Seite 2: Weiterführende Berechnungen und Spezialfälle

Die zweite Seite setzt die Berechnung der Extrempunkte fort und behandelt einen Spezialfall.

Zur Bestimmung der Art des Extrempunkts wird die hinreichende Bedingung fa"$x$ > 0 überprüft, was auf einen Tiefpunkt hinweist. Die y-Koordinate des Extrempunkts wird durch Einsetzen von x = a in die ursprüngliche Funktion berechnet, was zu fa$a$ = -2a² + 6a - 4,5 führt.

Highlight: Die vollständige Darstellung des Tiefpunkts lautet TP$a|-2a² + 6a - 4,5$.

Der letzte Teil der Aufgabe befasst sich mit der Berechnung des a-Werts, für den der Extrempunkt auf der x-Achse liegt. Dies erfordert das Lösen der Gleichung 0 = -2a² + 6a - 4,5.

Example: Die Lösung dieser Gleichung kann mit einem Grafikrechner (GTR) oder durch quadratische Ergänzung gefunden werden.

Das Ergebnis zeigt, dass der Extrempunkt auf der x-Achse liegt, wenn a = 3/2 ± √1,5 ist.

Vocabulary: Eine Fallunterscheidung bei Funktionsscharen ist oft notwendig, um verschiedene Verhaltensweisen der Funktion in Abhängigkeit vom Parameter zu untersuchen.

Diese Aufgabe demonstriert typische Fragestellungen für Klausuren im Bereich Funktionsscharen und bietet eine gute Übung für die Kurvendiskussion mit Parametern.

Seite 1: Grundlagen und erste Berechnungen

Die erste Seite der Aufgabe führt in die Untersuchung einer Funktionsschar ein und behandelt die ersten vier Teilaufgaben.

Zunächst wird die gegebene Funktionsschar fa$x$ = 2x² - 4ax + 6a - 4,5 vorgestellt. Die Aufgabe beginnt mit der Bestimmung der ersten und zweiten Ableitung. Die erste Ableitung fa'$x$ = 4x - 4a und die zweite Ableitung fa"$x$ = 4 werden korrekt berechnet.

Highlight: Die Berechnung der Ableitungen ist ein grundlegender Schritt bei der Untersuchung von Funktionsscharen.

Anschließend wird die Steigung des Graphen an der Stelle x = 0 berechnet. Das Ergebnis fa'(0) = -4a zeigt, dass die Steigung vom Parameter a abhängt.

Example: Für a = 1 wäre die Steigung an der Stelle x = 0 gleich -4.

Die Aufgabe fährt fort mit dem Nachweis, dass alle Graphen der Funktionsschar durch den Punkt S(1,5|0) verlaufen. Dies wird durch Einsetzen der Koordinaten in die Funktionsgleichung bewiesen.

Vocabulary: Eine Punktprobe ist eine Methode, um zu überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt.

Zuletzt werden die Extrempunkte der Funktionsschar in Abhängigkeit von a berechnet. Dazu wird die notwendige Bedingung fa'$x$ = 0 verwendet, was zur Lösung x = a führt.

Definition: Ein Extrempunkt ist ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion, an dem die Funktion ein lokales Maximum oder Minimum annimmt.