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Lena
10.12.2025
Mathe
Funktionen
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10. Dez. 2025
•
Lena
@_le_ne_
Lineare Funktionen und proportionale Zuordnungen sind überall um uns herum... Mehr anzeigen
Stell dir vor, 3 Brezeln kosten 2,10€. Wie viel kosten dann 8 Brezeln? Das ist einfacher als du denkst! Zuerst rechnest du den Preis für eine Brezel aus: 2,10€ ÷ 3 = 0,70€.
Jetzt kannst du alles andere berechnen: 8 Brezeln × 0,70€ = 5,60€. Oder umgekehrt: Für 8,40€ bekommst du 12 Brezeln (8,40€ ÷ 0,70€ = 12).
Wenn du diese Punkte ins Koordinatensystem einträgst, entstehen alle Punkte auf einer geraden Linie durch den Nullpunkt. Das nennt man eine Ursprungsgerade.
Tipp: Bei proportionalen Zuordnungen bleibt das Verhältnis immer gleich - wie bei einem Kochrezept!
Das Coole an proportionalen Zuordnungen: Das Verhältnis bleibt konstant! Egal ob du 0,70€/1 Brezel oder 1,40€/2 Brezeln rechnest - das Ergebnis ist immer 0,70.
Diese konstante Zahl heißt Steigung. Sie zeigt dir, wie steil deine Gerade ist. Bei unserem Brezelbeispiel ist die Steigung überall gleich 0,70.
Proportionale Zuordnungen sind immer Ursprungsgeraden - sie gehen durch den Punkt (0/0). Geraden werden auch lineare Funktionen genannt, weil sie eine gerade Linie bilden.
Merke: Konstante Steigung = gerade Linie durch den Ursprung!
Nicht alle Geraden gehen durch den Nullpunkt! Stell dir einen Stromvertrag vor: Du zahlst 10€ Grundgebühr plus 0,65€ pro Kilowattstunde. Auch ohne Stromverbrauch zahlst du 10€.
Diese Gerade startet bei (0/10) statt bei (0/0). Das ist keine Ursprungsgerade mehr, sondern eine allgemeine lineare Funktion.
Die allgemeine Form jeder Geraden ist: y = mx + c. Dabei ist m die Steigung und c der y-Achsenabschnitt .
Eselsbrücke: c zeigt dir, wo die Gerade die y-Achse "cut"tet (schneidet)!
Die Steigung m berechnest du mit: m = Δy/Δx. Delta (Δ) bedeutet "Veränderung". Du misst also: Wie viel geht es nach oben/unten (Δy), wenn du nach rechts/links gehst (Δx)?
Beispiele: Bei y = 2x + 1 ist die Steigung m = 2 und der y-Achsenabschnitt c = 1. Bei y = (4/7)x + 3 ist m = 4/7 und c = 3.
Die Steigung 2 bedeutet: Wenn du 1 nach rechts gehst, gehst du 2 nach oben. Bei 4/7 gehst du 7 nach rechts und 4 nach oben.
Wichtig: Δy steht im Zähler, weil die y-Veränderung das Ergebnis der x-Veränderung ist!
Mit der Geradengleichung kannst du jeden Punkt berechnen. Bei y = (1/2)x + 1 setzt du einfach den x-Wert ein und rechnest den y-Wert aus.
Beispiel: Für x = -4 rechnest du y = (1/2) × (-4) + 1 = -2 + 1 = -1. Der Punkt ist also P(-4/-1).
So entstehen Wertetabellen, die dir alle Punkte der Geraden zeigen. Je mehr Punkte du berechnest, desto genauer wird deine Zeichnung.
Tipp: Wähle x-Werte, die sich leicht rechnen lassen - am besten gerade Zahlen!
Hier siehst du weitere Beispiele für x = -2, x = 4 und x = 6. Bei jedem x-Wert setzt du in die Formel y = (1/2)x + 1 ein.
Für x = -2: y = (1/2) × (-2) + 1 = -1 + 1 = 0, also P(-2/0). Für x = 4: y = (1/2) × 4 + 1 = 2 + 1 = 3, also P(4/3).
Alle diese Punkte liegen auf einer geraden Linie, weil die Steigung konstant bleibt. Das ist das Kennzeichen einer linearen Funktion.
Check: Wenn deine Punkte nicht auf einer Geraden liegen, hast du einen Rechenfehler gemacht!
