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2.080
•
16. Jan. 2026
•
Joel Stepan
@joelstepan_yszr
Du siehst hier eine echte Mathe-Klausur aus der 11. Klasse... Mehr anzeigen
Ableitungsregeln sind das Herzstück jeder Analysis-Klausur. Bei zusammengesetzten Funktionen wie brauchst du die Kettenregel - vergiss nicht, die innere Ableitung zu multiplizieren!
Die Produktregel kommt bei zum Einsatz: . Bei trigonometrischen Funktionen wie musst du zusätzlich die Kettenregel anwenden.
Wendepunkte erkennst du über die zweite Ableitung. Im gegebenen Beispiel hat die Funktion bei einen Wendepunkt - die Tangentensteigung dort beträgt genau 1.
Merktipp: Lösungswege müssen immer nachvollziehbar sein - auch ohne Taschenrechner solltest du jeden Schritt begründen können!
Praxisanwendungen machen Analysis greifbar! Die Achterbahn-Aufgabe zeigt, wie Funktionen reale Probleme lösen. "Ohne Knick" bedeutet mathematisch, dass die Tangente an der Übergangsstelle die Fortsetzung bildet.
Bei der Flächenoptimierung in Aufgabe 5 suchst du das Maximum einer Dreiecksfläche. Solche Extremwertaufgaben löst du durch Ableiten und Nullsetzen der ersten Ableitung.
Tangenten von externen Punkten zu konstruieren ist ein Klassiker: Du setzt die allgemeine Tangentengleichung mit dem gegebenen Punkt gleich und löst das entstehende Gleichungssystem.
Praxistipp: Bei Anwendungsaufgaben immer zuerst eine Skizze anfertigen - das hilft enorm beim Verständnis des Problems!
Die Kettenregel bei führt zu . Häufiger Fehler: Die innere Ableitung zu vergessen!
Bei Produktregel plus Kettenregel wie wird's komplexer: . Die Lösung zeigt typische Rechenfehler - pass bei Vorzeichen auf.
Schnittpunkte von Geraden mit Funktionsgraphen hängen von der Steigung ab. Bei entstehen drei Schnittpunkte, bei nur noch einer - das erkennst du durch graphische Überlegungen.
Kontrolltipp: Setze einfache Werte ein, um deine Ableitungen zu überprüfen!
Extremstellen der Ursprungsfunktion werden zu Nullstellen der ersten Ableitung - deshalb hat genau zwei Nullstellen. Diese Verbindung ist prüfungsrelevant!
Wendestellen erkennst du daran, dass die zweite Ableitung dort null wird. Im Intervall existiert tatsächlich eine solche Nullstelle bei .
Die Aussage ist falsch, weil und an dieser Stelle die Funktion fällt, also ist. Solche Verkettungen von Funktionen erfordern schrittweises Vorgehen.
Analysehilfe: Schaue dir immer den Zusammenhang zwischen Funktion, erster und zweiter Ableitung graphisch an!
"Ohne Knick" bedeutet mathematisch Differenzierbarkeit - die Tangente am Übergangspunkt wird zur geraden Fortsetzung der Bahn. Du berechnest als Steigung der Verlängerung.
Die Tangentengleichung gibt dir die geradlinige Fortsetzung. Den Schnittpunkt mit der Grundebene findest du durch Gleichsetzen.
Die Länge der Verlängerung berechnest du mit dem Satz des Pythagoras: . Hier ergeben sich etwa 60 Meter.
Realitätscheck: Solche Anwendungsaufgaben verbinden Mathematik mit Ingenieurswesen - perfekt für Berufsorientierung!
Nullstellen findest du durch Ausklammern: . Das ergibt und .
Extrempunkte berechnest du über : führt zu . Einsetzen in gibt die Koordinaten und .
Der Wendepunkt liegt bei , also bei . Diese systematische Kurvendiskussion ist Standard in jeder Analysis-Klausur.
Systematik: Immer in der Reihenfolge vorgehen - Nullstellen, Extrema, Wendepunkte!
Gleiche Steigungen zweier Funktionen findest du durch Gleichsetzen der Ableitungen: . Das ergibt , eine quadratische Gleichung.
Senkrechte Tangenten entstehen, wenn das Produkt der Steigungen -1 ergibt: . Diese Bedingung führt zu einer Bestimmungsgleichung für .
Tangenten von externen Punkten konstruierst du über die allgemeine Tangentengleichung und setzt den gegebenen Punkt ein.
Geometrieverständnis: Visualisiere dir senkrechte Tangenten - das Steigungsprodukt ist immer -1!
Von Punkt zu suchst du Berührpunkte der Tangenten. Die allgemeine Tangentengleichung lautet .
Setze ein: . Das ergibt als Berührstellen.
Die beiden Tangentengleichungen sind und . Diese berühren die Parabel in bzw. .
Kontrolle: Prüfe immer, ob deine Tangenten tatsächlich durch den gegebenen Punkt gehen!
Die Dreiecksfläche mit Eckpunkten , und berechnest du über .
Einsetzen der Funktionen ergibt: . Für ist der Ausdruck positiv.
Das Maximum findest du durch Ableiten: führt zu einer kubischen Gleichung. Die Lösung ergibt die maximale Dreiecksfläche.
