Exponentialfunktionen PP

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4 5 6 Die Eigenschaften der Exponentialfunktion Für jede Exponentialfunktion mit y=bx mit b>0 gilt: -Graph verläuft oberhalb der x-Achse und durch den Punkt (0/1) -steigt für b>1 und fällt für 0>b>1 -schmiegt sich für b>1 dem negativen Teil und für 0<b<1 dem positiven Teil der x-Achse an -wenn x um c wächst, wird der Funktionswert bx mit bº multipliziert e als Zahl e¹ = 2,71828 ! ex eº immer 1 • +0° 100% √ + 8 SE X ta: 181 Dogo tooap Eslo 1 so oss o •(•H₂V)³ Verschiebung auf den Achsen, Ableitungen, Produktregel & Kettenregel 02 Verschiebung entlang der y-Achse Eine Exponentialfunktion kann im Koordinatensystem mithilfe des Parameters in Y-Richtung, das heißt nach oben oder unten verschoben werden. Sie hat die Funktionsgleichung: f(x) = a·bx+c f(x) + c = Verschiebung nach oben Verschiebung nach unten 5 4 6+ g(x) f(x) -3 -2 -1 7 6 5 0 -1 -2 1 2 3 für c > 0 für c < 0 Beispiel: f(y): c = 0 g(x): c= -3 5 Verschiebung entlang der x-Achse Bei Verschiebung der Funktion um den Wert d in x-Richtung wird der Graph der Funktion nach links bzw. Rechts verschoben. Die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion f(x) lautet dann f(x) = g(x+d) Beispiel: f(x) = 2x² + 6t -5 g(x) -4 -3 -2 -1 9 5 0 2 3 g(x) = 2. (x+2)² → nach links -2 f(x) 9 -8 7 6 5 -1 0 g(x) 2 3 4 5 6 + d → links - d→ rechts - g(x) = 2 · (x-4)² → nach rehcts 5 + 6t Gestreckt, Gestaucht & Gespiegelt wenn a>1 wird der Graph gestreckt Gestreckte Parabel wenn 0>a>1 wird der Graph gestaucht Gestauchte Parabel wenn a<0 wird der Graph an der x-Achse gespiegelt mimimimulum Ableitung von Exponentialfunktionen mit einer beliebigen Basis a > 0 lassen sich als mit der Basis e darstellen. Es gilt: f(x) = ax = eln(a) x Für die Ableitungsfunktion f' gilt dann f'(x)= In (a) · e In (a) ·x = In (a) · ax 1 1 In (a) ax eine Stammfunktion von f. In (a) Exponentialfunktionen Exponentialfunktionen Außerdem ist F mit F(x) = •eln(a).x ; Nach x auflösen mit In 1) e2x = 5 | In 2x = ln (5) |÷2 In(5) X = 2 = = 0,8 2) ex = 15 x = ln (15) x = 2,708 | In F(x)=ex f(x)=ex f'(x)=ex f''(x)=ex F(x)==-ekx f(x) = ekx f'(x) = k·ekx dº x C Produktregel Die Produktregel brauchst du bei der Ableitung von Funktionen, die aus einem Produkt bestehen. Dafür zerlegst du deine Funktion f(x) in zwei Teilfunktionen u(x) und v(x). u und v kannst du mit den anderen Ableitungsregeln ableiten (u' und v') und in deine Produktregel einsetzten. 1) f(x)= (x² + 1). ex u(x) v(x) = = 2x · ex + (x² + 1) • ex ex. (x² + 2x +1) u(x) v(x) u(x) = x² + 1 u'(x) = 2x v(x) =ex v'(x).=ex Produktregel: f'(x) = u´(x) · v(x) + u(x) • v´(x) Wichtig: Klammer setzten ! = ex u(x) u´(x) = ex v(x) =(x² + 2x +1) v (x).=(2x + 2) 2. Ableitung: f´´(x) = ex ⋅ (x² +2x + 1) + ex. (2x + 2) ● 12 f'(x) = ex. (x² + 4x + 3) ← Zusammenfassung % Kettenregel Wenn du verkettete Funktionen u(v(x)) oder auch zusammengesetzte Funktionen ableiten willst, brauchst du eine Kettenregel. u´(v(x))·v´(x) u= äußere Funktion v= innere Funktion 1) f(x) = sin (2x) 2) f(x) = (x² − 6x) 4 3) f(x) = ²x = sin 1) F(x) = cos (2x). 2 f'(x) = u´(v(x)) · v´(x) f'(x) 2cos (2x). f(x) = (x²-6x)4 2) f'(x) = u(v).v² 3) f'(x) = 4(x²-6x)³. (2x-6) f(x) = e2x u´(v)·v´ f'(x) = ²x 2 =2e²x u = sin (v) u´= cos (v) v = 2x v = 2 u = (v)4 u'= 4 (v)³ v = (x² -6x) v = (2x-6) u = e u = e v = 2x v = 2 Potenzregel: (xn)' = n.xn-1 Faktorregel: (a-xn)' = a.n-xx-1 r d pimlumimmilumum ● 03 Logarithmus & Tangentengleichung X 11 % x C ● Logarithmus 1.1 Zum Auflösen von Potenzen muss der Logarithmus eingesetzt werden. Es ist ein umschreiben von Potenzschreibweise in Logarithmusschreibweise: 1. Beispiel: Potenz: ab = c Logarithmus: log (a) = b 7² = 49 log,(49) = 2 ao = 1 1000⁰ = 1 Gesprochen: Der Logarithmus von 49 zur Basis 7 ist gleich 2 Also ist der Exponent der Potenz das Ergebnis des Logarithmus. Daher wird er immer angewendet, wenn eine Exponentialgleichung nach x aufgelöst werden muss. ● Logarithmus 1.2 Beispiel für das Auflösen einer