Allgemeines & Eigenschaften der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion ist eine grundlegende mathematische Funktion, die in vielen Bereichen der Wissenschaft und des täglichen Lebens eine wichtige Rolle spielt. Sie beschreibt Prozesse, bei denen sich Werte vervielfachen oder verringern.

Die allgemeine Form der Exponentialfunktion lautet:

f(x) = a · bˣ

Dabei gilt:

• a ≠ 0 (a ist der Vorfaktor)
• b > 0 (b ist die Basis)

Je nach Wert von b unterscheidet man zwei Hauptfälle:

1. Für b > 1: Die Funktion steigt streng monoton an. Je größer b ist, desto steiler ist der Anstieg.

2. Für 0 < b < 1: Die Funktion fällt streng monoton. Man spricht hier auch von exponentiellem Zerfall. Je kleiner b ist, desto schneller fällt die Funktion.

Highlight: Alle Exponentialfunktionen mit b > 0 gehen durch den Punkt (0|1).

Example: f(x) = 2ˣ ist eine steigende Exponentialfunktion (b > 1) f(x) = 0,5ˣ ist eine fallende Exponentialfunktion (0 < b < 1)

Der Parameter a beeinflusst den y-Achsenabschnitt der Funktion. Ist a > 0, verschiebt sich der Graph nach oben, ist a < 0, wird der Graph an der x-Achse gespiegelt.

Definition: Die Exponentialfunktion verschieben bedeutet, den Graphen der Funktion in x- oder y-Richtung zu verschieben, ohne seine grundlegende Form zu ändern.

Ableitung von Exponentialfunktionen

Die Ableitung von Exponentialfunktionen spielt eine wichtige Rolle in der Analysis und hat einige besondere Eigenschaften.

Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion

Für eine Exponentialfunktion f(x) = aˣ mit a > 0 gilt:

f'(x) = ln(a) · aˣ

Highlight: Die Ableitung Exponentialfunktion enthält immer die Originalfunktion als Faktor.

Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = eˣ hat die besondere Eigenschaft, dass ihre Ableitung wieder sie selbst ist:

f'(x) = eˣ

Definition: e ist die Eulersche Zahl mit dem Wert e ≈ 2,71828...

Produktregel für Exponentialfunktionen

Die Produktregel wird verwendet, wenn die Exponentialfunktion mit einer anderen Funktion multipliziert wird. Für f(x) = u(x) · v(x) gilt:

f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x)

Example: Für f(x) = x² · eˣ ergibt sich f'(x) = 2x · eˣ + x² · eˣ

Kettenregel für Exponentialfunktionen

Die Kettenregel kommt zur Anwendung, wenn der Exponent selbst eine Funktion ist. Für f(x) = e^g(x) gilt:

f'(x) = g'(x) · e^g(x)

Vocabulary: Verkettete e-Funktion ableiten bedeutet, die Kettenregel auf eine Exponentialfunktion anzuwenden, deren Exponent eine Funktion ist.