Mathematik: Überblick und Verständnis von Funktionen

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~ Franka ~

9.2.2021

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Mathematik: Überblick und Verständnis von Funktionen

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Funktionen in der Mathematik sind ein grundlegendes Konzept, das dir hilft, Beziehungen zwischen verschiedenen Werten zu verstehen und darzustellen. In diesem Leitfaden lernst du, was eine Funktion ist und wie du mit ihr arbeiten kannst. Wir werden die verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen erkunden, wichtige Eigenschaften wie Symmetrie, Nullstellen und Monotonie kennenlernen und verstehen, was Hoch- und Tiefpunkte sind. Diese Übersicht macht dich fit für lineare Funktionen, quadratische Funktionen und viele weitere Funktionstypen, die dir in der Mathematik begegnen werden.

9.2.2021

783

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Grundlagen der Funktionen

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, bei der jedem x-Wert $Argument$ aus dem Definitionsbereich genau ein y-Wert $Funktionswert$ aus dem Wertebereich zugeordnet wird.

Du kannst Funktionen auf verschiedene Weisen darstellen:

Als Zuordnungsvorschrift in Textform
Als Wertetabelle
Als Funktionsterm oder Funktionsgleichung
Als Pfeildiagramm
Als Funktionsgraph

Wichtige Eigenschaften von Funktionen:

Symmetrie Achsensymmetrie zur y-Achse: Wenn f $-a$ = f $a$ Beispiel: f $x$ = x² Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung: Wenn f $-a$ = -f $a$ Beispiel: f $x$ = x³
Nullstellen und Achsenschnittpunkte Eine Nullstelle ist ein x-Wert, bei dem f $x$ = 0 gilt Geometrisch: Dort schneidet oder berührt der Funktionsgraph die x-Achse Der zugehörige Punkt wird als Schnittpunkt mit der x-Achse bezeichnet

Wichtiger Begriff: Eine Nullstelle einer Funktion ist ein x-Wert, für den die Funktion den Wert 0 annimmt. Man kann Nullstellen berechnen, indem man f $x$ = 0 setzt und nach x auflöst. Bei einer quadratischen Funktion wie f $x$ = x² - 4 gibt es zwei Nullstellen: x = 2 und x = -2.

Nicht alle Funktionen haben Nullstellen. Zum Beispiel hat f $x$ = x² + 2 keine Nullstelle, da der Graph die x-Achse nie schneidet.

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•

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26. Juni 2025

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2 Seiten

Mathematik: Überblick und Verständnis von Funktionen

~ Franka ~

@.franka.

Funktionen
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Jedem Argument (x-Wert) aus dem
Definitionsbereich X wird genau ein Funktionswert ly

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Grundlagen der Funktionen

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, bei der jedem x-Wert $Argument$ aus dem Definitionsbereich genau ein y-Wert $Funktionswert$ aus dem Wertebereich zugeordnet wird.

Du kannst Funktionen auf verschiedene Weisen darstellen:

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Als Wertetabelle
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Wichtige Eigenschaften von Funktionen:

Symmetrie Achsensymmetrie zur y-Achse: Wenn f $-a$ = f $a$ Beispiel: f $x$ = x² Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung: Wenn f $-a$ = -f $a$ Beispiel: f $x$ = x³
Nullstellen und Achsenschnittpunkte Eine Nullstelle ist ein x-Wert, bei dem f $x$ = 0 gilt Geometrisch: Dort schneidet oder berührt der Funktionsgraph die x-Achse Der zugehörige Punkt wird als Schnittpunkt mit der x-Achse bezeichnet

Wichtiger Begriff: Eine Nullstelle einer Funktion ist ein x-Wert, für den die Funktion den Wert 0 annimmt. Man kann Nullstellen berechnen, indem man f $x$ = 0 setzt und nach x auflöst. Bei einer quadratischen Funktion wie f $x$ = x² - 4 gibt es zwei Nullstellen: x = 2 und x = -2.

Nicht alle Funktionen haben Nullstellen. Zum Beispiel hat f $x$ = x² + 2 keine Nullstelle, da der Graph die x-Achse nie schneidet.

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Achsenschnittpunkte und Verlauf von Funktionen

Der Schnittpunkt mit der x-Achse wird als S_x $x₀|0$ bezeichnet. Manche Funktionen berühren die x-Achse nur, wie z.B. f $x$ = x² an der Stelle x₀ = 0.

Schnittpunkt mit der y-Achse:

Wird als S_y $0|f(0$ ) bezeichnet
Eine Funktion kann höchstens einen solchen Punkt haben
Berechnung: Setze x = 0 in die Funktionsgleichung ein
Beispiel: Bei f $x$ = x + 1 ist f $0$ = 1, also liegt der y-Achsenschnittpunkt bei S_y $0|1$

Monotonie einer Funktion:

Beschreibt, wie sich die Funktionswerte bei wachsenden x-Werten verhalten
Monoton steigend: Funktionswerte werden größer, wenn x größer wird
Monoton fallend: Funktionswerte werden kleiner, wenn x größer wird

Hoch- und Tiefpunkte:

An diesen Punkten ändert sich das Monotonieverhalten der Funktion
Hochpunkt: Wechsel von monoton steigend zu monoton fallend
Tiefpunkt: Wechsel von monoton fallend zu monoton steigend

Merkhilfe: Bei einem Hochpunkt einer Funktion erreicht der Graph einen lokalen Maximalwert. Um einen Hochpunkt zu berechnen, musst du die erste Ableitung der Funktion gleich Null setzen und dann prüfen, ob die zweite Ableitung an dieser Stelle negativ ist. Ein Beispiel: Bei f $x$ = -x² + 4 liegt ein Hochpunkt bei x = 0 mit dem Funktionswert f $0$ = 4.

Diese Eigenschaften helfen dir, den Verlauf einer Funktion zu analysieren und ihren Graphen besser zu verstehen. Beim Lösen von Aufgaben mit linearen oder quadratischen Funktionen wirst du oft nach Schnittpunkten, Nullstellen und Extrempunkten gefragt.

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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