Funktionen und ihre Graphen📊

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3 Ginheiten nach rechts.... 1 X²-2 Verschiebung um 2 finheiten. nach unten.. 1 2x² Smieckung in Richtung um Halter 2.. d>0 entlang der. eso entlang der X-Achfeum. d-Ginheiten nach rechts y-Achie um e-Ginheiten verschoben! nach oben verschoben de 0 entlang der exo X-Achfe um. d-on helen nach links verschoben entlang der y-Achie um 2-Ginheiten nach unten verschoben g(x) = f(x) + a g(x) = f(x-a) liny= Richnung verschoben für ax0 nach unten für a>0 nach oben BRUNNEN in.x- Richtung verschoben für ako nach links. für aso nach rechts in x-Richtung gestaucht / gost reakt für as-1 Spiegelungy- Achie+ Stauchung g(x) = f(a.x) | Kir a = - 1 spreawing y fura > 1 für 0<a< 1 für -1<a<0 iny-Richtung genouchingeste Stauchung Streckung x-Achte für ac-1 Spiegelung k g(x)= a. f(x) für a--/ spregelung & Actife ür-1a²0 prachune for a 1 für O<a< 1 spregelungy- Achse + Streckung Streckung Stauchung. XXXX NA y J. y Xxx Zusammengefettle Funktionen Lineare Funktion polentfunktion potemfunktion Potenzfunktion. Z Z Z fm-x + C gerade Potemfunktion DIL Definition tu gegebenen Funktionen gund in helpst are Funktion P → GRUNDFUNKTIONEN 17 Wurtelfunktion f- 9th die Summe der Funktion gundh. f=g-h die Different der Function g und h 9 geg. gix) - 4 Jh(x) = x f(x) = g(x) + h(x)! 2. umy-werte zu bekommen ・ must. man g(x) mit. n(x). addieren. z. B.X=2 also f(2)= g(2) + h (2) 2,5 f(1) = g(1) + h (1) + 1 2 flois) - glas) + h (015) A. + 0,5 015 f(3) = g(3) + h (3): +3 8,3. gegeben sind die Funktionen fig und n = f.+9: 1st die Aussage wahr oder falsch?. a) wenn h(3) = 0 ist, dann ist f(3) = 0 und g(3) - D → fausch, weil f(3) = 2; 9(3) = -2, dann h(3) = 2-2-01 b) wenn h(3) = 0 ist, dann ist f(3) = → wahr, weil c). Wenn f(7) ⇒ falsch, weil f(x)-x für X+∞0 geht f(x) 98 f(7) = -1; 9 (7) == 3 h (7) = -4 <0 Ⓒ Gantrationale funktionen und ihr Verhalten für x→ ∞ brow fur X+-00 ・geht f(x) 8 Grad- Leitkopfitient positiv BRAINEN f(³) = g(³) = 0 | negativ g(³) = -f(³) g(7) ist, dann ist h (7) 0. gux)=x² धै für X geht glx) g(3) f (3) für X-D-∞ geht g(x) gerade h(x)=x³ für x-00 geht h(x). für X-+-∞ geht hix) i(x)=x² N für X-∞ geht ilx) ∞ für X-D-∞ geht 1(x) ungerade Eine Funktion p, die durch Addition versch. Poten funktioner der Form f(x)= anx" (n E IN) entfient, haßt gamirationale Funktion. Funktionsgleichung: p(x)= an:x^² + a₁²₁²x^-^+...+ a₁-X + ao hochstror kommender Exponent in Das Verhalten fu x→∞ ·bow X→ -∞0 wird. durch den Grad und das V7 des Leit koeffitienten bestimmt.. a) flx) = 3x² + x² =^! b) f.lx) = (x²=1).x² X²X²²X1 b) ₂ == (a) a3 = √2 9₂ = a₁ = 0,0₁ = = 10 -) f(x) = 2X²³² - 40 4x² + 2x + 2 c) ay. ³.93 ao aan koefizienten Koefrient bei hochftver kommender > Leit koeffizient Potenz vonx (also an) Funktionsterm→ Polynom 4x²x³²x²x = 1 (d) 03= 4; 02= 4d.h a3 = 4 4x² + 2x² f(x) = x (x ² + 1) a - a₁ = 2 2 + X-1. x1 X Grad 141 -Koeffitienten Grad → 4 Koeffizienten → 04-= 3 9₂ = 1 .00 -1 a3.j. a₁. a₁a₂²= £9₂ α₂ = 2; α₁ = a₁ = 10 + x + 1 fur x→ ∞ geht f(x) → ∞ X gene fix12-00 geht Grad der Funktion ;.93 ・jai = ₁ α4 = 1 .Q₂ = -10 ao = 0 f(x) = -x ² (x³ - 2x²). a₂ = 0 ₁.0. Tür x-00 gent f(x)- -x²x²-(-x²2x²) = Hx + 2x4 4 für x→-- geht fl ( a) f(x)→∞ für X→ ∞ f(x)→ ∞ für X-→ -∞0. f(0) = 1 Grad 3 b) ((x) → →∞ F(x) → ∞ für x→-α f(A) = A Grad 4 (5) Symmetrie von Graphen -X. f(x) achfensymmem ich fur y-Achfe f(-x) = f(x) 7.B: fLx) 3x4 + 6x² f(-x)=3-(-x)² + 6 (-x)² 3 x ² + 6x² = f(x) ⇒ Graph'f ist achfentymmenich nu y-Achfe Hinweis: a. Qox" wird als BRUNNEN gerade Exponent angesehen! } achsensymmetrisch -x³ + 1 ·X4+2 sind. Der Graph einer gantrationalen a₁x + do ist genau dann. .f(-x). A punktsymmetrisch tum Urspring f(-x) = -f(x) f(x) 7.B: f(x) = x³ + x +(-x) = = (-x)² + (-x) X ³ - X -f(x)=-^(-x³+x). x³ = x= f(-x) → Graph & is punktsymmetrisch zum ursphing. Funktion f(x) = an・xn. wenn alle Hochrawen der x- potenten. gerade punktsymmetrisch zum ursprung ungerade Der Graph der Funktion & ift achfentymmetrich fur y- Achife. Welche Aussage, kann man über die Symmetrie. des. Graphen der funktion. .9. treppen? a) gix-a: fix) +6 (g(-x) = a: fl-x)+ b = a∙ f(x) +b gix) to ebenso ach Ponfummam ich •Fury-Achte. f(x)=x²-x² + c. ·1. f(-x) = 2-(-x) -2x. 2x -f(x) b) gux) = + (x-c) 9(-x) - f(-x-(). " # gix)] • Symmetrie bei nicht gan nationalen Funktionen: (a)f(x)= 2x b) f(x)= x² +1² is punktsymmetrich tum Urspring 4 keine fymmorie, da Graph um C-Ginheiten auf .X-Achfe rex-. Schaben wird -C). 9(x) = -f(x)²· gl-x) = -f(-x) ²: = = + (x) ² g(x) = achsensymmetrisch our y Achie (p. a +.b. gerade., c. 2. punktrymmetnich tum Wropning. 1.40 at 6 ungerade, c=.0. f(-x) = (x) 4+1 (-x)². ·x²4 +1. 40 ebenso achsen- symmetrisch Fur -Achfe (f(x): 4o achsensymmetrisch. our y. Achte c) f(x)= x+1 1 fl-x): (-x)+1 Le keine Symmetrie nachwachbar. 6. Nullstellen gantration over Funktionen. Eine Fahl X₁ heißt Nulistelle einer Funktion f, wenn f(x₁) = 0.914. Das bedewer Dont, we are funktion eine Nuisteve hat, schneidet oder berüht ihr Graph die x-Achife Funktion. Nuuselle x₁ mit f(x₁) = 0 Graph Punkt (x₁10) Bestimmung der Nuusteven Lopen von Nulisteven (₁) f(x) = ax² +bx+c Bsp. f(x)= x² - 4x +3 N$t: f(x)=0 XA12. (NSt g(x) x² - 4x + 3 = 4 ± √(-4)²-14-·1·3 .4 ± √ 4. 4±2 2 X₁. = 3 3 (2) Bsp. g(x)= x² - 4x BRUNNEN x⋅ (x² - 4) = 0 5€ 960 =0) X₁ ²0 x ²4-01 +4 x² =415 = = 2 xxx .2. Funktionsterm wird gleich null gesetzt f(x)=-0 8 Entstandene Gleichung lösen. → Mitternachtsformel! -6± √b²-4ac 20. X₁₁2=\ f(x) = 4x² - 4x - 3 ust f(x) = 0 4x² - 4X-3 = 0 .X112 ³. ENSŤ g(x)=0 4² - (-4) ²-4-4-(-3) 2:4 4± √√√64. -8 4± 8. 8 7 Sat vom Nullprodukt 2. gix) = x³ + 1/² X (*) = x (x²² + ^^ ) = 0 X1-0 x² + ₁ = 01 - A x² = x =√√ 4₂ X₂ ER (3) ax + 6x² + c ax² + bx³ + c. 3sp. h(x)=x²4-11x² + 18 Nst: h(x)=0 .41,2 X4 =-11ײ + 18-0 (x²)² = 1x² +18-01 Swastitution x² = U u ² = 1/²u÷ 18 = 0 11² ± √(-₁²-4-1-18 11.