App öffnen

Fächer

Nullstellen und Funktionen: So berechnest du sie einfach!

Öffnen

488

2

user profile picture

jerome

29.1.2021

Mathe

Funktionen und ihre Graphen📊

Nullstellen und Funktionen: So berechnest du sie einfach!

Die mathematische Analyse von Funktionen und deren graphischer Darstellung ist ein fundamentales Konzept der Algebra.

Eine Nullstelle einer Funktion ist der Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. Bei linearen Funktionen lässt sich die Nullstelle durch einfaches Gleichsetzen mit Null berechnen. Komplexer wird es bei quadratischen Funktionen, wo die Nullstellenberechnung mittels quadratischer Ergänzung oder der p-q-Formel erfolgt. Die Schnittpunkte zwischen Funktionen können durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen ermittelt werden.

Der Definitionsbereich einer Funktion beschreibt alle möglichen x-Werte, für die die Funktion definiert ist. Die Schreibweise erfolgt in Intervallen, wobei eckige Klammern [a,b] für geschlossene und runde Klammern (a,b) für offene Intervalle verwendet werden. Die Wertemenge umfasst alle y-Werte, die die Funktion annehmen kann. Bei der Verschiebung von Graphen unterscheidet man zwischen horizontaler (x-Richtung) und vertikaler Verschiebung. Eine Verschiebung nach rechts erfolgt durch Subtraktion des Wertes in der Funktionsgleichung, nach links durch Addition. Das Strecken und Stauchen von Graphen wird durch Multiplikation bzw. Division der Funktionsgleichung erreicht. Besonders bei Parabeln führt die Verschiebung zu charakteristischen Veränderungen der Scheitelpunktform.

Die Beherrschung dieser Konzepte ist essentiell für das Verständnis komplexerer mathematischer Zusammenhänge und findet praktische Anwendung in vielen Bereichen wie der Physik, Wirtschaft und Technik. Die Substitution als Methode zur Nullstellenberechnung ist besonders bei komplizierteren Funktionen ein wichtiges Werkzeug.

...

29.1.2021

4811

mathe } Funktionen und ihre Graphen
(1) Funktionen
Definitionsmenge D-o ist die Menge quer tanion, die man in
eine Funktionsgleichung einfel

Öffnen

Grundlagen der Funktionen und Definitionsmengen in der Mathematik

Die Definitionsmenge einer Funktion ist ein fundamentales Konzept in der Mathematik. Sie beschreibt alle möglichen x-Werte, die in eine Funktionsgleichung eingesetzt werden können. Bei der Darstellung der Definitionsmenge verwendet man verschiedene Intervalle und deren spezifische Schreibweisen.

Definition: Die Definitionsmenge D ist die Menge aller zulässigen x-Werte einer Funktion. Die Wertemenge W umfasst alle möglichen y-Werte, die eine Funktion annehmen kann.

Bei der Intervallschreibweise unterscheiden wir zwischen verschiedenen Arten:

  • Geschlossene Intervalle a,ba,b: Alle Werte einschließlich a und b
  • Offene Intervalle a,ba,b: Alle Werte zwischen a und b, ohne die Grenzen
  • Halboffene Intervalle a,b)oder(a,ba,b) oder (a,b: Eine Grenze ist eingeschlossen
  • Unbeschränkte Intervalle wie ,b]oder[a,−∞,b] oder [a,∞

Besonders bei Wurzelfunktionen wie √x ist die Definitionsmenge auf positive Zahlen beschränkt: D = [0,∞). Bei Bruchfunktionen wie fxx = 1/x gilt D = ℝ{0}, da durch Null nicht geteilt werden kann.

mathe } Funktionen und ihre Graphen
(1) Funktionen
Definitionsmenge D-o ist die Menge quer tanion, die man in
eine Funktionsgleichung einfel

Öffnen

Verschiebung und Streckung von Funktionsgraphen

Die Verschiebung von Graphen in x-Richtung und y-Richtung folgt bestimmten Regeln. Bei einer Funktion fxx bewirkt eine Addition innerhalb der Klammer fx+dx+d eine Verschiebung nach links, während fxdx-d den Graphen nach rechts verschiebt.

Beispiel: Bei der quadratischen Funktion fxx = x3x-3² wird der Graph um 3 Einheiten nach rechts verschoben.

