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Mathe
6. Dez. 2025
6.544
10 Seiten
Jill @jillivanilli
Diese Zusammenfassung behandelt die wichtigsten Grundlagen zu Funktionen, die ihr in der Oberstufe braucht. Von der Erkennung von... Mehr anzeigen
Funktionen erkennst du ganz einfach mit einer Grundregel Jedem x-Wert darf nur genau ein y-Wert zugeordnet sein. Zieh einfach eine senkrechte Linie durch den Graphen - schneidet sie ihn an mehreren Stellen, ist es keine Funktion.
Bei linearen Funktionen wie f(x) = 5x - 3 oder g(x) = -¼x zeichnest du am besten zwei Punkte und verbindest sie mit einer Geraden. Konstante Funktionen wie h(x) = 7 sind einfach waagerechte Linien.
Tipp Bei der Achsenbeschriftung gilt oft 1 Einheit = 1 cm. Das macht das Zeichnen viel präziser!
Umgekehrt kannst du aus gegebenen Graphen die Funktionsgleichung ablesen. Schau dir Steigung und y-Achsenabschnitt an - schon hast du deine Gleichung.
Parabeln wie f(x) = -0,25x² + 4 haben einen charakteristischen Steckbrief, den du dir merken solltest. Die Öffnungsrichtung erkennst du am Vorzeichen negativ bedeutet nach unten geöffnet.
Der Scheitelpunkt liegt hier bei S(0|4), da die Funktion schon in der Form f(x) = a² + e steht. Die Parabel ist um den Faktor 0,25 gestreckt und schneidet die y-Achse bei (0|4).
Nullstellen findest du, indem du die Gleichung gleich null setzt. Diese Parabel hat zwei Nullstellen, da sie die x-Achse zweimal schneidet.
Merke Alle Parabeln der Form f(x) = ax² + c sind achsensymmetrisch zur y-Achse!
Der Grafische Taschenrechner (GTR) wird bei komplexeren Aufgaben dein bester Freund. Hier lernst du, wie du Schnittpunkte von Geraden berechnest und quadratische Funktionen analysierst.
Bei f(x) = 4x² - 8x + 2 findest du den Scheitelpunkt durch quadratische Ergänzung. Das Ergebnis ist S(1|-2). Die Nullstellen berechnest du mit der p-q-Formel - manchmal gibt es aber gar keine reellen Lösungen.
Lineare Funktionen wie g(x) = 2x - 3 und h(x) = -x - 1,5 schneiden sich dort, wo ihre y-Werte gleich sind. Setze die Gleichungen gleich 2x - 3 = -x - 1,5.
Praxis-Tipp Kontrolliere deine Ergebnisse immer durch Einsetzen in beide ursprünglichen Gleichungen!
Realitätsbezogene Aufgaben zeigen, wozu du Mathematik wirklich brauchst. Ein Ballwurf über eine Mauer lässt sich perfekt mit einer quadratischen Funktion beschreiben f(x) = -0,4x² + 4,8x - 4,4.
Die Scheitelpunktform f(x) = -0,4² + 10 zeigt dir sofort den höchsten Punkt der Flugbahn bei S(6|10). Um zu prüfen, ob der Ball über die 8m hohe Mauer fliegt, setzt du x = 4 ein.
Nullstellen verraten dir, wo der Ball startet und landet. Mit der Mitternachtsformel oder p-q-Formel löst du auch schwierigere quadratische Gleichungen.
Anwendungs-Trick Überführe komplizierte Formen immer in die Scheitelpunktform - da siehst du alle wichtigen Eigenschaften sofort!
Potenzfunktionen der Form f(x) = xⁿ haben je nach Exponent völlig verschiedene Eigenschaften. Bei geraden Exponenten (wie x², x⁴) erhältst du achsensymmetrische Graphen zur y-Achse mit einem Tiefpunkt bei (0|0).
Ungerade Exponenten (wie x³, x⁵) erzeugen punktsymmetrische Graphen zum Ursprung, die streng monoton steigend sind. Alle gehen durch die Punkte (1|1) und (-1|-1).
Potenzfunktionen mit negativen Exponenten wie f(x) = x⁻³ haben Asymptoten an beiden Achsen und sind nicht am Ursprung definiert. Sie fallen in allen Bereichen streng monoton.
Eselsbrücke Je höher der Exponent, desto "flacher" liegt der Graph zunächst an der x-Achse, bevor er steil ansteigt!
Geradengleichungen aufstellen ist ein Standardverfahren. Bei gegebener Steigung m = 2 und Punkt P(1|-1) setzt du in die allgemeine Form y = mx + b ein -1 = 2·1 + b, also b = -3.
