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Grundwissen Funktionen
9.2.2021
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Funktionen Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Jedem Argument (x-Wert) aus dem Definitionsbereich X wird genau ein Funktionswert ly-Wert) aus dem Wertebereich Y zugeordnet. Darstellung von Funktionen: - Zuordnungsvorschrift in Textform - Wertetabelle -Funktionsterm bzw. Funktionsgleichung - Pfeildiagramm - Funktionsgraph Eigenschaften von Funktionen. 1. Symmetrie Man unterscheidet • Achsensymmetrie zur y-Achse (Ordinatenachse") Bsp.: f(x) = x² Es gilt für alle a aus X: f(-a)= f(a) dh. für jedes Argument a und sein entgegengesetztes -a stimmt der Funktionswert überein • Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung (0 (010)) # Bsp.: f(x)=x³ Es gilt für alle Argumente a aus X f(-a)= -f(a) d. h. für ein entgegengesetztes Argument -a zu einem vorgegebenen a sind auch die Funktionswerte entgegengesetzt 2. Nullstellen, Achsenschnittpunkte Definition: Ein Argument x, aus dem Definitionsbereich einer Funktion f(x) heißt Null- stelle von f, falls gilt f(x) = 0. Geometrische Bedeutung. An einer Nullstelle schneidet oder berührt der Graph einer Funktion die x-Achse des Koordinatensystems. Der zugehörige Punkt Sx (x, 10) heißt Schnittpunkt mit der x-Achse (Abzissenachse) oder Berührungspunkt. Bsp.: f(x) = x + 1; f(x)=x²-4 (schneiden x-Achse) Es gibt auch Funktionen, die keine Nullstellen besitzen, z. B. f(x) = x² + 2 Bsp. für Funktionsgraphen, welche die x-Achse berühren: f(x)=x² an der Nullstelle ×。=0 Schnittpunkt einer Funktion f mit der y-Achse : Bezeichnung. Sy (01f(0)) Eine Funktion kann höchstens einen solchen Punkt besitzen, da nach Definition dem Argument x=0 nur genau ein Funktionswert f(0) zugeordnet werden kann. Bsp.: f(x)= x + 1...
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=> f(0) = 0+1=1 => Sy (011) 3. Monotonie Betrachtung des Verhaltens der Funktionswerte bei wachsenden x-Werten (von links nach rechts im Koordinatensystem) Eine Funktion heißt monoton steigend, wenn mit wachsenden x-Werten auch die Funktionswerte wachsen. Eine Funktion heißt monoton fallend, wenn mit wachsenden x-Werten die Funktionswerte fallen. 4. Hochpunkte und Tiefpunkte. Punkt des Graphen, an dem die Monotonie wechselt von monoton steigend zu monoton fallend heißt Hochpunkt, monoton fallend zu monoton steigend heißt Tiefpunkt. 94 f(x₂) f(x₂). 9₁ f(x₂). HP X₁ X₁ X₂ 91 x₂ TP