Die Verschiebung in x-Richtung Parabel kann wie folgt zusammengefasst werden:

  • fxdx-d: Verschiebung um d Einheiten nach rechts
  • fx+dx+d: Verschiebung um d Einheiten nach links
  • fxx+e: Verschiebung um e Einheiten nach oben
  • fxx-e: Verschiebung um e Einheiten nach unten
mathe } Funktionen und ihre Graphen
(1) Funktionen
Definitionsmenge D-o ist die Menge quer tanion, die man in
eine Funktionsgleichung einfel

Öffnen

Nullstellen und ihre Berechnung

Das Nullstelle berechnen ist ein wichtiger Aspekt der Funktionsanalyse. Eine Nullstelle einer Funktion ist der x-Wert, an dem der Funktionswert Null wird, also fxx = 0.

Highlight: Bei einer linearen Funktion fxx = mx + b berechnet man die Nullstelle durch Umformen der Gleichung 0 = mx + b nach x.

Bei quadratischen Funktionen gibt es verschiedene Methoden zur Nullstellenberechnung:

  • Faktorisieren
  • p-q-Formel
  • Quadratische Ergänzung
mathe } Funktionen und ihre Graphen
(1) Funktionen
Definitionsmenge D-o ist die Menge quer tanion, die man in
eine Funktionsgleichung einfel

Öffnen

Zusammengesetzte Funktionen und Grundfunktionen

Bei zusammengesetzten Funktionen werden mehrere Grundfunktionen miteinander verknüpft. Die wichtigsten Grundfunktionen sind:

  • Lineare Funktionen f(xf(x = mx + b)
  • Potenzfunktionen f(xf(x = xⁿ)
  • Wurzelfunktionen f(xf(x = √x)

Vokabular: Eine zusammengesetzte Funktion entsteht durch Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division von Grundfunktionen.

Die Berechnung von Funktionswerten bei zusammengesetzten Funktionen erfolgt schrittweise:

  1. Einsetzen des x-Wertes
  2. Berechnung der einzelnen Teilfunktionen
  3. Verknüpfung der Zwischenergebnisse
mathe } Funktionen und ihre Graphen
(1) Funktionen
Definitionsmenge D-o ist die Menge quer tanion, die man in
eine Funktionsgleichung einfel

Öffnen

Nullstellen und Symmetrie von Funktionen

Die Nullstelle einer Funktion berechnen ist ein fundamentales Konzept der Mathematik. Eine Nullstelle ist der x-Wert, an dem eine Funktion den y-Wert 0 annimmt. Bei der Nullstelle quadratische Funktion schneidet oder berührt der Funktionsgraph die x-Achse.

Definition: Eine Zahl x₁ ist eine Nullstelle einer Funktion f, wenn fx1x₁ = 0 gilt. Geometrisch entspricht dies dem Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der x-Achse im Punkt x1,0x₁,0.

Bei der Berechnung von Nullstellen unterscheiden wir verschiedene Vorgehensweisen. Für lineare Funktionen setzen wir den Funktionsterm gleich 0 und lösen die entstehende Gleichung. Bei quadratischen Funktionen der Form fxx = ax² + bx + c verwenden wir die Mitternachtsformel: x₁,₂ = b±(b24ac-b ± √(b² - 4ac)/2a2a.

Beispiel: Für fxx = x² - 4x + 3 ergeben sich die Nullstellen: x₁,₂ = 4±16124 ± √16-12/2 = 4±24 ± 2/2 Also x₁ = 3 und x₂ = 1

mathe } Funktionen und ihre Graphen
(1) Funktionen
Definitionsmenge D-o ist die Menge quer tanion, die man in
eine Funktionsgleichung einfel

Öffnen

Symmetrie von Funktionsgraphen

Die Symmetrie von Funktionsgraphen ist ein wichtiges Merkmal bei der Verschiebung von Graphen. Es gibt zwei Hauptarten der Symmetrie: Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung.

Highlight: Bei der Achsensymmetrie zur y-Achse gilt: fx-x = fxx Bei der Punktsymmetrie zum Ursprung gilt: fx-x = -fxx

Die Verschiebung in x-Richtung Parabel und andere Transformationen können die Symmetrieeigenschaften beeinflussen. Bei einer Verschiebung um c Einheiten nach rechts wird aus fxx die Funktion fxcx-c.

Beispiel: Die Funktion fxx = x² ist achsensymmetrisch zur y-Achse fx-x = x-x² = x² = fxx

mathe } Funktionen und ihre Graphen
(1) Funktionen
Definitionsmenge D-o ist die Menge quer tanion, die man in
eine Funktionsgleichung einfel

Öffnen

Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen entstehen durch Addition verschiedener Potenzfunktionen der Form fxx = aₙxⁿ nNn ∈ ℕ. Der höchste vorkommende Exponent bestimmt den Grad der Funktion.

