Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Potenzfunktionen der Form y = x^n (wobei n eine natürliche Zahl ist) haben ein paar grundlegende Eigenschaften, die du dir merken solltest. Alle diese Funktionen gehen durch die Punkte (0|0) und (1|1) - das ist super praktisch zum Zeichnen!

Bei geraden Exponenten (wie x², x⁴, x⁶...) ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Das bedeutet, die linke und rechte Hälfte sehen identisch aus. Der Graph geht durch (-1|1), fällt für negative x-Werte und steigt für positive x-Werte. Wichtig: Die Funktionswerte sind immer positiv oder null!

Bei ungeraden Exponenten (wie x³, x⁵, x⁷...) ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Er verläuft durch (-1|-1) und steigt kontinuierlich an. Hier können die Funktionswerte sowohl positiv als auch negativ sein.

Merktipp: Je größer der Exponent, desto "extremer" wird das Verhalten - zwischen -1 und 1 werden die Werte kleiner, außerhalb werden sie riesig!

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten $wie y = x^(-1), y = x^(-2)$ sind deutlich komplizierter, aber auch interessant! Das Wichtigste zuerst: Bei x = 0 haben diese Funktionen eine Definitionslücke - sie sind dort nicht definiert, weil man nicht durch null teilen kann.

Diese Graphen bestehen immer aus zwei getrennten Teilen und schmiegen sich an beide Koordinatenachsen an (das nennt man Asymptoten). Alle gehen durch den Punkt (1|1).

Bei geraden negativen Exponenten ist der Graph wieder achsensymmetrisch zur y-Achse und verläuft durch (-1|1). Er steigt für negative x-Werte und fällt für positive x-Werte - alle Funktionswerte sind positiv.

Bei ungeraden negativen Exponenten ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung und geht durch (-1|-1). Hier fallen beide Äste des Graphen, sowohl für negative als auch für positive x-Werte.

Achtung: Diese Funktionen haben immer zwei getrennte Äste und nähern sich den Achsen an, berühren sie aber nie!