Ganzrationale, Lineare und Quadratische Funktionen

Alternativer Bildtext:

zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Urspring verläuft. a) f(x) = 2x² + 4x f(-x) = 2 (-x)² + 4·(-x) = 2x². 4x = f(x) => nicht achsensymmetrisch = -f(x) => nicht punktsymmetrisch - f(x) = − 4x³ + 7x f(-x) = 4₁(-x)³ -7.(-x) = - 4x³ +7x = -f(x) => punktsymmetrisch zum Ursprung 2 beide Vorzeichen ↳s sind alle Exponenten ungerade, dann ist andern sich. die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. b) f(x) = 4x³ - 7x c) f(x) = -4₁x8+2x4 f(-x) = -4 (-x ¹8 + 2(-x) 4 4x8+2x4 = - (-x)² = (-x): (-x) = = f(x) => achsensymmetrisch our y-. -Achse. ↳sind alle Exponenten gerade, dann ist die Funktion achsensymmetrisch. wur y-x -Achse LINEARE FUNKTIONEN 1 graph zeichnen und funktionsgleiching ablesen: f(x) = mx + n in. => gibt den y-Achsenabschnitt der Geraden an m> 0: steigende Gerade m< 0: fallende Gerade m = 0: waagerechte Gerade y t 2x + 1 x+1 0,5x + 1 m>0 X 1 1 f(x) = 2 m = m=0 Die Steigung der Geraden ist 2, denn wenn wir x um 1 erhöhen, so erhöht sich f(x) um 2. m =) gibt die Steigung der Geraden an ↳ Vorzeichen vor m: bestimmt ob Graph fällt oder steigt. ↳ Zahlenwert: Stärke des Steigens / Fallens 3-1 2-(-2) Beispiel 2: P-211) Q (213) = X y 4 Beispiel: P(312) Q(214) f(x) = mx +n I: 2 = 3m + n 4₁=2·(-2) + n. I: 4 = 2m + n 4 =-4 - 2 = m n = 8 2 m <0 −0,5x + 3 -2x +3 -x +3 1 n = - 1 3 2 1 2 funktionsgleiching mithilfe von zwei punkten bestimmen 1) Koordinaten der Punkte in Geradengleichung einsetzen > lineares Gleichungssystem 2) mithilfe der Additions-/ Subtraktionsmethode m und n berechnen f(x) = -2x+8 X tn 1+4 1 1 2 Q D 3 X pin y = mx + n 1 = · (-2) + 1 3 steigungswinkel aus steigung berechnen + umgekeht: Steigungswinkel Winkel zwischen y-Achse und Gerade y m<O m>O 12 Die Steigung einer Geraden. ist gleich dem Tangens ihres Steigingswinkels. m = tan & ·tan α = (α # 90°) Gegenkathete = Anstieg m Ankathete X 1. Steigung aus Steigingswinkel berechnen: Beispiel Beispiel 2: tan α = 3 α~71,6° دا Steigungswinkel ∞ => Steigung m für α = 30° L mit Taschenrechner 2. Steigungswinkel aus Steigung berechnen: Beispiel 1: Sleigungswinkel der Geraden. f. => L> Taschenrechne. tan-1 y m² = tan α d tan P12111 Q (-41-1) ·α! ≈ - 63,4° α ≈ 180° ~116, 60 Ankathete Ax m= m = tan α = tan 30° ~ 0₁5774 63,40 Steigungswinkel de Gerade f => f(x) = − 2x + 3 - 1 tan α = ·2· y m = -2 TR: negativer Winkel => Ergänzungswinkel w 180° bilden => positive Winkel 3. Steigung mit Differenzquotient berechnen: -1-1-2 m = y₂-y₁ = Х2-Ха 4-2 Gegen- kathete. ду AX -6 f(x)= 3x - 1 M = 3 71,60 116,6° -63,4° X (4) schittwinkel berechnen. Zwei Geraden, die sich schneiden, bilden zwei Winkel miteinander. Als Schnittwinkel (r) bezeichnet man den kleineren Winkel, der go° nicht übersteigt. Man kann den Schnittwinkel (y) aus den beiden Steigings- winkeln & und ß der Geraden bestimmen. Es gilt y = |B-α| oder y = 180°-| B-al r Beispiel: f(x) = 2x + 1 Steigung von f(x): Sleigung von g(x): B = 180° -63,4° = 116,6° 63,4 -63,4 Y = 1.B - α = 180° - 1B - xl ·Y.