Die Steigung muss Δy/Δx sein, nicht umgekehrt! Wenn du von einem Punkt zum nächsten gehst, misst du: 4 nach rechts und 2 nach oben .
Die Steigung ist also m = 2/4 = 1/2. Das bedeutet: Pro 1 Schritt nach rechts gehst du 1/2 Schritt nach oben.
Würdest du m = Δx/Δy = 4/2 = 2 rechnen, läge das falsch. Dann würdest du 2 nach rechts und 1 nach oben gehen - die Punkte lägen nicht mehr auf einer Geraden.
Merke: Die y-Veränderung ist das Ergebnis der x-Veränderung, darum steht Δy oben!
Du kannst die Steigung auch ohne Zeichnung berechnen! Mit zwei Punkten A und B rechnest du: m = /.
Beispiel: A(-5/1) und B(4/-8) ergeben m = (-8-1)/(4-(-5)) = -9/9 = -1. Die Steigung ist also -1.
Für die Geradengleichung setzt du einen Punkt in y = mx + c ein: 1 = (-1) × (-5) + c, also 1 = 5 + c, daher c = -4. Die Gerade ist y = -x - 4.
Trick: Nimm den Punkt, der sich am einfachsten rechnen lässt - meist der mit ganzen Zahlen!
Bei R(0,5/1,5) und S(3,5/-1,5) rechnest du: m = (-1,5-1,5)/(3,5-0,5) = -3/3 = -1. Wieder eine Steigung von -1!
Den y-Achsenabschnitt findest du mit Punkt R: 1,5 = (-1) × 0,5 + c, also 1,5 = -0,5 + c, daher c = 2.
Die Geradengleichung ist y = -x + 2. Auch mit Kommazahlen funktioniert das Schema genauso!
Tipp: Wähle den Punkt mit den einfacheren Zahlen - das spart Rechenzeit und Fehler!
Jede Gerade schneidet die y-Achse im Punkt Sy - das ist der y-Achsenabschnitt! Bei y = 2x - 3 ist c = -3, also Sy(0/-3).
Die Nullstelle findest du, indem du y = 0 setzt: 0 = 2x - 3, also 2x = 3, daher x = 3/2. Die Nullstelle ist N(3/2/0).
Diese beiden Schnittpunkte helfen dir beim Zeichnen der Geraden. Du brauchst nur zwei Punkte für eine gerade Linie!
Schnell-Check: y-Achse bei x = 0, x-Achse bei y = 0 einsetzen!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Lena
@_le_ne_
Lineare Funktionen und proportionale Zuordnungen sind überall um uns herum - vom Brezelkauf bis zum Handyvertrag. Du lernst hier, wie du mit Geraden rechnest und sie im Koordinatensystem darstellst.
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Stell dir vor, 3 Brezeln kosten 2,10€. Wie viel kosten dann 8 Brezeln? Das ist einfacher als du denkst! Zuerst rechnest du den Preis für eine Brezel aus: 2,10€ ÷ 3 = 0,70€.
Jetzt kannst du alles andere berechnen: 8 Brezeln × 0,70€ = 5,60€. Oder umgekehrt: Für 8,40€ bekommst du 12 Brezeln (8,40€ ÷ 0,70€ = 12).
Wenn du diese Punkte ins Koordinatensystem einträgst, entstehen alle Punkte auf einer geraden Linie durch den Nullpunkt. Das nennt man eine Ursprungsgerade.
Tipp: Bei proportionalen Zuordnungen bleibt das Verhältnis immer gleich - wie bei einem Kochrezept!
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Das Coole an proportionalen Zuordnungen: Das Verhältnis bleibt konstant! Egal ob du 0,70€/1 Brezel oder 1,40€/2 Brezeln rechnest - das Ergebnis ist immer 0,70.
Diese konstante Zahl heißt Steigung. Sie zeigt dir, wie steil deine Gerade ist. Bei unserem Brezelbeispiel ist die Steigung überall gleich 0,70.
Proportionale Zuordnungen sind immer Ursprungsgeraden - sie gehen durch den Punkt (0/0). Geraden werden auch lineare Funktionen genannt, weil sie eine gerade Linie bilden.
Merke: Konstante Steigung = gerade Linie durch den Ursprung!
