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Mathe

Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

Scheitelpunktform

6.814

•

30. Nov. 2022

•

2 Seiten

Symmetrie und Transformationen von ganzrationalen Funktionen: Beispiele und Aufgaben

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

charlotte

@studyimpressions

Eine umfassende Anleitung zur Symmetrie von Funktionen und Transformation von... Mehr anzeigen

$symmetrie bei funktionen y \-----/ 2 → X f(-x) = f(x) →x f(-x) = f(-x) Eine Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(-x) = f(x)$

Durchschnittliche Änderungsrate und Nullstellenberechnung

Dieser Abschnitt behandelt die Berechnung der mittleren Änderungsrate und die Nullstellenberechnung durch Substitution.

Definition: Die mittlere Änderungsrate beschreibt die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten auf dem Funktionsgraphen und kann mit dem Differenzenquotienten berechnet werden.

Formel: Differenzenquotient: m = $f(x₂$ - f $x₁$ ) / $x₂ - x₁$

Die Nullstellenberechnung wird anhand eines schrittweisen Verfahrens erklärt:

Substitution: x² durch z ersetzen

Berechnung von z mit der pq-Formel

Resubstitution: z wieder durch x² ersetzen

Berechnung von x: Nullstellen berechnen

Beispiel: Für f $x$ = x² - x² - 6 ergeben sich die Nullstellen x₁ = √2 und x₂ = -√2

Linearfaktoren

Der letzte Teil des Leitfadens befasst sich mit Linearfaktoren und deren Zerlegung.

Definition: Faktoren, bei denen die Funktionsvariable x den Exponenten 1 hat, heißen Linearfaktoren.

Highlight: Bei der Zerlegung in Linearfaktoren wird der quadratische Term in ein Produkt umgeformt: aus ax² + bx + c wird a $x - x₁$ $x - x₂$

Beispiel: F $x$ = 12 $x + 1$ $x - 3$ in Ursprungsform: F $x$ = 12x² - 24x - 36

Diese detaillierte Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über wichtige Konzepte der Funktionsanalyse und -transformation, die für Schüler im Mathematikunterricht von großer Bedeutung sind.

$symmetrie bei funktionen y \-----/ 2 → X f(-x) = f(x) →x f(-x) = f(-x) Eine Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(-x) = f(x)$

Symmetrie bei Funktionen

Dieser Abschnitt behandelt die verschiedenen Arten der Symmetrie von Funktionen, insbesondere die Achsensymmetrie zur y-Achse und die Punktsymmetrie zum Ursprung. Es werden mathematische Bedingungen für beide Symmetriearten vorgestellt und mit Beispielen veranschaulicht.

Definition: Eine Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f $-x$ = f $x$ gilt.

Beispiel: Eine achsensymmetrische Funktion ist f $x$ = x² + x². Hier gilt f $-x$ = $-x$ ² + $-x$ ² = x² + x² = f $x$ .

Definition: Eine Funktion f ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f $-x$ = -f $x$ gilt.

Beispiel: Eine punktsymmetrische Funktion ist f $x$ = x⁵ + x. Hier gilt f $-x$ = $-x$ ⁵ + $-x$ = -x⁵ - x = -f $x$ .

Highlight: Bei ganzrationalen Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten liegt Achsensymmetrie vor, während bei ausschließlich ungeraden Exponenten Punktsymmetrie auftritt.

Transformation von Funktionen

Dieser Teil des Leitfadens bietet eine umfassende Übersicht zur Transformation von Funktionen. Es werden verschiedene Arten von Transformationen erklärt, einschließlich Verschiebung, Streckung und Stauchung entlang der x- und y-Achse.

Definition: Verschiebung entlang der y-Achse: g $x$ = f $x$ + e

Nach oben: e > 0

Nach unten: e < 0

Definition: Verschiebung entlang der x-Achse: g $x$ = f $x + d$

Nach links: d > 0

Nach rechts: d < 0

Definition: Streckung/Stauchung entlang der y-Achse: g $x$ = a · f $x$

Gestreckt: a > 1

Gestaucht: 0 < a < 1

Gestreckt und an der x-Achse gespiegelt: a < -1

Gestaucht und an der x-Achse gespiegelt: -1 < a < 0

Definition: Streckung/Stauchung entlang der x-Achse: g $x$ = f $x · b$

Gestaucht: b > 1

Gestreckt: 0 < b < 1

Gestaucht und an der y-Achse gespiegelt: b < -1

Gestreckt und an der y-Achse gespiegelt: -1 < b < 0

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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