Exponentialgleichung: gesucht ist x 10.000 1,035x = 25.000 | ÷ 10.000 1,035%= 2,5 | log log 1,035 (2,5)= x 26,64 = x Merke! Die Lösung einer Exponentialgleichung ax = b (a, b > c) bezeichnet man als log a(b) (sprich: Logarithmus von b zur Basis a). Der log a(b) ist diejenige Zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten X Tangentengleichung Eine Tangente ist eine lineare Funktion, die die Funktion f an einem Punkt berührt. Dadurch, dass die Tangente die Funktion f an diesem Punkt nicht schneidet, sondern nur berührt, ist die Steigung der Tangente und die Steigung des Funktionsgrapphen von f am Berührpunkt gleich. Deshalb must du für die Ermittlung der Steigung der Tangente die x-Koordinate der Betrachtungsstelle in die erste Ableitung einsetzen. = 2 1) f(x) = -0,5ex f'(x) = -0,5ex f(2)= -0.5e² → y=-3,69 f(2)= -0,5e² → m= -3,69 -3,69 = -3,69 •2+b -3,69 = -7,38 + b 3,69 = b X y=-3,69x + 3,69 | +7,38 y=mx+b ← x und y wird nicht angegeben k 12 X Tangentengleichung mit angegebem Punkt 2) f(x) = (¹) × 3 4 f(x) = e In ( 3 ) · x f(x) = 0,287 -> f'(x) = 0,287e0,287.x f(2)= (3) ² = 1,78 → y f´(2) = 0,287 · 0,287.2 0,51 → m = y=mx+b 1,78=2.0,51+b 1,78 = 0,51.2 + b 1,78 = 1,02 + b 0,76 = b P(2) f(2) | -1,02 X y y=0,51 x +0,76 12 Nullstelle, Extremstelle, Integrale & Potenzgesetze 04 3 Nullstellen & Extremstellen Nullstellen f(x) = 0 nur der ganzrationale Teil von f(x), weil e* # 0 notw. Bed.: f'(x)= 0 → Extremstelle x in f(x) einsetzten → (x|y) Achsenabschnitt Extremstellen hinr. Bed.: f'(x) und f'(x) ≤ 0 f"(x) < 0 → HP f"(x) > 0 →TP ● ● X x 3 Integrale Integrale Das Ableiten "rückgängig” machen → Stammfunktion F(x) = √a·bx dx = 1 ..bx In (a) X x I Regel 1. a⁰ = 1 2. a¹ = a 3. ax ay = ax+y 4.-= x-y 5. axbx = (a.b)x Potenzgesetze 1.1 Kurze Erläuterung Zahl hoch 0 Zahl hoch 1 Gleiche Basis multiplizieren Gleiche Basis dividieren Gleichen Exponent multiplizieren häufigkeit häufig häufig selten selten ++ häufig Regel ax a 6. ª = (²) 7. (ax) = ax.y 8.0² - -/- ax 9. av = √a* Potenzgesetze 1.2 Kurze Erläuterung Gleichen Exponent dividieren Zwei Exponenten Negativer Exponent Bruch als Exponent häufigkeit selten selten häufig häufig 05 X Kurvendiskussion, Exponentielles Wachstum, Beschränktes Wachstum & natürliche Exponentialfunktionen 11 % x C Ablauf einer Kurvendiskussion 1.1 Y-Achsenabschnitt: x=0 einsetzten 2 Symmetrie 3 Grenzwert- betrachtung 4 Nullstellen 5 Ableitungen V 54 Ablauf einer Kurvendiskussion 1.2 6 Extrempunkte 7 Wendepunkte 8 Wendetangente V 54 Beschränktes Wachstum Beschränktes Wachstum mit einer Schranke S liegt vor, wenn die Differenzen zwischen einer Schranke S und dem Bestand zum Zeitpunkt exponentiell abnehmen. Der Bestand wird dann durch eine Funktion der Form: f(x) = S-cax (mit 0<a<1) f(x) = S-c.ekx (mit k<0) Beschrieben. Dabei ist c= S-f(0) & k = In(a) F(x) f(t)= S+cat f(x) f(t) = S-c.at V 54 L Natürliche Exponentialfunktion 1.1 Exponentialfunktion (Variable im Exponenten): Potenz = ax Basis, Exponent f(x) = ex als Besonderheit (Natürliche Exponentialfunktion) Bereits Bekannte: lineare (f(x) = mx+b), quadratische (f(x) = x² + px+q), ganzrationale / Polynomfunktionen (f(x) = x³ + 3x² +5x+10) e steht für Eurler´sche Zahl (2, 71..) Stammfunktion & Ableitungsfunktion identisch F'(x) = f(x) = f'(x) = ex Es gilt eº = 1/e¹ = e A = (0,1) B= (1,2.718281828459) Natürliche Exponentialfunktion 1.2 eirgendwas besitzt keine Nullstellen (Ausnahmen: andere Funktion mal e-Funktion, wobei die andere Funktion Nullstellen besitzt; transformierte e-Funktion) Verhalten im Unendlichen: e+∞ → +∞ e-00 3 0 man betrachtet den Exponenten, verhält er sich wie ein Fall in der Regel, verhält sich der gesamte Ausdruck so Umkehrfunktion ist die Natürliche Logarithmusfunktion zur Basis ex In (ex) = x eln x = x9 Quellenverzeichnis Internet: Knowunity Studyflix.de S.82-108 s.120 Im Buch: S.117 Unterrichtsmaterial V 54 L a+b = c Danke für eure Aufmerksamkeit Noch Fragen? 2085+¹0 50% Exponentialfunktionen × Q2 | Julia, Ezginur, Helena, Laura 4 % + %