Für eine Gerade durch zwei Punkte Q(-1,5|0) und R(1,5|-3) berechnest du erst die Steigung m = Δy/Δx = -3/3 = -1. Dann bestimmst du den y-Achsenabschnitt.
Schnittpunkte findest du, indem du beide Funktionsgleichungen gleichsetzt 2x - 3 = -x - 1,5. Löse nach x auf und setze das Ergebnis in eine der Gleichungen ein.
Kontroll-Tipp Prüfe dein Ergebnis, indem du die Koordinaten in beide ursprünglichen Gleichungen einsetzt!
Die quadratische Ergänzung bei f(x) = 4x² - 8x + 2 führt zur Scheitelpunktform f(x) = 4² - 2. Teile zuerst durch den Faktor vor x², ergänze dann geschickt zum Binomialquadrat.
Nullstellen berechnest du mit der p-q-Formel Aus x² - 2x + 0,5 = 0 folgt x₁,₂ = 1 ± √(1 - 0,5). Da der Term unter der Wurzel negativ ist, gibt es keine reellen Nullstellen.
Bei Anwendungsaufgaben wie dem Ballwurf erkennst du an der Scheitelpunktform f(x) = -0,4² + 10 sofort Der Ball erreicht bei x = 6 seine maximale Höhe von 10 Metern.
Wichtig Negative Werte unter der Wurzel bedeuten Die Parabel schneidet die x-Achse nicht!
Schwierigere Nullstellenberechnungen erfordern oft die Mitternachtsformel oder den GTR. Bei veränderten Bedingungen (Ball landet 2m höher) musst du die Gleichung entsprechend anpassen f(x) = 2 statt f(x) = 0.
Die Kontrolle deiner Ergebnisse ist essentiell. Setze berechnete Werte immer in die ursprüngliche Gleichung ein. Bei f(4) = 8,4 > 8 fliegt der Ball tatsächlich über die 8m hohe Mauer.
Verschiedene Lösungsansätze führen zum Ziel p-q-Formel, Mitternachtsformel oder grafische Lösung mit dem GTR. Wähle den Weg, der dir am sichersten erscheint.
Praxis-Tipp Bei komplizierten Rechnungen hilft der GTR - aber verstehe immer das Prinzip dahinter!
Systematische Eigenschaften von Potenzfunktionen f(x) = xⁿ hängen vom Exponenten ab. Bei geraden positiven Exponenten hast du Wertebereich W = ℝ₊ ∪ {0}, Definitionsbereich D = ℝ, Achsensymmetrie zur y-Achse.
Ungerade positive Exponenten ergeben W = ℝ, D = ℝ, Punktsymmetrie zum Ursprung, streng monoton steigend. Alle Graphen gehen durch (1|1) und (-1|-1).
Negative Exponenten wie bei f(x) = x⁻³ haben beide Achsen als Asymptoten, sind überall streng monoton fallend und nicht bei x = 0 definiert.
Merkregel Positive Exponenten gehen durch den Ursprung, negative haben dort eine Definitionslücke!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen, einschließlich der Scheitelpunktform, faktorisierter Form und der PQ-Formel zur Nullstellenberechnung. Lernen Sie, wie man Schnittpunkte von Graphen bestimmt und die Auswirkungen von Parameterveränderungen auf den Funktionsverlauf analysiert. Ideal für die Klausurvorbereitung in der Mathematik.
MatheDiese Klausur behandelt die Berechnung von Extrempunkten, Wendepunkten und die Analyse von Funktionen. Sie umfasst Themen wie Ableitungen, Kurvenverhalten und die Bestimmung charakteristischer Punkte. Ideal für Schüler der Klasse 11 im Fach Mathematik. Enthält Aufgaben zu Extremwertproblemen und deren Anwendungen.
MatheDetaillierte Lösungen und Erklärungen zu den Aufgaben der besonderen Leistungsfeststellung (BLF) in Mathematik für die 10. Klasse Gymnasium 2020. Themen umfassen Volumenberechnung von Pyramiden, Funktionsgraphen, Schnittpunkte und geometrische Berechnungen. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen und zur Vertiefung mathematischer Konzepte.
MatheDieser Lernzettel behandelt die Grundlagen der Funktionsuntersuchung, einschließlich Symmetrie, Transformationen, Nullstellen, Krümmungsverhalten, Tangenten, Ableitungen sowie Wendepunkte und Sattelpunkte. Zudem werden Extremwertaufgaben und die Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen detailliert erklärt. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis in Mathematik vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die wichtigsten Ableitungsregeln und deren Anwendung in der Kurvendiskussion. Diese Zusammenfassung behandelt den Definitionsbereich, Achsenschnittpunkte, Symmetrieverhalten, Verhalten im Unendlichen, Extrempunkte, Monotonie sowie das Zeichnen von Graphen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich auf Differentialrechnung und graphische Differenzierung vorbereiten.