Definition: Eine ganzrationale Funktion hat die Form: pxx = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀

Das Verhalten für x→∞ und x→-∞ wird durch den Grad und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten bestimmt. Bei geradem Grad und positivem Leitkoeffizienten streben beide Seiten nach +∞.

Beispiel: fxx = 3x² + x - 1 Grad: 2 geradegerade Leitkoeffizient: 3 positivpositiv Für x→±∞ strebt fxx→+∞

mathe } Funktionen und ihre Graphen
(1) Funktionen
Definitionsmenge D-o ist die Menge quer tanion, die man in
eine Funktionsgleichung einfel

Öffnen

Nullstellenberechnung komplexer Funktionen

Bei der Nullstellen berechnen Substitution und anderen fortgeschrittenen Methoden müssen wir oft kreativ vorgehen. Besonders bei Funktionen höheren Grades oder bei Funktionen mit speziellen Eigenschaften.

Methode: Für Polynome dritten Grades kann man oft den Satz vom Nullprodukt anwenden:

  1. Faktorisiere die Funktion wenn möglich
  2. Setze jeden Faktor gleich 0
  3. Löse die entstehenden Gleichungen

Das Verständnis von Nullstellen ist fundamental für die Analyse von Funktionen und deren graphische Darstellung. Sie helfen uns, das Verhalten von Funktionen besser zu verstehen und praktische Probleme zu lösen.

Beispiel: Für gxx = xx2+¼x² + ¼

  1. x = 0 ist offensichtlich eine Nullstelle
  2. x² + ¼ = 0 führt zu x² = -¼
  3. Diese Gleichung hat keine reellen Lösungen
mathe } Funktionen und ihre Graphen
(1) Funktionen
Definitionsmenge D-o ist die Menge quer tanion, die man in
eine Funktionsgleichung einfel

Öffnen

Biquadratische Gleichungen und Substitutionsmethoden

Die Nullstelle einer Funktion berechnen ist ein fundamentales Konzept in der Mathematik, besonders bei biquadratischen Gleichungen. Diese Gleichungen haben die besondere Eigenschaft, dass die Variable x in der vierten Potenz vorkommt.

Definition: Eine biquadratische Gleichung hat die allgemeine Form ax⁴ + bx² + c = 0, wobei a ≠ 0 ist.

Bei der Lösung biquadratischer Gleichungen ist die Nullstellen berechnen Substitution eine effektive Methode. Nehmen wir als Beispiel hxx = x⁴ - 11x² + 18. Um diese Gleichung zu lösen, führen wir die Substitution u = x² durch, wodurch wir eine quadratische Gleichung erhalten: u² - 11u + 18 = 0.

Beispiel:

  1. Substituiere x² = u
  2. Löse u² - 11u + 18 = 0
  3. u₁ = 9 und u₂ = 2
  4. Resubstitution: x² = 9 oder x² = 2
  5. Endlösung: x = ±3 oder x = ±√2

Die Nullstelle quadratische Funktion lässt sich durch diese Methode systematisch ermitteln. Besonders wichtig ist die korrekte Durchführung der Resubstitution, da hier die endgültigen Lösungen entstehen.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Ranked #1 Education App

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

21 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 17 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

4.811

29. Jan. 2021

12 Seiten

Nullstellen und Funktionen: So berechnest du sie einfach!

Die mathematische Analyse von Funktionen und deren graphischer Darstellung ist ein fundamentales Konzept der Algebra.

Eine Nullstelle einer Funktion ist der Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. Bei linearen Funktionen lässt sich die Nullstelledurch einfaches Gleichsetzen mit... Mehr anzeigen

mathe } Funktionen und ihre Graphen
(1) Funktionen
Definitionsmenge D-o ist die Menge quer tanion, die man in
eine Funktionsgleichung einfel

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Grundlagen der Funktionen und Definitionsmengen in der Mathematik

Die Definitionsmenge einer Funktion ist ein fundamentales Konzept in der Mathematik. Sie beschreibt alle möglichen x-Werte, die in eine Funktionsgleichung eingesetzt werden können. Bei der Darstellung der Definitionsmenge verwendet man verschiedene Intervalle und deren spezifische Schreibweisen.

Definition: Die Definitionsmenge D ist die Menge aller zulässigen x-Werte einer Funktion. Die Wertemenge W umfasst alle möglichen y-Werte, die eine Funktion annehmen kann.