=. g(x) = -2x + 3 tan^ (2) = 63,4° tan ¹(-2) = -63,4° 126,8° y = |B - α1 = 116,6° -63,4° 53,2° 180° 126,8° = 53,2° 5 parallelität & orthogonalität zweier geraden prüfen /angeben: 1. Parallelität: Bei parallelen Geraden ist der Anstieg immer gleich! 2. Orthogonalität: Bei orthogonalen bzw. Senkrechten Geraden dreht. sich das Steigungs dreieck. um 90°. Dies führt zum folgenden Zusammenhang zwischen den Steigungen ortho- gonale Geraden: Ms = 1 m bzw. m. ms = - дра Lösung: P(211) Q (-41-1) х1 . уг Х2 . Уг 1/3 1. دا m =. Der Anstieg der senkrechten Gerade ist der negative Kehrwert de ursprünglichen Gerade! Beispiel 1: Prüfen von Orthogonalität Aufgabe Untersuchen Sie die Gerade f(x) = 3x - 1 und die Gerade g, die durch P(211) und Q(-41-1) geht, auf Orthogonalität. Y₂ X2 g # - Y₁ = - X₁ -1-1 - -4-2 ^ Steigung der Geraden durch P und Q Ax 2 f(x) = 3x - 2 g(x) = 3x = Ay :(-2) -2 6 3 nicht negativ => nicht orthogonal zu f(x) = 3x - 1 m·ms = -1 3승 Ay 1 => nicht orthogonal. QUADRATISCHE FUNKTIONEN (1) graph zeichnen und funktionsgleiching ablesen: allgemeine Form f(x) = ax² + bx +. c. Scheitelpunktsform f(x) = a (x - d)² + e 1. Verschiebung längs der y-Achse y g(x) = x² + 2 = g(x) = x² + 2 2. Verschiebung längs de nach rechts: g(x) = (x-3) ² f(x) = x² 3 2 1 f(x)=x² 1 +3 2 3 1 g(x) = (x =3) ². 4 x-Achse 2 3. Verschiebung langs beider Achsen: g(x) = (x - 3)² + 2 +3 SP (dle) 3 D 2 1 2 nach links: g(x) = (x + 2)² · g(x) = (x + 2)² f(x)=x² ↳ Ohne Minus! 3 3 nach oben nach unten 2 1 1 4. Streckung / Stauchung und Spiegelung: Streckung der Normal parabel in y-Richtung. g(x) = 2x² A > 1 a < 1 2x² y X gestreckt U gestaucht = 1.5(x² - 4x) +3 = 1,5 (x² - 4x + 2²-2²)+3 = 1₁5 [(x - 2)² - 2²] +3 = 1,5 [(x - 2)² = 1₁5 (x - 2)² = 1₁5(x - 2)² - 3₁. Spiegelung der Normalparabel an der x-Achse. g(x) = - 0,5x². 4] +3 6 +3 x² HA -0,5x 0<a<1 nach unten geöffnet Spiegelung an de x-Achse y = = f(x) (2) in scheitelpunktsform umwandeln und andersherom: 1. Umwandlung allgemeine Form in die SP- Form f(x) = 1₁5x² - 6x +3 Spiegelung an der y- Achse: y = f(-x) f(-x) f(x) - F(x) F(x) I Ausklammern der Zahl vor dem x². aus den ersten beiden Summander 1 Quadratische Ergänzung: Zahl vor x halbieren und quadrieven" + und - 1 Zusammenfassen zur Bifo rechnen I Auflösen der eckigen Klammer Zusammenfassen der hinteren beiden Faktoren 2. Umwandlung der SP-Form f(x) = 1,5 (x - 2)² - 3 = 1₁5 (x² - 4x + 4) 4 = 1₁5x² - 6x + 6 = 1₁5x² - 6x +3 +3/ 3 funktionsgleichung mithilfe von drei punkten / sp + einem punkt bestimmen 1. Mithilfe von drei Punkten: -3 -3. A(-1111) B(015) C(215) B) II 5 = a 0² + b⋅ 0 + c C = S III+2 I: S = 4a + 2b + S 2b + 10 A) I 11= a (-1)² + 6 (-1) + C 11= a - b + 5 22 = 2a 27 = ba 12 = ба а = 2 P(215) SP(112) in