Ebene Figuren und Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck

Mit Formeln für ebene Figuren kannst du Flächeninhalte und Umfänge berechnen. Für das Quadrat gilt A=a² und u=4·a, für das Rechteck A=a·b und u=2·a+2·b. Auch für Dreieck, Parallelogramm und Trapez gibt es einfache Formeln.

Der Kreis hat die Flächenformel A=πr² und den Umfang u=2·π·r. Beim Kreissektor berechnest du den Anteil mit dem Winkel α in der Formel A=π·r²·α/360°.

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Satz des Pythagoras wichtig: a²+b²=c². Die trigonometrischen Funktionen sin, cos und tan helfen dir, Winkel und Seiten zu bestimmen.

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Geometrische Körper

Raumgeometrie begegnet dir überall im Alltag. Der Würfel mit Volumen V=a³ und Oberfläche O=6a² ist der einfachste Körper. Beim Quader musst du drei unterschiedliche Kanten (a, b, c) berücksichtigen.

Prisma und Zylinder folgen dem gleichen Prinzip: Volumen = Grundfläche · Höhe. Die Oberfläche besteht aus zwei Grundflächen plus der Mantelfläche. Für den Zylinder mit Radius r gilt V=πr²·h₍k₎.

Bei Pyramide und Kegel beträgt das Volumen ein Drittel von Grundfläche · Höhe: V=⅓·G·h₍k₎. Die Kugel mit Radius r hat das Volumen V=⁴⁄₃πr³ und die Oberfläche O=4πr².

🔍 In der Formelsammlung Mathematik PDF 10 Klasse findest du alle wichtigen Maßeinheiten für Volumen (m³, dm³, cm³) und Masse (t, kg, g)!

Zentrische Streckung und Prozentrechnung

Bei der zentrischen Streckung wird eine Figur von einem Zentrum Z aus mit dem Faktor k vergrößert oder verkleinert. Die Original- und Bildfigur sind ähnlich zueinander – Winkel bleiben gleich und Seiten werden proportional verändert.

Die Prozentrechnung benutzt du täglich. Der Grundwert G entspricht 100%, der Prozentsatz p% gibt den Anteil an, und der Prozentwert W ist der berechnete Teil: W = G · p%. Wichtig für den MSA sind auch die Formeln für Jahreszinsen Z = K · p%, Monatszinsen und Tageszinsen.

Bei Zinseszins wächst dein Kapital K₀ nach n Jahren auf K₍n₎ = K₀ · q^n an, wobei q = 1 + p/100 der Zinsfaktor ist.

⚠️ Für die ZAP Mathe Aufgaben mit Lösungen NRW solltest du verschiedene Arten von Diagrammen (Säulen-, Balken-, Kreisdiagramm) kennen!

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

In der Statistik untersuchst du Daten mithilfe von Häufigkeiten. Die absolute Häufigkeit sagt, wie oft ein Wert vorkommt, während die relative Häufigkeit diesen Wert ins Verhältnis zur Gesamtzahl setzt.

Die wichtigsten Mittelwerte sind das arithmetische Mittel (Durchschnitt aller Werte) und der Median (mittlerer Wert in der sortierten Liste). Im Boxplot kannst du zusätzlich noch Quartile, Minimum und Maximum darstellen.

Bei Laplace-Versuchen ist jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich. Die Formel für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E lautet: P(E) = (Anzahl günstiger Ergebnisse)/(Anzahl möglicher Ergebnisse).

🧩 Für mehrstufige Zufallsversuche nutzt du Baumdiagramme und zwei wichtige Regeln: die Produktregel für Pfade und die Summenregel für zusammengesetzte Ereignisse!

Funktionen

Eine Funktion ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Du kannst Funktionen auf verschiedene Arten darstellen: als Text, mit einer Zuordnungsvorschrift, in einer Wertetabelle, als Graph oder durch eine Funktionsgleichung.

Bei linearen Funktionen $y = mx + n$ gibt m die Steigung und n den y-Achsenabschnitt an. Die Steigung berechnest du mit m = $y₂ - y₁$/$x₂ - x₁$.

Quadratische Funktionen haben die Form y = ax² + bx + c. Die Normalparabel y = x² hat ihren Scheitelpunkt bei S(0|0). Ein Streckfaktor a > 1 streckt die Parabel, während 0 < a < 1 sie staucht. Bei a < 0 öffnet sich die Parabel nach unten.

⭐ Für die Formelsammlung Mathe MSA ist die Scheitelpunktform y = a$x-d$² + e besonders wichtig, weil du direkt den Scheitelpunkt S(d|e) ablesen kannst!

Exponentialfunktionen und wichtige Formeln

Exponentialfunktionen $y = q^x oder y = a·q^x$ beschreiben exponentielles Wachstum. Bei q > 1 nimmt die Funktion zu (Wachstum), bei 0 < q < 1 nimmt sie ab (Zerfall). Der Wachstumsfaktor q hängt mit der prozentualen Änderung p% zusammen: q = 1 + p/100 bei Zunahme und q = 1 - p/100 bei Abnahme.

Die Sinusfunktion y = sin α hat einen Wertebereich von -1 bis 1 und wiederholt sich alle 360°.

Für quadratische Gleichungen in der Normalform x² + px + q = 0 gibt es eine Lösungsformel: x₁,₂ = -p/2 ± √$(p/2)² - q$.

Die binomischen Formeln und Potenz- und Wurzelgesetze helfen dir beim Umformen von Termen. Besonders wichtig sind $a+b$² = a² + 2ab + b² und die Potenzgesetze wie a^m · a^n = a^$m+n$.

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