Bei der Intervallschreibweise unterscheiden wir zwischen verschiedenen Arten:

  • Geschlossene Intervalle a,ba,b: Alle Werte einschließlich a und b
  • Offene Intervalle a,ba,b: Alle Werte zwischen a und b, ohne die Grenzen
  • Halboffene Intervalle a,b)oder(a,ba,b) oder (a,b: Eine Grenze ist eingeschlossen
  • Unbeschränkte Intervalle wie ,b]oder[a,−∞,b] oder [a,∞

Besonders bei Wurzelfunktionen wie √x ist die Definitionsmenge auf positive Zahlen beschränkt: D = [0,∞). Bei Bruchfunktionen wie fxx = 1/x gilt D = ℝ{0}, da durch Null nicht geteilt werden kann.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Verschiebung und Streckung von Funktionsgraphen

Die Verschiebung von Graphen in x-Richtung und y-Richtung folgt bestimmten Regeln. Bei einer Funktion fxx bewirkt eine Addition innerhalb der Klammer fx+dx+d eine Verschiebung nach links, während fxdx-d den Graphen nach rechts verschiebt.

Beispiel: Bei der quadratischen Funktion fxx = x3x-3² wird der Graph um 3 Einheiten nach rechts verschoben.

Die Verschiebung in x-Richtung Parabel kann wie folgt zusammengefasst werden:

  • fxdx-d: Verschiebung um d Einheiten nach rechts
  • fx+dx+d: Verschiebung um d Einheiten nach links
  • fxx+e: Verschiebung um e Einheiten nach oben
  • fxx-e: Verschiebung um e Einheiten nach unten

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Nullstellen und ihre Berechnung

Das Nullstelle berechnen ist ein wichtiger Aspekt der Funktionsanalyse. Eine Nullstelle einer Funktion ist der x-Wert, an dem der Funktionswert Null wird, also fxx = 0.

Highlight: Bei einer linearen Funktion fxx = mx + b berechnet man die Nullstelle durch Umformen der Gleichung 0 = mx + b nach x.

Bei quadratischen Funktionen gibt es verschiedene Methoden zur Nullstellenberechnung:

  • Faktorisieren
  • p-q-Formel
  • Quadratische Ergänzung

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Zusammengesetzte Funktionen und Grundfunktionen

Bei zusammengesetzten Funktionen werden mehrere Grundfunktionen miteinander verknüpft. Die wichtigsten Grundfunktionen sind:

  • Lineare Funktionen f(xf(x = mx + b)
  • Potenzfunktionen f(xf(x = xⁿ)
  • Wurzelfunktionen f(xf(x = √x)

Vokabular: Eine zusammengesetzte Funktion entsteht durch Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division von Grundfunktionen.

Die Berechnung von Funktionswerten bei zusammengesetzten Funktionen erfolgt schrittweise:

  1. Einsetzen des x-Wertes
  2. Berechnung der einzelnen Teilfunktionen
  3. Verknüpfung der Zwischenergebnisse

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Nullstellen und Symmetrie von Funktionen

Die Nullstelle einer Funktion berechnen ist ein fundamentales Konzept der Mathematik. Eine Nullstelle ist der x-Wert, an dem eine Funktion den y-Wert 0 annimmt. Bei der Nullstelle quadratische Funktion schneidet oder berührt der Funktionsgraph die x-Achse.

Definition: Eine Zahl x₁ ist eine Nullstelle einer Funktion f, wenn fx1x₁ = 0 gilt. Geometrisch entspricht dies dem Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der x-Achse im Punkt x1,0x₁,0.

Bei der Berechnung von Nullstellen unterscheiden wir verschiedene Vorgehensweisen. Für lineare Funktionen setzen wir den Funktionsterm gleich 0 und lösen die entstehende Gleichung. Bei quadratischen Funktionen der Form fxx = ax² + bx + c verwenden wir die Mitternachtsformel: x₁,₂ = b±(b24ac-b ± √(b² - 4ac)/2a2a.

Beispiel: Für fxx = x² - 4x + 3 ergeben sich die Nullstellen: x₁,₂ = 4±16124 ± √16-12/2 = 4±24 ± 2/2 Also x₁ = 3 und x₂ = 1

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Symmetrie von Funktionsgraphen

Die Symmetrie von Funktionsgraphen ist ein wichtiges Merkmal bei der Verschiebung von Graphen. Es gibt zwei Hauptarten der Symmetrie: Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung.

