Ganzrationale Funktionen: Globalverhalten und Extrema - Jahrgangsstufe 11

Ganzrationale Funktionen - Grundlagen und Extremstellen

Ganzrationale Funktionen sind Funktionen mit natürlichen Exponenten, die du auch als Polynome kennst. Die allgemeine Form sieht so aus: f$x$ = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀.

Der Grad einer Funktion ist der höchste Exponent, und die Zahlen vor den x-Termen heißen Koeffizienten. Bei f$x$ = 6x³ + 3x⁵ - x³ + 2x - 5 ist der Grad 5 und du kannst alle Koeffizienten ablesen.

Symmetrie checkst du ganz einfach: Für Achsensymmetrie zur y-Achse muss f$-x$ = f$x$ gelten. Für Punktsymmetrie zum Ursprung brauchst du f$-x$ = -f$x$. Das klappt meist bei geraden bzw. ungeraden Exponenten.

Bei Extremstellen unterscheidest du zwischen lokalen (nur in einem Bereich die höchsten/tiefsten) und globalen (absolut höchsten/tiefsten) Werten. Mit dem GTR findest du sie über "Graph analysieren" → "Maximum/Minimum".

Tipp: Das Globalverhalten hängt vom Grad und Vorzeichen des höchsten Koeffizienten ab - das bestimmt, wie sich die Funktion für sehr große x-Werte verhält.