Extremwertaufgaben/Integrale

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die Randwerte unbedingt zu untersuchen! 8 PE TIẾT 29 vc17:3194 Fig. 3 Beispiel: Fläche unter einer Parabel Sonstige : * Die perfekte Dose * Rechteck im Dreieck Integralrechnung Normale Form: Ober- grenze Unter- grenze а Stammfunktion: f(x) dx = F(b) - Fla) Hauptthema Beispiel: f(x) = x² > Ableiten: F→ f→ f' → f" Integrieren: f"→ f' →f → F A = उँ F* beliebige Stammfunktion 1[0; 2] [* 4oxax =[ 3 × [ * - - f(x) dx X = F(2) - F(0) = (3 ·2³) - (32 · 0 ²) = 1/3 0 F(x)= 3x³ f X >X Rechenregeln: 1 2 Satz VIII.4: Rechenregeln für bestimmte Integrale f und g seien auf dem Intervall [a; b] stetige Funktionen. Dann gilt: 3 a (1) ſt a 4 [f(x)dx=0 birrelevant с beim (2) [f(x)dx + [f(x)dx = [f(x)dx Irrelevant belm zusammen. b a a (3) [f(x) dx = b b Rezept: a a f(x) dx (4) [k-f(x)dx=k. ff(x)dx b a a b b (5) f(f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g(x)dx a a a Intervalle bilden * eine Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen Nullstellen bestimmen Stimmen obere und untere Grenze überein, so ist das Integral 0. Intervalladditivität Vertauschung der Grenzen ändert das Vorzeichen. Faktorregelk kann vor Summenregel stehen Integral bestimmen Addition der Beträge (1...1) acthing: Vorzeichen Flächenberechnung durch Intervallaufteilung Im Folgenden werden wir häufig auf das Problem stoßen, den Inhalt A eines Flächenstückes zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse berechnen zu müssen, welches teilweise über und teilweise unter der x-Achse liegt. Hierzu verwendet man bestimmte Integrale, muss aber Bilanzierungen, d. h. Aufhebungen ver- meiden. Wir zeigen das richtige und das falsche Vorgehen an einem Beispiel. Beispiel: Gesamtfläche In der Abbildung ist der Graph der Funktion f(x)=2-1x² dargestellt. Er schließt über dem Intervall [0; 3] mit der x-Achse die markierte Fläche ein. Welchen Inhalt A besitzt sie? Richtige Lösung: Wir verwenden zur Berechnung be- immte sichern aber durch ge- eignete Aufteilung des Intervalls [0:3], dass es nicht zu Bilanzierungen kommt. Im Intervall [0; 2] gilt f(x) > 0. Das be- stimmte Integral ist positiv. Der Flächen- inhalt A, ist gleich dem bestimmten Inte- gral. Teilergebnis: A₁ = Im Intervall [2:3] gilt f(x) <0. Das be- stimmte Integral ist negativ. Der Flächen- inhalt A₂ ist gleich dem Betrag des be- stimmten Integrals. Teilergebnis: A₂ = ? Den Gesamtinhalt erhalten wir durch Ad- dition: A = A + A₂ 3,83 Falsche Lösung: Wir versuchen, den gesuchten Flächenin- halt in einem Zug ohne Intervallaufteilung zu errechnen. Das ,,Resultat A = erhal- ten wir so viel schneller, aber es ist falsch. Es stellt nur die bei dieser Aufgabe un- brauchbare Flächenbilanz dar. 0 0 Berechnung der Teilfläche A₁: [(2−1¹x²)dx= [2x−! x³] ² 2 3 X -(1)-(0)==A₁ = Berechnung der Teilfläche A₂: [(2-1x²) dx = [2x-1x²³] 2 0 (1)-(1) = -² → A₂ = ² Gesamtinhalt: A=A₁ + A₂=+=23,83 Falsche Lösung: [(2-₁x²) dx = [2x-x³] = (3) – ⇒ A== 1,5 falsch! -(0)= Man darf nur Oberhalb bzw. Unterhalb x-Achse rechnen. der Der Teil des zu Berechnenen Intervalls darf nicht die Achse schneiden. x Fläche aufteilen! 11 23 1 Beispiel: Gegeben ist die Funktion f(x)=x²-3x+2. Gesucht ist der Gesamtinhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über dem Intervall [0 ; 3]. 1 3 füxlckx = [^^x*- $x* vax]* f(x) dx 4 1 + 3 "rovich = [4 x² - $ x²+2x]* raw f(x) dx 2 A₁ = A₂ ^^ 12 = wln YA 3 = ( ^^ · 1² - § · 1²ª + 2·-1)-( 1²2 · 0²³ - $.0² +2.0) 1 Ages 1 0 1 E - (23²-53²+23)-(4--1²--1² +2-1) = 2 = A₁ + A₂ = 12 +|-|=31 1 X 12 Parameter bestimmung: f(x) dx = $(ax²+1) dx = F(1)-F(0)=²²2² + 1² = 2 a = 3 r Parabel: f(x)=x² a Š (x²) dx = [ 3 x ² 승이 +₁1) dx = [a = 1² + x ] ^ = 2 3 = a Parabelschar: fa (x) = ax² +1 F₁(x) = ax³ + x . 4 =+ 3 3+1 x = a = 2 + 3 = 1 I [0₁2] F(x)= 3x³ uustellen und √ A≈ 1, 59 Parabelschar: f₁₂ (x) = Fx (x) = NST -x³+kx² = 0 L 2 x²-(-x+k) = 0 습 k+k³= 21 = k3 4 Vorgehensweise 1 Schnittstellen X₁ = GTR : (f(x) - g(x)) dx √ f₂ (x) dx = 21 ÷ = [ − ÷ x*+k · 4x²][ 0 GTR × O 27 -kx² + k· 3x³ ^ К → f(x) = g(x) GTR, X₁₂₁ = -1 1 X ₂ = 2 = 4 X₂ = k bestimmen kao 21 FE J UBI SONA: grapez 1511 9 LAST OLE PAYILO egralrechnung mit Schar (in Abhängigkeit von & bestimmen £₂6²)= fα= x²+x Sux² + t. x² dx *[04] 6 t 2 == [ { x ²³² + £ x ²³²] ²0 1,3 3x ゴ。 = $1³+$. 1² (4·0²³+$.0²) ㅅ t • - 3 1/2 + 1/2 - ( 0 + 0) = 11/12 für t: 1/3+1=0 1 13 2 tx-> x ² 6.x1 →/1/2x² २