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Die Steigung m berechnest du mit: m = Δy/Δx. Delta (Δ) bedeutet "Veränderung". Du misst also: Wie viel geht es nach oben/unten (Δy), wenn du nach rechts/links gehst (Δx)?
Beispiele: Bei y = 2x + 1 ist die Steigung m = 2 und der y-Achsenabschnitt c = 1. Bei y = (4/7)x + 3 ist m = 4/7 und c = 3.
Die Steigung 2 bedeutet: Wenn du 1 nach rechts gehst, gehst du 2 nach oben. Bei 4/7 gehst du 7 nach rechts und 4 nach oben.
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Mit der Geradengleichung kannst du jeden Punkt berechnen. Bei y = (1/2)x + 1 setzt du einfach den x-Wert ein und rechnest den y-Wert aus.
Beispiel: Für x = -4 rechnest du y = (1/2) × (-4) + 1 = -2 + 1 = -1. Der Punkt ist also P(-4/-1).
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Für x = -2: y = (1/2) × (-2) + 1 = -1 + 1 = 0, also P(-2/0). Für x = 4: y = (1/2) × 4 + 1 = 2 + 1 = 3, also P(4/3).
Alle diese Punkte liegen auf einer geraden Linie, weil die Steigung konstant bleibt. Das ist das Kennzeichen einer linearen Funktion.
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Die Steigung ist also m = 2/4 = 1/2. Das bedeutet: Pro 1 Schritt nach rechts gehst du 1/2 Schritt nach oben.
Würdest du m = Δx/Δy = 4/2 = 2 rechnen, läge das falsch. Dann würdest du 2 nach rechts und 1 nach oben gehen - die Punkte lägen nicht mehr auf einer Geraden.
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Für die Geradengleichung setzt du einen Punkt in y = mx + c ein: 1 = (-1) × (-5) + c, also 1 = 5 + c, daher c = -4. Die Gerade ist y = -x - 4.
Trick: Nimm den Punkt, der sich am einfachsten rechnen lässt - meist der mit ganzen Zahlen!
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Bei R(0,5/1,5) und S(3,5/-1,5) rechnest du: m = (-1,5-1,5)/(3,5-0,5) = -3/3 = -1. Wieder eine Steigung von -1!
Den y-Achsenabschnitt findest du mit Punkt R: 1,5 = (-1) × 0,5 + c, also 1,5 = -0,5 + c, daher c = 2.
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Diese beiden Schnittpunkte helfen dir beim Zeichnen der Geraden. Du brauchst nur zwei Punkte für eine gerade Linie!
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Erfahre alles über lineare Funktionen: Bestimme Funktionsgleichungen, finde Nullstellen, analysiere Steigungsdreiecke und erkenne parallele sowie senkrechte Linien. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Mathematik vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie man den Parameter einer linearen Funktion bestimmt und Schnittpunkte sowie Nullstellen berechnet. Diese Zusammenfassung behandelt die Bestimmung von Funktionsgleichungen, Fallunterscheidungen und die Eigenschaften von Geradenscharen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten.
MatheDieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über lineare Funktionen, einschließlich der allgemeinen Form, der Berechnung von Funktionsgleichungen aus Punkten und Steigungen, dem Schnittpunkt zweier Geraden sowie der Bestimmung von Nullstellen und Y-Achsenabschnitten. Ideal für Schüler der 8. Klasse, die ihre Kenntnisse in Mathematik vertiefen möchten.
MatheErlernen Sie die Schritte zur Aufstellung von Kurvengleichungen aus gegebenen Bedingungen. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition, das Erkennen von Bedingungen, das Aufstellen von Gleichungen und die Bestimmung von Funktionstermen. Ideal für Schüler der 12. Klasse, die sich auf das Abitur vorbereiten. Enthält Beispiele und eine Formelsammlung.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der linearen Funktionen mit dieser umfassenden Zusammenfassung. Erfahren Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, Nullstellen berechnet und Schnittpunkte ermittelt. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Mathematik vertiefen möchten. Themen: Funktionsbegriffe, Steigungsdreieck, Brüche und mehr.
MatheErfahre alles über lineare Funktionen, einschließlich ihrer Gleichungen, Schnittpunkte, Nullstellen und Steigungsdreiecke. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über die wichtigsten Konzepte und Berechnungen, die für das Verständnis linearer Funktionen erforderlich sind. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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Greenlight Bonnie
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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