Weiteres Beispiel für Extremwertaufgaben

Auf dieser Seite wird ein zusätzliches Beispiel für Extremwertaufgaben mit Lösungen aus einem Lehrbuch (S. 28) kurz angerissen. Dieses Beispiel dient dazu, die Vielfalt der Anwendungsmöglichkeiten von Extremwertproblemen zu demonstrieren.

Die Hauptbedingung bleibt ähnlich wie im vorherigen Beispiel: A = a · b, wobei A den Flächeninhalt und a und b die Seitenlängen des Rechtecks darstellen.

Die Nebenbedingung in diesem Fall lautet: a = x b = 50 - 2x

Diese Nebenbedingung führt zu einer anderen Zielfunktion: A$x$ = x · $50 - 2x$ = 50x - 2x²

Highlight: Die Unterschiede in den Nebenbedingungen führen zu verschiedenen Zielfunktionen, was die Flexibilität und Anpassungsfähigkeit von Extremwertaufgaben in verschiedenen Kontexten zeigt.

Obwohl die vollständige Lösung dieses Beispiels nicht ausgeführt wird, lässt sich erkennen, dass der Lösungsansatz ähnlich dem vorherigen Beispiel sein wird. Die Schüler werden ermutigt, die gelernten Methoden auf dieses neue Problem anzuwenden.

Example: Die Zielfunktion A$x$ = 50x - 2x² ist eine quadratische Funktion, deren Graph eine nach unten geöffnete Parabel ist. Dies deutet darauf hin, dass es ein Maximum geben wird.

Solche Übungen sind besonders wertvoll für Extremwertaufgaben Übungen mit Lösungen PDF, da sie den Schülern die Möglichkeit geben, ihr Verständnis zu vertiefen und die Anwendung der Methoden in verschiedenen Situationen zu üben.

Extremwertproblem mit Nebenbedingung: Maximaler Flächeninhalt eines Rechtecks

In diesem Abschnitt wird ein Extremwertproblem mit Nebenbedingungen anhand eines konkreten Beispiels erläutert. Die Aufgabe besteht darin, den maximalen Flächeninhalt eines Rechtecks zu bestimmen, das durch eine Kurve begrenzt wird.

Definition: Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen sind Optimierungsaufgaben, bei denen eine Zielfunktion unter Berücksichtigung bestimmter Einschränkungen (Nebenbedingungen) maximiert oder minimiert werden soll.

Der Lösungsweg umfasst folgende Schritte:

1. Aufstellung der Hauptbedingung: A = a · b (Flächeninhalt des Rechtecks)
2. Formulierung der Nebenbedingung: y = √x + 5 (gegebene Kurve)
3. Entwicklung der Zielfunktion: A$x$ = x · $√x + 5$
4. Untersuchung auf Extremstellen

Highlight: Die Zielfunktion A$x$ = x · $√x + 5$ ist der Schlüssel zur Lösung des Problems. Sie verbindet die Hauptbedingung mit der Nebenbedingung.

Die notwendige Bedingung für ein Extremum wird durch das Nullsetzen der ersten Ableitung ermittelt: f'$x$ = 0. In diesem Fall ergibt sich x = 1,5 als kritischer Punkt.

Example: Die Berechnung der zweiten Ableitung f"$x$ = -10 zeigt, dass es sich bei x = 1,5 um ein Maximum handelt, da f"(1,5) < 0 ist.

Abschließend wird der maximale Flächeninhalt A(1,5) = 3,75 berechnet.

Vocabulary: Hochpunkt (HP) - Ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion, an dem ein lokales Maximum erreicht wird.