Grundlagen der Funktionen und Definitionsmengen in der Mathematik

Die Definitionsmenge einer Funktion ist ein fundamentales Konzept in der Mathematik. Sie beschreibt alle möglichen x-Werte, die in eine Funktionsgleichung eingesetzt werden können. Bei der Darstellung der Definitionsmenge verwendet man verschiedene Intervalle und deren spezifische Schreibweisen.

Definition: Die Definitionsmenge D ist die Menge aller zulässigen x-Werte einer Funktion. Die Wertemenge W umfasst alle möglichen y-Werte, die eine Funktion annehmen kann.

Bei der Intervallschreibweise unterscheiden wir zwischen verschiedenen Arten:

• Geschlossene Intervalle [a,b]: Alle Werte einschließlich a und b
• Offene Intervalle (a,b): Alle Werte zwischen a und b, ohne die Grenzen
• Halboffene Intervalle [a,b) oder (a,b]: Eine Grenze ist eingeschlossen
• Unbeschränkte Intervalle wie (−∞,b] oder [a,∞)

Besonders bei Wurzelfunktionen wie √x ist die Definitionsmenge auf positive Zahlen beschränkt: D = [0,∞). Bei Bruchfunktionen wie f(x) = 1/x gilt D = ℝ{0}, da durch Null nicht geteilt werden kann.

Biquadratische Gleichungen und Substitutionsmethoden

Die Nullstelle einer Funktion berechnen ist ein fundamentales Konzept in der Mathematik, besonders bei biquadratischen Gleichungen. Diese Gleichungen haben die besondere Eigenschaft, dass die Variable x in der vierten Potenz vorkommt.

Definition: Eine biquadratische Gleichung hat die allgemeine Form ax⁴ + bx² + c = 0, wobei a ≠ 0 ist.

Bei der Lösung biquadratischer Gleichungen ist die Nullstellen berechnen Substitution eine effektive Methode. Nehmen wir als Beispiel h(x) = x⁴ - 11x² + 18. Um diese Gleichung zu lösen, führen wir die Substitution u = x² durch, wodurch wir eine quadratische Gleichung erhalten: u² - 11u + 18 = 0.

Beispiel:

1. Substituiere x² = u
2. Löse u² - 11u + 18 = 0
3. u₁ = 9 und u₂ = 2
4. Resubstitution: x² = 9 oder x² = 2
5. Endlösung: x = ±3 oder x = ±√2

Die Nullstelle quadratische Funktion lässt sich durch diese Methode systematisch ermitteln. Besonders wichtig ist die korrekte Durchführung der Resubstitution, da hier die endgültigen Lösungen entstehen.