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Lineare Funktionen Lernzettel und Potenzfunktionen Übungen

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Lia Griebner

22.11.2020

Mathe

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Funktionen und analysis

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Grundlagen funktionen

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Graph einer funktion

Lineare Funktionen Lernzettel und Potenzfunktionen Übungen

Lineare Funktionen, Potenzfunktionen und exponentielle Funktionen sind grundlegende mathematische Konzepte mit vielfältigen Anwendungen. Dieser Lernzettel bietet einen umfassenden Überblick über ihre Eigenschaften, Darstellungsformen und Berechnungsmethoden. Lineare Funktionen werden durch ihre Steigung und y-Achsenabschnitt charakterisiert, während Potenzfunktionen je nach Exponent unterschiedliche Verläufe aufweisen. Exponentielle Funktionen beschreiben Wachstums- oder Abnahmeprozesse und haben spezifische Eigenschaften wie die Annäherung an die x-Achse.

• Der Lernzettel erklärt die Grundlagen von Funktionen und ihre verschiedenen Darstellungsformen.
• Lineare Funktionen werden detailliert mit ihrer Formel, Graphen und Eigenschaften vorgestellt.
• Potenzfunktionen werden anhand ihrer Graphen, Symmetrieeigenschaften und Scheitelpunktform erläutert.
• Exponentielle Zunahme und Abnahme werden mit ihren charakteristischen Merkmalen und Graphen beschrieben.
• Praktische Anwendungen und Berechnungsmethoden werden für alle Funktionstypen vorgestellt.

...

22.11.2020

2818

G . Funktionen Eine Funkstion ordnet jeder Zahl x genau einen y-Wert zu Bsp.: y = f (5) 3 ↑ Funktion x-Wert FUNKTIONEN UND IHRE DARSTELLUNGS

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Schnittpunkte, Nullstellen und Potenzfunktionen

Dieser Abschnitt behandelt wichtige Konzepte wie die Bestimmung von Schnittpunkten und Nullstellen sowie die Eigenschaften von Potenzfunktionen. Zunächst wird die Methode zur Bestimmung von Schnittpunkten zwischen zwei Funktionen erläutert:

  1. Gleichsetzen der Funktionen: f(x) = g(x)
  2. Auflösen der Gleichung nach x
  3. Einsetzen des x-Wertes in eine der Funktionen zur Bestimmung des y-Wertes

Highlight: Schnittpunkte existieren nur, wenn g(x) = f(x) gilt.

Anschließend wird das Konzept der Nullstellen eingeführt. Eine Nullstelle ist definiert als der x-Wert, an dem eine Funktion den y-Wert 0 annimmt.

Definition: Eine Nullstelle x₀ ist der Punkt, an dem f(x₀) = 0 gilt.

Die Vorgehensweise zur Bestimmung von Nullstellen wird erklärt:

  1. Setze f(x) = 0
  2. Löse die Gleichung nach x auf

Der Abschnitt geht dann auf Potenzfunktionen und ihre Eigenschaften ein. Es werden verschiedene Typen von Potenzfunktionen vorgestellt, einschließlich gerader und ungerader Potenzen.

Beispiel: f(x) = x² ist eine Potenzfunktion mit gerader Potenz, deren Graph eine nach oben geöffnete Parabel ist.

Die Eigenschaften verschiedener Potenzfunktionen werden tabellarisch dargestellt, einschließlich ihres Verlaufs, gemeinsamer Punkte und Symmetrieeigenschaften. Besondere Aufmerksamkeit wird auf die Unterschiede zwischen geraden und ungeraden Potenzen gelegt.

Highlight: Gerade Potenzen (x², x⁴, ...) führen zu Parabeln, die nicht in den negativen Bereich gehen, während ungerade Potenzen (x, x³, ...) einen linearen Verlauf in den negativen Bereich haben.

Diese detaillierte Erklärung der Schnittpunkte, Nullstellen und Potenzfunktionen bietet Schülern ein tiefes Verständnis dieser wichtigen mathematischen Konzepte und ihrer Anwendungen.

G . Funktionen Eine Funkstion ordnet jeder Zahl x genau einen y-Wert zu Bsp.: y = f (5) 3 ↑ Funktion x-Wert FUNKTIONEN UND IHRE DARSTELLUNGS

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Scheitelpunktform, Veränderung von Potenzfunktionen und exponentielle Funktionen

Dieser Abschnitt behandelt die Scheitelpunktform von Potenzfunktionen, die Veränderung von Potenzfunktionen und führt in exponentielle Funktionen ein. Die Scheitelpunktform wird als f(x) = (x - a)² + b vorgestellt, wobei die Bedeutung der Parameter a und b erklärt wird:

Definition: In der Scheitelpunktform f(x) = (x - a)² + b verschiebt a den Graphen horizontal und b vertikal.