± √49. ·11 ± 7 당 g U₂: .2. Resubstitution [u= xª x ₁² = 9:15 .X. = 3 ✓...0 3. .x₂° Xà 2:18. #6 ✓ ·X3 = √2X4²= -√2 Biquadratische Gleichung Substitution / Re Substitution h(x)= x² - 29x³ + 28 Njt: h(x) = 0 X112³3 X6-29x³ + 28 (x³)² = 29x² + 28 Subshit whion x³ = U u² = 294 + 28 0₁₁2 X₁.²0 X₂ 29 ± √(-29) ²-4·1·28⁰ 2 29 ± √729 29 ± 27 2. 4,5 - 2 U₁ .42 = 1 0₁2' 28 Rerubstitution u=X³ x₁ ³ =281³5 Schnittpunkte bestimmen: f(x) = 0₁1x³ = 019x und g(x) - 0,25x². 04x³-0,9x0,25x² 1-0,25x² 0₁x2-0125x-0,9=0 | abc Formed 0₁x²³-019x0,25x²0 | S.V. N 0₁25√√(-0,252²2²-4·011- (-0,9) X(0kg-૦૭- ૦।૨) - 0. X1-0 x₂ ³ = 1:15 0125 0165. X₂ 1 . 2..0, 1. C Schnittpunkte flo) = 0,1·0³ - 0,9-0-0 ・g(0) 0₁25 0² = 0. f(415) 0,1 4,53 0,9:45 = 5,0625 ) X₂ (4151510625) 9.14,5) = 0,25 5,0625 f(-2) - 0₁4-(-2)³-019-(-2) = 1.3 X3 (-211) (-2) - bas (-a) | f(x) = x² + 2x + a a) zwei Nuusevent c) keine Nurieve- Хаа Schneider X-Achfe mit Vorteichen- wechtel ·03 x₁ (010) BRUNNEN Nst f(x) = 0. x² + 2x + 9 = 0 -2± √(22₁-4·1·α²² X112= 2 -2± √4-4a ·2· @4-4070. 10 .JI. -2±√√4-4a 4-40 ≤0. (7) Unear faktoren- mehrfache Nullstellen. Einfache NSt. Dopperte NSt. preifache Not -f(x) = (x-x)f(x)=(x-x₂)²³.. f(x) = ... · (x-xo) (6) genau eine Nuwneve - 11 N 12 berühſt x-Achife Schneider und berüht ohne romeichen- X-Achife wechfel. mit Vorteichenrechtel X₁₁2 = -2014-40 Ⓒ α = 11 Vierfache Nit f(x) = (x-x₂) ²4. N berührt X-Achte ohne Vorteichenwechfel libretter" als doppelte UR) f(x)= (x-3) (x-1) : (x+2) r •Linearfaltor. -P. Nulistelen ohne Rechnung lesbar mit Grad A X₁.3. j. X₂. 1. ;. X3 = -2. 1st eine gantrationale Funktion f. vom Grad n als Produkt. von. Unearfaktoren darstelbar, so ist die. faktoren höchstens n.. der Linear- Eine gan trationale Funktion f. vom Grad n hat wochfiens! ・n- Nidusteven. f(x)= x (x+2jª glx)= x(x-2)·(x+2) bci x=0 .wird die. X-Achse beix=-2 Geschnitten. wird die •x-Achife. I Leinfache. ust). .berührt. (doppelte.ust). h(x) = -x (x-2)(x+2) beix=0 ·bei x==2 wird die X-Achfe wird die. geschnitten X= Achife. geschnitten. (einfache Not). Ideinfache Nist). .bei X= 2 wird dre. X-Achfe. geschnitten (einfache Uit) a) f(x) a⋅ (x-b) (x-c). A). USt.-A und 3. 2) P(oll) beix=0 wird die X-Achfe geschnitten. (einfache Not) teinfache just aus 1) f(x) = a (x + 1)· (Xx-3) aur 2. flo): a⋅ (0+1): (0-3) = 1 IT ^(-3) = 1.IT -3a. a a (x+1)-(x-3) ⇒ f(x) = − a= = ₁; b=-1₁₁c=131 11: (-3) beix = 2 wird die x-Achte Opschnitten (einfache Nit) ₁(x) = x²(x+2) bei x=-2 wird. die X- Achife geschnitten (einfache ust) bei X=0 wird die X-Achift berührt (doppelte (VA) | b) f(x)= a (x-6): (x-c) 4). NSt.-A 2) f(0) = 10 aut i) f(x) = a £x + 1)-(x-c) = a (x + 1)⋅ (x+1) - a (x + 1)² aus 2) flo): a (0+1)² = 10 .a. 2.4.0. ⇒= f(x) = 10 (x+1j²: a²10₁ b = c = -1