die allgemeine Form I Auflösen des Quadrats nach BiFo - I Auflösen der Klammer durch Multiplikation mit dem Vorfaktor 1 Zusammenfassen des Terms = 3 + 151-15 1:6 C) II 5= a 2² +62 +5 S = 4a + 26 +5 2. Mithilfe von SP und einem weiteren Punkt: f(x)= a (x - d)² + e f(x) = a (x - 1)² + 2 5 a (2-1)² + 2 a f(x) = 2x² - 4x + 5 F(x)=3(x-1)² + 2 = 3(x² - 2x + 1) + 2 = 3x² - 6x +3 +2 = 3x² - 6x + 5 binomische formeln N 1.) (a + b)² = (a + b)(a + b) = a ² 2.) (a - b)² = (a - b)(a - b) =a² - 2ab + b² 3.) (a + b)(a - b) = a² - 6² + 2ab + b² 5 quadratische ergänzing: 1.) Zahl vor dem x² ausklammern: F(x) = 2x² + 4x +3 F(x) = 2 ( x² + 2x) +3. 2) Hälfte der Zahl vor den x bestimmen und f(x) = 2(x² + 2x) +3 → NR: diese quadrieren: = 1 = 1 1² 3.) Zahl dazuzählen und dann wieder abziehen: f(x) = 2 (x² + 2x + 1-1) +3 4.) Das Abgezogene aus der Klammer holen: f(x) = 2 (x² + 2x + 1 - 1 ) + 3 f(x) = 2 (x² + 2x + 1) -2 +3 S.) Binomische Formel erkennen und rückwärts lösen: f(x) = 2(x² + 2x + 1) - 2 + 3 f(x) = 2 (x + 1)² −2+3 6.) Verbleibende Zahlen zusammenzählen.. f(x) = 2(x + 1)² +1. 1 NULLSTELLENBERECHNUNG BEI polynomen hubische funktion (a。 = 0): Jeder Summand enthält den Faktor X ↳> ausklammern => Produktgleichung 3 Produkt = 0, wenn ein Faktor = 0 ist ↳ erster Faktor = 0 zweiter Faktor = P-9-Formel 2. Bsp.: f(x)= x² + 3x³ x + 3x²³ = 0 x³ (x² + 3) = 0 x-1=0 x₁ = 1 biquadratische f(x) = x4 - 5x² +4=0 U² - 50 + 4 = 0 2 funktionsgleichung in faktorisierter form f(x) = (x-1) (x+3)(x − 2) / 1 x+3=0 X₂ = -3 funktion: U₁12 = = ± √ √ ( 2 ) ² -4 = 2,5 ± √√√6,25-4 = 2,5 ± 1, S U₁ = 4₁ 0₂ = 1 x-2= 0 x3 = 2 →immer die höchste Potenz ausklammern F(x)=x²-x²-2x = 0 x (₁x²-1/2x-2) = 0 4x² - ₁₁ x - 2 = 0 ↓ P-9-Formel x3 = →p-9- Formel x₁ = 0 = U Substitution x₁ = 2 x² = U Resubstitution x₂ = Xz.= 2 x3 = 1 x₁ = -1 GRENZWERTE: FUNKTIONEN FÜR ×→ Testeinsetzungen X-100-1000 f(x) 3,04 3,004 lim f(x) x →∞ X 100 1000 f(x) 2,96 2,996 lim x → 0 X>0 lim f(x) = 3 X--∞ lim X-> 0 x < 0 lim f(x) = 3 X -> y 3x-4 X 2 3x-4 X Testeinsetzung (Annäherung von oben) f(x) = 3x - 4 X (Annäherung von unten) DB: x ER; x = 0 3x-4 X lim X-0 x > 0 X 0.1 0.01 0.001 f(x)-37-397-3997 ->- X |-0.1 -0.01 -0,001 f(x) 43 403 4003 -> DO lim X->0 x < 0 lim F(x). x →∞ GRENZWERTE: FUNKTIONEN FÜR ×→→×。 F(x)= 3x - 4 X f(x) = 3x-4 X Termvereinfachungen 3x - 4 X lim F(x) = lim (3-½ 2 ) X->-∞ x--∞ = 3, lim F(x) = lim (3-4/2) x →∞ = 3/ 3x-4 X x →∞0 = 3x Termumformung 3x X lim (3-4) X-> 0 x > 0 3 lim (3-4)= x → 0 ↓ X CO ∞ 4 ∞ ∞ J|XJ|X X läuft gegen 0 STEIGUNG ERATION IN EINEM PUNKT FUNKTION Wie berechnet man die Steigung der Funktion f(x) = 50x² an der Stelle x = 20? F(20th) -20 mit -10 50 = 20 10 0 - X₁ 10/ lim. Ms = h→0 Q = 1 20 Steigung der Tangente Th 30 40 20+h Steigung der Sekante durch Q(2018) ind P (20th | F(20th): Ms = y₂ = y₁ (20+h)²2-8 h X₂ f120+h)- 8 20th - 20 50 lim (0,8 + h) h→0. 