Parameter bei quadratischen Funktionen

Du kennst bestimmt die Normalparabel y = x². Aber was passiert, wenn wir Parameter hinzufügen? Das ist einfacher als du denkst!

Bei y = $x-d$² verschiebt sich die Parabel horizontal. Hier ist der Trick: Bei einem Minus geht's nach rechts, bei einem Plus nach links. Also y = $x-3$² wandert 3 Einheiten nach rechts.

Mit y = $x-d$² + e kommt die vertikale Verschiebung dazu. Plus e bedeutet nach oben, minus e nach unten. Bei y = x² + 4 springt die Parabel 4 Einheiten hoch.

Der Parameter a in y = a$x-d$² + e steuert die Form: 0 < a < 1 staucht die Parabel (wird breiter), a > 1 streckt sie (wird schmaler), und a < 0 dreht sie um.

Die drei Formen quadratischer Funktionen

Quadratische Funktionen kannst du in drei verschiedenen Formen schreiben - je nach Situation ist eine davon praktischer.

Die Scheitelpunktform y = a$x-d$² + e zeigt dir sofort den Scheitelpunkt S(d|e). Super praktisch, wenn du wissen willst, wo die Parabel ihren höchsten oder tiefsten Punkt hat.

Die Normalform y = ax² + bx + c ist perfekt für den y-Achsenabschnitt - der liegt nämlich bei (0|c). Parameter b beeinflusst die Verschiebung auf der x-Achse.

Die faktorisierte Form f(x) = a$x-x₁$$x-x₂$ verrät dir die Nullstellen direkt: x₁ und x₂. Wichtig: Die Vorzeichen sind vertauscht! Der Scheitelpunkt liegt genau in der Mitte zwischen beiden Nullstellen.

Tipp: Der Scheitelpunkt bei faktorisierter Form liegt bei x = $x₁ + x₂$/2

Nullstellen und lineare Funktionen

Die pq-Formel x₁,₂ = $-p ± √(p² - 4q)$/2 ist dein Werkzeug für Nullstellen. Die Diskriminante (der Ausdruck unter der Wurzel) sagt dir alles: positiv = 2 Lösungen, null = 1 Lösung, negativ = keine Lösung.

Bei linearen Funktionen f(x) = mx + n ist die Steigung m = $y₂-y₁$/$x₂-x₁$. Positive Steigung geht bergauf, negative bergab. Die Nullstelle findest du mit x = -n/m.

Die binomischen Formeln brauchst du ständig: $a+b$² = a² + 2ab + b², $a-b$² = a² - 2ab + b² und $a+b$$a-b$ = a² - b².

Den y-Achsenabschnitt kriegst du, indem du x = 0 einsetzt. Bei f(x) = 3x² - 2x - 1 wird das f(0) = -1, also Schnittpunkt (0|-1).

Merkhilfe: Bei der pq-Formel muss die Funktion in der Form x² + px + q = 0 stehen!

Potenzfunktionen verstehen

Potenzfunktionen f(x) = xʳ verhalten sich je nach Exponent r völlig unterschiedlich. Das Muster zu erkennen macht alles einfacher!

Bei geraden Exponenten (x², x⁴, x⁶) sind die Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse. Sie fallen links und steigen rechts, haben den Scheitelpunkt bei (0|0) und verlaufen durch (1|1) und (-1|1).

Ungerade Exponenten (x³, x⁵, x⁷) ergeben punktsymmetrische Graphen zum Ursprung. Sie steigen monoton und gehen durch (1|1) und (-1|-1).

Bei negativen Exponenten wie x⁻² entstehen Hyperbeln. Gerade negative Exponenten sind achsensymmetrisch, ungerade punktsymmetrisch. Wichtig: x = 0 ist nicht erlaubt (Definitionslücke)!

Eselsbrücke: Gerade Exponenten = achsensymmetrisch, ungerade = punktsymmetrisch

Wurzelfunktionen und spezielle Eigenschaften

Wurzelfunktionen sind das Gegenteil von Potenzfunktionen. Die quadratische Wurzelfunktion f(x) = √x = x^(1/2) steigt monoton und startet bei (0|0).

Bei Wurzelfunktionen dürfen nur positive x-Werte (und null) eingesetzt werden, weil du aus negativen Zahlen keine Quadratwurzel ziehen kannst. Deshalb ist die Definitionsmenge D = ℝ₊ ∪ {0}.

Die verschiedenen Wurzelschreibweisen solltest du kennen: ∛x = x^(1/3), ⁴√x = x^(1/4). Je höher der Wurzelexponent, desto flacher wird der Graph.

Ungerade Wurzeln (wie ∛x) sind übrigens auch für negative x-Werte definiert, weil (-2)³ = -8 und damit ∛(-8) = -2 funktioniert.

Wichtig: Quadratwurzeln nur für x ≥ 0, ungerade Wurzeln für alle reellen Zahlen!

Umkehrfunktionen und Schnittpunkte

Eine Umkehrfunktion findest du, indem du x und y vertauschst und dann nach y auflöst. Bei f(x) = x³ wird daraus y = x³, dann x = y³ und schließlich f⁻¹(x) = ∛x.

Schnittpunkte zweier Graphen berechnest du durch Gleichsetzen: f(x) = g(x). Löse nach x auf und setze das Ergebnis in eine der Funktionen ein, um den y-Wert zu finden.

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung - jedem x-Wert entspricht genau ein y-Wert. Du kannst sie als Graph, Formel oder Wertetabelle darstellen.

Bei Umkehrfunktionen werden Definitions- und Wertebereich vertauscht. Der Graph der Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung an der Geraden y = x.

Funktionstest: Jede senkrechte Linie darf den Graphen nur einmal schneiden!