Lineare Funktionen

Grundlagen & Steigung

Die Steigung bestimmt den Verlauf der Geraden.

• Funktionsgleichung: Allgemein gilt $f(x) = m \cdot x + t$ mit Steigung $m$ und $y$-Achsenabschnitt $t$.
• Steigungsverhalten: Für $m > 0$ steigt die Gerade, für $m < 0$ fällt sie und bei $m = 0$ ist sie waagerecht.
• Zweipunkteformel: Berechnung der Steigung über zwei Punkte mit $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

💡 Tipp: Wenn $m = 0$, verläuft die Gerade parallel zur $x$-Achse und nicht zur $y$-Achse.

Aufstellen von Geradengleichungen

Vorgehen bei verschiedenen Gegebenheiten

Je nach Startwerten wird die Gleichung $f(x) = m \cdot x + t$ schrittweise ermittelt.

• Zwei Punkte: Zuerst $m$ berechnen, einen Punkt für $x$ und $f(x)$ einsetzen, nach $t$ auflösen.
• Ursprungsgerade: Verläuft immer durch $P(0|0)$, weshalb der Achsenabschnitt $t = 0$ ist.
• Parallelität: Parallele Geraden besitzen exakt dieselbe Steigung $m$.

Beispiel: Gegeben $P(2|5)$ und $m = 2$. $5 = 2 \cdot 2 + t \Rightarrow t = 1$. Gleichung: $f(x) = 2x + 1$.

💡 Tipp: Die Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten hat immer die Steigung $m = 1$.

Besondere Darstellungen & Schnittpunkte

Darstellungsformen & Punktprobe

Geraden können unterschiedlich dargestellt und auf Punkte geprüft werden.

• Punkt-Steigungs-Form: Berechenbar über die Formel $f(x) = m \cdot (x - x_0) + y_0$ mit Punkt $P(x_0|y_0)$.
• Punktprobe: Setze den Punkt in $f(x)$ ein; entsteht eine wahre Aussage, liegt er auf der Geraden.
• Schnittpunkt: Setze zwei Geradengleichungen gleich ($f(x) = g(x)$), löse nach $x$ auf und berechne $y$.

Beispiel: Nullstelle von $f(x) = 2x - 4$. $0 = 2x - 4 \Rightarrow x = 2$. Nullstelle liegt bei $N(2|0)$.

💡 Tipp: Für die Nullstelle setzt du immer den gesamten Funktionsterm gleich Null ($f(x) = 0$).

Lineare Funktionen mit Parametern

Geradenscharen & Büschelpunkte

Ein zusätzlicher Parameter $k$ erzeugt unendlich viele Geraden, die sich oft in einem Punkt treffen.

• Parameterschar: Besitzt variable Steigungen und Achsenabschnitte in Abhängigkeit von $k$.
• Büschelpunkt: Der gemeinsame Schnittpunkt aller Geraden einer Schar.
• Bestimmung: Term nach $k$ sortieren, den Klammerausdruck bei $k$ nullsetzen und $x$ sowie $y$ berechnen.

Beispiel: $g_k(x) = (3 - k)x + 2k$ hat bei $x = 2$ für jedes $k$ den Wert $y = 6$. Büschelpunkt ist $B(2|6)$.

💡 Tipp: Mach am Ende immer eine Punktprobe mit dem Büschelpunkt, um deine Rechnung abzusichern.

Rechnen mit Geradenscharen

Fallunterscheidung & Eigenschaften

Die Analyse von Scharen erfordert mathematische Vorsicht bei Divisionen durch Variablen.

• Fallunterscheidung: Unbedingt nötig, wenn bei der Auflösung nach $x$ durch einen Parameter-Term geteilt wird.
• Steigungsverhalten: Bestimme den Bereich für $k$, indem du die Steigung $m > 0$ (steigend) setzt.

Beispiel: Aus $-2k = (3-k) \cdot x$ folgt für Fall 1 ($k \neq 3$): $x = \frac{-2k}{3-k}$. Fall 2 ($k=3$): Keine Nullstelle.

💡 Tipp: Vergiss beim Teilen durch Parameter-Terme niemals den Sonderfall, bei dem der Nenner Null wird.

Quadratische Funktionen

Parabelformen und Eigenschaften

Quadratische Funktionen beschreiben gekrümmte Kurven, deren Aussehen von den Koeffizienten abhängt.

• Scheitelpunktform: $f(x) = a(x - x_s)^2 + y_s$ zeigt den höchsten oder tiefsten Punkt $S(x_s|y_s)$ direkt an.
• Linearfaktorform: $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ ist nur bei existierenden Nullstellen möglich.
• Formfaktor $a$: Bei $a > 0$ nach oben geöffnet, bei $a < 0$ nach unten. Werte $|a| > 1$ strecken die Parabel.

💡 Tipp: Ist der Parameter $b = 0$ in der Normalform, liegt der Scheitelpunkt direkt auf der $y$-Achse.

Lagebeziehungen & Ungleichungen

Schnitte und quadratische Ungleichungen

Geraden und Parabeln können sich auf drei verschiedene Arten schneiden oder berühren.

• Sekante, Tangente, Passante: Zwei, genau ein oder gar kein gemeinsamer Schnittpunkt mit der Parabel.
• Quadratische Ungleichung: Auf Form $ax^2 + bx + c > 0$ bringen, Nullstellen berechnen, Skizze nutzen.

Beispiel: $2x^2 + 3x - 2 > 0$ hat Nullstellen bei $x = 0,5$ und $x = -2$. Nach oben geöffnet. Lösungsmenge: $L = ]-\infty; -2[ \cup ]0,5; \infty[$.

💡 Tipp: Nutze für das Ablesen der Lösungsmenge einer Ungleichung immer eine kurze Skizze der Parabel.