MatheErlerne die Methoden zur Bestimmung von Funktionsgleichungen für ganzrationale Funktionen. Dieser Leitfaden behandelt Funktionen 1. bis 4. Grades, Symmetrieeigenschaften und die Anwendung von Bedingungen zur Ableitung der Funktionsgleichung. Ideal für Schüler, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten. Typ: Zusammenfassung.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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Diese Zusammenfassung behandelt die wichtigsten Grundlagen zu Funktionen, die ihr in der Oberstufe braucht. Von der Erkennung von Funktionen über lineare und quadratische Funktionen bis hin zu Potenzfunktionen - hier findet ihr alles kompakt erklärt.
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Bei linearen Funktionen wie f(x) = 5x - 3 oder g(x) = -¼x zeichnest du am besten zwei Punkte und verbindest sie mit einer Geraden. Konstante Funktionen wie h(x) = 7 sind einfach waagerechte Linien.
Tipp: Bei der Achsenbeschriftung gilt oft: 1 Einheit = 1 cm. Das macht das Zeichnen viel präziser!
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Nullstellen findest du, indem du die Gleichung gleich null setzt. Diese Parabel hat zwei Nullstellen, da sie die x-Achse zweimal schneidet.
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Die Scheitelpunktform f(x) = -0,4² + 10 zeigt dir sofort den höchsten Punkt der Flugbahn bei S(6|10). Um zu prüfen, ob der Ball über die 8m hohe Mauer fliegt, setzt du x = 4 ein.
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Ungerade Exponenten (wie x³, x⁵) erzeugen punktsymmetrische Graphen zum Ursprung, die streng monoton steigend sind. Alle gehen durch die Punkte (1|1) und (-1|-1).
Potenzfunktionen mit negativen Exponenten wie f(x) = x⁻³ haben Asymptoten an beiden Achsen und sind nicht am Ursprung definiert. Sie fallen in allen Bereichen streng monoton.
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Für eine Gerade durch zwei Punkte Q(-1,5|0) und R(1,5|-3) berechnest du erst die Steigung: m = Δy/Δx = -3/3 = -1. Dann bestimmst du den y-Achsenabschnitt.
Schnittpunkte findest du, indem du beide Funktionsgleichungen gleichsetzt: 2x - 3 = -x - 1,5. Löse nach x auf und setze das Ergebnis in eine der Gleichungen ein.
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Nullstellen berechnest du mit der p-q-Formel: Aus x² - 2x + 0,5 = 0 folgt x₁,₂ = 1 ± √(1 - 0,5). Da der Term unter der Wurzel negativ ist, gibt es keine reellen Nullstellen.
Bei Anwendungsaufgaben wie dem Ballwurf erkennst du an der Scheitelpunktform f(x) = -0,4² + 10 sofort: Der Ball erreicht bei x = 6 seine maximale Höhe von 10 Metern.
Wichtig: Negative Werte unter der Wurzel bedeuten: Die Parabel schneidet die x-Achse nicht!
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Verschiedene Lösungsansätze führen zum Ziel: p-q-Formel, Mitternachtsformel oder grafische Lösung mit dem GTR. Wähle den Weg, der dir am sichersten erscheint.
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Systematische Eigenschaften von Potenzfunktionen f(x) = xⁿ hängen vom Exponenten ab. Bei geraden positiven Exponenten hast du: Wertebereich W = ℝ₊ ∪ {0}, Definitionsbereich D = ℝ, Achsensymmetrie zur y-Achse.
Ungerade positive Exponenten ergeben: W = ℝ, D = ℝ, Punktsymmetrie zum Ursprung, streng monoton steigend. Alle Graphen gehen durch (1|1) und (-1|-1).
Negative Exponenten wie bei f(x) = x⁻³ haben beide Achsen als Asymptoten, sind überall streng monoton fallend und nicht bei x = 0 definiert.
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Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen, einschließlich der Scheitelpunktform, faktorisierter Form und der PQ-Formel zur Nullstellenberechnung. Lernen Sie, wie man Schnittpunkte von Graphen bestimmt und die Auswirkungen von Parameterveränderungen auf den Funktionsverlauf analysiert. Ideal für die Klausurvorbereitung in der Mathematik.
MatheDiese Klausur behandelt die Berechnung von Extrempunkten, Wendepunkten und die Analyse von Funktionen. Sie umfasst Themen wie Ableitungen, Kurvenverhalten und die Bestimmung charakteristischer Punkte. Ideal für Schüler der Klasse 11 im Fach Mathematik. Enthält Aufgaben zu Extremwertproblemen und deren Anwendungen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
