Extremwertaufgaben/Integrale

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Neuze i Math Zehn ande Zoom FKT B 6 Fig. 2 Zoom Spur Neuzei Math |zchn and te Maxi xc: 1.83729 MAIN yc:7.5194 FKT Fig. 3 Bei realen Extremwertauf- gaben sind die Randwerte unbedingt zu untersuchen! Beispiel: Fläche unter einer Parabel Sonstige :* Die perfekte Dose * Rechteck im Dreieck * Integralrechnung Hauptthema Normale Form: Ober- grenze Integral- zeichen Unter- grenze а Stammfunktion: f(x) dx = F(b) - F(a) Ableiten: F > f → f' → f" Integrieren: f" → f' →f > F Beispiel: 2 f(x) = x ² f(x) dx A=+ F + beliebige Stamm funktion 3 → F(x) = 3 x ³ I[0; 2] 3 X 1 = F(2) - F(0) = (-2²)- (-0³) = -3/1² 3 f 19 ㅠ →X Rechenregeln : * Satz VIII.4: Rechenregeln für bestimmte Integrale f und g seien auf dem Intervall [a; b] stetige Funktionen. Dann gilt: a (1) [f(x) dx = 0 888 a 2 birrelevant Cusammenf. (2) [f(x) dx + [f(x)dx= [f(x) dx a a C b (3) ff(x)dx= = -f(x)dx birrelevant a Rezept: beim zusammen. a b (4) [k. f(x) dx = k· [f(x) dx a a b b b (5) f(f(x) + g(x))dx=ff(x)dx + [g(x) dx a a a 1 Nullstellen bestimmen Intervalle bilden Stimmen obere und untere Grenze überein, so ist das Integral 0. 3 Integral bestimmen 4 Addition der Beträge (1...1) Intervalladditivität eine Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen Vertauschung der Grenzen ändert das Vorzeichen, Faktorregel k kann vor und hinter olem stehen Summenregel Achtung: Vorzeichen Flächenberechnung durch Intervallaufteilung Im Folgenden werden wir häufig auf das Problem stoßen, den Inhalt A eines Flächenstückes zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse berechnen zu müssen, welches teilweise über und teilweise unter der x-Achse liegt. Hierzu verwendet man bestimmte Integrale, muss aber Bilanzierungen, d. h. Aufhebungen ver- meiden. Wir zeigen das richtige und das falsche Vorgehen an einem Beispiel. Beispiel: Gesamtfläche In der Abbildung ist der Graph der Funktion f(x) = 2 -1x² dargestellt. Er schließt über dem Intervall [0; 3] mit der x-Achse die markierte Fläche ein. Welchen Inhalt A besitzt sie? Richtige Lösung: Wir verwenden zur Berechnung be- stimmte Integrale, sichern aber durch ge- eignete Aufteilung des Intervalls [0; 3], dass es nicht zu Bilanzierungen kommt. Im Intervall [0; 2] gilt f(x) > 0. Das be- stimmte Integral ist positiv. Der Flächen- inhalt A₁ ist gleich dem bestimmten Inte- gral. Teilergebnis: A₁ = Im Intervall [2; 3] gilt f(x) ≤0. Das be- stimmte Integral ist negativ. Der Flächen- inhalt A₂ ist gleich dem Betrag des be- stimmten Integrals. Teilergebnis: A₂ = Den Gesamtinhalt erhalten wir durch Ad- dition: A = A₁ + A₂ = 23³ ≈ 3,83 Falsche Lösung: Wir versuchen, den gesuchten Flächenin- halt in einem Zug ohne Intervallaufteilung zu errechnen. Das ,,Resultat A= erhal- ten wir so viel schneller, aber es ist falsch. Es stellt nur die bei dieser Aufgabe un- brauchbare Flächenbilanz dar. 2 0 0 2 Berechnung der Teilfläche A₁: [(²-1x²) dx = [2x - 1 x³] ² - ()-(0)==A₁ = 3 X Berechnung der Teilfläche A₂: 3 [(² - 1 x ²) dx = [2x - 1 x³] ² Man darf nur Oberhalb x-Achse rechnen. - (₁) − (1) = − ² ⇒ A₂ = ² Gesamtinhalt: A = A₁ + A₂ = ³ +7=23~3,83 Falsche Lösung: |(2-½ x²) dx = [2x 0 = [2x-x²³] - () - ⇒ A=2=1,5 falsch! - (0) = bzw. Unterhalb der Der Teil des zu Berechnenen Intervalls darf nicht die X-Achse schneiden. E Fläche aufteilen 11 Beispiel: Gegeben ist die Funktion f(x) = x²-x+2. Gesucht ist der Gesamtinhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über dem Intervall [0 ; 3]. 3 2 = [ ^1^2ײ - $ × ² + 2×] ^ ** 2x f(x) dx = = 1/2 1 + 2 A₁ = 11 23 3 3 f(x) "[row dx = [ ^^ x ³² - {x^² + 2×]³ -x³ 2x 4 1 3 = ( ^₁^ ·- 1 ² - ² ² - 1 ² + 2-·₁1)-( 1/² · 0³ - $·0² +2·0) 6 4 6 12 A₂ = Ages 6/m ya 3 5.12 = √( ² · 3²- $· 3² +2·3)-( 1² · 1³ - $5-1² +2·1) 6 4 6 = 0 A₁ + A₂ 1 N = 1/2 + |- / | 1 = 31 12 X Parameter bestimmung F (1)-F(0)=2+1³ = 2 a=3 1 1 [ f₁(x) dx = [(ax² +₁) α Ĵ (ax^²+₁1) dx = [a= ² + x ] 1 = 2 O O r Parabel: f(x)=x² а Š O y دالي a 3 (x²) dx = [ 3 x³] ++ 3 D 3 >X Parabelschar: fa (x) = F₁(x) = a 3x³ + x Fa + 3² + 1 = 2 x = a ax² +1 uustellen und √ + I [0;2] وال = 1 F(x) = 33 x ³ → A≈ 1, 59 ୮ Parabelschar: L 1 NST: -x³+kx² = 0 2 </+ x² - (-x + k) = 0 k k³ -^ fx f₁₂ (x) = -x³ + Kx² k √ f₂(x) dx = 214 = [− 4 x*+k · 4x²][ 3 O + 3 k = 3 Fx (x) = - = x + k· 13/1/2 3x Vorgehensweise GTR Хл 21/3/3/3 2 (f(x) - g(x)) dx GTR, 27 ^ : K = 4 Schnittstellen → f(x) = g(x) GTR₁₂ X ₁ = = 1 ₁ X ₂ = 2 K₂O 21 FE X₂ = k Ха bestimmen r • UBI SONa Hug 012 151g Lysdioji ponud egralrechnung mit Schar (in Abhängigkeit von & bestimmen) exertx x₩ [81] = 41 x ² + t. x) dx [3x3 + +1 슬 134 동 1승 034층.0²) 슬.^+등.. +듬-1010). furt: +글 2 +5=0 Socui's 슬 2 tx-> 2x ㅋ 6.x1 2 을 X te Mathe