Symmetrie bei Funktionen

Dieser Abschnitt behandelt die verschiedenen Arten der Symmetrie von Funktionen, insbesondere die Achsensymmetrie zur y-Achse und die Punktsymmetrie zum Ursprung. Es werden mathematische Bedingungen für beide Symmetriearten vorgestellt und mit Beispielen veranschaulicht.

Definition: Eine Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(-x) = f(x) gilt.

Beispiel: Eine achsensymmetrische Funktion ist f(x) = x² + x². Hier gilt f(-x) = (-x)² + (-x)² = x² + x² = f(x).

Definition: Eine Funktion f ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(-x) = -f(x) gilt.

Beispiel: Eine punktsymmetrische Funktion ist f(x) = x⁵ + x. Hier gilt f(-x) = (-x)⁵ + (-x) = -x⁵ - x = -f(x).

Highlight: Bei ganzrationalen Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten liegt Achsensymmetrie vor, während bei ausschließlich ungeraden Exponenten Punktsymmetrie auftritt.

Transformation von Funktionen

Dieser Teil des Leitfadens bietet eine umfassende Übersicht zur Transformation von Funktionen. Es werden verschiedene Arten von Transformationen erklärt, einschließlich Verschiebung, Streckung und Stauchung entlang der x- und y-Achse.

Definition: Verschiebung entlang der y-Achse: g(x) = f(x) + e

• Nach oben: e > 0
• Nach unten: e < 0

Definition: Verschiebung entlang der x-Achse: g(x) = f(x + d)

• Nach links: d > 0
• Nach rechts: d < 0

Definition: Streckung/Stauchung entlang der y-Achse: g(x) = a · f(x)

• Gestreckt: a > 1
• Gestaucht: 0 < a < 1
• Gestreckt und an der x-Achse gespiegelt: a < -1
• Gestaucht und an der x-Achse gespiegelt: -1 < a < 0

Definition: Streckung/Stauchung entlang der x-Achse: g(x) = f(x · b)

• Gestaucht: b > 1
• Gestreckt: 0 < b < 1
• Gestaucht und an der y-Achse gespiegelt: b < -1
• Gestreckt und an der y-Achse gespiegelt: -1 < b < 0