Optimierungstrick: Bei Flächenaufgaben immer prüfen, ob Höhen außerhalb des Dreiecks liegen können!
Für senkrechte Tangenten an Punkt muss gelten: . Das ist die grundlegende Bedingung für Orthogonalität.
Mit den gegebenen Funktionen führt das zu: . Diese Gleichung bestimmt die gesuchte Stelle .
Die Lösung zeigt, dass an diesem Punkt die Steigung von dem negativen Kehrwert der Steigung von entsprechen muss.
Endspurt: Mit 17,5 von 20 Punkten - eine solide Leistung in der Analysis-Klausur!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Joel Stepan
@joelstepan_yszr
Du siehst hier eine echte Mathe-Klausur aus der 11. Klasse zum Thema Analysis - perfekt, um zu verstehen, was dich in Leistungskursprüfungen erwartet. Die Klausur zeigt typische Aufgabentypen von Ableitungen bis hin zu komplexen Anwendungsaufgaben.
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Ableitungsregeln sind das Herzstück jeder Analysis-Klausur. Bei zusammengesetzten Funktionen wie brauchst du die Kettenregel - vergiss nicht, die innere Ableitung zu multiplizieren!
Die Produktregel kommt bei zum Einsatz: . Bei trigonometrischen Funktionen wie musst du zusätzlich die Kettenregel anwenden.
Wendepunkte erkennst du über die zweite Ableitung. Im gegebenen Beispiel hat die Funktion bei einen Wendepunkt - die Tangentensteigung dort beträgt genau 1.
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Bei der Flächenoptimierung in Aufgabe 5 suchst du das Maximum einer Dreiecksfläche. Solche Extremwertaufgaben löst du durch Ableiten und Nullsetzen der ersten Ableitung.
Tangenten von externen Punkten zu konstruieren ist ein Klassiker: Du setzt die allgemeine Tangentengleichung mit dem gegebenen Punkt gleich und löst das entstehende Gleichungssystem.
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Die Aussage ist falsch, weil und an dieser Stelle die Funktion fällt, also ist. Solche Verkettungen von Funktionen erfordern schrittweises Vorgehen.
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"Ohne Knick" bedeutet mathematisch Differenzierbarkeit - die Tangente am Übergangspunkt wird zur geraden Fortsetzung der Bahn. Du berechnest als Steigung der Verlängerung.
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Senkrechte Tangenten entstehen, wenn das Produkt der Steigungen -1 ergibt: . Diese Bedingung führt zu einer Bestimmungsgleichung für .
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Die Dreiecksfläche mit Eckpunkten , und berechnest du über .
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Das Maximum findest du durch Ableiten: führt zu einer kubischen Gleichung. Die Lösung ergibt die maximale Dreiecksfläche.
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Für senkrechte Tangenten an Punkt muss gelten: . Das ist die grundlegende Bedingung für Orthogonalität.
Mit den gegebenen Funktionen führt das zu: . Diese Gleichung bestimmt die gesuchte Stelle .
Die Lösung zeigt, dass an diesem Punkt die Steigung von dem negativen Kehrwert der Steigung von entsprechen muss.
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Dieser Lernzettel behandelt die wesentlichen Konzepte der quadratischen und Potenzfunktionen sowie die Grundlagen des grafischen Differenzierens und der Ableitungen. Er umfasst Themen wie Nullstellen, Extrempunkte, die Definition der ersten Ableitung und die durchschnittliche Änderungsrate. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren in der Differentialrechnung.
MatheDiese Klausur behandelt die Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen sowie deren Symmetrieverhalten. Wichtige Themen sind die Zuordnung von Funktionsvorschriften, das Globalverhalten und das Verhalten nahe Null. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ein tieferes Verständnis für Funktionen entwickeln möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Analyse von Funktionenscharen, Extremwertproblemen und die Berechnung von Wendepunkten. Sie umfasst wichtige Konzepte wie Ableitungen, Krümmungsverhalten und grafische Differenzierung. Ideal für die Vorbereitung auf die Mathematik LK Klausur Q1.1.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die wesentlichen Konzepte der Integralrechnung und Funktionsscharen, die in der 2. Klausur des Mathematik Leistungskurses Q1 behandelt wurden. Die Themen umfassen die Berechnung von Flächeninhalten, die Bestimmung von Wendepunkten und die Anwendung des Hauptsatzes der Integralrechnung. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ihr Verständnis in der Differential- und Integralrechnung vertiefen möchten.
MatheBereite dich effektiv auf die ZP10 in Mathematik vor! Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Themen wie den Satz des Pythagoras, lineare Gleichungssysteme, Trigonometrie, Flächen- und Volumenberechnung sowie exponentielles Wachstum. Ideal für die Prüfungsvorbereitung und das Verständnis grundlegender mathematischer Konzepte. Enthält auch Beispiele und Formeln zur Wiederholung.
MatheEntdecken Sie die Schritte zur Ermittlung von Funktionen 4. Grades, einschließlich Ableitungen, Wendepunkte und das Einsetzen von Werten. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Anleitung zur Bestimmung von Funktionsgleichungen und deren charakteristischen Punkten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von ganzrationalen Funktionen vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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