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Funktionsuntersuchung, Ableitungsfunktion, Tangenten, grafisches differenzieren

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 Graphisches Abletten
Ableitungsfunktion
Potenzregel: Hochzahl vorziehen und -1 rechnen
Konstante (ohne x) fallen weg
Faktorregel
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Graphisches Abletten Ableitungsfunktion Potenzregel: Hochzahl vorziehen und -1 rechnen Konstante (ohne x) fallen weg Faktorregel 1. Alle Extrempunkte (HP, TP, SP) bestimmen → übertragen diese Punkte Summenregel alle Teile einzeln ableiten 2. ungefähr Wendepunkte bestimmen -> Kreuz überhalb oder unterhalb der x-Achse Steigung positiv = Punkt positiv Steigung negativ = Punkt negativ 3. Startbereich markieren (steigt - steigt; fällt → fällt) Produktregel: f'(x) = u₁·v + u. v' 4. Funktion Skizzieren (alle Punkte verbinden) Quotientenregel: f'(x) = 4².V-u. V u'.v-u.v' Kettenregel: f'(x) = u'. v² 1. Punkt ausrechnen (x Wert von Punkt einsetzen) 7. Tangentengleichung aufstellen 0 = 6 + b -6 = b f(x) = 2x³ + 3x² - 6x +1 f'(x)= 6x² + 6x -6 f(1) = 6·1² + 6·1-6 = 6 + 6-6 = 6 m = 6 y = mx + b 0= 6·1+b y = 6x-6 1-6 Tangentengleichung quotellen f(x)= 3x² f(x) = 5 f(x)= 3.x5 f(x)=√x -> f(x) = t x³ f(x)= 3x² + 5x + x + 2 SX-9x-4-1 0 2. Ableitung 3. Tangentengleichung 4. Steigung m (Xo in Ableitungsfunktion einsetzen) S. Zwischenschritt 6. Punkt einsetzen Ib ausrechnen (x-Wert von P in Funktionsgleichung) 2.3x¹ f(x)= x³. U= x 3 u'=3x² P(1/0) f(x) = Definitionen enge Nenner mit O gleichsetzen und nach x auflösen → Ergebnis nicht einsetzbar, da es 0 ergibt d.h. D=IRI { } 2x + 3 X5 m U= 2A + 3 v=xs f(x)= (x²+5)* x5 v=x² V=Sx4 u= x² +5 u'= 4x3. v=u² v²= 7.46 2x34 2x+1 1-1 2x = -1 x = -1/2 u'= 2.1 v' = Sx4 2- x = 0 2 = x f'(x) = O f'(x)= 2-3x²-1 = 6x Tangentengleichung an...

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einen bestimmten Panet 2-x 1:2 f'(x)=3.5.x" f'(x)=√2-x² D = IR \ {-1; 2} f(x) = x³ y = 1³ = 1 ->P(111) f'(x)= 3x²x² + x³ · 5x² = 8x² f'(x) = 2x³-2x+3 - 5x4 (x5) 2 f'(x)= 3x² b = -2 f'(x)=3x² f'(x) = 4x³7-(x²+5) 6 1 = 3·1+ b 4. Formel komplett aufschreiben +(x)= mx + b m = f'(1) = 3·1² = 3 t(x)= 3x + b 3. b berechnen indem man nach b auflöst t(x) = 3x-2 1+x Xo = 1 f'(x)= 6x + 5-x-² 1. Ableitung aufschreiben 2. den x-Wert von P in die Ableitung einsetzen, um m zu berechnen 1-3 x = 0 x = 3 -X²-6x+9 = x²-3x x²-3x = 0 x=O X-3=0 x² - 6x +90 Ip-9-Formel X1/2/2²³9 = 310 x = 3 -ÜBUNG MA D = IR\ {0,3} 1+ 3 Wolf * * * Brüche und weitere Regeln f(x)= 231 1. Vorzeichen ändern 2. Exponent mal zähler 3.1 zum Exponent Tangentensteigung ablegen 1. Stelle suchen und Tangente einzeichnen 2. Steigungsdreieck an Tangente x=x^ --x-² √x = x ² 2x = x² 3. Werte in Formel einsetzen und ausrechnen f(b) = √56-3 f'(x) = 5b-30 5b3 m = Schnittpunkt Schnittpunkte einer Parabel y=-x²-3x + 4 Schnittpunkt der y-Achse -> x=0 y=-0²-3·0+ 4 = 4 Sy (014) AY b= 3/24 D = {bEIR | b = } f(x) = sin(x) -> f(x)= cos(x) -> |+3 1:5 11 21.1 f'(x) = cos(x) f'(x)=sin(x) Schnittpunkt der x-Achse -> y=0 0=x²-3x + 4 0 = x² + 3x -4 X1/2 = -√²-4 =-1,5 Z.S X₁ 1,5 + 2,5 x₁ = 1 Sx₁ (110) V 1. (-1) Ip-q- Formel X₂= 1,5-2,5 х2=-ч Sx₂ (-410) -> hätte man "-" rechnen müssen, dann hätte sich das ungleichungszeichen von auf "2" "<" gedreht Symmetric MA achsensymmetrie f(x) = f(x) ->Hochzahlen sind alle gerade f(x)= 4x6 + 3x² + 5 f(-x)= 4(-x)+ 3.(-x)² +5 = 4x + 3x² + S = f(x) Extrempunkte 1. Ableitungen bilden 2. Ableitung mit 0 gleich setzen und nach x auflösen 3. Einsetzen der x-werte in f"(x) → wenn f"(x) positiv und somit größer als 0 ist, ist es ein TP 4. Koordinaten der Extremstellen ausrechnen (mit Ursprungsfunktion) f(x) = f(-x) f(x)= f'(x) = 2x² +6x + 4 F"(x)= 4x+6 0= 2x² +6x + 4 x³ + 3x² + 4x x² + 3x +2=0 X 1/2 = -115 √1,5²-2 X₁= -1₁5 + 0,5 X₁ = -1 V V 1:2 punktsymmetrie - F(x) = f(-x) ->Hochzahlen sind alle ungerade Ip-q- Formel X₂= -1,5-0,5 x₂ = -2 > 0 F"(-1)= 4.(-1) + 6 = 2 f"(-2)=4-(-2) +62 HP f(x) = ² · (-1)³²+ 3 · (-1) ² + 4·(-1) = // TP (-1-5) f(x) = 2 · (-2)² + 3 · (-2) ² + 4·(-2) = HP (-21) <0 TP f(x) = 5x + 4x³ + x f(-x)= 5(-x)+ 4·(-x)³ + (-X) = -5x² - 4x²-x =(5x² + 4x³ + x) = -f(x) -f(x) = f(-x) Monotonie I wann ist eine Funktion steigend / fallend? f(x) = 2x³ + 6x² TP (0/0)-> x=0 HP(-2/8) -> x = -2 Intervalle: (-∞0; 2) X=-3 (-2;0) (0 +∞0) x = 1 x = -1 erfüllt sie keines der Gleichungen, dann liegt keine einfache Symmetrie vor +∞ f'(x) = 6x² + 12x f'(-3)= 6 (-3)² + 12-(-3) = 54 - 36 = 180 f'(-1) = 6·(-1)² + 12 · (-1) = 6 - 12 = -6 <0 f(1) = 6·1² + 12-1= 6 + 12 = 18 >0 f(x) = sin(x) -f(x) = f(-x) f(-x) = sin(-x) > -sin(x) = -f(x) e-Funktionen haben keine Symmetrie Intervall ist steigend Intervall ist fallend Intervall ist steigend

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So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!

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