Verschobene Normalparabel und quadratische Funktionen

Die verschobene Normalparabel ist eine spezielle Form der quadratischen Funktion mit der Gleichung f(x) = (x-x₁)² + y₁. Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel, deren Scheitelpunkt bei den Koordinaten (x₁, y₁) liegt.

Beispiel: f(x) = (x-1)² + 3 hat den Scheitelpunkt bei (1, 3)

Die allgemeine Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet f(x) = a(x-x₁)² + y₁, wobei a ≠ 0 sein muss. Der Parameter a bestimmt die Form und Öffnungsrichtung der Parabel.

Highlight: Der Scheitelpunkt ist ein wichtiger Charakteristikpunkt der Parabel und lässt sich direkt aus der Scheitelpunktform ablesen.

Die Normalform einer quadratischen Funktion ist f(x) = ax² + bx + c (mit a ≠ 0). Man kann die Scheitelpunktform durch Ausmultiplizieren in die Normalform umwandeln.

Beispiel: f(x) = 2(x+3)² + 1 wird zu f(x) = 2x² + 12x + 19

Um die Funktionsgleichung einer Parabel zu bestimmen, benötigt man drei Punkte. Durch Einsetzen der Punktkoordinaten in die Normalform erhält man ein Gleichungssystem zur Bestimmung von a, b und c.

Highlight: Eine Parabel ist durch drei Punkte eindeutig bestimmt.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse. Sie lassen sich berechnen, indem man die Gleichung f(x) = 0 löst.

Beispiel: Für f(x) = x² - 81 sind die Nullstellen x = ±9

Vocabulary: Nullstellen sind die x-Werte, bei denen der Funktionswert gleich Null ist.

Diese Konzepte sind grundlegend für das Verständnis und die Analyse quadratischer Funktionen in der Mathematik.