Integrale und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Diese Seite bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung und ihre wichtigsten Konzepte. Der Fokus liegt auf dem orientierten Flächeninhalt und dessen Berechnung mittels Integralen.
Der orientierte Flächeninhalt wird als Summe von Teilflächen zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse definiert. Dabei werden Flächen oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb negativ gezählt. Dies führt zur Definition des Integrals als orientierter Flächeninhalt:
Definition: Der orientierte Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion f, der x-Achse und den Grenzen a und b wird durch das bestimmte Integral ∫[a,b] f(x) dx ausgedrückt.
Ein wichtiger Aspekt ist die Beziehung zwischen Integralen und Stammfunktionen, die im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zusammengefasst wird:
Highlight: Der Hauptsatz besagt, dass ∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a), wobei F eine Stammfunktion von f ist.
Die Seite führt auch das Konzept der Integralfunktion ein:
Definition: Die Integralfunktion Ju(x) = ∫[u,x] f(t) dt ist eine Stammfunktion von f mit der Eigenschaft Ju(u) = 0.
Weitere wichtige Themen sind:
- Der Mittelwert einer Funktion über ein Intervall, definiert als 1/(b-a) · ∫[a,b] f(x) dx.
- Rotationskörper, deren Volumen durch Rotation einer Fläche um die x-Achse entsteht.
- Die Berechnung von ins Unendliche reichenden Flächen durch Grenzwertbetrachtungen.
Example: Für die Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers wird die Formel V = π · ∫[a,b] (f(x))² dx verwendet.
Diese Zusammenfassung bietet einen soliden Überblick über die grundlegenden Konzepte der Integralrechnung und ihre Anwendungen in der Flächenberechnung und darüber hinaus.