60 = Selante durch P und Q (durchschnittliche Steiging? Tangente (momentane bzw. lokale Steigung) h→0 Sekante wird zur Tangente 0.8 (400+40h+h²) - 8 h 8 + 0,8h +50h² 8 h 0.8h+h² 0₁8 +/h 1. Bi Fo 0.8K+ к Bezeichnung: f'(20) = 0.8 so hiz k Ableitung von f(x) an de Stelle h-Methode: f(x) = x² + 2x f(x+h)-f(x) f'(x) = lim h->0 h Y₂ - Y₁ F'(3) f(x) F'(x) Ms = 8 = fält HP steigt 2xh +h² + 2h h K (2x +h+2) K Xo = 3 GRAFISCHE ABLEITUNG m₁ = lim 12x+h+2) h→0 % TP = 2x + 2 f(3) = lim h->0 Asteist fällt xo = beliebig = 2x+h-2 RECHNERISCHE BESTIMMUNG VON f'(x) F(x) = x² + 2x = x (x+2) = f(x+h)- - f(x) h ✓. = (x+h)² + 2⋅ (x+h) - (x² + 2x) h x² + 2xh+h² + 2x + 2h-x² - 2x h f(3+h)-f(3) h (3+h)² + 2(3+h)-15 h² + 8k K = lim (h+8). h-20 vor (= Vorzeichen ändern h g+ 6h+h² +6+2h-15 h F'(x) = 2x + 2 1. ist f' positiv, steigt f 2. ist F' negativ, fällt f 3. bei Hoch- und Tiefpunkten ist F' gleich null 8 4. erst steigen, dann fallen = HP 5. erst fallen, dann steigen = TP 1. allgemeiner Ansatz 2. Einsetzen 3. 4. S. 6. Auflösen der Klammer Zusammenfassen Kürzen von h lim h→0 bilden => f'(xo). ELEMENTARE ABLEITUNGSREGELN F(x) = ax f(x) = 2axn f(x) = x² + x³ f(x) = 3x¹ f(x) = 3x° f(x) = ax ³ +bx+c Steigungswinkel f'(x) = n ax' f'(x) = f'(x) = x₁ = 1,15 in ursprüngliche einsetzen n-1 2an x n-1 2x + 3x² f'(x) = f'(x) = 0 f'(x) = 3ax² + b 3x⁰ = 3 ×2₂=1,15 F(1,5) = -0,66 F'(x) = ²x² - 1 f'(1,5) = 0,69, 0₁69= tana x = 34, 6° STEIGUNG /SWINKEL IN EINEM f(x) = 4x³ - x Steigung im Punkt: (1,51?) f(x) = 1 -n = X xn f(x) = √√x = x ² Bsp. P(1,51-0,66) f'(x) = - nx ^ f(1,15)= 1,153 - 1,15 u = -0,77 f'(x)=√x -슬 = f(x)= 3√x = 3x² f'(x) = 3·½ x 2 1 2x z TP (1,15-0,77) f(-1,15)= (-1,15)³ + 1,15 = 0,77 HP (-1,15 10,77) 1 2√x EINER FUNKTION PUNKT 3 = 1,5.. 1/2 = 2/ √x 2√x HOCH- UND TIEFPUNKTE BERECHNEN f(x) = 4x³-x f'(x) = 2/² x ² - 1 0 = ³/2 x ² - 1 1 + 1 1 = 3/4 x ² 1:3 x² = 1/3 In -n-1 GLEICHUNG EINER TANGENTE & NORMALEN in einem bestimmten punkt berechnen 1 gleichung der fangente in punkt p: f(x) = mx + b P(1.51-0,66) f'(1,5) = 0.69 - 0,66 = 0.69.1₁5+b 0,66 = 1,035 +6 b = 1,69 F(x) = 0,69x - 1,69 2 gleichung der normalen 1-1.035 Normale: Senkrechte der Tangente Der Anstieg de senkrechten Gerade ist der negative Kehrwert de ursprünglichen Gerade! f(x) = mx + b f(x)= M = 1 0.69 -0.66 -0,66 0,69 X - 1,51 -0,69·1.5 +b -2,174 +5 b = 1,514 1+2,174 SCHNITTWINKEL BERECHNEN Zwei Geraden, die sich schneiden, bilden zwei Winkel miteinander. Als Schnittwinkel (y) bezeichnet man den kleineren Winkel, der go° nicht übersteigt. Man kann den Schnittwinkel (y) aus den beiden Steigings- winkeln & und ß der Geraden bestimmen. Es gilt y = |B-αl oder y = 180°-IB-al ß r Beispiel: f(x) = 2x + 1 Steigung von f(x): Steigung von g(x): B = 180° -63,4° = 116,6° B 63,4 -63,4 .Y. .Y. g(x) = -2x +3 1.B-X1 180⁰-1B x1 tan^¹ (2) = 63,4° tan^(-2) = -63,4° .Y.=.| = = |B - α1 126,8° 116,6° -63,4° 53,20 180° 126, 8° = 53,2° -