Highlight: Bei der Achsensymmetrie zur y-Achse gilt: fx-x = fxx Bei der Punktsymmetrie zum Ursprung gilt: fx-x = -fxx

Die Verschiebung in x-Richtung Parabel und andere Transformationen können die Symmetrieeigenschaften beeinflussen. Bei einer Verschiebung um c Einheiten nach rechts wird aus fxx die Funktion fxcx-c.

Beispiel: Die Funktion fxx = x² ist achsensymmetrisch zur y-Achse fx-x = x-x² = x² = fxx

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen entstehen durch Addition verschiedener Potenzfunktionen der Form fxx = aₙxⁿ nNn ∈ ℕ. Der höchste vorkommende Exponent bestimmt den Grad der Funktion.

Definition: Eine ganzrationale Funktion hat die Form: pxx = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀

Das Verhalten für x→∞ und x→-∞ wird durch den Grad und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten bestimmt. Bei geradem Grad und positivem Leitkoeffizienten streben beide Seiten nach +∞.

Beispiel: fxx = 3x² + x - 1 Grad: 2 geradegerade Leitkoeffizient: 3 positivpositiv Für x→±∞ strebt fxx→+∞

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Nullstellenberechnung komplexer Funktionen

Bei der Nullstellen berechnen Substitution und anderen fortgeschrittenen Methoden müssen wir oft kreativ vorgehen. Besonders bei Funktionen höheren Grades oder bei Funktionen mit speziellen Eigenschaften.

Methode: Für Polynome dritten Grades kann man oft den Satz vom Nullprodukt anwenden:

  1. Faktorisiere die Funktion wenn möglich
  2. Setze jeden Faktor gleich 0
  3. Löse die entstehenden Gleichungen

Das Verständnis von Nullstellen ist fundamental für die Analyse von Funktionen und deren graphische Darstellung. Sie helfen uns, das Verhalten von Funktionen besser zu verstehen und praktische Probleme zu lösen.

Beispiel: Für gxx = xx2+¼x² + ¼

  1. x = 0 ist offensichtlich eine Nullstelle
  2. x² + ¼ = 0 führt zu x² = -¼
  3. Diese Gleichung hat keine reellen Lösungen

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Biquadratische Gleichungen und Substitutionsmethoden

Die Nullstelle einer Funktion berechnen ist ein fundamentales Konzept in der Mathematik, besonders bei biquadratischen Gleichungen. Diese Gleichungen haben die besondere Eigenschaft, dass die Variable x in der vierten Potenz vorkommt.

Definition: Eine biquadratische Gleichung hat die allgemeine Form ax⁴ + bx² + c = 0, wobei a ≠ 0 ist.

Bei der Lösung biquadratischer Gleichungen ist die Nullstellen berechnen Substitution eine effektive Methode. Nehmen wir als Beispiel hxx = x⁴ - 11x² + 18. Um diese Gleichung zu lösen, führen wir die Substitution u = x² durch, wodurch wir eine quadratische Gleichung erhalten: u² - 11u + 18 = 0.

Beispiel:

  1. Substituiere x² = u
  2. Löse u² - 11u + 18 = 0
  3. u₁ = 9 und u₂ = 2
  4. Resubstitution: x² = 9 oder x² = 2
  5. Endlösung: x = ±3 oder x = ±√2

Die Nullstelle quadratische Funktion lässt sich durch diese Methode systematisch ermitteln. Besonders wichtig ist die korrekte Durchführung der Resubstitution, da hier die endgültigen Lösungen entstehen.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Schnittpunkte und Funktionsanalyse

Die Berechnung von Schnittpunkten ist ein weiterer wichtiger Aspekt der Funktionsanalyse. Der Schnittpunkt berechnen lineare Funktion ist dabei oft der erste Schritt zur Lösung komplexerer Aufgaben.

Merke: Bei der Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionen fxx und gxx gilt: fxx = gxx

Die Verschiebung von Graphen Formel spielt eine wichtige Rolle bei der Transformation von Funktionen. Bei der verschiebung von graphen in x-richtung gilt: Wird eine Funktion fxx um a Einheiten nach rechts verschoben, entsteht fxax-a.

Beispiel: Bei der Funktion fxx = 0,1x³ - 0,9x und gxx = 0,25x²

  1. Gleichsetzen: 0,1x³ - 0,9x = 0,25x²
  2. Nullform: 0,1x³ - 0,25x² - 0,9x = 0
  3. Lösung durch Faktorisierung oder Substitution

Die Funktionen verschieben und strecken stauchen sind grundlegende Transformationen, die das Verständnis für das Verhalten von Funktionen vertiefen. Diese Konzepte sind besonders wichtig für die graphische Interpretation von Funktionen.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user