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Extremwertaufgaben und -probleme: Übungen und Lösungen für Klasse 9 und 11 als PDF

16

0

L

Lydia

27.8.2025

Mathe

extremwertprobleme mit nebenbedingungen

Mathematik

Methoden der Funktionsoptimierung

Optimierungsprobleme

626

•

27. Aug. 2025

•

2 Seiten

Extremwertaufgaben und -probleme: Übungen und Lösungen für Klasse 9 und 11 als PDF

L

Lydia

@lydia_nypo

Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen werden anhand eines konkreten Beispiels erläutert. Die... Mehr anzeigen

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Bsp.: Y 5 4 3 2 Extremwertprobleme mit hebenbedingungen. 1 x1.5 ^ F(x)=√x + 5 (4,5) P(xly) 2 2 3 4 Hauptbedingung: A= a.b Nebenbedingung: Au

Weiteres Beispiel für Extremwertaufgaben

Auf dieser Seite wird ein zusätzliches Beispiel für Extremwertaufgaben mit Lösungen aus einem Lehrbuch (S. 28) kurz angerissen. Dieses Beispiel dient dazu, die Vielfalt der Anwendungsmöglichkeiten von Extremwertproblemen zu demonstrieren.

Die Hauptbedingung bleibt ähnlich wie im vorherigen Beispiel: A = a · b, wobei A den Flächeninhalt und a und b die Seitenlängen des Rechtecks darstellen.

Die Nebenbedingung in diesem Fall lautet: a = x b = 50 - 2x

Diese Nebenbedingung führt zu einer anderen Zielfunktion: Axx = x · 50−2x50 - 2x = 50x - 2x²

Highlight: Die Unterschiede in den Nebenbedingungen führen zu verschiedenen Zielfunktionen, was die Flexibilität und Anpassungsfähigkeit von Extremwertaufgaben in verschiedenen Kontexten zeigt.

Obwohl die vollständige Lösung dieses Beispiels nicht ausgeführt wird, lässt sich erkennen, dass der Lösungsansatz ähnlich dem vorherigen Beispiel sein wird. Die Schüler werden ermutigt, die gelernten Methoden auf dieses neue Problem anzuwenden.

Example: Die Zielfunktion Axx = 50x - 2x² ist eine quadratische Funktion, deren Graph eine nach unten geöffnete Parabel ist. Dies deutet darauf hin, dass es ein Maximum geben wird.

Solche Übungen sind besonders wertvoll für Extremwertaufgaben Übungen mit Lösungen PDF, da sie den Schülern die Möglichkeit geben, ihr Verständnis zu vertiefen und die Anwendung der Methoden in verschiedenen Situationen zu üben.

Bsp.: Y 5 4 3 2 Extremwertprobleme mit hebenbedingungen. 1 x1.5 ^ F(x)=√x + 5 (4,5) P(xly) 2 2 3 4 Hauptbedingung: A= a.b Nebenbedingung: Au

Extremwertproblem mit Nebenbedingung: Maximaler Flächeninhalt eines Rechtecks

In diesem Abschnitt wird ein Extremwertproblem mit Nebenbedingungen anhand eines konkreten Beispiels erläutert. Die Aufgabe besteht darin, den maximalen Flächeninhalt eines Rechtecks zu bestimmen, das durch eine Kurve begrenzt wird.

Definition: Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen sind Optimierungsaufgaben, bei denen eine Zielfunktion unter Berücksichtigung bestimmter Einschränkungen (Nebenbedingungen) maximiert oder minimiert werden soll.

Der Lösungsweg umfasst folgende Schritte:

  1. Aufstellung der Hauptbedingung: A = a · b (Flächeninhalt des Rechtecks)
  2. Formulierung der Nebenbedingung: y = √x + 5 (gegebene Kurve)
  3. Entwicklung der Zielfunktion: Axx = x · √x+5√x + 5
  4. Untersuchung auf Extremstellen

Highlight: Die Zielfunktion Axx = x · √x+5√x + 5 ist der Schlüssel zur Lösung des Problems. Sie verbindet die Hauptbedingung mit der Nebenbedingung.