Es wird erläutert, wie diese Parameter den Graphen im Koordinatensystem verschieben:

  • a > 0 verschiebt den Graphen nach links
  • a < 0 verschiebt den Graphen nach rechts
  • b > 0 verschiebt den Graphen nach oben
  • b < 0 verschiebt den Graphen nach unten

Highlight: Der Scheitelpunkt (Symmetriepunkt) einer Funktion in Scheitelpunktform liegt bei S(a|b).

Anschließend wird die Veränderung von Potenzfunktionen durch algebraische Umformungen demonstriert:

Beispiel: f(x) = 2(x + 1)³ - 4 wird schrittweise umgeformt zu 2x³ + 6x - 2.

Der letzte Teil des Abschnitts führt in exponentielle Funktionen ein, sowohl für Zunahme als auch für Abnahme. Die allgemeine Form f(x) = a·bˣ wird vorgestellt, wobei a der Anfangswert und b der Wachstums- oder Abnahmefaktor ist.

Formel: Exponentielle Funktion: f(x) = a·bˣ mit b > 0, b ≠ 1, a ≠ 0

Die charakteristischen Eigenschaften exponentieller Funktionen werden erläutert:

  • Der Graph liegt oberhalb der x-Achse
  • Bei Zunahme (b > 1) steigt der Graph überall
  • Bei Abnahme (0 < b < 1) fällt der Graph überall
  • Der Anfangswert ist f(0) = a

Beispiel: Bei exponentieller Abnahme nähert sich der Graph asymptotisch der positiven x-Achse an.

Dieser Abschnitt bietet eine umfassende Einführung in die Scheitelpunktform von Potenzfunktionen, ihre Veränderungen und die Grundlagen exponentieller Funktionen, was für das Verständnis komplexerer mathematischer Konzepte und realer Anwendungen wesentlich ist.

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Lia Griebner

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Definition: Eine Nullstelle x₀ ist der Punkt, an dem f(x₀) = 0 gilt.

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  1. Setze f(x) = 0
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Beispiel: f(x) = x² ist eine Potenzfunktion mit gerader Potenz, deren Graph eine nach oben geöffnete Parabel ist.

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Scheitelpunktform, Veränderung von Potenzfunktionen und exponentielle Funktionen

Dieser Abschnitt behandelt die Scheitelpunktform von Potenzfunktionen, die Veränderung von Potenzfunktionen und führt in exponentielle Funktionen ein. Die Scheitelpunktform wird als f(x) = (x - a)² + b vorgestellt, wobei die Bedeutung der Parameter a und b erklärt wird:

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  • b > 0 verschiebt den Graphen nach oben
  • b < 0 verschiebt den Graphen nach unten

Highlight: Der Scheitelpunkt (Symmetriepunkt) einer Funktion in Scheitelpunktform liegt bei S(a|b).

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Formel: Exponentielle Funktion: f(x) = a·bˣ mit b > 0, b ≠ 1, a ≠ 0

Die charakteristischen Eigenschaften exponentieller Funktionen werden erläutert:

  • Der Graph liegt oberhalb der x-Achse
  • Bei Zunahme (b > 1) steigt der Graph überall
  • Bei Abnahme (0 < b < 1) fällt der Graph überall
  • Der Anfangswert ist f(0) = a

Beispiel: Bei exponentieller Abnahme nähert sich der Graph asymptotisch der positiven x-Achse an.

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Grundlagen der Funktionen und lineare Funktionen

Dieser Abschnitt führt in die Grundlagen der Funktionen ein und konzentriert sich besonders auf lineare Funktionen. Eine Funktion wird als eine Zuordnung definiert, die jeder Zahl x genau einen y-Wert zuordnet. Die verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen werden vorgestellt: Funktionsgleichung, Funktionsgraph und Wertetabelle.

Definition: Eine Funktion ordnet jeder Zahl x genau einen y-Wert zu.

Der Fokus liegt dann auf linearen Funktionen, die durch die Formel f(x) = mx + b beschrieben werden. Ihre charakteristischen Eigenschaften werden erläutert:

Highlight: Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade.

Die Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) wird erklärt, einschließlich der Methode zur Berechnung der Steigung mit zwei Punkten.

Formel: Steigungsberechnung: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Ein Beispiel einer linearen Funktion wird grafisch dargestellt, um die Konzepte zu veranschaulichen. Zusätzlich wird eine Parabel als Beispiel für eine nicht-lineare Funktion gezeigt, um den Unterschied zu verdeutlichen.

Beispiel: Eine lineare Funktion g(x) = x + 2 wird grafisch dargestellt, um ihre Eigenschaften zu veranschaulichen.

Diese detaillierte Einführung bietet eine solide Grundlage für das Verständnis von linearen Funktionen und ihre Anwendung in verschiedenen mathematischen Kontexten.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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