlagen der e-Funktionen und ln-Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Eigenschaften, Ableitungen, Asymptoten und Anwendungsbeispiele, um das Verständnis für natürliche Exponential- und Logarithmusfunktionen zu vertiefen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hans T
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