Die notwendige Bedingung für ein Extremum wird durch das Nullsetzen der ersten Ableitung ermittelt: f'xx = 0. In diesem Fall ergibt sich x = 1,5 als kritischer Punkt.

Example: Die Berechnung der zweiten Ableitung f"xx = -10 zeigt, dass es sich bei x = 1,5 um ein Maximum handelt, da f"(1,5) < 0 ist.

Abschließend wird der maximale Flächeninhalt A1,51,5 = 3,75 berechnet.

Vocabulary: Hochpunkt HPHP - Ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion, an dem ein lokales Maximum erreicht wird.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Mathematik

Methoden der Funktionsoptimierung

Optimierungsprobleme

 

Mathe

•

626

•

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•

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Extremwertaufgaben und -probleme: Übungen und Lösungen für Klasse 9 und 11 als PDF

L

Lydia

@lydia_nypo

Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen werden anhand eines konkreten Beispiels erläutert. Die Aufgabe besteht darin, den maximalen Flächeninhalt eines Rechtecks zu bestimmen, das durch eine Kurve begrenzt wird. Der Lösungsweg umfasst die Aufstellung der Hauptbedingung, Nebenbedingung und Zielfunktion sowie die Anwendung der... Mehr anzeigen

Bsp.: Y 5 4 3 2 Extremwertprobleme mit hebenbedingungen. 1 x1.5 ^ F(x)=√x + 5 (4,5) P(xly) 2 2 3 4 Hauptbedingung: A= a.b Nebenbedingung: Au

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Weiteres Beispiel für Extremwertaufgaben

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Die Hauptbedingung bleibt ähnlich wie im vorherigen Beispiel: A = a · b, wobei A den Flächeninhalt und a und b die Seitenlängen des Rechtecks darstellen.

Die Nebenbedingung in diesem Fall lautet: a = x b = 50 - 2x

Diese Nebenbedingung führt zu einer anderen Zielfunktion: Axx = x · 50−2x50 - 2x = 50x - 2x²

Highlight: Die Unterschiede in den Nebenbedingungen führen zu verschiedenen Zielfunktionen, was die Flexibilität und Anpassungsfähigkeit von Extremwertaufgaben in verschiedenen Kontexten zeigt.

Obwohl die vollständige Lösung dieses Beispiels nicht ausgeführt wird, lässt sich erkennen, dass der Lösungsansatz ähnlich dem vorherigen Beispiel sein wird. Die Schüler werden ermutigt, die gelernten Methoden auf dieses neue Problem anzuwenden.

Example: Die Zielfunktion Axx = 50x - 2x² ist eine quadratische Funktion, deren Graph eine nach unten geöffnete Parabel ist. Dies deutet darauf hin, dass es ein Maximum geben wird.

Solche Übungen sind besonders wertvoll für Extremwertaufgaben Übungen mit Lösungen PDF, da sie den Schülern die Möglichkeit geben, ihr Verständnis zu vertiefen und die Anwendung der Methoden in verschiedenen Situationen zu üben.

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Extremwertproblem mit Nebenbedingung: Maximaler Flächeninhalt eines Rechtecks

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Definition: Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen sind Optimierungsaufgaben, bei denen eine Zielfunktion unter Berücksichtigung bestimmter Einschränkungen (Nebenbedingungen) maximiert oder minimiert werden soll.

Der Lösungsweg umfasst folgende Schritte:

  1. Aufstellung der Hauptbedingung: A = a · b (Flächeninhalt des Rechtecks)
  2. Formulierung der Nebenbedingung: y = √x + 5 (gegebene Kurve)
  3. Entwicklung der Zielfunktion: Axx = x · √x+5√x + 5
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Die notwendige Bedingung für ein Extremum wird durch das Nullsetzen der ersten Ableitung ermittelt: f'xx = 0. In diesem Fall ergibt sich x = 1,5 als kritischer Punkt.

Example: Die Berechnung der zweiten Ableitung f"xx = -10 zeigt, dass es sich bei x = 1,5 um ein Maximum handelt, da f"(1,5) < 0 ist.

Abschließend wird der maximale Flächeninhalt A1,51,5 = 3,75 berechnet.

Vocabulary: Hochpunkt HPHP - Ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion, an dem ein lokales Maximum erreicht wird.

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4.9/5

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4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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