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Funktionen: Operationen und Eigenschaften

Mathe1.096Aktualisiert 13. Sept. 20262 Seiten

Lineare Funktionen mit Parameter erklärt

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Morten Weigelt@mortenweigelt_wmia
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Lineare Funktionen mit Parametern sind eigentlich gar nicht so kompliziert, wie sie zunächst aussehen! Du lernst hier, wie du mit Geradenscharen umgehst und verschiedene Eigenschaften wie Nullstellen, Schnittpunkte und besondere Lagen berechnest.
lineare Funktionen mit Parameter – Seite 1

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Geradenscharen und Büschelpunkte

Eine Geradenschar ist wie eine Familie von Geraden, die alle durch einen gemeinsamen Punkt laufen - den Büschelpunkt. Bei der Funktion f_axx = a+1a+1x + a-1 kannst du einfach verschiedene Werte für den Parameter a einsetzen und erhältst immer eine neue Gerade.

Um den Büschelpunkt zu finden, setzt du einen beliebigen x-Wert in die Funktion ein und rechnest aus. Alle Geraden der Schar treffen sich genau in diesem Punkt - hier bei −1∣−2-1|-2.

Nullstellen findest du, indem du die Funktion gleich null setzt: 0 = a+1a+1x + a-1. Nach x aufgelöst ergibt das x = 1−a1-a/a+1a+1. Aber Achtung: Bei a = -1 gibt's eine Fallunterscheidung! Dann wird die Funktion zu fxx = -2, also eine waagerechte Linie ohne Nullstelle.

Merktipp: Der Büschelpunkt ist der "Treffpunkt" aller Geraden der Schar - egal welchen Parameter du wählst!

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Parameter bestimmen und Schnittpunkte finden

Wenn ein bestimmter Punkt auf einer Gerade liegen soll, setzt du die Koordinaten einfach in die Parametergleichung ein. Bei f_a(1) = 1 rechnest du: 1 = a+1a+1·1 + a-1, und schon hast du a = 0,5.

Für Schnittpunkte mit anderen Geraden setzt du beide Funktionen gleich. Bei f_axx = a+1a+1x + a-1 = -x-3 löst du nach x auf und erhältst x = −1−a-1-a/a+2a+2. Wieder brauchst du eine Fallunterscheidung für a = -2!

Bei senkrechten Geraden nutzt du die Regel m₁ · m₂ = -1. Die Steigungen multipliziert ergeben immer -1. So findest du schnell den richtigen Parameter.

Praxistipp: Fallunterscheidungen sind wichtig, weil der Nenner nie null werden darf - sonst würde die Mathematik "explodieren"!

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