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Aktualisiert Mar 10, 2026
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Extremwertaufgaben und -probleme: Übungen und Lösungen für Klasse 9 und 11 als PDF
L
Lydia
@lydia_nypo
Weiteres Beispiel für Extremwertaufgaben
Auf dieser Seite wird ein zusätzliches Beispiel für Extremwertaufgaben mit Lösungen aus einem Lehrbuch (S. 28) kurz angerissen. Dieses Beispiel dient dazu, die Vielfalt der Anwendungsmöglichkeiten von Extremwertproblemen zu demonstrieren.
Die Hauptbedingung bleibt ähnlich wie im vorherigen Beispiel: A = a · b, wobei A den Flächeninhalt und a und b die Seitenlängen des Rechtecks darstellen.
Die Nebenbedingung in diesem Fall lautet: a = x b = 50 - 2x
Diese Nebenbedingung führt zu einer anderen Zielfunktion: A(x) = x · = 50x - 2x²
Highlight: Die Unterschiede in den Nebenbedingungen führen zu verschiedenen Zielfunktionen, was die Flexibilität und Anpassungsfähigkeit von Extremwertaufgaben in verschiedenen Kontexten zeigt.
Obwohl die vollständige Lösung dieses Beispiels nicht ausgeführt wird, lässt sich erkennen, dass der Lösungsansatz ähnlich dem vorherigen Beispiel sein wird. Die Schüler werden ermutigt, die gelernten Methoden auf dieses neue Problem anzuwenden.
Example: Die Zielfunktion A(x) = 50x - 2x² ist eine quadratische Funktion, deren Graph eine nach unten geöffnete Parabel ist. Dies deutet darauf hin, dass es ein Maximum geben wird.
Solche Übungen sind besonders wertvoll für Extremwertaufgaben Übungen mit Lösungen PDF, da sie den Schülern die Möglichkeit geben, ihr Verständnis zu vertiefen und die Anwendung der Methoden in verschiedenen Situationen zu üben.
Extremwertproblem mit Nebenbedingung: Maximaler Flächeninhalt eines Rechtecks
In diesem Abschnitt wird ein Extremwertproblem mit Nebenbedingungen anhand eines konkreten Beispiels erläutert. Die Aufgabe besteht darin, den maximalen Flächeninhalt eines Rechtecks zu bestimmen, das durch eine Kurve begrenzt wird.
Definition: Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen sind Optimierungsaufgaben, bei denen eine Zielfunktion unter Berücksichtigung bestimmter Einschränkungen (Nebenbedingungen) maximiert oder minimiert werden soll.
Der Lösungsweg umfasst folgende Schritte:
- Aufstellung der Hauptbedingung: A = a · b (Flächeninhalt des Rechtecks)
- Formulierung der Nebenbedingung: y = √x + 5 (gegebene Kurve)
- Entwicklung der Zielfunktion: A(x) = x ·
- Untersuchung auf Extremstellen
Highlight: Die Zielfunktion A(x) = x · ist der Schlüssel zur Lösung des Problems. Sie verbindet die Hauptbedingung mit der Nebenbedingung.
Die notwendige Bedingung für ein Extremum wird durch das Nullsetzen der ersten Ableitung ermittelt: f'(x) = 0. In diesem Fall ergibt sich x = 1,5 als kritischer Punkt.
Example: Die Berechnung der zweiten Ableitung f"(x) = -10 zeigt, dass es sich bei x = 1,5 um ein Maximum handelt, da f"(1,5) < 0 ist.
Abschließend wird der maximale Flächeninhalt A(1,5) = 3,75 berechnet.
Vocabulary: Hochpunkt (HP) - Ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion, an dem ein lokales Maximum erreicht wird.
Wir dachten schon, du fragst nie...
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4.7/5
Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
iOS-Nutzerin
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Thomas R
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Basil
Android-Nutzer
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David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Elisha
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Paul T
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L
Lydia
@lydia_nypo
Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen werden anhand eines konkreten Beispiels erläutert. Die Aufgabe besteht darin, den maximalen Flächeninhalt eines Rechtecks zu bestimmen, das durch eine Kurve begrenzt wird. Der Lösungsweg umfasst die Aufstellung der Hauptbedingung, Nebenbedingung und Zielfunktion sowie die Anwendung der... Mehr anzeigen
Weiteres Beispiel für Extremwertaufgaben
Auf dieser Seite wird ein zusätzliches Beispiel für Extremwertaufgaben mit Lösungen aus einem Lehrbuch (S. 28) kurz angerissen. Dieses Beispiel dient dazu, die Vielfalt der Anwendungsmöglichkeiten von Extremwertproblemen zu demonstrieren.
Die Hauptbedingung bleibt ähnlich wie im vorherigen Beispiel: A = a · b, wobei A den Flächeninhalt und a und b die Seitenlängen des Rechtecks darstellen.
Die Nebenbedingung in diesem Fall lautet: a = x b = 50 - 2x
Diese Nebenbedingung führt zu einer anderen Zielfunktion: A(x) = x · = 50x - 2x²
Highlight: Die Unterschiede in den Nebenbedingungen führen zu verschiedenen Zielfunktionen, was die Flexibilität und Anpassungsfähigkeit von Extremwertaufgaben in verschiedenen Kontexten zeigt.
Obwohl die vollständige Lösung dieses Beispiels nicht ausgeführt wird, lässt sich erkennen, dass der Lösungsansatz ähnlich dem vorherigen Beispiel sein wird. Die Schüler werden ermutigt, die gelernten Methoden auf dieses neue Problem anzuwenden.
Example: Die Zielfunktion A(x) = 50x - 2x² ist eine quadratische Funktion, deren Graph eine nach unten geöffnete Parabel ist. Dies deutet darauf hin, dass es ein Maximum geben wird.
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Extremwertproblem mit Nebenbedingung: Maximaler Flächeninhalt eines Rechtecks
In diesem Abschnitt wird ein Extremwertproblem mit Nebenbedingungen anhand eines konkreten Beispiels erläutert. Die Aufgabe besteht darin, den maximalen Flächeninhalt eines Rechtecks zu bestimmen, das durch eine Kurve begrenzt wird.
Definition: Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen sind Optimierungsaufgaben, bei denen eine Zielfunktion unter Berücksichtigung bestimmter Einschränkungen (Nebenbedingungen) maximiert oder minimiert werden soll.
Der Lösungsweg umfasst folgende Schritte:
- Aufstellung der Hauptbedingung: A = a · b (Flächeninhalt des Rechtecks)
- Formulierung der Nebenbedingung: y = √x + 5 (gegebene Kurve)
- Entwicklung der Zielfunktion: A(x) = x ·
- Untersuchung auf Extremstellen
Highlight: Die Zielfunktion A(x) = x · ist der Schlüssel zur Lösung des Problems. Sie verbindet die Hauptbedingung mit der Nebenbedingung.
Die notwendige Bedingung für ein Extremum wird durch das Nullsetzen der ersten Ableitung ermittelt: f'(x) = 0. In diesem Fall ergibt sich x = 1,5 als kritischer Punkt.
Example: Die Berechnung der zweiten Ableitung f"(x) = -10 zeigt, dass es sich bei x = 1,5 um ein Maximum handelt, da f"(1,5) < 0 ist.
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Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
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David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
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Anna
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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